Периодические режимы в нелинейных математических моделях с постоянным отклонением

Актуальность темы

В данной работе изучаются нелинейные математические модели, приводящие к системам дифференциальных уравнений с некоторым конечным числом произвольных постоянных отклонений, постоянной матрицей и Xматрицей системы линейного приближения, нелинейной вектор-функцией, периодической по независимой переменной и содержащей параметр. Задачей исследования является определение условий существования ненулевых периодических режимов (периодических решений) системы в окрестности нулевого.

Вопрос, связанный с периодическими режимами в нелинейных математических моделях с постоянными отклонениями имеет большое значение как в качественной теории дифференциальных уравнений, так и в прикладной математике. Математические модели — дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом имеют широкое применение в теории оптимального управления, в теории автоколебательных систем, лазерной технологии, проблем долгосрочного прогнозирования в экономике, при решении ряда биофизических проблем и многих других.

Одно из актуальных современных применений теории математического моделирования связано с экологией и посвящено исследованию целенаправленных воздействий на процесс взаимодействия растений и животных между собой и окружающим их миром. В ряде этих моделей скорость изменения численности популяции представляется в виде суммы трех слагаемых, первое из которых определяется рождаемостью, второе — смертностью, третье — миграцией. Изменение численности популяции не мгновенно сказывается на скорости. Учет этого приводит к необходимости использовать уравнения с последействием. Математически это означает, что в дифференциальных уравнениях, описывающих это явление, появляются члены с запаздыванием. В моделях популяции учитывается неоднородность возраста и миграция. Другой тип неоднородности возникает тогда, когда популяция неравномерно распределена в среде обитания, вследствие чего имеет место диффузия популяции, то есть перемещение особей популяции из одной области среды обитания в другую.

Модели описанного в работе типа также рассматриваются в химии (модели химических реакций с использованием одного или нескольких катализаторов, влияющих на их скорость), в иммунологии (при вакцинации детей, проводимой в несколько этапов и при лечении с применением антибиотиков). Режимы модуляции, как определяющего фактора информационного действия низкоэнергетических СВЧ-полей, можно определять с условием прогноза развития биологических процессов. Такой прогноз строится на базе дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом, с учетом запаздывания факторов отклика биологической системы, а программа модуляции определяется откликом системы на раздражающие факторы.

Технологические и конструктивные усовершенствования требуют учета явлений последействия и в традиционных областях техники [5−6, 18, 27, 37−38, 44−45, 60−61, 69, 97−99, 101, 104−105, 108−109].

Трудность в исследовании состоит в том, что дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом интегрируются в замкнутой форме в редких случаях. Поэтому большой интерес представляет разработка различных методов качественного исследования дифференциальных уравнений нейтрального типа.

Разнообразие получаемых математических моделей объясняет причину отсутствия общих методов и подходов к разрешению систем рассматриваемого типа. Недостаточно изучена проблема периодических режимов в случае, когда отклонение произвольно и постоянно. Поэтому тема диссертации, посвященная отысканию условий существования периодических режимов (решений) в нелинейных математических моделях с постоянным отклонением, является актуальной.

Цель работы. Пусть задана система дифференциальных уравнений вида т.

Ax (t)+A (X)x (t)+f (t, x, X)=0, (0.1) i=1.

О ¦ 71 где xgR", XeRp, т,—-5— - постоянные, i = l, m, А.

Pi постоянная матрица размерности пхп, А (Х) — матрица размерности пхп, непрерывная по X, lim ||^(Х,|=0, f (t, x, X) непрерывна по х и X, 2п — периодична по t, f (t, 0Д)=0 при всех XeRp, содержит по х степени выше первой, lim ин> н равномерно относительно t и X, при? е[0,2тс] и ||>,||.

В данной работе ставится цель получения качественных аналитических методов исследования математических моделей на предварительном этапе математического моделирования, а также задача поиска условий существования ненулевых 2% -периодических режимов системы (0.1).

