Некоторые методы получения точных и экстремальных констант в оценках приближения линейными операторами функций классов Lipm?

Теория приближений занимается, в частности, получением оценок вида Ц^иС/СО"*) — /(х)-ап (/)-> гДе^п ~ аппроксимирующая последовательность операторов, а /(/) — аппроксимируемая функция. Выражение ?*"(/) может содержать как индивидуальные характеристики функции /(?), так и характеристики класса, к которому /(?) принадлежит.

Основное содержание данной диссертационной работы относится к получению оценок приближения функций класса Ьгрм 1 конкретными операторами, некоторые из них будут далее определены.

В дальнейшем мы будем говорить только о приближении 2я — периодических функций в метрике, определяемой чебышевской нормой.

Определение 0.1. Чебышевской нормой в пространстве С1лнепрерывных 2л — периодических функций будем называть величину[/(0|| = шах|Л0|.

Согласно общепринятому обозначению, символом Ырм 1 обозначают класс функций, таких, что для любых ?15 ?2> А ^?2> t-t2<2'к выполняется |/(О ~ /(?2)| - - | • Для обозначения того же класса функций используется еще и символ Нхм.

Определение 0.2. Линейные операторы ?(/(г),*)называются положительными, если (/(?) > 0) => (V* Ц/> 0).

Если ?я (/(0,х) — положительные линейные операторы, то оценку приближения ими функций класса Ырм 1 (или, что-то же самое, класса Нхм) можно провести по схеме, соответствующей схеме доказательства теоремы П. П. Ко-ровкина [12].

Зафиксируем х и будем обозначатьх 2ж — периодическую функцию равную — х при I е. х — ж, х + 7 г.

Пусть Ln{f{t), jc)-последовательность положительных линейных операторов Ln: Cl7c -> С1ж таких, что Ln (1, х) = 1.

Из того, что /(t) е LipM 1, получим |/(t) — f (jc)| < Mt — x илиMt-x.

В силу монотонности положительных линейных операторов, имеемM-Ln (t- 4*) < Ln{f{t), x) — fix).

Или.

I Ln {fit), x) — f{x) I < M • Ln {t — 4 x). В силу произвольного выбора лможем записать \Ln{f{t), x) — f (x)I< М • |Ln (t — 4х)||.

Если аппроксимирующие операторы имеют вид:

Ln{f{t), x)= ?f (t + x) wn{t)dt,.

— п то для них величина (ji — д:|, л:) не зависит от х и оценку можно записать в виде ||1Л (/(0^)-/(х)||<�М-4ф|, 0).

Так как М|/-д:| принадлежит классу LipM 1, последнюю оценку улучшить нельзя.

Таким образом, для конкретных аппроксимирующих последовательностей положительных линейных операторов получение оценок приближения ими функций класса LipM 1 сводится к нахождению Lnit, 0).

Например, для операторов Фейера, имеющих следующий вид sin2 nt о-ЛЯО, х) = -)f{t + I—coskt)dt = -iJf{t + x)-j-dt,.

K-n 2 ых n 2m. n un2t 2 известно, что сти (И, 0) =-+ 0{n~l). m.

Операторы Фейера относятся к так называемым методам суммирования рядов Фурье.

В общем виде методы суммирования рядов Фурье записываются следующим образом:

Rn (A, f (t), x) = — +. (at cosix + b? s’mix). 2 ,=i.

Здесь обозначено, А = (Á-¡->п)?=0, где п-1,2,., a a?, biкоэффициенты Фурье функции /(f).

Рассмотрим другое представление методов суммирования.

Rn (A, f (t), x) = - jf (t + + ±-Л cosit) dt. nл 2 I=1.

Ядро оператора Rn (A, f (t), x) по возможности стараются представить в свернутом виде. Например, для операторов Фейера это представление выражается следующей формулой: 2 i и i i sm — 1 п -1. 1 о 2L-cos lt.

2 м * 2п sin21 2.

Ядро оператора Фейера не имеет простых нулей. Как известно, число sin («+ —)i простых нулей ядра Дирихле Dn{t) =-у—, расположенных нал, 7г],.

2 sin — 2 неограниченно растет при возрастании п.

Промежуточное между этими двумя крайними случаями занимают операторы, ядра которых имеют фиксированное число простых нулей, не изменяющееся с возрастанием п.

