Диплом, курсовая, контрольная работа
Помощь в написании студенческих работ

Исследование систем линейных и нелинейных интегральных и векторных уравнений (неравенств) , связанных с моделью Леонтьева-Форда

Диссертация: Исследование систем линейных и нелинейных интегральных и векторных уравнений (неравенств) , связанных с моделью Леонтьева-Форда
ДиссертацияПомощь в написанииУзнать стоимостьмоей работы

В общей постановке эта модель записывается в виде операторной системы неравенств: у>Е2(х, у)-Ь2) где Еи Е2 — нелинейные, монотонные по х, у (хеЕ], уеЕ2) операторы. При этом Е/ действует из Е]хЕ2 в Е1, а Е? действует из Е1хЕ2 в Е2, Е} и Е2 — банаховые пространства, полуупорядоченные конусами К{, К? соответственно, каждый из которых мы предполагаем сильно миниэдральным конусом. Во всей работе… Читать ещё >

Содержание

  • I. Модель Леонтьева-Форда. Обобщенная модель Леонтьева-Форда
  • Существование решения и его оценки
  • 1. Некоторые вспомогательные сведения из теории полуупорядоченных пространств и теории положительных операторов
  • 2. Постановка задачи. Понятие решения модели Леонтьева-Форда
  • 3. Экономический смысл модели Леонтьева-Форда
  • 4. Свойства решения обобщенной модели (II)
  • 5. Необходимое и достаточное условие разрешимости обобщенной модели Леонтьева-Форда
  • 6. Пример
  • 7. Признаки разрешимости модели Леонтьева-Форда
  • 8. Векторные оценки для решения обобщенной модели Леонтьева
  • Форда
  • 9. Алгоритм уточнения векторных оценок решения модели Леонтьева-Форда
  • 10. Активные оценки решения модели Леонтьева-Форда (линейный случай)
  • 11. Об одном развитии модели Леонтьева-Форда
  • II. Нелинейная модель Леонтьева-Форда с вогнутой нелинейностью
  • 1. Вогнутые операторы
  • 2. Простейшие свойства неразложимых вогнутых операторов
  • 3. Спектр вогнутого оператора
  • 4. Обобщенная модель Леонтьева-Форда с монотонной нелинейностью в банаховом пространстве
  • 5. Метод последовательных приближений
  • 6. Основные свойства нелинейной модели
  • 7. Фундаментальные свойства уравнений с сильно вогнутыми нелинейностями
  • 8. Об одном конструктивном алгоритме решения нелинейной модели Леонтьева-Форда с вогнутой нелинейностью
  • 9. Экономический смысл понятия вогнутости оператора «затрат»
  • III. Бесконечномерные аналоги обобщенной модели Леонтьева-Форда
  • 1. Система нелинейных интегральных неравенств
  • 2. Случай линейной системы интегральных неравенств. Основные свойства
  • 3. Необходимой и достаточное условие разрешимости системы линейных интегральных уравнений
  • 4. Обобщенная норма элементов банахова пространства
  • 5. Вычисление обобщенной нормы с «весом» матричного оператора
  • 6. Некоторые
  • приложения обобщенной матричной нормы оператора
  • 7. Вычисление обобщенной нормы с «весом» для интегрального оператора
  • 8. Обобщенная норма с «весом» вполне непрерывного оператора в гильбертовом пространстве
  • 9. Некоторые
  • приложения обобщенной нормы интегрального оператора
  • 10. Скалярные и векторные оценки решения модели Леонтьева
  • Форда (линейный случай)
  • 11. Оценки нормы решения и векторные оценки решения обобщенной модели Леонтьева-Форда (линейный случай)

Исследование систем линейных и нелинейных интегральных и векторных уравнений (неравенств) , связанных с моделью Леонтьева-Форда (реферат, курсовая, диплом, контрольная)

1. Диссертация посвящена линейной и нелинейной моделям Леонтьева-Форда межотраслевого баланса, учитывающей экологическое состояние среды и возможную переработку выделяемых в процессе производства в эту среду вредных отходов с целью понижения уровня их содержания до экологически допустимого уровня.

В общей постановке эта модель записывается в виде операторной системы неравенств: у>Е2(х, у)-Ь2) где Еи Е2 — нелинейные, монотонные по х, у (хеЕ], уеЕ2) операторы. При этом Е/ действует из Е]хЕ2 в Е1, а Е? действует из Е1хЕ2 в Е2, Е} и Е2 — банаховые пространства, полуупорядоченные конусами К{, К? соответственно, каждый из которых мы предполагаем сильно миниэдральным конусом. Во всей работе используется терминология функционального анализа и пространств Банаха, полуупорядоченных конусами Крейна (см [23], [24], [28], [30], [36]). Монотонность операторов I1) 0=1,2) понимается в том смысле, что из х}<�х2, У1<�У2 следует, что.