Методика исследования. Ненулевые 2кпериодические режимы (решения) системы (0.1) отыскиваются в виде тригонометрического ряда. Пространство тригонометрических рядов разбивается на прямую сумму двух подпространств с помощью собственных элементов некоторого линейного оператора, соответствующих его нулевому собственному значению. Проблема нахождения периодических решений системы (0.1) сводится к задаче разрешимости недифференциальной системы уравнений, к построению нелинейного оператора и доказательству существования неподвижной точки этого оператора.

Основные результаты, имеющиеся по данной проблеме. Впервые отдельные дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом появились в литературе во второй половине 18 столетия (Кондорсе, 1771 г.), но систематическое изучение таких уравнений и их систем началось лишь в 20 веке в связи с потребностями прикладных наук.

Основные результаты в теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом были получены трудами Азбелева Н. В. [1−4], Красовского Н. Н. 32−35], Максимова.

В.П. [1−3, 42], Мышкиса А. Д. [47−48], Рахматуллиной Л. Ф. [3−4, 52], Халаная [79−86,102], Эльсгольца Л. Э. [48, 95−96]. Значительный вклад в развитие этого направления качественной теории дифференциальных уравнений внесли Норкин С. Б. [22−23, 49], Зверкин A.M. [21−23], Каменский Г. А. [22−23, 25], РодионовА.М. [53−55], Рожков В. И. [56−59], Рубаник В. П. [6164], Рябов Ю. А. [65−66], Шиманов С. Н. [90−94] и многие другие. Результаты, полученные за последние годы, содержатся в работах [43, 100, 103, 106−107, 110].

Основные теоремы о существовании, единственности и непрерывной зависимости от начальных условий решений систем дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом нейтрального типа рассмотрел Каменский Г. А. [25]. В этой работе предполагается непрерывная зависимость правых частей уравнений от параметров и запаздываний.

Теоремы о существовании периодических решений квазилинейных систем с отклоняющимся аргументом запаздывающего типа весьма общего вида доказаны в работах Халаная А. 80−81], Шиманова С. Н. 89, 90−92], Родионова A.M. 54], Борисовича Ю. Г. 9], Красовского Н. Н. 32].

В работе Азбелева Н. В. и Рахматуллиной Л. Ф. [4] заложены основы общей теории функционально-дифференциальных уравнений, содержащих уравнения с отклоняющимся аргументом и уравнения интегро-дифференциальные. В этой теории с единой точки зрения рассматриваются различные уравнения, решениями которых являются абсолютно непрерывные функции. Границы общности этой теории определяются свойствами операторов, порождавмых уравнениями. Особое место заняли уравнения с вольтер-ровыми (по А.Н. Тихонову) операторами, называемые «уравнения с последействием». Обзор основных идей и результатов общей теории функционально-дифференциальных уравнений с вольтерровыми операторами содержится в статье Азбелева Н. В. и Максимова В. П. [2].

Вопрос о существовании периодических решений является одним из важнейших при изучении любого класса уравнений. Эта проблема исследовалась в работах профессора Е. В. Воскресенского [13,14]. Не являются исключением и дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом.

Теоремы о существовании периодических (и почти-периодических) решений квазилинейных систем с запаздывающим аргументом весьма общего вида получены в работах А. Халаная [80, 83, 85] и С. Н. Шиманова [90, 92−93].

Проводились исследования систем линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами. В частности, в работе А. Халаная [102] было доказано, что неоднородная система x (t) = A{t)x (t) + B (t)x (t-x) + f (t), (0.2) у которой, А и В — непрерывные периодические с периодм со матрицы и отклонение т >0, допускает единственное решение периода со тогда и только тогда, когда соответствующая однородная система не имеет периодических решений периода со, отличных от тривиального. Наряду с системой (0.2) рассматривается сопряженная система y (t)= -y (t)A{t)~y{t +i)B{t +i). В работе [83] А. Халанаем была сформулирована альтернатива Фредгольма для данных уравнений в предположении, что т <ео .

