Анализ стохастических аттракторов дискретных динамических систем

Данная работа посвящена моделированию и анализу равновесий и циклов нелинейных дискретных динамических систем в присутствии случайных возмущений.

В теории динамических систем выделяют два класса — консервативные (к ним относятся, например, механические колебания системы в отсутствии трения) и диссипативные [17], [27], [78]. Для диссипативных систем характерно то, что режим динамики, возникающий в системе, предоставленной самой себе в течении длительного времени, становится независящим от начального состояния (по крайней мере, при вариации начальных условий в некоторых конечных пределах). Множество точек в фазовом пространстве диссипатив-ной системы, к которому притягиваются траектории в установившимся режиме, называется аттрактором. Простые примеры аттрактров — устойчивые состояния равновесия и предельные циклы, отвечающие режимам переодических автоколебаний.

Регулярные аттракторы (равновесия и циклы) динамических систем, задаваемых детерминированными дискретными отображениями, являются классическими и наиболее изученными объектами современной теории устойчивости [56], [78]. Анализ устойчивости периодических орбит данных систем и оценки показателей Ляпунова приведены в рабо- -тах НиЬегшап В.А. [93]- [95]. Замечательным достижением стало открытие хаотической динамики. Возникновение хаоса кажется на первый взгляд несовместимым с определением динамической системы, подразумевающим возможность однозначного определения последующего состояния по исходному. На самом деле противоречия нет. В хаотическом режиме сколь угодно малая неточность начальных данных быстро нарастает во времени, так что предсказуемость становится недостижимой на достаточно больших интервалах времени. В фазовом пространстве диссипативных систем такого рода режимам отвечают странные аттракторы [56], [27]. Таким образом, разнообразие, наблюдаемое в нелинейных динамических системах, можно свести к анализу простых инвариантных многообразий и их качественных преобразований (бифуркаций). Следует отметить, что для дискретных систем хаотическое поведение возникает даже в случае одномерных моделей [79], [55].

Одним из классических сценариев перехода от порядка к хаосу является сценарий Фейгенбаума [79]-[81]. Речь идет о переходе через каскад (бесконечную последовательность) бифуркаций удвоения периода. Хотя Фейгенбаум и не является первооткрывателем удвоений периода, он первым осознал и показал присущие этому переходу свойства универсальности и скейлинга (масштабного самоподобия). В литературе часто встречаются 4 утверждения об аналогии между переходами динамических систем от движений одного типа к движениям другого типа (например, от состояния равновесия к периодическому движению) и известными в статистической физике фазовыми переходами второго рода [34, 43]. Идея такой аналогии ведет свое начало от работы Г. Хакена [90] и в дальнейшем развита Ю. J1. Климонтовичем [24]. Эта аналогия оказалась весьма полезной, так как позволяет использовать методы теории фазовых переходов, например методы скэйлинга и ренормализационной группы [13], [41], [92]. Используя аппарат, аналогичный развитому до этого в теории фазовых переходов, Фейгенбаум построил теорию, объясняющую универсальность удвоений периода [79]. Сущность концепции универсальности состоит в том, что имеется обширное множество нелинейных диссипативных систем различной природы (класс универсальности), которые не просто демонстрируют одну и ту же последовательность бифуркаций, но и проявляют у порога возникновения хаоса одни и те же количественные закономерности скейлинга с присущими данному классу универсальности определенными значениями масштабных констант.

В любой реальной физической, химической, биологической системе всегда присутствуют случайные возмущения, которые могут оказать существенное влияние на ее поведение. Задача анализа динамических систем, возмущаемых внешним шумом, являлась предметом интенсивного изучения в математике, физике, химии, биологии на всем протяжении 20 века и вызвала появление огромного количества теоретических и экспериментальных работ. Явлениям, связанным со стохастичностью, посвящено большое количество публикаций [1], [2], [31], [33], [59], [98], [100], [97], [104], [112], [119], [121]. Один из первых результатов, касающихся выхода траектории системы под воздействием шума из области устойчивости, получен Arrhenius S.A. [62] еще в 1899 году. Значительную известность имеет классическая работа Понтрягина JI.C., Андронова A.A., Витта A.A. «О статистич-ском рассмотрении динамических систем» [35]. Опубликованная в 1933 году, она содержит формулировки основных задач изучения стохастической динамики, которые остаются актуальными и на сегодняшний день. Метод стохастических функций Ляпунова, начиная с основополагающей работы Каца И. Я. и Красовского H.H. 1960 г. 23], является теоретическим фундаментом анализа устойчивости стохастических систем.

