Некоторые виды устойчивости в линейных системах с неограниченными коэффициентами

Представленная работа относится к той области качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений, которая занимается вопросами, связанными с асимптотическим поведением решений линейных систем. Для исследования устойчивости и условной устойчивости движения А. М. Ляпуновым в [9] было введено понятие показателя. Показателем Ляпунова, или показателем экспоненциального роста, А/ функции /(?) действительного переменного, принимающей значения в нормированном пространстве, называется.

1п0 считается равным — оо). Показатель Ляпунова конкретной функции может быть действительным числом или одним из символов —оо, +оо.

Спектром показателей Ляпунова линейной дифференциальной системы называют кортеж, составленный из показателей Ляпунова решений этой системы, образующих нормальный базис, расположенных в порядке невозрастания [9]. Отрицательность к-то показателя* Ляпунова гарантирует условную устойчивость с индексом п — к + 1 нулевого решения.

Условной устойчивостью А. М. Ляпунов назвал устойчивость по отношению к возмущению начальных значений, удовлетворяющих некоторому условию, состоящему в том, что возмущенные начальные значения должны принадлежать некоторму многообразию (проходящему через невозмущенное значение). Размерность этого многообразия называют индексом условной устойчивости. Старший показатель Ляпунова А1 осуществляет оценку верную для всех решений системы (1) и, поэтому, позволяющую судить в какой-то мере об их поведении в совокупности. Однако, здесь требуется известная осторожность, поскольку константа Ве, вообще говоря, зависит не только от е, но и от решения х (к). В работах [10], [11], [12] В. М. Миллионщиковым определены показатели Ляпунова семейсва эндоморфизмов метризованного векторного расслоения и получена формула А—го показателя Ляпунова.

Общая теория показателей Ляпунова подробно изложена во. многих источниках, весьма полный список которых можно найти в [7][ § 1, Комментарий, стр. 29]. Развитие теории линейных систем привело к созданию целого ряда различных показателей. Один из показателей, служащий для оценки оператора Коши системы (1) введен впервые П. Болем в 1913 г. [1] под названием индекса [3] [гл.З, § 4, стр. 211]. Позднее.

А /• = Иш.

->+оо? х — А (Ь)х,.

1) ж (*)| <�В?е (А1+?){, е > 0, этот показатель был независимо введен К. П. Персидским [16] под названием особого [7][ § 3, стр. 66].

В работе [3] [гл.З, § 4, стр. 171−176] индекс Боля, взятый с противоположным знаком, называется верхним генеральным показателем кд. Там же доказан критерий конечности верхнего генерального показателя и формула, по которой предлагается вычислять кд, если он конечен.

Верхним генеральным показателем кд уравнения (1) называется точная нижняя грань чисел р, для которых формула с Ыр > 0, t > т, 1, т? [0, +оо) справедлива для всех решений уравнения (1).

Критерий конечности. Для того чтобы верхний генеральный показатель уравнения (1) был конечен: кд < +оо, необходимо и достаточно, чтобы.

К = sup ||Xt (i, r)|| < +оо.

Здесь и ниже т)-оператор Коши уравнения (1).

Формула для кд. Если верхний генеральный показатель конечен, то он представим формулой ш Ы|Л0,(г + ., г)||.

T, S-«+0O д.

В случае интегрально ограниченной оператор функции A (t): t+i sup ¿->о t.

J \A®\dr < M, где М — константа, верхний генеральный показатель уравнения (1) всегда конечен. В дальнейшем ограниченной системой будем называть систему, матричная функция А (Ь) которой ограничена интегрально.

В [2][гл.З, § 7−8, стр. 103−117 ] верхний генеральный показатель уравнения (1) называется верхним особым числом и обозначается ?7°. Там же приведены три способа его определения для ограниченных систем.

Способ верхних функций.

Верхним особым показателем уравнения (1) назовем точную нижнюю грань чисел р, осуществляющих оценку prA (t, r)|| < с Np, e > 0, t > г, t, г € [0, +оо) .

Учитывая утверждение [2][гл.З, § 7, стр. 101 ]: Для матрицы Коши линейной системы (1) при любых фиксированных /, г справедливо соотношение где тах берется по всем решениям х (¿-) системы (1), способом верхних функций в точности определяется верхний генеральный показатель [3].

Способ стекловских усреднений. ?>0 (i? In (st^ + я’i)l|}) =.