Исследование периодических решений линейных автономных дифференциальных уравнений с отклоняющим аргументом проводится методами, аналогичными тем, которыми исследуются уравнения без отклонений аргументаоднако число резонансных частот для уравнений может быть сколь угодно большим и даже бесконечным.

Если стационарное линейное однородное уравнение п-1 т, v к=0 j=l имеет чисто мнимые корни характеристического уравнения ± pi,± psi, то линейные комбинации периодических решений cospt,., cospst, sinp^,., sinpst с соизмеримыми частотами дают всевозможные периодические решения уравнения. В работе [20] приводится оценка снизу для максимального числа собственных частот уравнения (0.3) с т запаздываниями. т-1−1.

Оказывается, что уравнение (0.3) может иметь гссобственных частот.

Существование нетривиального решения с периодом ю для уравнения.

А*) + sW W**(0+bk{t)xk (t-x{t)))=о *=0 в работе Норкина С. Б. [49] определяются условиями существования хотя бы одного корня характеристического уравнения = 0, равного единице. В данном уравнении ak (t), bk (t), z (t)>0 — непрерывные со-периодические функции, при этом t-i (t)>tQ, t>tG, а матрица С (со) определяется начальными значениями и фундаментальной системой решений дифференциального уравнения.

Основные методы исследования квазилинейных уравнений с линейной главной частью удалось перенести и на уравнения с отклоняющимся аргументом: метод разложения решения по степеням малого параметра, метод последовательных приближений, метод усреднения и другие асимптотические методы.

Метод приближенного решения по шагам дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом изложен в статье Сентебовой Э. Я. и Толстопятовой М. В. 68].

Первой работой, посвященной обоснованию асимптотических методов, является работа А. Халаная [82], в которой рассмотрено обоснование метода усреднения. Именно к методу усреднения сводятся многие асимптотические методы.

Вывод и обоснование асимптотического разложения решений системы (в векторной записи) x (t) = zX (x (t), x (t — х),\j (t),\f (t — т), s), V (t) = w (x (t), x (t — T))+ s7(x (/), x (t -%), y (t),\f{tT), 8) содержатся в работах Волосова В. М., Медведева Г. И. и Моргунова Б. И. [12, 46]. Работы Фодчука В. И. [77−78] по построению интегральных многообразий для систем дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом можно также отнести к данному кругу вопросов.

Метод разложения решения по степеням малого параметра получил в работе Красовского Н. Н. [32] полное обоснование применительно к уравнению х (/)+ ax (t)+ bx (tт)= f (t)+ (iF (t, x (t), x (tт), ц), для которого выполняются следующие условия: т>0, f, Fнепрерывные, 2% -периодичны по t функции, все корни характеристического уравнения z + a + be~xz = 0 имеют отрицательную действительную часть, F — аналитическая функция своих аргументов, начиная со второго, в окрестности периодического решения ф (/) порождающего уравнения x (t)+ax (t)+bx (t-x)= f (t) при достаточно малом |ц|.

При изучении систем с запаздыванием для построения периодических решений Рябовым Ю. А. был применен метод малого параметра [65−66]. В качестве параметра выступает запаздывание. Решения ищутся с помощью последовательных приближений, где за нулевое приближение принимается решение, полученное при отсутствии запаздывания. Но для уравнения произвольного вида xs (t) = fs (Х1 (Л •• • > хп (Л — •• • > *п (* ~ О" где fs — непрерывные по всем аргументам и дифференцируемые по и ^о^-М-сг) функции, невозможно построить бесконечную последовательность приближений, а тем более гарантировать ее сходимость.

Работа Лика Д. К. и Рябова Ю. А. [67] посвящена разработке методики построения с помощью итераций периодического решения дифференциальных уравнений нейтрального типа с малым запаздыванием.