Основная литература по стохастическим системам посвящена анализу динамики в окрестности точек покоя. Случай точки покоя представляет собой достаточно глубоко разработанную теорию и рассматривался в работах Вентцеля А. Д. и Фрейдлина М. И. [10].

— [12], Ludwig D. [105], Matkowsky B.J. и Schuss Z. [109], Nahe T. и Klosek M. [113] и др.

Изучение воздействия шума на предельный цикл было начато Понтрягиным JI.C. и продолжено в многочисленных работах исследователей, например — Стратоновича P.JI. [44], Ibrahim R.A. [96], Soong Т.Т. и Grigoriu M. [120], Baras F. [63], Mangel M. [107], Day [74, 75]. Под воздействием стохастических возмущений траектория, стартующая из некоторой точки цикла, начинает отклоняться от детерминированной орбиты, формируя вокруг нее так называемый пучок случайных траекторий. Неоднородность пучка случайных траекторий вокруг цикла рассматривалась в работах Kurrer С. и Schulten К. [99], Deissler R.J. и Farmer J.D. [76], Ali F. и Menzinger M. [57, 58].

Первоначально флуктуации рассматривались как дезорганизующее воздействие на систему, «разрушающее» порядок. В работах Crutchfield J.P., Farmer J., Huberman В.A. [71], Nauenberg M., Rudnick J. [72], Shraiman C.E. [118] показано, что влияние аддитивного шума приводит к тому, что последовательность бифуркаций удвоения периода становится конечной. В работах Кузнецова [28], [29] исследовано влияние шума на свойство скейлинга дисктреных динамических систем из разных классов универсальности. В частности найдены значения, на которые необходимо уменьшать интенсивность внешнего воздействия для сохранения свойства самоподобия.

В последние несколько десятков лет при исследовании неравновесных явлений в различных областях науки была обнаружена организующая роль шума. Было показано, что флуктуации способны индуцировать гораздо более богатое (в сравнении с детерминированными системами) разнообразие режимов. К данной группе эффектов воздействия шумов относятся так называемые индуцированные шумом переходы (noise-induced transitions). Первое описание данных явлений было дано в конце 50х — начале 60х годов 20 века в работах Кузнецова П. И., Стратоновича P. JL, Тихонова В. И., Ланды П. С. Через несколько лет эти явления были переоткрыты в контексте экологических систем в работах Мау [110], Hahn [89]. Классической работой, посвященной индуцированным шумом переходам, стала монография Horsthemke W. и Lefever R. [48], вышедшая в 1984 году.

В конце 70х годов 20 века большое развитие получила теория стохастических бифуркаций, изучающая качественные изменения поведения динамических систем под воздействием случайных возмущений. В работах Arnold L. [59] - [61] выделяются два основных подхода к определению понятия стохастической бифуркации: феноменологический подход (Р-бифуркации), описывающий качественные изменения стационарной плотности вероятности, и динамический (D-бифуркации), описывающий изменение знака старшего показателя Ляпунова. Дальнейшее изучение стохастических бифуркаций в рамках индуцированных шумом переходов для одномерного случая проведено в работах Crauel Н. [70], Flandoli F. [69], Leng G., Namachchivaya N. [103], [114]. Воздействие шума на бифуркацию Хопфа двумерных систем на плоскости подробно рассмотрено в работах Moss F., McClin-tock P.V.E. [112, 83], Turner J. [101, 102], Kuske R., Xu W., Zhu W.Q. [123], He Q., Leung H., Malick K. [106].

В последние 10 лет при исследовании стохастической динамики систем с непрерывным временем активно применяется новый подход, связанный с использованием некоторой функции, получившей название квазипотенциала. Данная функция, представляющая собой экспоненциальную асимптотику стационарной плотности вероятности, появилась в работах Вентцеля А. Д. и Фрейдлина М. И. [11, 12] в связи с решением задачи о выходе случайной траектории из окрестности устойчивой точки покоя.

При помощи функции квазипотенциала удается предсказывать тонкие эффекты воздействия внешних помех на рассматриваемую систему. Метод квазипотенциала в анализе стохастической чувствительности предельных циклов рассматривался в работах Naeh Т. [113], Dykman M.I. [77], Graham R. и Tel Т. [84] - [87], Smelyanskiy V.N. [119], Maier R.S. [108], Мильштейна Г. Н. [32], Ряшко Л. Б. [36].