Дискретный способ. n° = in, f" iyy ln (suP II"'г — r>H<1') =.

Я>0 tL N У lim (1 ln (sup ||Хл (гЯ, («- 1) Я)||)) .

Я-Н-оо ул ieN у.

Авторами доказана эквивалентность этих определений в случае интегрально ограниченной оператор функции [2][гл.7, § 19, стр. 252 ] и возможность замены знака inf на lim.

Определения показателей.

В представленной работе рассматриваются показатели линейных систем с неограниченными коэффициентами. В этом случае равносильность приведенных определений может нарушаться (см. главу 2 диссертации). Становится необходимым закрепить за конкретными формулами обозначения, введенные упомянутыми авторами, или ввести новые.

Определение 0.1.1. [3][гл.3, § 4, стр. 171] Верхним генеральным показателем кд (А) уравнения (1) назовем точную нижнюю грань чисел р, для которых формула a-(i)|| 0, t > т, t, г е [0, +оо) справедлива для всех решений уравнения (1).

Определение 0.1.2. [2][гл.З, § 7−8, стр. 103−117 ] Показателем Боля ?(A) уравнения (1) назовем.

A) = lim (±-ln (sup\XA{L + H, t)\)) .

Я—>+оо М t>0).

Определение 0.1.3. [2][гл.З, § 7−8, стр. 103−117] Верхним особым показателем уравнения (1) назовем.

П°(А) = Ы (?1п (8ир||+ Я,*)||)) •.

Разумеется, показателями Боля не исчерпываются всевозможные модификации показателей Ляпунова. Библиография в обзорах Н. А. Изобова [5], [б] по теории показателей Ляпунова насчитывает несколько сотен наименований. В качестве примера могут быть приведены вспомогательные показатели, введенные в ряде работ В. М. Миллионщикова [13], [14], [15], экспоненциальные показатели, введенные Н. А. Изобовым [8].

Для оценки оператора Коши системы х = A (t)x служит и введенный Р. Э. Виноградом центральный показатель—Q [2][гл.З, § 7−8, стр. 103−117 ], который определен, как точная нижняя грань интегральных средних.

R= Ш — [R®dr £->+оо t J> 0 ограниченных измеримых функций R®, для которых при всех s < t справедлива оценка t f (R®+e)dr.

XA{t, s)\.

Центральный показатель может быть также определен способом стекловских усреднений и дискретным способом.

Наряду с верхними показателями авторы работ [3], [2] вводят в рассмотрение соответствующие нижние показатели.

В случае системы с постоянными коэффициентами показатели: старший Ляпунова, верхний особый и центральный равны между собой. Для ограниченных систем справедлива цепочка.

Ai < П < Q0.

Однако К. Е. Ширяевым [17] построен пример неограниченной системы, центральный показатель которой, определенный дискретным способом, меньше старшего показателя Ляпунова.

Более полно о перечисленных показателях можно прочитать в [2], [3], [5].

Определения устойчивости.

Верхний генеральный показатель служит для оценки равномерной устойчивости линейных систем. Для заданного натурального числа п рассмотрим линейную систему x = A (t)x + f (t), (2) где yl: R+ —> EndR", /:R+ —" Rn непрерывны или кусочно непрерывны, х G Rn, и соответствующую ей однородную систему (1) х — A (t)x, определение 0.1.4. [4][гл.2, § 1, стр.67] Система (2) (или (1)) называется равномерно устойчивой при t —> +оо, если для любого ее решения х — x (t) и любого е > 0 существует такое 5 > 0, что для любого t0 > 0 и произвольного решения у — y{t) этой системы, удовлетворяющего условию ||у (?о) — < выполнено sup||y (i) -х (£)|| < е. t>t0.

Решение х — x (t) называется равномерно устойчивым при t —> +00, если для любого е > 0 существует такое <5 > 0, что для любого i0 > 0 и произвольного решения у = y{t) этой системы, удовлетворяющего условию \y{to) — < выполнено sup \y (t) — x{t)\ < е. t>t0.

В настоящей диссертации определяются новые понятия остаточной равномерной устойчивости и ограниченности совокупности решений равномерно по начальному отрезку.

Определение 0.1.5. Система (2) (или (1)) называется остаточно равномерно устойчивой при t —> +00, если существует такое H > 0, что для любого решения х — x (t) этой системы и любого е > 0 существует такое <5 > 0, что для любого to > 0 и произвольного решения у = y (t) этой системы, удовлетворяющего условию ?1 у (i0) — x (io)|| < выполнено sup \y (t) -z (i)|| t0+H.

