Ядра и пучки полутел

Данное диссертационное исследование посвящено сравнительно новому разделу современной алгебры — теории полутел. Ее целью служит получение функциональных представлений полутел и их применение к описанию строения полутел.

Изучение полутел ведется с 60-х годов XX века в рамках теории полуколец, начиная с работ Н. J. Weinert [54, 55, 56, 57]. Понятие полукольца было определено Н. S. Vandiver в 1934 году [53]. Теория полуколец начала развиваться в 50-е годы прошлого столетия в работах американских и японских математиков. Пожалуй, первой книгой по общей теории полуколец стала монография J. S. Golan 1992 года [45]. В ней имеется определенная информация о делимых полукольцах и полутелах. В дальнейшем вышли книга В. В. Чермных [33], обновленная монография J. S. Golan [46], библиографический обзор К. Glazek [44], брошюра Е. М. Вечтомова [8] и другие.

Перечислим некоторые наиболее важные темы и результаты о полутелах, дающие представление об этом алгебраическом объекте.

Н. J. Weinert [57] показал, что класс идемпотентпых полутел совпадает с классом решеточно упорядоченных групп. С. В. Полин в статье 1974 года [22] ввел естественный порядок на полутелах, описал простые полуполя и доказал, что любое простое полутело либо идемпотентно, либо является сократимым полуполем. В большой статье 1990 года [48] Н. С. Hutchins, Н. J. Weinert изучали общие свойства ядер полутел, в частности установили изоморфизм между решетками конгруэнций и ядер произвольного полутеларассматривали алгебраические и трансцендентные расширения полуполей, вкладываемых в поля. В работе 1998 года [4] В. И. Варанкиной, Е. М. Вечтомовым, И. А. Семеновой определены гомоморфные соответствия 5 и 7 между решеткой конгру-энций сократимого полукольца и решеткой идеалов его кольца разностей. Эти соответствия служат важным инструментом в исследовании произвольных полутел. Стала изучаться решетка ядер полутел и ее свойства.

А. Н. Семенов [25] доказал, что всякое полутело является расширением сократимого полутел, а при помощи идемпотентпого полутела. Этот результат явился одной из общих структурных теорем теории полутел. Его можно сравнить с теоремой Е. М. Вечтомова [7] о представлении полукольца как расширения кольца при помощи антикольца (полукольца с условием: а + b = 0 влечет, а = 0).

Важные свойства решетки ядер полутел установлены в статье 2003 года [26] А. Н. Семеновым, в которой в частности доказано, что конечность решетки ядер полутела влечет ее дистрибутивность.

А. В. Ряттель [24] изучала линейно упорядоченные полутела и алгебраические расширения идемпотентных полуполей, описала циклические полутела и однопорожденпые идемпотентные полуполя. Порядки на полутелах исследовал также А. Н. Семенов [27], он получил необходимые и достаточные условия линейного упорядочивания полуполей.

В связи с развитием идемпотентного анализа В. П. Масловым и его учениками исследовались вопросы линейной алгебры и теории уравнений над идемпотентными полуполями [18, 21, 39]. Заметим также, что теория полуколец и полутел находит применение и в дискретной математике.

Алгебраические уравнения над полунолями и полутелами исследовал И. И. Богданов [2]. Кроме того, он рассматривал алгебраические расширения сократимых полуполей.

О. В. Старостина [32] завершила построение теории абелево-регулярных положительных полуколец (агр-полуколец) [11] и уточнила взаимосвязи агр-полуколец с полутелами их обратимых элементов. М. А. Лукин [19] описал алгебраическое строение полукольцевых дизъюнктных объединений кольца и полутела.

Полутела встречаются и в следующих статьях: [6, 9, 10, 12, 14, 20, 28, 30, 31, 47, 49, 51].

Дадим определение полутела. Полутелом называется алгебраическая структура с бинарными операциями сложения и умножения, являющаяся одновременно аддитивной коммутативной полугруппой и мультипликативной группой, причем умножение дистрибутивно относительно сложения с обеих сторон.

