Формулы для числа решений уравнений марковского типа в конечных полях

Уравнением марковского типа в кольце К будем называть уравнение вида. , Хп) CLX • • • жп, где f (xi,., xn) — многочлен степени 2 с коэффициентами из кольца К, а Е К{0}, п ^ 3.

Наиболее известным из уравнений марковского типа является уравнение ж2 + у2 + г2 = 3 xyz. (1).

А. А. Марков [26], исследуя проблему минимумов неопределенных бинарных квадратичных форм, обнаружил ее связь с решениями уравнения (1) в натуральных числах. Рассматривая периодические цепные дроби, все неполные частные которых есть 1 или 2, Марков получает формулы всех решений уравнения (1) в натуральных числах и составляет таблицу решений этого уравнения, все компоненты которых не превосходят 106. Изложение результатов Маркова имеется также в книге П. Бахмана [32].

Уравнение (1), которое теперь называется уравнением Маркова, изучалось многими авторами. В монографии Дж. В. С. Касселса [23] описан другой метод получения всех решений уравнения (1) в натуральных числах. Вводится понятие сингулярного решения как решения, имеющего по крайней мере две равные компоненты, и доказывается, что такими решениями являются только (1,1,1) и (2,1,1) и его перестановки. Каждое несингулярное решение (u, v, w), и > v > w, порождает три соседних решения (и', v, w), и, v w), (и, v, w'), где и' = 3 vw —и, v — 3uw — v, w' = 3 uv — ад, причем и' < v, v' > и, w' > и. Начиная с решения (1,1,1) и переходя к соседним решениям, строится дерево решений уравнения Маркова.

В работе [1] изложен еще один способ решения уравнения (1) в натуральных числах. На множестве.

771 1 гп, п? N, 2 т, т < 2nj U {0,1} определяется функция д{х) следующим образом:

9(0) = 1, 5 Q) = 2, .9(1) = 1, т (т + r (т — r / m + Зг Ну) = %)) ~ Я-fr-) при n ^ 2, где m = 4/с + г, fe 6 NU {0}, г = ±1. Тогда все решения (u, v, w) уравнения (1), удовлетворяющие условию и ^ v ^ и>, получаются по формулам т /m + r fm — r.

2п / V 2п I V 2п 1.

Если (к, v, w) — решение уравнения (1) в натуральных числах, и ^ v ^ w, то и называется числом Маркова. Г. Фробениус [50] установил ряд простых свойств чисел Маркова. Он же выдвинул гипотезу о том, что всякое решение уравнения (1) однозначно (с точностью до порядка компонент) определяется числом Маркова (так называемая единственность чисел Маркова). Это утверждение до настоящего времени не доказано и не опровергнуто. В работе [58] вычислены все числа Маркова, не превосходящие Ю30, и подтверждена их единственность. В работе [42] проверена единственность чисел Маркова, не превосходящих Ю105, без непосредственного вычисления самих чисел Маркова. Единственность простых чисел Маркова доказана в работах [37] и [43].

Д. Цагир [66] получил следующую асимптотическую формулу для числа М{х) решений (u, v, w) уравнения (1), удовлетворяющих условию.

М (х) = С In2 ж + 0(1пж (1п In ж)2), где с=4 е* hlV* 18 071 704 711 507тг2 h (u)h (v)h{-w) u2+v2+w2=3uvw символ означает, что слагаемые, соответствующие решениям (1,1,1) и (2,1,1), берутся с коэффициентом -, a h (x) есть функция /. , Зж + V9a:2 — 4 h[x) =ln—-.

Числа Маркова связаны с проблемами других областей математики (см. [27], [47], [48], [52], [59]).

Обобщением уравнения Маркова является уравнение ах2 + by2 + cz2 = dxyz, (2) где a, b, c, d — целые числа. В книге JI. Дж. Морделла [57] доказано, что при, а = b = с = ±1 (mod 4) и четном d уравнение (2) имеет единственное решение (0, 0, 0) в целых числах. Там же доказано, что более общее уравнение.

9 9 9 / о ах + by + cz + dxyz — е (3) при, а = b = с = —d =? 0 (mod 3), е = ±3 (mod 9) не имеет решений в целых числах.