Решение x = x (t) называется остаточно равномерно устойчивым при t —" +00, если существует такое H > 0, что для любого е > 0 существует такое 5 > 0, что для любого ¿-о > 0 и произвольного решения у — y{t) этой системы, удовлетворяющего условию ||y (io) — < <5, выполнено sup||y (f)-a-(t)|| < е. t>to.

Определение 0.1.6. Будем говорить, что система (1) обладает совокупностью решений ограниченных равномерно, но начальному отрезку, если существуют такие H > 0 и N > 0, что для любого решения х = x (t) этой системы и любого t > 0 выполняется оценка sup ||а-(* + тЯ)|| < N||a:(i)||. m6N.

Так как[4][гл.2, § 6, стр.80], поле интегральных кривых неоднородной системы (2) y{t) = y (t)+XA (t, 0) C, где y (t) — частное решение (2), топологически эквивалентно (с сохранением близости) полю интегральных кривых x (t) = XA (t, 0) C соответствующей однородной системы (разница только в том, что в первом случае «ось» у = y (t), вообще говоря, криволинейна, а во втором случае ось х = 0 прямолинейна), то изучение устойчивости линейных неоднородных систем полностью сводится к изучению тех же видов устойчивости для соответствующих однородных систем.

Отрицательность старшего показателя Ляпунова уравнения (1) является необходимым условием ограниченности на полуоси решения задачи Коши x = A (t)x + f (t), (.

I s (0) = 0, {6) при каждой ограниченной на полуоси непрерывной вектор-функции f (t):

III/II! -sup||/(i)|| < +00, i>0.

При этом каждое решение уравнения х = A (t)x + f (t) с ограниченной на полуоси непрерывной вектор-функции f (t) ограничено. [3] [гл.З, § 5, стр. 183].

Однако условие Ai (A) < 0 не является достаточным. В работе [3] [гл.З, § 5, стр. 186] доказывается теорема:

Для того чтобы задача Коши (3), где Л (?)-ограничена интегрально, имела ограниченное на полуоси решение при каждой ограниченной на полуоси непрерывной вектор-функции /(?):

III/III = sup ||/(i)|| < +00, t>0 необходимо и достаточно, чтобы верхний генеральный показатель уравнения (1) был отрицателен.

Важно, что условие кд (А) < 0 является достаточным и для неограниченных систем. В [3] [гл.З, § 5, стр. 189] приведен пример, иллюстрирующий, что, в случае неограниченной системы, условие отрицательности верхнего генерального показателя перестает быть необходимым. Для системы, построенной в этом примере, кд (А) — +оо (значит, система неограниченна), однако решение задачи Коши (3) будет ограниченным при t € [0,+00) для любой ограниченной на полуоси непрерывной /(?).

0.2.

Первая глава посвящена изучению различных видов равномерной устойчивости линейных однородных систем (1) с неограниченными коэффициентами. х = А (?)х, где х е R" и yl (i):R+ —" EndRn непрерывно (или кусочно непрерывно). Отметим, что всякая равномерно устойчивая система является остаточно равномерно устойчивой, а всякая остаточно равномерно устойчивая система обладает совокупностью решений ограниченных равномерно по начальному отрезку. Кроме того, для системы (1) с ограниченными коэффициентами определения 0.1.4, 0.1.5 и 0.1.6 эквивалентны.

В § 1 содержатся теоремы показывающие, что для систем с неограниченными коэффициентами введенные в диссертации (определениями 0.1.5 и 0.1.6 выше) два вида равномерной устойчивости являются на самом деле новыми, другими словами, все три вида равномерной устойчивости различны.

Теорема 1.2.1. Для любого п 6 N существуют системы вида (1) остаточно равномерно устойчивые, асимптотически устойчивые, но не обладающие свойством равномерной устойчивости.

Теорема 1.3.2. Для любого п е N существуют системы вида (1) не являющиеся остаточно равномерно устойчивыми, но обладающие совокупностью решений, ограниченных равномерно по начальному отрезку.

§ 2 главы первой посвящен показателям, отвечающим за перечисленные виды устойчивости. Первый пункт этого параграфа содержит утверждения о совпадении некорых формул изучаемых показателей.