Класс полутел образует многообразие универсальных алгебр в сигнатуре (+, -,-1,1) типа (2,2,1,0). Поэтому для полутел справедливы известные теоремы о гомоморфизме и об изоморфизме.

Полутела можно определить также как делимые антикольца с выброшенным нулем. Заметим, что неодноэлементные делимые полукольца исчерпываются телами и полутелами с нулем.

Полукольцом называется алгебра (S, +, •, 0) с двумя бинарными операциями сложения + и умножения •, если (S, +, 0) — коммутативный моноид, (S, •) — полугруппа, умножение дистрибутивно относительно сложения с обеих сторон и справедливы тождества 0 • а = а • 0 = 0.

Полутело называется: полуполем, если умножение в нем коммутативно- (аддитивно) сократимым, если для любых его элементов a, b, с выполняется импликация (квазитождество) а+с = b+c => а — Ь] (аддитивно) идемпотентным, если оно удовлетворяет тождеству а— а — а.

Полутела, будучи группами с дополнительной коммутативно-ассоциативной операцией сложения, обладают рядом специфических алгебраических свойств. Мультипликативные группы полутел являются группами без кручения. В неидемпотеитных полутелах аддитивный порядок элементов бесконечен. Конгруэнции на полутелах однозначно определяются своими классами единицы — ядрами, которые можно охарактеризовать как нормальные подгруппы мультипликативной группы полутела с условием выпуклости. Относительно естественного порядка полутела являются упорядоченными алгебраическими системами. Каждое полутело имеет кольцо разностей. Сократимые полутела вкладываются в свои кольца разностей. Поэтому изучение полутел допускает методы теории колец.

Значение полуполей и полутел в теории полуколец подобно значению полей и тел в теории колец.

В диссертации используются понятия, идеи и методы теории групп, теории колец, теории решеток, теории полуколец, универсальной алгебры и общей топологии.

При исследовании полутел можно также применить функциональный подход, при котором полутело реализуется в виде полутела сечений пучка некоторых более просто устроенных полутел над подходящим топологическим пространством. Что и показано в диссертации.

Основы теорий функциональных представлений различных тополого-алгебраических систем заложили М. Stone, И. М. Гельфанд, I. Kaplansky в середине прошлого столетия. Представление колец сечениями пучков первыми изучали A. Grothendieck (1960 год), J. Dauns, К. Н. Hofmann (I960 год), R. S. Pierce (1967 год), J. Lambek (1971 год). На русском языке теория функциональных представлений колец изложена в монографии Е. М. Вечтомова [5].

Пучковым представлениям полуколец посвящены работы В. В. Черм-иых [34, 35, 36].

Встала задача разработки теории функциональных (пучковых) представлений полутел. Для колец и полуколец структурные пучки строились, как правило, над некоторыми пространствами их идеалов. В случае полутел необходимо привлекать пространство ядер (конгру-энций) полутел. Для этого требуется изучить свойства ядер полутел и определить спектральные пространства, над которыми могут быть построены структурные пучки полутел.

Главным результатом диссертации является построение начал теории пучковых представлений полутел. В терминах полученных структурных пучков даны функциональные характеризации сильно гель-фандовых, бирегулярных и булевых полутел. Данное нами функциональное описание бирегулярных полутел является аналогом теоремы Даунса-Гофмана [41] о бирегулярных кольцах. Заметим, что распространение теоремы Даунса-Гофмана на полукольца осуществлено в работе Е. М. Вечтомова и О. В. Старостиной [13]. Но наш результат потребовал иной техники построения и доказательства.

Все результаты работы являются новыми. В качестве основных можно выделить следующие:

1. Введено понятие ограниченного полутела. Доказано, что ограниченность полутел, а равносильна сократимости всех его конгруэнций. Показано, что подполутело (2) любого полутела является ограниченным.

2. Рассмотрены условия дистрибутивности полутел. Найден критерий дистрибутивности полуполя.

3. Начато изучение полутел с образующей. Показано, что всякое полутело с конечным числом образующих имеет одну образующую. Доказано, что любое полутело вкладывается в полутело с образующей.