Г. Розенбергер [61] нашел все наборы натуральных чисел а, Ь, с, d, удовлетворяющих условиям, а | d, b | d, c. | d, при которых уравнение (2) разрешимо в натуральных числах. Ранее аналогичная проблема была решена.

JI. Я. Вулахом [22] для частного случая уравнения (2). С помощью решений уравнений х2 + у2 + 2z2 = 4xyz, х2 + у2 + 5 г2 = Ъхуг, х2 + 2 у2 + 3 z2 = 6 xyz описываются дискретные части спектров Маркова на подрешетках индекса 2, 5, 6 соответственно (см. [19], [20], [21]).

JI. Дж. Морделл [56] рассматривает уравнение х2 + у2 + z2 + 2 xyz = к, (4) где к — целое число. Он доказывает несколько достаточных условий неразрешимости уравнения (4) в целых числах, описывает все решения (4) при к = 1, показывает, что при к = 22а, а > 0, целыми решениями (4) являются только (±2°, 0, 0) и его перестановки, а при к = 22a+1, а ^ 0, уравнение (4) имеет бесконечно много решений в целых числах.

Частные случаи уравнения (3) изучаются также в работах [8], [33], [38], [62].

В работе [49] рассматривается уравнение х2 + у2 + z2 + кх — 4 xyz, где к — натуральное число. Указываются все значения к ^ 25, при которых данное уравнение разрешимо в натуральных числах.

Другим обобщением уравнения Маркова является уравнение х + • ¦ • -f х2п = ах 1 • • • хп, (5) где, а — натуральное число, п ^ 3. Уравнение (5) впервые было исследовано А. Гурвицем [53]. Отыскание целых решений этого уравнения сводится к отысканию всех его натуральных решений. Гурвиц доказал, что каждое решение уравнения (5) в натуральных числах может быть получено из некоторого фундаментального решения, причем множество фундаментальных решений конечно. Если (щ,., ип) — фундаментальное решение (5),.

Щ ^ ¦ • • ^ ип, то ащ ¦ ¦ • ип ^ п и.

— и «С и + • • • + и.

Эти неравенства позволяют найти все фундаментальные решения уравнения (5). Кроме того, Гурвиц показал, что при а> п уравнение (5) не имеет решений в натуральных числах, а при, а = п уравнение (5) имеет единственное фундаментальное решение (1,., 1), и нашел фундаментальные решения (5) для всех, а и п, удовлетворяющих условию, а ^ п ^ 10.

В работе [51] строится алгоритм получения фундаментальных решений для всех п, не превосходящих заранее заданной границы, и всех, а < п. С помощью данного алгоритма составлена таблица фундаментальных решений для всех, а и п, удовлетворяющих условию, а < п ^ 45. Найдены все значения п ^ 301 020, для которых уравнение (5) ни при одном, а ф п не имеет решений в натуральных числах. Доказано, что для таких п должно выполняться одно из условий п = 0 (mod 12) или п = 8 (mod 12). Кроме того, установлено, что все компоненты фундаментального решения не преп + 3 восходят п и что при ——— < а < п уравнение (5) не имеет решении в.

JLJ натуральных числах.

В работе [60] найдены все значения, а ^ —, при которых уравнение (5) разрешимо в натуральных числах. Аналогичные результаты получены в работах [18], [28], [30] и [31]. В работах [29] и [3] определяется вид фунп + 11 п + 23 даментальных решений (5) при, а > —-— и, а > ——— соответственно.

Оценки для компонент фундаментального решения (5) получены в работах.

24] и [31].

Большой вклад в изучение уравнения (5) внес А. Барагар [33]—[36], [39]. В частности, он нашел два различных доказательства существования уравнений вида (5) со сколь угодно большим числом фундаментальных решений (см. [33] и [36]), показал [33], что число фундаментальных решений не превосходит п In In — -In In 2+3+7 aU где 7 — постоянная Эйлера. В работе [35] Барагар доказал, что, если уравнение (5) имеет решение в целых числах, отличное от (0,., 0), то для любого 5 > О м ы = / °((lnx)Q (n~1)+5)' а, п[х) адпж)^-1)-5), где Majl (x) — число решений уравнения (5), все компоненты которых по абсолютной величине не превосходят ж,.