В публикациях Ряшко Л. Б. и Башкирцевой И. А. [4, 65] представлена разработанная методика анализа стохастической чувствительности предельного цикла. Данная методика базируется на аппроксимации квазипотенциала и построении функции стохастической чувствительности (ФСЧ), описывающей ковариацию отклонения случайной траектории от детерминированной орбиты цикла. ФСЧ является естественной вероятностной мерой, характеризующей реакцию стохастического цикла на малые внешние возмущения. В работах Ряшко Л. Б. и Башкирцевой И. А. с использованием терминов Р-устойчивости построены численные методы расчета ФСЧ и продемонстрировано их применение для некоторых моделей нелинейной динамики.

Представляемая диссертационная работа распространяет исследования в этой области на класс дискретных систем. В работе для регулярных аттракторов нелинейных систем с дискретно изменяющимся временем вводится конструкция функции стохастической чувствительности. С использованием аппарата ФСЧ излагаются методики анализа стохастической чувствительности равновесий и предельных циклов для систем, возмущаемых шумом различной интенсивности. Проведен подробный анализ стохастической чувствительности аттракторов классической системы Ферхюльста и двумерного отображения Эно.

Эмпирические исследования слияния областей рассеивания логистического отображения в присутствии случайных возмущений были проведены G. Mayer-Kress и Н. Haken [111]. Показано, что при увеличении интенсивности возмущения происходит качественное изменение формы графика плотности вероятности стохастического цикла. В представляемой диссертационной работе обратные стохастические бифуркации исследуются при помощи математического аппарата ФСЧ. Результаты теоретических и эмпирических подходов демонстрируются для систем Ферхюльста и Эно.

Диссертационная работа состоит из четырех глав и двух приложений, содержащих описание созданного программного комплекса и реализованных в нем численных алгоритмов. В первой главе вводится конструкция функции стохастической чувствительности, построенная по системам первого приближения. Аппроксимируется плотность вероятности стохастического равновесия и циклов. Вторая глава посвящена исследованию чувствительности циклов системы Ферхюльста. Для одномерной модели сравниваются теоретический и эмпирический подход к изучению стохастической чувствительности. Установлена универсальная скорость роста чувствительности в цепи бифуркаций удвоения периода. В третьей главе описывается поведение двумерной стохастической системы Эно. На примере данной системы демонстрируется использование аппарата ФСЧ в анализе чувствительности многомерных систем. Четвертая глава посвящена анализу обратных стохастических бифуркаций уменьшения кратности стохастического цикла при увеличении интенсивности случайных возмущений. Явления обратных бифуркаций демонстрируется на примерах рассмотренных в главе 2 и 3 системах Ферхюльста и Эно.

Остановимся на содержании работы более подробно.

Первая глава носит теоретический характер и посвящена введению конструкции функции стохастической чувствительности, а также ее анализу и алгоритмам отыскания.

В пункте 1.1 исходным объектом является детерминированная нелинейная система.

Xt+1 = f{xt), где х — n-вектор, f (x) — достаточно гладкая функция. Предполагается, что система имеет экспоненциально устостойчивое равновесие х.

Добавляя в детерминированную систему внешнее возмущение, мы переходим к стохастической системе.

Xt+i = f (xt) + etr (xt)€t ¦

Здесь a (x) — n x m-матрица, ?t — m-мерный некоррелированный случайный процесс с параметрами О, Е&-&- = I, = 0 (t ф к), где I — единичная т х m-матрица, е — интенсивность шума.

Далее дается вероятностоне описание отклонений возмущенных траекторий от детерминированного равновесия. В случае малых шумов, когда случайные состояния х стохастического аттрактора локализируются вблизи положения равновесия х, может быть исгюльзованно линейное приближение. Удобной характеристикой разброса случайных состояний вокруг детерминированного равновесия является коэффициент стохастической чувствительности — матрица.

W = lim Дcov (xt, x? f). в—>о е2.

В пункте доказана теорема 1 о том, что в случае Э-устойчивости равновесия детерминированной системы коэффициент стохастической чувствительности определен и может быть найден из уравнения.

W = FWFT + Q, где F = ?(:?), Q = а (х)аТ (х).

Пункт 1.2 распространяет технику анализа стохастической чувствительности, введенную для стохастического равновесия, на случай стохастического цикла.

Невозмущенный детерминированный /с-цикл Г есть множество точек Г = {?ri,., ¿-г^}, связанных соотношениями: f (xi) = xi+1 (г = 1,., к — 1), f (xk) = x 1.