Дифференциальные уравнения с отклоняющимися аргу-ентом нейтрального типа с малым отклонением аргумента исследованы в работах Васильевой А. Б. [11], Родионова A.M. [54], Рожкова В. И. [56−58].

Рубаник В.П. и его сотрудники показали существенное влияние запаздывания сил связи между взаимодействующими колебательными системами, а также возникновение параметрического резонанса при периодическом запаздывании [61, 63−64].

Резонансу начальных функций и отклонений аргумента посвящена работа Эльсгольца А. Э. [95].

Квазилинейная система с постоянным запаздыванием видаc (f) = el{A (t)x (t) + B (t)x (tт) + f (t) +F (t, x (t), x (tт))) рассматривалась в работе [17]. Наличие экспоненциального множителя е{ в правой части системы существенно влияет на поведение решения. Исследуется поведение решения этой системы, определеного в достаточно малой окрестности «порождающего» решения (решение при v =0). Доказана теорема о существовании почти периодического решения.

Рожковым В.И. в работах [57−59] исследовалось уравнение нейтрального типа с малым запаздыванием. Он развил и разработал метод эквивалентного дифференциально-операторного уравнения применительно к исследованию асимптотических свойств периодических решений систем дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом нейтрального типа. В статье [57] доказывается существование со-периодического решения системы x (t)= f (x (t), x (t-s), x (t-s)) в окрестности решения x (t) вырожденной системы х (/) = f (x (t), x (t), x (t)), дается асимптотическое разложение периодического решения по степеням запаздывания. Рожковым В. И. доказано существование периодических решений для автономной системы уравнений нейтрального типа с малым отклонением [58], в ходе исследований система дифференциальных уравнений сведена им к дифференциально-операторному уравнению.

Условия существования ш-периодического решения системы дифференциальных уравнений вида т 00.

2 Вк (/)%(/ -hk)= Jdsp{t, + s) + fit) к-Ооо сформулированы Носовым В. Р. в виде альтернативы Фред-гольма [50]. Им найдены необходимые и достаточные условия справедливости альтернативы Фредгольма для данной системы.

Долгий Ю.Ф., Колупаева О. С. в работе [19] рассматривают дифференциальное уравнение вида = ф (х (/ - ц)), dt в котором Ф — голоморфная функция в некоторой окрестности точки х = 0, ф (о) = 0, матрица, А = ^Ф) имеет собственные dx числа = А*2 = zVq, v0>0, остальные собственные числа матрицы, А отличны от чисел вида ivGN, N — целое число. Решается задача Хопфа о бифуркации положения равновесия (х = 0) для дифференциальных уравнений с запаздыванием, параметром бифуркации является запаздывание, причем в момент бифуркации оно вырождается. Методика исследования, использованная в данной работе опирается на метод вспомогательных систем Шиманова С. Н. [94].

В статье [43] Малышевым Ю. В. применяется символический метод для нахождения решений линейных дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом. Для уравнения + ]Г т/-)= /(/)> гДе ajr ~ константа, /=1г=0.

Тд->. >То = 0, fit) — оригинал, при некоторых условиях на коэффициенты методами символического или операционного исчисления можно получить решение в виде бесконечного ряда, разрешается задача Коши при нулевых начальных условиях и при ненулевых начальных условиях, когда /(/) = 0. Накладываются условия тк = кх, А = П D + a +а,-е~х), М d а, а- = const, где D = —, А — характеристический квазиполиdt ном.