In п, 31n п + 0(i)< + 0(i), константы вОиП зависят только от а, п и S. В работе [39] рассматривается аналогичная проблема для рациональных решений уравнения (5). В работе [4] изучается уравнение вида ах Н——-Ь апх2п = Ъхi • • • хп, (6) где ai,., an, b — натуральные числа, а Ь,., ап b, п ^ 3. Приводится алгоритм отыскания всех решений уравнения (6) в натуральных числах, доказывается, что при b > а + • • • + ап уравнение (6) не имеет решений в натуральных числах, выясняется, при каких значениях коэффициентов ai,., an, b уравнение (6) имеет решения вида (и,., и), где и — натуральное число. Исследованию некоторых частных случаев (6) посвящены работы [5] и [6]..

Метод нахождения фундаментальных решений более общего уравнения ах Н——-Ь апх2п + ЪХ ———Ь Ъпхп + с = dxi • • • где ai,., ап, d — натуральные, ., Ъп, с — целые неотрицательные числа, ai d,., ап | d, ai | &-i,., ап Ъп, п ^ 3, изложен в работе [9]. Вопрос о числе решений уравнения х + • • • + х2п + ах 1 + • • • + ахп + Ь — (an + b + п) х ¦ ¦ • хп, не превосходящих заданной границы, рассматривается в работе [11]..

В работе [63] приводятся формулы решений уравнения (2) в рациональных числах..

Работа [64] посвящена исследованию уравнения х2 + у2 + z2 — axyz в мнимых квадратичных полях. В работе [33] получены некоторые обобщения результатов работы [64]. Уравнение х + I)2 + (у + I)2 + (z + I)2 = axyz + 1 в мнимых квадратичных полях рассматривается в работе [10]..

JI. Карлиц [44]—[46] занимался изучением уравнений марковского типа в конечных полях нечетной характеристики. В работе [44] доказано, что число решений уравнения х + у + z — Ъ)2 = 2 axyz, a G F*, be? q, в F^ равно q2 + 1 + r/(ab (ab — 2где rj — квадратичный характер поля? q. В той же работе рассмотрено уравнение х + у + г + t — b)2 = 2 axyzt, а € F*, be? q..

Установлено, что число решений данного уравнения в F^ равно q3 — 1 — rj (2a)q, если Ъ = 0, и равно g3 — 1 — rj (—l)q, если ab2 = 8. Работа [45] посвящена исследованию уравнений ах2 + by2 + С22 = 2dxyz + е, a, b, c, de FJ, е G? q, (7) ах2 + by2 + cz2 + dt2 = 2exyzt + 2/, a, 6, c, d, e G FJ, f G F9. (8) Доказано, что число решений уравнения (7) в F^ равно q2 + 1 + (77(a) + 77(b) + 77© + r](e))r](d2e — abc) q, а число решений уравнения (8) в F^ равно.

3 + hri (-ab) + 77 (-ас) + г) (—ad) + rj (-bc)) + rj (-bd) jLJ r/(-cd)]?(g — 2) — [r?(-a) + r/(-6) + r/(-c) + f](-dMf)q — ri (-l)q — 1, abed 2 если о — ——-j = О, равно e2 q3 — 1 + [77 (ab) + 7](ac) + 77 (ad!) + ?y (6c) + 77(6^) + 77 (cc?)] Qf — rj (S)q, если / = 0 и q = 3 (mod 4), и равно.

— 1 — [rj (ab) + rj (ac) + r](ad) + rj (bc) + 77 (6d) + rj (cd)]q [77(a) + 77(b) + 77© + ?7(d)]gV (x (x2 + S)) xe? q .

— сумма Якобсталя. В работе [46] изучается обобщение уравнения (7). Уравнение Маркова в конечном поле рассмотрено в работе [33]..

Цель данной работы — получение формул, не содержащих значений мультипликативных характеров порядка выше второго, для числа решений в F™ уравнений х Н——-b хп)2 = ах • ¦ ¦ хп (9) и ах н——-b апх2 = Ьх ¦ ¦ ¦ хп, (10) где a, ai,., an, b € F*, q = ps, p — простое, n > 3. Очень полезным инструментом при изучении таких уравнений являются тригонометрические суммы. В отличие от работ JI. Карлица [44]-[46], в которых используются суммы Якобсталя, в данной работе для получения формул для числа решений уравнений (9) и (10) в F™ применяются тригонометрические суммы Гаусса и Якоби..