Для каждого состояния хг вводится значение функции стохастической чувствительности (ФСЧ). Как и в случае равновесия, с помощью функции чувствительности удобно строить оценки разброса состояний вокруг выбранной точки цикла Г. Далее доказывается теорема 2 о существовании функции чувствительности для экспоненциально устойчивого цикла произвольной кратности и приводится алгоритм поиска значений функции во всех точках цикла.

По значениям функции чувствительности строится аппроксимация плотности вероятности в виде линейной комбинации нормальных распределений.

Вторая глава посвещена приложению теории ФСЧ к анализу стохастически возмущенной модели Ферхюльста.

В пункте 2.1 рассматриваются характерные особенности детерминированной системы Ферхюльста х1+г = /(/г, хг) = цхь (1 — хь), где внешний параметр /г? [0,4], а состояния системы? [0,1]. Система Ферхюльста является простейшей одномерной системой демонстрирующей переход к хаосу через бесконечный каскад бифуркаций удвоения периода. Определенные для данной системы константы Фейгепбаума являются универсальными для широкого класса дискретных систем.

В пункте 2.2 объектами исследования становятся циклы стохастической системы.

Хг+х = /1ХЬ (1 —, где & - независимые гауссовы случайные величины, Е&- = 0- Е= 1, а е — интенсивность шумов.

По приведенному в главе 1 алгоритму рассчитывается функция чувствительности для каждого значения параметра ц. Ее значения для каждой точки цикла сопоставляются с эмпирически полученной оценкой отклонений случайных траекторий от точек цикла. При малом уровне шума теоретические и эмпирические данные хорошо соответствуют друг другу. При изменении параметра ?1 стохастическая чувствительность аттракторов системы Ферхюльста существенно меняется. Здесь необходимо отметить всплеск чувствительности при приближении к точкам бифуркации и общий рост чувствительности при увеличении кратности циклов. На основе метода ФСЧ получена эмпирическая оценка скорости ее роста в цепи бифуркаций удвоения периода. Эксперименты показали, что скорость роста пе зависит от вида мультипликативного шума. Используя технику ренормгруппового анализа, данный факт удалось доказать теоретически. При этом была найдена универсальная константа роста чувствительности.

В конце главы приводится сравнение аппроксимаций плотности вероятности, полученных с использованием аппарата ФСЧ, и гистограмм состояний стохастической системы Ферхюльста для равновесия и 2-цикла.

В третьей главе результат общей теории ФСЧ из главы 1 используется при исследовании стохастически возмущенного двумерного отображения Эно.

10 хь+1 = 1 — - Ьуь + 2/4+1 = хг+ 2,4, где — последовательности независимых гауссовых случайных величин, — 0- 1 — Е^^ — 1- = 0, а е — интенсивность шумов.

В пункте 3.1 дается краткое описание детерминированных аттракторов этой системы при Ь — 0.5.

В пункте 3.2 исследуется стохастическая чувствительность этой системы в зависимости от параметра ц. По приведенному в главе 1 алгоритму рассчитывается матрица чувствительности каждого состояния при выбранном значении параметра ц,. Значения собственных чисел матрицы чувствительности сопоставляются с эмпирически полученной оценкой отклонений случайных траекторий от точек цикла. При малом уровне шума теоретические и эмпирические данные хорошо соответствуют друг другу. Для системы Эно приводятся графики собственных значений функции чувствительности. Аналогично одномерной системе Ферхюльста чувствительность двумерной системы Эно значительно возрастает в точках бифуркаций и имеет место общий рост чувствительности при увеличении кратности циклов.

В конце главы приводятся примеры построения доверительных эллипсов рассеивания по значениям функции чувствительности и сравниваются аппроксимации плотности вероятности, полученные с использованием аппарата чувствительности и гистограммы состояний стохастической системы Эно для равновесия и 2-цикла. Следует отметить хорошее соответствие эмпирических данных и теоретических результатов.

В четвертой главе описывается эффект обратных стохастических бифуркаций уменьшения кратности цикла при увеличении интенсивности шума.

С ростом возмущений величина отклонений случайной траектории от детерминированного цикла растет и становится сравнима с расстоянием между соседними точками аттрактора. В результате, области рассеивания, соответствующие соседним точкам детерминированного аттрактора, начинают пересекаться между собой. При дальнейшем увеличении интенсивности после некоторого критического значения происходит их полное слияние. При соответствующем уровне интенсивности шума стохастический 2-цикл переходит в 1-цикл, стохастический 4-цикл — в 2-цикл и т. д. Описываемое в пункте 4.1 качественное изменение фазового портрета системы — уменьшение кратности стохастиче.