4. Определены понятия неприводимого и максимального спектра полутела. В терминах их компактности дана характеризация полутел с образующей.

5. Построены универсальные структурные пучки полутел, аналогичные пучкам Пирса и Ламбека для колец.

6. Получены изоморфные функциональные представления для сильно гельфандовых pi бирегулярных полутел.

7. Даны пучковые характеризации бирегулярных и булевых полутел, изучена их алгебраическая структура.

Краткое содержание диссертации.

Работа содержит введение, три главы, разбитые на 10 параграфов, список литературы из 68 источников и предметный указатель.

В каждом из параграфов применяется сквозная двойная нумерация отдельно для теорем, предложений, лемм, следствий, свойств, примеров. Например, предложение 2.3 означает, что это третье по порядку предложение параграфа 2. В нумерации известных теоремах вместо второго числа стоит буква.

Через U, как правило, будем обозначать произвольное полутело.

N, Z, Q, Ж, Q+, — числовые системы натуральных чисел, целых чисел, рациональных чисел, действительных чисел, положительных рациональных чисел, положительных действительных чисел соответственно.

В первой главе собраны предварительные сведения о полутелах. В первом параграфе введены понятия полутела и его ядра, приведены примеры и сформулированы известные свойства полутел и их ядер.

Ядром полутела называется класс единицы некоторой его конгруэнции. Ядро может быть определено как нормальная подгруппа, А полутела U со свойством x, y? U & x + y = l8z а, ЬеА ах + by 6 А.

В этом же параграфе построено кольцо разностей произвольного полутела.

Во втором параграфе рассматривается взаимосвязь решетки конгру-энций (ядер) ConU полутела U и решетки идеалов ldR (U) его кольца разностей. Доказано, что идеалы кольца разностей полутела соответствуют его сократимым конгруэнциям.

Конгруэнция р на полу теле U называется сократимой, если, а + с) р (Ь + с) =>- арЪ для любых а, 6, с G U.

Ядро сократимой конгруэнции называется сократимым ядром.

Ввводятся следующие отображения решеток [4]:

5: СопСУ —> ldR (U), сопоставляющее каждой конгруэнции р на полутеле U идеал его кольца разностей R (U) по правилу.

5{р) = {[a, b] е R{U) | a. beU apb},.

7: ldR (U) —" ConU, ставящее в соответствие каждому идеалу I кольца R (U) конгруэнцию на U по правилу ау{1)Ъ [a, b] е / для любых а, Ь 6 U.

Конгруэнции вида 7(/) называются идеальными.

Предложение 2.1. Пусть р — произвольная конгруэнция на полутеле U. Тогда следующие условия эквивалентны:

1) конгруэнция р на полутеле U идеальна;

2) р сократимая;

3) U/p — сократимое полутело.

Полу тело называется ограниченным, если оно совпадает с главным ядром, порожденным элементом 2 = 1 + 1.

Теорема 2.1. Для любого полутела U следующие условия эквивалентны:

1) U ограниченно;

2) любая конгруэнция на U сократима;

3) решетка конгруэнции, на U канонически изоморфна решетке идеалов кольца разностей {то есть 5 — изоморфизм).

Вторая глава посвящена дальнейшему изучению ядер полутел. В третьем параграфе изучаются свойства главных ядер. Получено описание главного ядра (а), порожденного центральным элементом а, большим 1 в естественном порядке.

Теорема 3.2. Подполутело (2) любого полутела U ограниченно.

В четвертом параграфе рассмотрены по л у тел, а с образующей.

Предложение 4.4. Если полутело U имеет конечное число образующих, то оно является полутелом с образуюш^ей.

Доказано, что любое полутело вложимо в полутело с образующей:

Теорема 4.1. Любое полутело (идемпотентное полутело) U изоморфно вкладывается — в качестве наибольшего собственного ядрав зероидное (идемпотентное) полутело V с центральной образующей. При этом все собственные ядра полутела V суть в точности ядра полутела U.

Полутело называется зероидным, если в нем выполняется равенство, а + b = Ъ для некоторых его элементов а, Ь.