В 1984 году В. А. Баскаков [10] предложил следующую конструкцию операторов:? Л • 2 nt.

Sin — п Sin —.

ЖГяИ (Д0,*) =-— J f (t + x);

7ЕИ. ? t un • 2 1 S 271 ч sin -(cosi-cos—).

2 n.

Высказанные в работе [10] идеи были использованы Ю. Г, Абакумовым и его аспирантами для построения ряда аппроксимирующих конструкций (см., например, [2] [8]). В работе [11] В. А. Баскаков вернулся к рассмотрению операторов, построенных с использованием той же идеи (о ней подробнее излагается в п. 1.1). В [11] В. А. Баскаков получил аналитическое выражение для множителей суммирования операторов Первая глава диссертации представляет собой некоторый фрагмент теории построения таких операторов. Результаты этой главы изложены, в частности, в [31].

Заметим, что в настоящее время различными авторами предложен ряд аппроксимирующих конструкций с фиксированным количеством простых нулей у ядра (см. работы Р. К. Васильева [1], Е. М. Ершовой [15], Ю. В. Савченко [27]). Как правило, эти конструкции содержат очень сложные выражения для коэффициентов суммирования. Последнее обстоятельство характерно для так называемых оптимальных последовательностей операторов (оптимальные операторы с 2ш простыми нулями у ядра имеют порядок насыщения п~2т~2, операторы м^кх" «'кт) оптимальными не являются, так как имеют порядок насыщения п~2т~х, для таких операторов В. А. Баскаков предложил термин «почти оптимальные»).

Оценка приближения функций класса LipM 1 операторами л.

Ln{f{tx) = f{t + x) wn{t)dt при знакопеременном ядре wn (t) имеет некоторые.

— л особенности, отличные от случая положительного ядра.

В самом деле, если /(t) е LipM 1, то (при условии Ln (1, х) = 1).

К {fit), х) — д*)| < м • j|r | • К (t)dt.

— л.

Правую часть неравенства можно представить по-другому.

К (/(0, *) — /(*)I ^ М ¦ Псрп (/) • {t)dt,.

— л где (pn{t) = tsignwn (t).

Все функции (рп (?) имеют разрывы первого рода, следовательно, классу Ырм 1 они не принадлежат.

Получить неулучшаемую оценку, можно только найдя функцию, принадлежащую классу Ь1рм 1, даюшую максимальное значение функционала.

— л.

Если для каждого п найдена такая функция получено равенство ж лСО^лСО^ = Анп~Х то константу Ан будем называть точной кон.

— л стантой в оценке приближения операторами Ьп (/(О?х)функций класса Ырм. Диссертационная работа включает две главы.

В первой главе рассматриваются некоторые общие вопросы, касающиеся аппроксимирующих последовательностей операторов т '. 2? Л.

8ШП ?=1.

2лк: соб^-СОБ.

V ") я (л п-т-1 Л.

Я-я V2 «=1 У.

В настоящее время основные положения теории этих операторов можно считать известными. Хотя полного изложения пока не появилось (думается это дело ближайшего будущего), однако можно сформулировать следующие положения: п.

1. При фиксированных т, к{,., кт в условиях т> 1, 0 < А, <. < кт < — нормы равномерно ограничены по п;

2. Порядок насыщения М1пт](к]'~'кт) равен п~2т~1;

3. Классы ЖгНа приближаются операторами м[т]{ки" ', кт) с наилучшим порядком при условиях:

• если г < 2 т, 0 <а<,.

• если г = 2 т, О <а < 1 (класс W°Haсовпадает с классом Lipa)',.

4. Функции класса РГ2″ 1//1 приближаются операторами с порядком «» 2т" 11п" [18];

5. При г > 2 т, 0<а<1 функции классов 1¥-гНа приближаются операторами ^т]{кх,., кт) с ПОрЯДКОМ насыщения.

План приведенного в первой главе изложения основных положений теории операторов Баскакова сложился под влиянием идеи профессора В. В. Аре-стова, который проявил внимание к работе и дал ряд весьма полезных советов. Приводимый в п. 1.2 простой вывод формулы интегралов 'М принадлежит ему. Способы, применявшиеся в работах [2], [8], [И] гораздо сложнее. Тем же простым методом доказывается, что при 0 <�г<�т «» 'кт* = 1 (теорема.