Существенное продвижение в теории периодических решений дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом содержится в работах коллектива воронежских математиков — М. А. Красносельского, Ю. Г. Борисовича, В. В. Стрыгина, Е. А. Лифшица и других [9−10, 29, 31, 70]. Задача о разыскании периодических решений сводится ими к вопросу о существовании неподвижных точек у некоторых специальных явно выписываемых нелинейных интегральных операторов, действующих в пространстве вектор-функций. Для исследования этого вопроса применяются методы нелинейного функционального анализа. Это позволяет указать новые условия существования, по крайней мере, одного периодического решения, а в некоторых случаях оценить снизу число периодических решений, исследовать процесс рождения периодических решений из состояния равновесия при изменении параметров, выяснить устойчивость периодических решений и т. д. В этих исследованиях существенную роль играют различные топологические характеристики отображений, определяемых указанными интегральными операторами. Эти же вопросы для систем нейтрального типа рассмотрели Илолов М. [24], Ахме-ров P.P. и Каменский М. И. [7].

Вопросом о существовании периодических решений систем дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом занимается и М. Т. Терехин [71−73]. Доказано существование, непрерывная зависимость решения от правой части и начальной функции, а также существование периодического решения системы уравнений x (t) = /(t, x (t), x (t — A (t, x{t), i (/))), x (t — G (t))) в случае, когда вектор-функции / и, А удовлетворяют условию Каратеодори, а вектор-функция G измерима [71]. Изучены системы дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом, зависящие от функционального параметра. В основе доказательств лежит метод неподвижной точки нелинейных операторов.

Проблеме периодических решений посвящена совместная работа М. Т. Терехина и Насыховой Л. Г. [74], в которой отклонение зависит как от неизвестной функции, так и от ее производной.

Содержание работы. В диссертации исследуется проблема существования ненулевого периодического решения системы (0.1), содержащей конечное число произвольных постоянных запаздываний. Используется неклассическое определение периодического решения [96]. Под периодическим решением в диссертации понимается тригонометрический ряд, что немаловажно при интерпретации периодических решений математических моделей [45, 69, 101 и другие]. В отличие от работ [19−20, 32, 49, 57] для исследования системы дифференциальных уравнений не используется понятие характеристического уравнения, метод основывается лишь на представлении правой части системы в виде суммы вектор-форм, что позволяет не накладывать дополнительных условий на корни характеристического уравнения. В отличие от работ [11, 54, 56−59], в которых рассмотрены уравнения с малым запаздыванием, и [61, 63−64] с периодическим запаздыванием, в диссертации рассматривается система дифференциальных уравнений с конечным числом произвольных постоянных запаздываний.

Во введении содержатся обоснование актуальности темы, цель работы, методика исследования, краткий обзор результатов других авторов, краткое содержание работы.

Диссертация состоит из трех глав, разбитых на параграфы.

В первой главе рассматривается система дифференциальных уравнений (0.1). Периодические решения системы отыскиваются в виде тригонометрического ряда оо х ~ а0 + Yjan cosnt + bnsinnt. (0.4) п=1.

В § 1 главы 1 дается определение 2% -периодического решения системы (0.1). Вводится линейный оператор т.

Bx=x{t)+'Yix{t-xi)—Ax{t). Он изучается на предмет сущест-i=i вования собственных векторов. Установлено, что оператор В может иметь не более чем конечное число собственных элементов, соответствующих нулевому собственному значению.

В главе 1 § 2 производится разбиение пространства рядов вида (0.4) на прямую сумму подпространств, одно из которых является линейной оболочкой собственных элементов, а другое — подпространством, инвариантным относительно оператора В. Доказана теорема 1.5 о существовании обратного оператора для оператора В, являющегося ограниченным и линейным. Доказано, что проблема существования ряда (0.4), удовлетворяющего системе (0.1), равносильна проблеме существования ряда, удовлетворяющего системам.

P (w{t, x, X))=0, (0.5.0).

W (t, x Д))=0, (0.5. i) z = l,/. На основании изученных свойств вектор-функций, входящих в систему (0.1), доказана теорема 1.7 о существовании и единственности решения системы (0.5.0). Таким образом, проблема существования 2л- -периодических решений системы.

0.1) сведена в главе 1 к вопросу о разрешимости системы.

0.5.1) аф).