В пятом параграфе рассматриваются условия дистрибутивности полутел. Полутело называется дистрибутивным (прост, ым), если решетка его ядер дистрибутивна (двухэлементна).

Ядро полутела U, являющееся его подполутелом, назовем ядерным подполутелом.

Предложение 5.2. Если некоторое ядерное подполутело К полутела U дистрибутивно, то и само полутело U дистрибутивно.

Получен критерий дистрибутивности полу по ля:

Следствие 5.1. Полуполе U дистрибутивно тогда и только тогда, когда дистрибутивна решетка идеалов кольца разностей полуполя (2).

В шестом параграфе изучаются свойства неприводимых ядер полутел.

Собственное ядро, А е Con?7 полутела U называется неприводимым, если из В ПС С, А следует В С, А или С С, А для любых В, С G Con U.

Доказан следующий принципиальный результат:

Теорема 6.1. Любое собственное ядро полутела леоюит в некотором его неприводимом ядре.

В качестве следствия получаем: максимальные ядра любого полутела неприводимы.

Введено понятие неприводимого и максимального спектров полутела. Обозначим через Spec?/ множество всех неприводимых ядер полу тел, а U, а через MaxU — множество всех его максимальных ядер. Со стоуновской топологией множества SpecU и Мах?/ становятся топологическими пространствами, называемыми соответственно неприводимым и максимальным спектром полутела U.

Получена спектральная теорема:

Теорема 6.2. Для любого полутела U эквивалентны условия:

1) U полутело с образующей,.

2) неприводимый спектр Spec/7 компактен,.

3) максимальный спектр Мах£/ компактен и любое собственное ядро полутела U содержится в некотором максимальном ядре.

Сформулированы и доказаны свойства неприводимых ядер дистрибутивных полутел U. Доказано, что для дистрибутивного полутела U множества a)* = {ueU (и) П (а) = {1}}, а е U,.

Op = {а € U | (а)* Р}, Р — неприводимое ядро в U, являются ядрами. Поэтому для дистрибутивных полутел существует пучковое представление, аналогичное ламбековскому представлению колец (предложение 9.1).

Полутело называется бирегулярным {булевым), если все его главные ядра (все ядра) дополняемы.

Для бирегулярных полутел доказано.

Предложение 6.3. Всякое бирегулярное полутело U дистрибутивно, все его неприводимые ядра Р максимальны и равны Ор и любое его ядро является пересечением максимальных ядер, его содерэ/сащих.

В третьей главе исследуются пучки полутел, их полутела сечений и функциональные представления полутел. В седьмом параграфе рассматриваются пучки полутел над нульмерным компактом. С помощью теории arp-полуколец доказана важная техническая лемма:

Лемма 7.2. Пусть, а — элемент ядра, А полутела сечений Г = Г (Х, IT) пучка полутел над нульмерным компактом X, W — произвольное открыто-замкнутое подмножество в X, Тогда сечение принадлежит ядру А.

На основании этой леммы получено описание неприводимых и максимальных ядер полутела сечений. Для произвольной точки х Е X пусть ъх: Г (Х, П) гомоморфиз полутел, заданный правилом:

Теорема 7.1. Максимальные (неприводимые) ядра полутела Г — Г (Х, П) сечений пучка полутел Ux над нульмерным компактом Xэто в точности ядра вида тг~1{КХ), где х Е X и Кх — максимальное (неприводимое) ядро в Ux.

В восьмом параграфе установлены взаимосвязи некоторых свойств полутела сечений пучка полутел над нульмерным компактом с соответствующими свойствами его полу тел-слоев:

1 на XW nx (s) = s (x) для любого s Е Г (Х, П).

Теорема 8.1. Полутело Г = Г (Х, П) сечений пучка П полутел Ux над нульмерным компактом X дистрибутивно (ограниченно, зероидно) в том и только том случае, когда дистрибутивны (ограниченны, зероидны) все его слои Ux.

Заметим, что в предложении 8.1 доказано сохранение ряда других свойств полутел.