Основой для ряда результатов главы 1 являются следующие вспомогательные утверждения, доказанные в п. 1.3:

1) при любых фиксированных т и к1 г = и при 0 <Зп <п — е е > 0, как угодно мало) в условиях п8п оо.

1.2). предложение 1.1).

8п где — ядро оператора 2) если обозначить я я.

Jn (а) = 2 taun (t)dt, Ап {а) = 2? ta ип {t)dt, о о.

А{а) = 2l+a7u2m~xYk2j? I 5Ш tdt, 1 то при 0 < а < 2m +1.

Уи (а) = + Л (а) = + f"(o0, при этом max (? гп («J | Г&bdquoМ) -УАа)~ °{па)• (предложение 1.2) На основе этих предложений получены: 1) оценка норм (теорема 1.3) sin tdt lim.

П-* оо.

AfMfo—*") =27t2'" -1n²/' m 1.

2) оценка приближения функций класса Ь1рма (см. (1.7));

3) оценка приближения функций в точке разрыва производной (теорема.

1.5).

M (^m){mxh2(/-(-с)-/Ч*)У-VПк)] .sin2tdt +.

7=1 °'П (*>2-'2).

J-l.

4) оценка приближения операторами функций классов WxHa и.

W2Ha (теоремы 1.8 и 1.9).

В п. 1.7 предложение 1.2 обобщается и на основе этого обобщения получена теорема 1.7. Приведем ее формулировку: пусть f (t) имеет в точке t-x односторонние производные (j/+'(*)| < |/-< существует с > О такое, что /(t) имеет непрерывную производную на [х — с, х] и на [лг, дг + с]. Тогда.

1 = / п.

Г 2 г х + — V п) где Ф{г) = 2я.

7=1.

Во второй главе производится уточнение констант в оценках приближения операторами функций, принадлежащих классам Ырма, 0 < а < 1.

В п. 2.1 получена оценка приближения функций класса Ырм 1 операторами с точной константой:

— /И * МА^П* + 0(п-'),.

• sin2 tdt 1 sin2 tdt.

Olll IU1 e? Mil li.€ 1 t (ky-t2)~>t (/?yr2) при этом r0 удовлетворяет paгде А[${к) = 4к27Г f sin2 tdt.

Задача поиска сводилась к решению оптимизационной задачи — нахождению максимума некоторой специальным образом построенной функции одной действительной переменной. Сама задача поиска максимума решалась традиционными методами дифференциального исчисления. В работе [28] по той же схеме была найдена константа для чего пришлось искать экстремум функции дух переменных.

Но применить этот способ в более сложной ситуации представляется довольно проблематичным. Возникают серьезные трудности технического характера.

Необходимость в преодолении этих трудностей отпала ввиду того, что был обнаружен другой метод нахождения констант «» кт). Более того, этот метод можно применять к операторам, не входящим в группу операторов п.

Остальная часть второй главы (кроме п. 2.1) связана с упомянутым выше методом.

Задача нахождения Л^*1.сводится к нахождению экстремального значения функционала т ^ sin tdt.

1 о.

1П (А2-'2) 1.

Ф е {<рк (0}, где Л = (Л1,., Л), Л е [ktxтг, к^}, к0=0,.

Рл t) = (-lj (t-XAjX-lY te[X, Х i+1J, / = 0,1,.,/и, (при этом.

7=0 полагаем при этом X = ОД ж+1 = оо).

Общая постановка задачи о нахождении экстремального значения функционала формулируется следующим образом.

Функционал определяется равенством ?](/)=, где сумо мируемая на [0,оо[, непрерывная на [0,а] при некотором а> О, такая, что оо оо оо, о>0, Ж^) имеет на [о, а простые нули в точках о о г (, 0 < тх <. < тт < а и только в них и V/ > а sign (w (t)w (a))> 0. Если существует Л° =, б {л}, такое, что V/ = -и>0, то Бирт]((рА) =) (теорема 2.2). л.

Если обозначить ^'" «'^(или константу в равенстве sup.

— л4 ¦ /ме иРм 1 }= .+)> то с помощью теоремы 2.2, кроме константы yijj^ удается получить константы ^(Мг) и ^М1'2'3) Например, первая из них выглядит следующим образом 4л:3 к7к2 r sin2 tdt A sin2 tdt.