Утверждение 2.1.1. Для систем вида (1) всегда выполняется №= К. (1ь (ир||^(«+ Я,*)||)) = Вт.

Я-Н-оо у Л ¿->о) г, Я-«+оо И.

Утверждение 2.1.2. Для систем вида (1) всегда выполняется.

П°(А) = щ? 1п (зир \хА (г + Я, = 1ш 1п (8ир \Ха (£ + я, 011)1. я>о ¿->о) я—>+оо п «>о).

Известно [3][гл.3, § 4, стр. 178], что из равномерной устойчивости системы (1) следует неположительность ее верхнего генерального показателя, а из отрицательности кд{А) — равномерная устойчивость системы (1). Во втором пункте § 2 установлено, что показатель Боля /3 и верхний особый показатель выполняют ту же роль по отношению к остаточной равномерной устойчивости и свойству системы обладать совокупностью решений ограниченных равномерно по начальному отрезку.

Теорема 2.2.1. Показатель /3(А) остаточно равномерно устойчивой системы (1) неположителен. Система (1) с отрицательным показателем Р (А) остаточно равномерно устойчива.

Теорема 2.2.2. Показатель Г2°(Л) системы (1), обладающей совокупностью решений ограниченных равномерно по начальному отрезку, неположителен. Система (1) с отрицательным показателем Г2°(А) обладает совокупностью решений ограниченных равномерно по начальному отрезку.

Во второй главе исследуются отношения порядка между показателями кд (А), (5{А) и системы (1) с неограниченными коэффициентами, условия конечности показателей и их совпадения. В ней, кроме обсуждаемых в главе 1, вводится в рассмотрение величина л) = 1т1пзир ~1)я)|1'.

0 п в качестве формулы, удобной для вычисления, и решается вопрос об условиях ее использования вместо для систем с неограниченными коэффициентами.

§ 3 этой главы носит уточняющий и вспомогательный характер. § 4 содержит условия совпадения формул показателей и, следующие из них, условия эквивалентности понятий устойчивости.

Теорема 4.2.1. Если для оператора Коши системы (1) выполняется условие.

К = sup ||Ха (?, г)|| < +оо, то есть кд (А) < +оо,.

0<i—т<1 то кд (А) =P (A) = Q°(A)=d (A).

Следствие. Для системы (1) с конечным верхним генеральным показателем эквивалентны следующие понятия:

1. система равномерно устойчива,.

2. система осгпаточно равномерно устойчива,.

3. система обладает совокупностью решений, ограниченных равномерно по начальному отрезку.

Теорема 4.2.2. Если для оператора Коши системы (1) при некотором Н' > О выполняется условие.

К — sup т") || < то есть (3(A) < +оо,.

H'.

3(A) = П°(А) = d (A).

Следствие. Для системы (1) с конечным показателем (3 эквивалентны следующие понятия:

1. система остаточно равномерно устойчива,.

2. система обладает совокупностью решений, ограниченных равномерно по начальному отрезку.

В 5 параграфе исследуется свойство мажорирования рассматриваемыми показателями системы (1) старшего показателя Ляпунова.

А!(Л) = Jm^lnllXiM)!! этой системы. Известно, что в случае системы с ограниченными коэффициентами указанное свойство имеет место. Для показателей неограниченных систем верны теорема 5.1.1. Для любой системы, вида (1) всегда верно.

Ах (Л) < < 0(A) < Кд (А). теорема 5.1.2. Для любого п € N существуют системы вида (1) с интегрально неограниченной оператор функцией, для которых Ах (А) > с1(А).

§ 6 посвящен отношениям порядка между изучаемыми показателями.

Теорема 6.1.1. Для любого п е N существует система вида (1), для которой.

1{А) < П°(А) < 0(А) = кд (А) = +оо. теорема 6.1.2. Для любого п е N существует система вида (1), для которой й (А) = П°(А) = р (А) < кд{А) = +оо.

И, наконец, в § 7 второй главы получены два достаточных условия конечности верхнего генерального показателя и доказано утверждение об их необратимости. В этих утверждениях используются нижний особый, нижний генеральный и нижний показатель Боля, которые определяются, как верхние показатели сопряженной системы, взятые с противоположным знаком.

Теорема 7.2.1. Если для показателей системы (1) выполняется:

Р (А) < +оо, ш°(А) > -оо, то верхний генеральный показатель этой системы конечен и к9(А) = Р (А).