Е1 (хьУ1)< Ег (х2,у2) (? = 1,2).

Элементы Ьь Ь2 — заданные элементы конусов К и К2 соответственно, элементы х, у — неизвестные элементы из Ки К2 соответственно. Пару элементов (х, у) е К] х К2, удовлетворяющую системе неравенств (0.1), будем называть планом задачи (0.1). Множество всех планов задачи будем обозначать через Я. Если множество планов задачи (0.1) непустое множество, то оно, как правило, содержит бесконечное множество элементов.

Положим х* = тД х}, у* — т/{у}, (0.2) где точная нижняя грань в (0.2) вводится по всем (х, у) еП по конусам К1, К2. Вектор (х, у), определенный согласно (0.2), если он существует, назовем решением задачи (0.1).

2. Упомянутая выше обобщенная модель Леонтьева-Форда рассматривалась, в основном, для случая, когда Е] и Е2 — конечномерные пространства (Е1=К", Е2=Кт, К, К2 — конусы векторов с неотрицательными координатами этих пространств). Именно в этом случае эта модель имеет содержательный экономический смысл. В частности, известная модель Леонтьева-Форда (см. [35]) совпадает со следующей системой линейных алгебраических уравнений:

Здесь х, Ь1 е Я", у, Ъ2 е Кт, причем 6/, Ъ2 — заданные неотрицательные векторы, а х, у — неизвестные неотрицательные векторы. смыслу изучаемой экономико-математической модели, в связи с чем мы, путем соответствующего обоснования предлагаем вместо модели (0.3) модель (0.1). Важно заметить, что если для модели (0.3) под решением модели понимается решение соответствующей системы (п+т) уравнений с (п+т) неизвестными (понятно, что экономический смысл имеют лишь неотрицательные решения этой системы), то для модели (0.1) понятие решения приходится вводить путем описанной выше схемы.

3. Особый интерес представляет тот случай, когда операторы ^?(х, у) и (х, у) являются линейными по лс, у. Этому случаю соответствуют следующая модель х>Аих+А12у+ЪЛ у > А21х+А22у-Ъ2 х>6, у>6.

Естественно, что в наиболее простом случае система неравенств (0.4) имеет вид системы уравнений: х = А"х+А13у + Ь, ] ^ у = А21х + А22у~Ь2 которую можно записать в виде одного векторного уравнения вида:

0.3).

Однако, такая постановка не вполне соответствует содержательному г = А’г+Ь.

0.6) где, А — операторная матрица.

А, А Л.

Ли л12.

0.7).

Ь =(Ь1-Ь2), г=(х, у). В результате система (0.5) сводится к обычному операторному уравнению (0.6) с неотрицательной оператор-матрицей, А и с «полуположительным» вектором Ь. В связи с этим модель (0.6) представляет «нетрадиционную» модель теории положительных операторных уравнений, т.к. в ней ставится вопрос о существовании неотрицательного решения 1 при условии, что свободный вектор Ь полуположителен. Напомним, что основные проблемы теории положительных операторов заключаются в изучении вопроса существования неотрицательного решения модели (0.6) при неотрицательном свободном члене Ъ .

Более существенный отход от традиционных задачах теории положительных операторных уравнений мы получим в том случае, когда будем рассматривать модель Леонтьева-Форда при дополнительном предположении о том, что в процессе подавления вредных отходов применяемая при этом технология позволяет выделять из вредных отходов положительные ингридиенты. В этом случае вместо модели (0.6) мы получим модель вида.

0.8) где А, есть блочный оператор-матрица вида: а, а — а.

Л11 12 Л1321 ^22 J.

0.9) 4 где, А и, А21, А 22, Ап, А13>0.

Модель (0.8), в отличии от модели (0.6), есть модель с полуположительным оператором А} и с полуположительным свободным вектором Ь. Понятно, что это еще сильнее осложняет проблему исследования существования неотрицательного решения у модели (0.8).

Именно таков круг рассматриваемых в диссертации задач.

4. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка используемой литературы.

Заключение

.

Таким образом, предлагаемая диссертационная работа посвящена модели Леонтьева-Форда межотраслевого баланса, учитывающего экологический фактор, а также возможности переработки (утилизации) вредных отходов, выделяемых в процессе производства в окружающую среду, с целью извлечения из них полезных ингридиентов. Во всех постановках возникает задача следующего вида: для данного операторного неравенства вида г >Ф (1) + Г, где Фне обязательно положительный оператор, а Г — заданный, не обязательно положительный элемент, выяснить возможность существования положительного решения при соответствующем обобщении понятия решения этой модели, указать способы построения достаточно близких приближений к этому решению и, в частности, получить векторные оценки этого решения.