В первой главе рассмотрено уравнение (9). При d Е {1,2,3,4,8}, где d — (п — 2, g — 1), найдены формулы, выражающие число решений уравнения (9) через q, n, 77(a) и примитивные представления числа q (в случае d = 3, р = 1 (mod 3) — числа 4q) некоторыми квадратичными формами. Кроме того, получены формулы для числа решений (9) при условии, что d > 2 и существует натуральное число Z, такое, что d р1 + 1..

Вторая глава посвящена изучению вопроса о числе решений уравнения (10) в F¹, где q нечетно. Важную роль в облегчении нахождения числа решений играет приведение уравнения (10) к виду.

2 2 2 2 / Х1 + «» ' ~Ь хт 9Хт+1 + ' ' ' + 9хп = ах1 ' ' «xni (11) П где a 1 и существует натуральное число I, такое, что 2d | р1 + 1. В § 8 и § 9 определяется число решений уравнения (11) при четном п и т — п/2, что соответствует случаю, когда среди коэффициентов ai,., an уравнения (10) ровно п/2 являются квадратами в? q. Как и при изучении уравнения (9), выбор для рассмотрения перечисленных случаев обусловлен тем, что для сумм Якоби порядков 3, 4 и 8 известны достаточно простые выражения через примитивные представления числа q (для кубической суммы Якоби — числа 4q) некоторыми квадратичными формами..

Результаты диссертации изложены в статьях [12]-[17]..

1. Абдуллаев Н. С. Об одном неопределенном уравнении А. А. Маркова. Рукопись деп. в ВИНИТИ 2.11.84, № 7119−84Деп..

2. Айерлэнд К., Роузен М. Классическое введение в современную теорию чисел. М.: «Мир», 1987..

3. Баулина Ю. Н. О фундаментальных решениях уравнения ж2 + • • • + ж2 = тх 1 • • • жп // Мат. заметки, 1992, Т. 52, № 5. С. 136−137..

4. Баулина Ю. Н. Об одном обобщении уравнения Маркова // Мое. пед. гос. ун-т им. В. И. Ленина. М., 1992. 42 е., библиогр. 15 назв. Рукопись деп. в ВИНИТИ 28.12.92, № 3665-В92..

5. Баулина Ю. Н. Диофантово уравнение х + • • • + ж2 + гаж2+1 = 2тх ¦ • ¦ xnxn+i // Международная конференция «Современные проблемы теории чисел»: Тезисы докладов. Тула, 1993. С. 16..

6. Баулина Ю. Н. Диофантово уравнение ж2 + • • • + ж2 + тж2+1 = тх 1 • • • xnxn+i // Теоретические и прикладные аспекты математических исследований. М.: МГУ, 1994. С. 40−43..

7. Баулина Ю. Н. О числе решений уравнения х + • • • + ж2 = пх ¦ ¦ ¦ хп, не превосходящих заданной границы // Мат. заметки, 1995, Т. 57, № 2. С. 297−300..

8. Баулина Ю. Н. О решении обобщенного уравнения Маркова // Мат. заметки, 1996, Т. 59, № 3. С. 450−452..

9. Баулина Ю. Н. Об уравнении (х + I)2 + (у + I)2 + {z + I)2 = axyz + 1 над мнимыми квадратичными полями // III Международная конференция «Современные проблемы теории чисел и ее приложения»: Тезисы докладов. Тула, 1996. С. 16..

10. Баулина Ю. Н. О числе решений уравнения aixf + ¦ - + апж2 = тх • ¦ • хп в конечном поле //IV Международная алгебраическая конференция, посвященная 60-летию профессора Ю. И. Мерзлякова: Тез. докл. Новосибирск: Изд-во Ин-та математики, 2000. С. 17−18..

11. Баулина Ю. Н. О числе решений уравнения (х + • • • + хп)2 = ахi • • ¦ хп в конечном поле // Мое. пед. гос. ун-т. М., 2001. 38 е., библиогр. 8 назв. Рукопись деп. в ВИНИТИ 4.05.2001, № 1148-В2001..

12. Баулина Ю. Н. Об определении числа решений уравнения ах + • • • -Ьапж2 = bx 1 • • • хп в конечном поле // Мое. пед. гос. ун-т. М., 2001. 35 е., библиогр. 8 назв. Рукопись деп. в ВИНИТИ 10.05.2001, № 1210-В2001..