Теорема 7.2.2. Если для показателей системы (1) выполняется: f{A) < +оо, 13'(А) > -оо, то верхний генеральный показатель этой системы конечен и к9(А) = П°(А).

Утверждение 7.2.2. (необратимость условий теорем). Для любого п е N существуют системы вида (1), для которых кд (А) = Р (А) = < +оо, а.

Р'{А) — оо°{А) = -оо.

§ 8 третьей главы посвящен понятию равномерной устойчивости для системы дифференциальных уравнений (2) x = A (t)x + f (t), где х б Rn и A (t): R+ —> EndRn, f (t): R+ —> Rn непрерывны или кусочно непрерывны. Исходя из соображений топологической эквивалентности полей интегральных кривых, па эту систему переносятся все результаты, полученные в двух первых главах для однородной системы (1): х = A (t)x.

В книге [3] рассматривается вопрос: какому условию должна удовлетворять оператор функция, А системы (2) для того, чтобы, для любой ограниченной вектор-функции / решение задачи Коши (3): х = A (t)x + f (t) х (0) = О было бы ограниченным?

Авторами [3] [гл.З, § 5, стр. 186] установлено, что в случае системы с ограниченными коэффициентами необходимым и достаточным условием для этого является отрицательность верхнего генерального показателя, а в случае системы с неограниченными коэффициентами указанное условие является достаточным, по не необходимым.

В § 9 установлена.

Теорема 9.1.2. Для любого п Е N существует такая система вида (2) и такая непрерывная ограниченная функция что.

5{А) = < О, а решение задачи Коши (3) неограничено.

Эта теорема показывает, что условие отрицательности верхнего генерального показателя к9 в рассматриваемом вопросе нельзя заменить условием отрицательности показателя Боля ?3 (и, тем более, верхнего особого показателя.

Автор благодарна своим научным руководителям профессору Владимиру Михайловичу Миллиоищикову и доценту Кириллу Евгеньевичу Ширяеву за постановку задач и постоянное внимание к работе.

1. Боль П. Избранные труды. Пер. с нем., Рига, Издательство АН ЛССР, 1961.

2. Былое Б. Ф., Виноград Р. Э., Гробман Д. М., Немыцкий В. В. Теория показателей Ляпунова и ее приложения к вопросам устойчивости. М.: Наука, 1966.

3. Далецкий Ю. Л., Крейн М. Г. Устойчивость дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. М.: Наука, 1970.

4. Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Наука, 1966.

5. Изобов Н. А. ВИНИТИ, 1974, разд. Математический анализ, т. 12, сгр. 71−146.

6. Изобов Н. А. Исследования в Беларуси по теории характеристических показателей Ляпунова и ее приложениям. Дифференц. уравнения, 1993,.

7. Изобов Н. А.

Введение

в теорию показателей Ляпунова. Минск, БГУ, 2006.

8. Изобов Н. А. Экспоненциальные показатели линейной системы и их вычисление // Докл. АН БССР. 1982. Т.26, № 1. С. 5−8.

9. Ляпунов А. М. Общая задача устойчивости движения. М.-Л., Гостехиздат, 1966.

10. Миллионщиков В. М. Показатели Ляпунова семейства эндоморфизмов метризованного векторного расслоения // Математические заметки. 1985. Т.

11. Миллионщиков В. М. Нормальные базисы семейства эндоморфизмов меаризованного векторного расслоения // Математические заметки. 1985. т. 38, № 5.

12. Миллиоиищков В. М. Формулы для показателей Ляпунова семейства эндоморфизмов метризованного векторного расслоения. // Математические заметки. 1985. т. 39, № 1.

13. Миллионщиков В. М. Дифференциальные уравнения. 1994. т. 30, № 6, С. 1089.

14. Миллионщиков В. М. Дифференциальные уравнения. 1993. т. 29, № 6, С. 1085.

15. Миллионщиков В. М. Дифференциальные уравнения. 1993. т. 29, № 6, С. 1087.

16. Персидский К. П. Об устойчивости движения по первому приближению // Мат.сб. 1933 Т. 40, т. С. 284−292.

17. Ширяев К. Е. О центральном показателе неограниченных систем, (тезисы) // Сб. тезисов международной конференции «Дифференциальные уравнения и смежные вопросы». Москва 2004 г., изд. МГУ. С. 205.38, № 1.