Замещение воздуха в сосуде аргоном

Задача по физике Замещение воздуха в сосуде аргоном

Сосуд V=40 м³ заполнен воздухом при атмосферном давлении начинают продувать аргоном со скоростью 8 м³/ч. Через сколько времени в сосуде концентрация кислорода снизится до 0,05%? Содержание кислорода в аргоне = 0.0005%.

Наша задача — отыскать функцию концентрации кислорода по времени продувки K (t). В момент начала продувки t=0 K0=K (t0)=0.21 — кислорода в воздухе по объему k0=21%. Эта концентрация будет асимптотически приближаться к концентрации кислорода в продувочном аргоне K (t9999)=5*10^-6=0.0005%. Вопрос задачи — при каком tx K (tx)=5*10^-4=0.05%. Сосуд продувается с расходом R=8м3/ч, то есть по кислороду 0.0005% R1=8*0.0005/100=4*10^-5м3/ч, по аргону 99.9995% R2=7.99 996м3/ч.

Давление атмосферное, сколько газа вдувается в сосуд, столько и выходит из него. Газ в сосуде мгновенно приобретает одинаковую концентрацию в каждой точке объема сосуда, потому что скорость молекул азота, кислорода и аргона — сотни метров в секунду, и объем в десятки кубометров осредняется по составу в течение миллисекунд. Мгновенно по сравнению с часовыми расходами продувки.

Функция концентрации кислорода в сосуде k (t) максимальна в начальный момент времени t=0 и составляет 0.21 (21% кислорода в атмосферном воздухе) м монотонно убывает, асимптотически приближаясь к концентрации

k=k (t=?)=5*10^-6=0.0005%.

В начальный момент времени t=0 в сосуде находится V*k0=40*0.21=8.4м3 кислорода.

В течение элементарного приращения времени dt в сосуд поступит еще R1*dt=4*10^-5м3/час*dt кислорода и выйдет R*k (t)*dt кислорода, то есть объем кислорода в сосуде будет выражаться уравнением

V (t)=V*k0 +?(от t=0 до t=T) (R1 — R*k (T))*dt

кислород продувочный аргон сосуд Разделим левую и правую части этого интегрального уравнения на объем сосуда V и получим

V (t)/V = k (t) = ?(от t=0 до t=T) (R1-R*k (t))/V*dt

Продифференцирем уравнение по времени и получим

k'(t)=(R1-R*k (t))/V = R1/V — R/V*k (t) = ((4*10^-5)/40 — 8/40*k (t)) 1/час Разделив, получим окончательный вид дифференциального уравнения k'(t) =(10^-6−0.2*k (t))1/час, k (0)=0.21 Решение этого дифференциального уравнения стандартно: k (t)=0.20 9995exp (-0.2*t)+5*10.-6

Вспомним что мы писали о поведении функции k (t): При t=0 k0=0.21 — подставим и получим. При очень большом t=? экспоненциальный член обнуляется и остается ровно 5*10^-6 — как написано в условии то есть уравнение решено корректно. Осталось подставить k (x)=5*10:-4=0.20 9995exp (-0.2*x)+5*10.-6.(5*10^-4 — 5*10^-6)/0.209 995=exp (-0.2*x) прологарифмируем уравнение и получим ln ((5*10^-4 — 5*10^-6)/0.209 995)=-0.2*x, и отсюда x=-5*ln ((5*10^-4 — 5*10^-6)/0.209 995)x=30.25час График функции — да очень простой график функции. Экспонента она и есть экспонента. Я думаю, разумно построить таблицу не по времени, а по концентрациям. 21%, 10%, 5%, 2%, 1%, 0.5%, 0.2%, 0.1%, 0.05%.t=-5*ln ((k (t) — 5*10^-6)/0.209 995) — формула в таблицу

График, по оси абсцисс — концентрация кислорода в %, по оси ординат — время в часах. Поскольку концентрации выбраны в «полулогарифмической последовательности» 1−2-5−10, график экспоненты практически точно — прямая.