13. Вишенський В. А., Кратко М. I. Узагальнене р1вняння Маркова // У евт математики, 1987, вып. 18. С. 80−92..

14. Вулах J1. Я. О спектре Маркова мнимых квадратичных полей Q (iy/D), где D 4 3(mod 4) // Вестн. Моск. ун-та, Мат., мех., 1971, № 6. С. 32−41..

15. Вулах JI. Я. Диофантово уравнение р + р2 + 5q2 — bpp2q и спектр Маркова // Тр. Моск. ин-та радиотехн., электрон, и автоматики, 1972, вып. 57. С. 54−58..

16. Вулах JI. Я. Диофантово уравнение р2 + 2q2 + Зг2 = 6pqr и спектр Маркова // Тр. Моск. ин-та радиотехн., электрон, и автоматики, 1973, вып. 67. С. 105−112..

17. Вулах JT. Я. О спектрах Маркова на подрешетках, связанных с диофан-товым уравнением // Тр. XXV Научн.-техн. конф. Секц. мат. Моск. ин-т радиотехн., электрон, и автоматики, 1976. С. 16−21. Рукопись деп. в ВИНИТИ 25.01.77. № 307−77Деп..

18. Касселс Дж. В. С.

Введение

в теорию диофантовых приближений. М: «ИЛ», 1961..

19. Кратко М. И., Янович И. И. Диофантово уравнение Маркова и его обобщения // Киев, 1988. 55 с. Препринт АН УССР. Ин-т математики, 88.52..

20. Лидл Р., Нидеррайтер Г. Конечные поля. М.: «Мир», 1988..

21. Марков А. А. О бинарных квадратичных формах положительного определителя // Избр. труды. Теория чисел. Теория вероятностей. М., 1951..

22. Рудаков А. Н. Числа Маркова и исключительные расслоения на Р2 // Изв. АН СССР. Сер. мат., 1988, Т. 52, № 1. С. 100−112..

23. Янович И. И. О некоторых случаях решения обобщенного уравнения Маркова // Аналитические методы в вероятностных задачах. Киев, 1988. С. 106−110..

24. Янович И. И. О решениях обобщенного диофантова уравнения Маркова при к > (гг+11)/6 // Исследования групп с ограничениями для подгрупп. Киев, 1988. С. 118−121..

25. Янович И. И. Обобщенное диофантово уравнение Маркова // Тр. научн. конф. мол. ученых ин-та мат. АН УССР. Ин-т мат. АН УССР. Киев, 1989. С. 170−175. Рукопись деп. в ВИНИТИ 20.01.89., № 487-В89..

26. Янович И. И. Исследование диофантовых уравнений марковского типа // Автореф. дис.. канд. физ.-мат. наук: 01.01.06. Киев, 1990. 9 с..

27. Bachmann P. Die Arithmetik der quadratischen Formen. Leipzig-Berlin, 1923..

28. Baragar A. The Markoff Equation and Equations of Hurwitz // Ph. D. Thesis. Brown University, 1991..

29. Baragar A. The Hurwitz Equations // Number Theory with an Emphasis on the Markoff Spectrum. Lecture Notes in Pure and Applied Mathematics. Marcel Dekker, New York, 1993, V. 147. P. 1−8..

30. Baragar A. Asymptotic Growth of Markoff-Hurwitz Numbers // Compositio Math., 1994, V. 94, № 1. P. 1−18..

31. Baragar A. Integral Solutions of Markoff-Hurwitz Equations // J. Number Theory, 1994, V. 49, № 1. P. 27−44..

32. Baragar A. On the unicity conjecture for Markoff numbers // Canad. Math. Bull., 1996, V. 39, № 1. P. 3−9..

33. Baragar A. Products of consecutive integers and the Markoff equation // Aequat. Math., 1996, V. 51, № 1−2. P. 129−136..

34. Baragar A. The exponent for the Markoff-Hurwitz equations // Pacif. J. Math., 1998, V. 182, № 1. P. 1−21..

35. Berndt В. C., Evans R. J. Sums of Gauss, Eisenstein, Jacobi, Jacobsthal, and Brever // Illinois J. Math., 1979, V. 23, № 3. P. 374−437..