Главы 2 и 3 посвящены поиску необходимых и достаточных условий существования ненулевых решений системы (0.5.1) которая преобразована в систему.

Л (Л.)а+С (а,)+Я (а, Х,)=0, (0.6) где XeRp, p> 1, a = colon (al,., a,), lla II = max [а г-1, А (Х) — мат.

В § 2.1 главы 2 доказана теорема 2.2 о существовании, ненулевого решения системы (0.6) в случае квадратной матрицы А (е)..

В § 2.2 главы 2 содержится алгоритм нахождения решений системы уравнений (0.6) для случая, когда матрица А (е) имеет строк меньше чем столбцов, то есть 1<р и доказана теорема 2.3, определяющая условия существования ненулевого решения системы (0.6)..

В § 2.3 главы 2 содержится алгоритм нахождения решений системы уравнений (0.6) для случая, когда матрица А (е) имеет строк больше чем столбцов, то есть 1>р. Путем введения замены переменных уравнение сводится к трем случаям, в одном из которых теоремой 2.3 доказано существование ненулевого решения системы (0.6), а в двух других показан алгоритм сведения уравнения к аналогичным трем случаям..

В главе 3 проблема разрешимости системы (0.6) исследуется в предположении, что матрицу, А (А,) можно представить в виде суммы матрицы ^(А,), элементами которой являются многочлены степени 5−1 относительно X, и бесконечно малой о[||Я Ц5−1 | и матрица Ах (Х) удовлетворяет условию.

Липшица по X..

В § 3.1 главы 3 рассмотрена разрешимость нелинейного уравнения с помощью разложения его формы в степенной ряд в случае неособенной матрицы при первой производной, теорема 3.2 доказывает существование единственного решения системы (0.6)..

В § 3.2 главы 3 рассмотрена разрешимость нелинейного уравнения с помощью разложения его формы в степенной ряд в случае нулевой матрицы при первой производной и рассмотрен алгоритм сведения исходной системы к одному из ранее рассмотренных случаев..

В § 3.3 главы 3 исследована разрешимость нелинейного уравнения с помощью разложения его формы в степенной ряд в случае особенной матрицы при первой производной. Получаем два случая, в одном из которых теорема 3.5 доказывает существование по крайней мере одного решения системы (0.6), а для другого предложен алгоритм сведения к одному из ранее рассмотренных случаев..

Приведены примеры, численные рассчеты, составлена программа определения собственных элементов линейного оператора..

Необходимые сведения по теории дифференциальных уравнений взяты из [8, 51, 87], по функциональному анализу — из [26, 28, 36, 41, 76], по линейной алгебре — из [15−16, 3940], по тригонометрическим рядам — из [75], по операторным уравнениям — из [30]..

Апробация диссертации. Основные результаты докладывались на заседаниях научно-исследовательского семинара по качественной теории дифференциальных уравнений в Рязанском государственном педагогическом университете, на VIII Международной конференции «Математика. Компьютер. Образование» в г. Пущино, на XXIII Конференции молодых ученых механико-математического факультета Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова, на VI Всероссийской научно-технической конференции студентов, молодых ученых и специалистов «Новые информационные технологии в научных исследованиях и в образовании» в Рязанской государственной радиотехнической академии, на всероссийской конференции «Качественная теория дифференциальных уравнений и ее приложения» в г. Рязани, на IX Международной конференции «Математика. Компьютер. Образование» в г. Дубна..

Основные результаты исследований опубликованы в работах [111−125]..

Работа посвящена изучению системы дифференциальных уравнений, содержащей конечное число произвольных постоянных запаздываний. Цель работы состояла в получении условий существования ненулевых 271- -периодических решений при различных видах нелинейной части системы. Задача поиска 2ппериодических решений сводилась к поиску коэффициентов тригонометрического ряда. Для решения этой задачи исползовался метод разбиения основного пространства на прямую сумму нескольки подпространств, а также метод неподвижной точки..