На наш взгляд данная работа содержит ответы на эти вопросы. Таким образом, на защиту выносятся следующие основные положения:

1) построение обобщенно модели Леонтьева-Форда и ее анализ;

2) получение признаков разрешимости модели Леонтьева-Форда;

3) исследование бесконечномерных аналогов обобщенной модели Леонтьева-Форда;

4) разработка методов получения оценок решений системы интегральных уравнений-неравенств ;

5) анализ нелинейной модели Леонтьева-Форда с вогнутой нелинейностью.

Показать весь текст

Список литературы

  1. Ando T. On fundamental propetries of a Banach space with a cone. //Pacific T. Math. 12.- 1962,-№ 4.-S. 1−12.
  2. Bonsall F.F. Linear operators in complete positive cones. // Proc. London Math. Soc. 8. 1958. — S. 53−75.
  3. Karlin S. Positive operators. // T. Math. Mech. 1955. — № 8. — C. 907−938.
  4. Thompson A.C. On certain centraction mappimgs in a partitally ordered vector space // Proc. Amer. Math. Soc. 14. 1963. — № 3. — S.438−443.
  5. Н.И., Глазмаи И. М. Теория нелинейных операторов в гильбертовом пространстве. // М.: Наука, 1966. 136 с.
  6. И.А. Исследование уравнений с положительными операторами: Дис.. д-ра физ.-мат. наук. Л., 1967. с.
  7. И.А. О нелинейных уравнениях с равномерно вогнутыми операторами // Сибирский математический журнал. — 1963. Т.4, № 2. — С.268−286.
  8. И.А. Об одном критерии нормальности конуса. // Тезисы семинара по функциональному анализу. Вып.6. Воронеж, 1958.
  9. И.А., Красносельский М. А. Метод последовательных приближений в теории уравнений с вогнутыми операторами // Сибирский математический журнал. 1961. — Т.2, № 3. С.313−530.
  10. И.А., Красносельский М. А., Стеценко В. Я. О непрерывности положительных операторов. // Сибирский математический журнал. 1962. — Т. З, № 1. -С. 8−17.
  11. Н.Беллман Р., Колаба Р. Квазилинеаризация и нелинейные краевые задачи. М.: Мир, 1968.-270с.
  12. .З. Введение в теорию полуупорядоченных пространств. М.: Наука, 1961.-407с.
  13. .З. Введение в функциональный анализ. М.: Физматгиз, 1967. — 415с.
  14. Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1966. — 576 с.
  15. А.Р. Применение теории конусов к оценке спектра неположительных операторов: Дис. канд. физ.-мат. наук. Воронеж, 1964. — 13 с.
  16. А. Р. Стеценко В .Я. Оценки спектра интегральных операторов и бесконечных матриц. // ДАН СССР. 1964. — Т.157.№ 2. — С. 12−19.
  17. А. Р. Стеценко В.Я. О сходимости последовательных приближений для операторных уравнений второго рода. // ДАН Тадж. ССР, 7:2. 1964. — С.3−7.
  18. А. Р. Стеценко В.Я. Срожиддинов Х. М. Об оценке погрешностей при приближенном решении линейных уравнений в пространстве с конусом. // ИАН Тадж. ССР, Отд. физ.-тех. н., 1967. С.3−17.
  19. А.Р., Стеценко В. Я. К вопросу о разрешимости уравнений второго рода // ИАН ТаджССР, Отд. физ.-тех.н. 1964. — № 2. — С. 13−35.
  20. А.Р., Стеценко В. Я. Локализация спектра линейного оператора // Тезисы кр. науч. сообщений Междунар. конгресса математиков, секция 5. М., 1966. -С. 45−74.
  21. А.Р., Стеценко В. Я. О разрешимости уравнений второго рода // Тр. семинара по функциональному анализу. 1963. — *Г<>7. — Воронеж. — С. 36−41
  22. П.П., Красносельский М. А., Стеценко В. Я. Об оценке спектрального радиуса линейных положительных операторов // Математические заметки. -1967.-Т.1, Вып. 4.-С. 5−12
  23. Л.В., Акилов Г. П. Функциональные анализ в нормированных пространствах. М.: Физматгиз, 1959. — 684 с.
  24. Л.В., Вулих Б. З. Пинскер А.Г. Функциональный анализ в полуупорядоченных пространствах. М.: Физматгиз, 1959. — 684 с.
  25. Л.В., Крылов В. И. Приближенные методы высшего анализа. -М.-Л.: Физматгиз, 1962. С. 907−938.
  26. Л. Функциональный анализ и вычислительная математика. М.: Мир, 1969.-421 с.