11 ского цикла при увеличении интенсивности шума — называется обратной стохастической бифуркацией (ОСБ). В качестве критерия ОСБ используется следующее правило: ОСБ наступает в случае, когда при незначительном увеличении интенсивности возмущения наблюдается качественное изменение графика плотности вероятности случайных состояний (в графике плотности уменьшается количество пиков). Например: стохастическому 2-циклу соответствует бимодальная (имеющая два пика) форма графика плотности, а 1-циклу соответствует унимодальная форма. При увеличении интенсивности шума бимодальная форма переходит в унимодальную, что соответствует ОСБ — перехода 2-цикла в 1-цикл.

Если для выбранного значения параметра в детерминированной системе реализуется цикл кратности 2к, то для стохастической системы переход 2/:-цикла в 2А:1-цикл называется первой ОСБ, а все последующие ОСБ называются старшими. Интенсивность первой ОСБ обозначается, а старших ОСБ е., е*к соответственно.

В пункте 4.2 для определения критических значений возмущений в одномерных системах предлагается эмпирический подход, основанный на численном построении случайных траекторий и получении графиков плотности вероятности. Схема (пункт 4.2.1) определения критических значений ОСБ следующая:

1. Моделируется случайная траектория и формируется статистическая выборка. По полученной выборке строится плотность вероятности;

2. График плотности сглаживается, чтоб шумовая составляющая не мешала определять его модальность;

3. Определяется качественное изменение графика плотности вероятности при изменении параметра;

4. Строится уточненная оценка критического значения интенсивности;

5. Производится обобщение данной процедуры на случай старших ОСБ.

Применение данной схемы иллюстрируется в пункте 4.2.2 на циклах системы Ферхюль-ста. Для выбранных значений ц = 3.01 (2-цикл) и д = 3.46 (4-цикл) построены соответствующие графики плотности вероятности р (х). При увеличении интенсивности возмущения е наблюдается качественное изменение формы графика плотности (переход от бимодальной к унимодальной). При изменении параметра /л на всем интервале удвоения периода получена эмпирическая диаграмма первой ОСБ — зависимость в*(?л). Отмечено самоподобие графика £*((л) на интервалах структурной устойчивости в цепи буфуркаций удвоения периода.

На примере 4-цикла (/1 = 3.46) проведен эмпирический анализ второй ОСБ перехода уже стохастического 2-цикла в 1-цикл при увеличении е. Обсуждается сложность эмпирического анализа последней (к-й ОСБ) для исходного 2^-цикла системы Ферхюльста в связи с последующим разрушением стохастического 1-цикла и уходом случайной траектории в бесконечность.

Эмпирический анализ старших ОСБ продемонстрирован для системы Ферхюльста на примере 16-цикла {ц — 3.566). В связи с большими затратами времени на эмпирическое моделирование цикла и сглаживание графика эмпирической плотности вероятности получены только грубые оценки критических значений е*2 Ра 0.0012, е^ ж 0.0067, е «0.046 второй, третьей и четвертой ОСБ, соответственно.

В пункте 4.3 излагается теоретический подход к изучению ОСБ, опирающийся на аппарат ФСЧ, детально рассмотренный в первой главе.

Общая схема анализа ОСБ представлена в пункте 4.3.1. Сначала рассматривается первая ОСБ. Дана методика построения аппроксимации плотности вероятности стохастического цикла. Для аппроксимации выбирается нормальная форма стационарной плотности вероятности для малых шумов в малой окрестности детерминированного цикла Г. Использование данной аппроксимации позволяет избежать длительного эмпирического моделирования и сделать анализ ОСБ более эффективным.

Поведение графика аппроксимации стационарной плотности р (х) при увеличении е аналогично поведению графика эмпирической плотности. При увеличении е ширина пиков функции р{х) растет, в результате слияния всплесков происходит переход графика р{х) от бимодальной формы к унимодальной. Определение модальности формы производится по количеству локальных экстремумов. Благодаря наличию аналитического представления плотности, полученной с помощью ФСЧ, точки бифуркаций находятся из уравнения р'(х) = 0.

Построение теоретической оценки критического значения шума первой ОСБ обобщается для случая старших ОСБ. Уменьшение модальности формы графика соответствует уменьшению количества различных корней уравнения р'(х) = 0.