J 2,. v 2 J кУ-*2).

V 1=1 «=1 у.

Кроме того, в главе решена задача получения аналогичной точной константы для операторов, предложенных в работе [14] лп с л/6.

1 -СОБП.

11"4 + 5п2 + 4) — ю (я2 +1).

БШ ¦ Ы 6.

БШ.

COSt — СОБ.

V П J.

Ж.

В п. 2.7 исследуется динамика изменения с увеличением к. Показано, что (теорема 2.6) А$к) = 0^пк).

В п. 2.9 рассматриваются оценки приближения операторами функций класса Ырма. В этих оценках получены константы, которые обозначены, и А¹'2'^'", однако оставлен открытым вопрос, являются ли эти константы точными.

В заключении подводятся итоги и обсуждаются перспективы дальнейших исследований.

Таким образом, основными результатами диссертационной работы являются:

• в первой главе: оценки приближения операторами .кт) функций классов Ырма, Ж1 На, Ж2На,.

• во второй главе: полученные значения (в виде аналитических выражений) констант А[${к л? Ки'3).

Результаты первой главы имеют некоторые пересечения (которые отмечены в тексте) с результатами, полученными другими авторами. Результаты второй главы (за исключением, разве что только п. 2.1) полностью оригинальны.

Список литературы

включает источники, цитируемые в тексте диссертации, а также некоторые другие, относящиеся к рассматриваемой теме.

Заключение

.

Основным результатом диссертационной работы является метод получения констант в оценках приближения операторами некоторого специального вида функций классов Ырма, 0<а<, при этом в отдельных случаях константы при, а -1 являются точными (не улучшаемыми).

Метод основан на теореме 2.2 (об экстремальном значении функционалов вида ?7(Л = ]/(0П0Ж)о.

Данный метод применяется к операторам вида.

— я.

В диссертации рассматривается применение этого метода к операторам В. А. Баскакова.

М1пт]{к" -'кт)(/(0,х) sin2i=i п тт J/(' + *);

— ЯГ cin2 2 * т-тГ ^ sin — cosi-eos;

2Ul п J dt, а так же к операторам, введенным Е. М. Ершовой (см. п. 2.5). Например, получена оценка для /(?) = Ырм 1 м№" '> х)-Ах| < Лйф* V + о{п'), где константа г.

— н является точной jO «lO юг sin2 tdt A sin2 tdt J 2. J» 2.

V 1=1.

Ч[{к2тг2−12) Itf[(kfx2 -t2) j=1.

Здесь a{ и A2 должны удовлетворять равенствам я| sin2 tdt j sin2 tdt 0.

At2ifcv-i2) 4i2n (^2-/2) i=i.

Кроме того, получены точные константы в оценках приближения функций класса LipM 1 операторами В. А. Баскакова при т = 1 и при т-3, к^, к2 > ^з) = (1"2,3).

Приведем предполагаемый вид точных констант в общем виде (для любых операторов В. А. Баскакова).

А^-^Ш)1] тт*1пЧ dt, I где z (f) = 1 для при четном z (i) = -l для t при нечетном /, / = 1,.,/и удовлетворяют равенствам sin2 tdt 0 л> t2f{k27r2-t2) /=1.

Точку в этом вопросе мешает поставить, то что существование множества удовлетворяющего выше приведенным равенствам, пока не доказано, кроме оговоренных ранее случаев (т = 1, т = 2, m = 3 при этом (кх, к2, кг) = (1,2,3)).

Для, а < 1 метод позволяет найти некоторые константы в оценках приближения функций класса LipMa операторами В. А. Баскакова в случае, если доказано существование множества Вид этих констант приведен в формулировке теоремы 2.8. Вопрос о их точности остается открытым.

Заметим, что существуют операторы, для которых теорема 2.2 не применима (см. [20]).

Таким образом, остаются следующие проблемы в решении задач о точных константах в оценке приближения функций класса LipM 1 операторами Баскакова и другими конструкциями, имеющими ядра с фиксированным числом простых нулей:

1) затруднения, связанные с доказательством возможности применения теоремы 2.2;

2) отсутствие методов получения точных констант в том случае, когда условия теоремы 2.2 не выполняются.