  27. А.Н., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа. М:. Наука, 1968. — 544 с.
  28. М.А. Положительные решения операторных уравнений. М.: Физматгиз, 1962. — 396 с.
  29. М.А. Топологические методы в теории нелинейных интегральных уравнений. М:. Гостехиздат, 1956. — 372 с.
  30. M.А., Вайникко Г. М., Забрейко П. П., Рутицкий Я. Б., Стеценко В. Я. Приближенное решение операторных уравнений. М.: Наука, 1969. — 455 с.
  31. М.А., Лифшиц Е. А., Покорный В. В., Стеценко В. Я. Положительно обратимые линейные операторы и разрешимость линейных уравнений.// ДАН Тадж.ССР. 1974. — T. XVII, № 1. — С.12−15.
  32. М.А., Лифшиц Е. А., Соболев A.B. Позитивные нелинейные системы. М.: Наука, 1985. — 256 с.
  33. М.А., Стеценко В. Я. К теории уравнений с вогнутыми операторами. // Сибирский математический журнал. 1969. — т. 10, № 3. — С.565−572.
  34. М.Г., Рутман М. А. Линейные операторы, оставляющие инвариантным конус в пространстве Банаха.// Успехи математических наук. 1948. — № 3. Вып. 1. — С. 3−95.
  35. В.В., Форд Д. // Экономика и математические методы. 1972. — № 3.
  36. Л.А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа. М.: Наука, 1965.-520 с.
  37. М. Равновесие, устойчивость, рост. М.: Наука, 1972. — 179 с.
  38. С.Н., Стеценко В. Я. О некоторых свойствах уравнений с неразложимыми операторами // ДАН Тадж. ССР. Т.8, № 2. — 1965. — С. 19−27.
  39. X. Выпуклые структуры и математическая экономика. М.: Мир, 1972. -518 с.
  40. М. Локализация характеристических чисел матриц и ее применения. -М.: ИЛ., 1960. 270 с.
  41. В.В., Стеценко В. Я. Применение метода Ньютона-Канторовича для расчета нелинейного межотраслевого баланса. // Модели и методы экономических целенаправленных систем. Новосибирск, 1977. — С. 160−166.
  42. В.Я. Исследования по теории положительных операторов в пространствах с конусом: Дисс.. д-ра физ.-мат. наук. Воронеж, 1968. — 307 с.
  43. В.Я. Критерии неразложимости линейных операторов. // Успехи математических наук. 1966. — № 21, Вып. 5(131): С* 265−267.
  44. В.Я. Нелинейная задача о собственных векторах // ДАН Таджикской ССР. 1973. — T. XVI, № 4. — С.5−8.
  45. В.Л. О банаховых пространствах с двумя конусами // Л.: ЛГПИ, 1962. -7с.
  46. В.Я. О неизвестных точках нелинейных отображений. // Сибирский математический журнал. 1969. — Т. 10, № 3. — С. 642−652.
  47. В.Я. Об одном итерационном методе отыскания спектрального радиуса линейных положительных операторов. // Матем. сб. 1965. — Т.67(109): 2. — С. 210−267.
  48. В.Я. Об одном методе ускорения сходимости итерационных процессов // ДАН ССР. 1968. — Т. 178, № 5. — С. 1021−1024.
  49. В.Я. Об одном спектральном свойстве неразложимого оператора // Успехи математических наук. 1967. — Т. 22, Вып. 3(135). — С.242−244.
  50. В.Я. Теоремы устойчивости разностных уравнений в нормированном кольце // Методы моделирования и обработки информации. Новосибирск. -1976. — С.53−61.
  51. В.Я., Галкина В. А. Метод построения приближений по недостатку и по избытку к положительному собственному вектору линейных и нелинейных положительных операторов. Ставрополь: СтГТУ, 1993. — 26 с. — Деп. в ВИНИТИ, 1069-В-93.
  52. В.Я., Имомназаров Б. Об одном принципе неподвижной точки // ДАН Тадж. ССР. 1967. — Т. 10, № 2. — С. 3−11.
  53. В.Я., Филин В. А. Признаки разрешимости нелинейной задачи на собственные значения и нелинейного резольвентного уравнения // ДАН Тадж. ССР. 1974. — Т. 17, № 8. — С. 12−16.
  54. П.С. Труды по топологии и другим областям математики. М.- Л.: ГИТТЛ, 1951.-Т. 1.-320 с.
  55. Д.К., Фаддеева В. Н. Вычислительные методы линейной алгебры. М.- Л.: Физматгиз, 1963. — 612 с.
  56. М. Обобщенная норма интегральных операторов и матриц // Изв. АН Тадж. ССР. 1988. — Т. 108, № 2. — С. 3−12.
Заполнить форму текущей работой

На отлично!