Математическое моделирование отрывных течений жидкости и газа в окрестности шара

Явления внешнего обтекания тел потоками жидкости или газа широко распространены в природе и технике (например, в авиации и космонавтике, судостроении, гидроэнергетике и т. д.). Исследование различных течений жидкости и газа с помощью компьютерного моделирования проводится во многих отечественных и зарубежных научных центрах. К настоящему времени разработано достаточно много численных методов решения как полной системы Навье-Стокса, так и различных ее упрощенных форм. Однако каждый из алгоритмов ориентирован на определенный круг задач (двумерные течения, несжимаемая жидкость, дозвуковые или сверхзвуковые течения, турбулентность и т. д.). Многие из них используются без должного теоретического обоснования. Полученные результаты нуждаются в подтверждении с помощью других численных методик. Поэтому актуальной является проблема разработки новых эффективных и универсальных методов численного моделирования течений жидкости и газа. Необходимость решения этой проблемы связана с появлением современных быстродействующих компьютеров (в том числе параллельных ЭВМ с распределенной памятью), открывающих новые возможности применения таких алгоритмов.

Среди новых численных алгоритмов все большую популярность приобретают алгоритмы, основанные на системах квазигазодинамических и квазигидродинамических (КГД) уравнений. Квазигазодинамическая система возникла как континуальный вариант так называемых кинетически согласованных разностных схем, предложенных в начале восьмидесятых годов в работах Б. Н. Четверушкина и.

Т.Г.Елизаровой. Квазигидродинамические уравнения и их основные модификации были получены в девяностые годы Ю. В. Шеретовым. В монографии [30] и в последующих работах проведены теоретические исследования свойств КГД-систем. Эти системы отличаются от классических уравнений Навье-Стокса дополнительными дисси-пативными слагаемыми, зависящими от малого параметра. Использование дополнительной диссипации позволяет строить новые вычислительные алгоритмы с хорошими свойствами (сравнительная простота реализации, однородность, консервативность).

Диссертация относится к актуальному и быстро растущему научному направлению — численному моделированию течений жидкости и газа на основе КГД-уравнений. В настоящее время опубликованы учебные пособия и монографии по этой тематике [7], [8], [30]. Защищено несколько кандидатских и докторских диссертаций в МГУ им. М. В. Ломоносова, Институте математического моделирования РАН, Тверском государственном университете.

Цель и задачи. Цель работы — численное моделирование дозвуковых осесимметричных течений жидкости и газа в окрестности шара с помощью новых вычислительных алгоритмов, построенных на основе квазигидродинамических уравнений. Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

1. Построить численные алгоритмы расчета осесимметрических течений жидкости и газа в сферических координатах, базирующихся на квазигидродинамических уравнениях.

2. Разработать комплекс программ, реализующий указанные алгоритмы.

3. Выявить зависимости характерных параметров течений от входных данных.

4. Провести анализ полученных результатов.

Методы исследования. В качестве основных математических моделей используются классическая система Стокса, система Навье-Стокса для вязкой несжимаемой жидкости и полная система Навье-Стокса. Численные методы решения краевых задач для указанных систем строятся с помощью квазигидродинамических уравнений в соответствующих приближениях. Основные результаты получаются посредством вычислительного эксперимента.

Достоверность полученных результатов подтверждается сходимостью численных решений при измельчении пространственных сеток к известным аналитическим решениям, а также сопоставлением с имеющимися экспериментальными данными и расчетами других авторов. Предложенные алгоритмы построены с использованием квазигидродинамической системы, тщательно исследованной теоретически Ю. В. Шеретовым.

Научная новизна обусловлена тем, что метод КГД-моделирова-ния впервые применен к расчету осесимметрических дозвуковых течений сжимаемой и слабосжимаемой сплошной среды в сферических координатах вблизи шара с граничными условиями прилипания и проскальзывания. Предшествующие КГД-алгоритмы строились в декартовых и цилиндрических координатах (работы Б. Н. Четверушкина, Т. Г. Елизаровой, Ю. В. Шеретова, И. С. Калачинской, Е. В. Шильникова, А. В. Ключниковой, И. А. Широкова, М. Е. Соколовой, В. В. Серёгина и других авторов).

Практическая ценность. Построенные алгоритмы позволяют проводить расчеты течений как несжимаемых, так и сжимаемых сред в окрестности шара в широком диапазоне чисел Рейнольдса (от 0.01 до 100), Маха (от 0.01 до 0.7) и Кнудсена (Кп < 0.1). Они могут быть использованы для решения конкретных практических задач, связанных с движением тел сферической формы в атмосфере или под водой (спускаемых летательных аппаратов, батискафов, масляных капель).

Апробация работы. Основные результаты диссертации были представлены на:

• Международной научной конференции «Колмогоров и современная математика» (Москва, 2003).

• Международной конференции «Параллельные вычисления в гидродинамике» (Москва, 2003).

• Научных семинарах кафедры математического анализа ТвГУ (рук. проф. Гусев А. И., проф. Шеретов В. Г., Тверь 2005, 2006).

В главе 1 приводится аналитическое решение системы Стокса в задаче об медленном обтекании шара вязким газом с условием скольжения для скорости на его поверхности. Рассмотрено построение точного физически адекватного решения аналогичной задачи для КГД-системы в приближении Стокса. Построен алгоритм расчета поставленной задачи. Проведено сопоставление полученных результатов с аналитическими решениями системы Стокса.

В главе 2 на основе КГД-уравнений построен новый алгоритм расчета осесимметричных течений вязкой несжимаемой жидкости вблизи шара. В качестве основной математической модели использована классическая система уравнений Навье-Стокса для вязкой несжимаемой жидкости. Проведено сравнение полученных результатов с теоретическими и экспериментальными данными, а также с известными численными расчетами.

В главе 3 предложен алгоритм расчета осесимметричных течений вязкого сжимаемого теплопроводного газа вблизи шара для полных уравнений Навье-Стокса в сферических координатах. В качестве аппроксимирующей используется полная квазигидродинамическая система уравнений.

Автор глубоко благодарен своему научному руководителю, профессору кафедры математического анализа ТвГУ, доктору физико-математических наук Ю. В. Шеретову за помощь при написании диссертации.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

Подводя итог, выделим наиболее существенные результаты диссертационного исследования.

• Предложены новые алгоритмы расчета осесимметричных дозвуковых течений вязкой жидкости и вязкого сжимаемого теплопроводного газа в окрестности шара с условиями прилипания или проскальзывания на его поверхности. В качестве вспомогательных при построении указанных алгоритмов использованы различные варианты квазигидродинамических уравнений в сферических координатах.

• Все указанные алгоритмы реализованы в виде комплекса программ в среде Delphi. Проведено его тестирование на характерных задачах.

• Выявлены зависимости основных параметров течения (плотности, скорости, давления, температуры, силы сопротивления, длины отрывной зоны, величины угла отрыва потока, положения центров вихрей и т. д.) от чисел Рейнольдса, Маха, Кнудсена в широких диапазонах их значений.

• Сопоставление результатов вычислений на разных пространственно-временных сетках как с известными аналитическими решениями, так и с имеющимися экспериментальными и расчетными данными показало их хорошую взаимосогласованность.

Таким образом, поставленные во введении задачи решены и цель диссертационного исследования достигнута. В диссертации проведено численное моделирование осесимметричных дозвуковых течений жидкости или газа для низких и умеренных чисел Рейнольдса. Созданные алгоритмы позволяют решать многие прикладные задачи. Представляется перспективным обобщение предложенных алгоритмов на случай трёхмерных пространственных нестационарных течений.