36. Berndt В. C., Evans R. J., Williams K. S. Gauss and Jacobi Sums. «Wiley-Interscience», New York, 1998..

37. Borosh I. More numerical evidence on the uniqueness of Markov numbers // BIT (Sver.), 1975, № 14. P. 351−357..

38. Button J. O. The uniqueness of the prime Markoff numbers // J. London Math. Soc.(2), 1998, V. 58, № 1. P. 9−17..

39. Carlitz L. The number of solutions of some equations in a finite field // Portug. Math., 1954, V. 13, № 1. P. 25−31..

40. Carlitz L. Certain special equations in a finite field // Monatsh. Math., 1954, V. 58, № 1. P. 5−12..

41. Carlitz L. The number of points on the certain cubic surfaces over a finite field // Boll. Un. Math. Ital.(3), 1957, V. 12, № 1. P. 19−21..

42. Colin H. Markoff forms and primitive words // Math. Ann., 1972, V. 196, № 1. P. 8−22..

43. Cohn H. Growth types of Fibonacci and Markoff // Fibonacci Quart., 1979, V. 17, № 2. P. 178−183..

44. Cusick T. W. On Perrine’s generalized Markoff equations // Aequat. Math., 1993, V. 46, № 3. P. 203−211..

45. Frobenius G. Uber die Markoffschen Zahlen // Preuss. Akad. Wiss. Sitzungsberichte, 1913, XXVI. S. 458−487..

46. Herzberg Norman P. On a problem of Hurwitz // Pacif. J. Math., 1974, V. 50, № 12. P. 485−493..

47. Hirzebruch F., Zagier D. The Atiyah-Singer Theorem and Elementary Number Theory. «Publish or Perish», Boston, Mass., 1974..

48. Hurwitz A. Uber eine Aufgabe der unbestimmten Analysis // Archiv der Math, und Phys. (3), 1907, Bd. 11. S. 185−196..

49. Katre S. A., Rajwade A. R. Complete solution of the cyclotomic problem in Fg for any prime modulus I, q = pa, p = 1 (mod I) // Acta Arithm., 1985, V. 45, № 3. P. 183−199..

50. Katre S. A., Rajwade A. R. Resolution of the sign ambiguity in the determination of the cyclotomic numbers of order 4 and the corresponding Jacobsthal sum // Math. Scand., 1987, V. 60, № 1. P. 52−62..

51. Mordell L. J. On integer solutions of the equation x2 + y2 + z2 + 2xyz = n // J. Lon. Math. Soc., 1953, V. 28, № 112. P. 500−510..

52. Mordell L. J. Diophantine equations. London and New York: «Academic Press», 1969..

53. Rosen D., Patterson G. S. Jr. Some numerical evidence concerning the uniqueness of the Markov numbers // Math. Comput., 1971, V. 25, № 116. P. 919−921..

54. Rosenberger G. Fuchssche Gruppen die freies Produkt Zyklischer Gruppen sind, und die Gleichung x2 + y2 + z2 = xyz // Math. Ann., 1972, V. 199, № 13. P. 213−227..

55. Rosenberger G. Zu Fragen der Analysis im Zusammenhang mit derGleichung x H——+ x2n ax± ¦ ¦ ¦ xn = b j j Monatsh. Math., 1978, V. 85,3. P. 211−233..

56. Rosenberger G. Uber die Diophantische Gleichung ax2 + by2 + cz2 = dxyz // J. reine und angew. Math., 1979, V. 305. P. 122−125..

57. Schwartz H., Muhly H. T. On a class of cubic diophantine equations // J. London Math. Soc., 1957, V. 32, № 127. P. 379−383.з.

58. Sheingorn M. Rational solutions of aixi = dxx2x^ and simple closedi=igeodesies on Fricke surfaces // Holomorphic Functions and Moduli: Proc. Workshop, March 13−19, 1986, V. 1. New York etc., 1988. P. 229−236..

59. Silverman J. The Markoff equation X2 + Y2 + Z2 = aXYZ over quadratic imaginary fields // J. Number Theory, 1990, V. 35, № 1. P. 72−104..

60. Williams K. S., Hardy K., Spearman В. K. Explicit evaluation of certain Eisenstein sums //Number Theory. R. A. Mallin ed., de Gruyter. Berlin, 1990. P. 553−626..

61. Zagier D. On the number of Markoff numbers below a given bound // Math. Comput., 1982, V. 39, № 160. P. 709−723..