В пункте 4.3.2 проводится анализ ОСБ циклов системы Ферхюльста с использованием аппарата ФСЧ. Для различных значений параметра ¡-л из интервала удвоения периода на основе метода ФСЧ представлен детальный анализ ОСБ циклов системы Ферхюльста.

Сначала рассматривается первая ОСБ. При различных значениях интенсивности шума е демонстрируется соответствие между графиками эмпирической плотности вероятности и ее теоретической аппроксимации. Полученное хорошее соответствие свидетельствует о возможности успешного применения аппарата ФСЧ для анализа стохастической динамики даже в присутствии достаточно сильного шума.

Для системы Ферхюльста построена теоретическая диаграмма первой ОСБ — зависимость величины теоретической оценки е* критического значения шума от параметра [I. Демонстрируется самоподобие графика £*(/л) на интервалах структурной устойчивости.

Анализ старших ОСБ циклов системы Ферхюльста с использованием ФСЧ проводится на примере 4-цикла (¿-х = 3.46) и 16-цикла — 3.566). Получено соответствие между графиками эмпирической плотности вероятности и ее теоретическим аналогом.

В пункте 4.4 описывается обобщение эмпирического и теоретического анализа на системы размерностью 2 и более. Схемы анализа многомерных систем подобны рассмотренной схеме одномерной модели, но являются более трудно реализуемыми. Эмпирическая и теоретические плотности, определенные на многомерных пространствах, также демонстрируют переход от бимодальной к унимодальной форме с ростом интенсивности возмущения.

Иллюстрация ОСБ и методов ее анализа в многомерных системах дается на примере двумерного отображения Эно, подробно изученного во второй главе. Для 2-цикла (ц = 1.72) демонстрируется переход графика плотности вероятности от бимодальной к унимодальной форме. Представлено сравнение эмпирической плотности вероятности и плотности, полученной с использованием аппарата функций стохастической чувствительности. Для 4-цикла (ц = 2.32) эмпирически удается определить только значения интенсивности первой ОСБ, т.к. при дальнейшем увеличении интенсивности случайная траектория покидает область устойчивости детерминированного цикла. Используя теоретическую аппроксимацию плотности вероятности для системы Эно, удается построить значения критической интенсивности первой ОСБ для различных значений параметра /л из интервалов структурной устойчивости.

Публикации по теме диссертации.

Всего по теме диссертации опубликовано 10 научных работ, из них 2 статьи в ведущих рецензируемых научных журналах, определенных ВАК [8, 51], 8 публикаций в сборниках и трудах конференций [9, 39, 40, 49, 50, 52, 53, 54].

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

В диссертации представлены результаты исследований устойчивости и чувствительности дискретных нелинейных стохастических систем. Ниже приводятся основные результаты, выносимые на защиту.

1. Для аттракторов дискретных систем введено понятие стохастической чувствительности. Разработана математическая модель ФСЧ. Доказаны теоремы о существовании и единственности ФСЧ. Описаны численные методы нахождения значений ФСЧ для равновесий и циклов дискретных систем по системам первого приближения.

2. Для классической модели Ферхюльста исследована чувствительность циклов в зоне удвоения периода, при переходе от порядка к хаосу. Теоретические результаты показали хорошее соответствие с эмпирическими данными. Обнаружена закономерность роста стохастической чувствительности.

3. Для равновесий и циклов двумерного отображения Эно исследованы матричные функции стохастической чувствительности. Построены доверительные эллипсы, позволяющие получить наглядное описание пространственных особенностей стохастических аттракторов Эно. Установлен порядок роста чувствительности в цепи бифуркаций удвоения периода.

4. Доказана универсальность роста стохастической чувствительности в цепи бифуркаций удвоения периода для класса одномерных дискретных отображений с квадратичным максимумом.

5. Предложен общий метод анализа обратных стохастических бифуркаций. Разработана схема эмпирического анализа ОСБ циклов дискретных систем. Подробно исследованы ОСБ циклов системы Ферхюльста на интервале удвоения периода.

6. Разработана методика теоретического анализа ОСБ с использованием аппарата ФСЧ. На ее основе проведен теоретический анализ ОСБ циклов системы Ферхюльста и двумерного отображения Эно.

7. Разработан программный комплекс, позволяющий проводить численное моделирование и детальный анализ вероятностных характеристик стохастических аттракторов дискретных систем.