В девятом параграфе построены структурные пучки V (U) и ?(?/) полутел для нетривиального полутела U, аналогичные пучкам Пирса и Ламбека для колец:

Теорема 9.1. Любое полутело U изоморфно полутелу всех сечений пучка V (U) полутел Гм> являющихся факторполутелами полутела U, над нульмерным компактом Max93(Z7).

Через Мах03(£7) обозначен максимальный спектр булевой решетки всех дополняемых ядер полутела U.

Назовем полутело U полутелом с условием К, если множества (а)* и Ор являются ядрами в U для любых, а Е U, Р е SpecU. Условию К удовлетворяют дистрибутивные полутела и редуцированные ограниченные полутела.

Предложение 9.1. Пусть U — полутело с условием К. Тогда существует точное функциональное представление U в факторном пучке ?(U) полутел U/Op над неприводимым спектром Spec (U).

Вводится понятие сильно гельфандова полутела. Полутсло U называется сильно гельфандовым, если для любых двух различных максимальных ядер М и N в U существует дополняемое ядро, А С М, не лежащее в N.

Теорема 9.3. Произвольное полутело U с образующей и с условием К сильно гельфаидово тогда и только тогда, когда оно изоморфно полутелу Г (Х, П) всех сечений некоторого пучка П локальных полутел Ux над нульмерным компактом X.

Бирегулярные и булевы полутела рассматриваются в десятом параграфе. Дается функциональная характеризация бирегулярных полутел:

Теорема 10.1. Произвольное полутело U бирегулярно тогда и только тогда, когда оно изоморфно полутелу всех сечений некоторого пучка простых полутел и тривиальных полутел над нульмерным компактом.

Если при этом полутел о U с образующей, то в формулировке теоремы 10.1 можно оставить только простые полутела (теорема 10.3).

Теорема 10.2. Любое бирегулярное полутело раскладывается в прямое произведение бирегулярного идемпотентного полутела и би-регулярного ограниченного полуполя.

В терминах пирсовского пучка V дапа характеризация булевых полутел:

Предложение 10.2. Для того чтобы полутело U было булевым, необходимо и достаточно, чтобы все слои пучка V{U) являлись простыми или тривиальными полут&пами, a MayJJ совпадало с множеством изолированных точек базисного пространства Мах23(С7).

Отметим два следствия:

Следствие 10.2. Полутело является булевым полутелом с образующей тогда и только тогда, когда оно изоморфно прямому произведению конечного числа простых полутел.

Следствие 10.4. Для булева полутела U пространство MaxQ3(Z7) есть стоун-чеховская компактификация дискретного пространства Ma xU.

В заключение приведены примеры бирегулярных и булевых полутел.

Общие алгебраические факты можно найти в книгах [1, 15, 16, 17, 23, 29, 46], топологические — в [40, 43], по теории пучков — в [3, 5, 33].

По теме диссертации имеется 11 публикаций, указанных в списке литературы.

Результаты диссертации докладывались на семинаре «Кольца и модули» кафедры высшей алгебры МГУ им. М. В. Ломоносова (февраль 2006 года), на научном семинаре кафедры алгебры и математической логики Казанского государственного университета (сентябрь 2008 года), на итоговых научных конференциях Вятского государственного гуманитарного университета (ВятГГУ) и на научном алгебраическом семинаре ВятГГУ в 2004;2008 г. г.

Автор выражает глубокую и искреннюю благодарность своему научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору Евгению Михайловичу Вечтомову за постановку задач, полезные советы и ценные обсуждения, внимание к работе. А также благодарен С. Н. Ильину, И. Б. Кожухову, А. В. Михалеву, А. Н. Семенову, О. В. Старостиной, В. В. Чермных и всем участникам алгебраических семинаров ВятГГУ, МГУ и КГУ за полезные замечания и обсуждения.

1. Биркгоф, Г. Теория решеток текст. / Г. Биркгоф — М.: Наука, 1984. — 568 с.

2. Богданов, И. И. Полиномиальные соотношения в полукольцах: дис.. канд. физ.-матем. наук: 01.01.06: защищена 20.02.2004/ И. И. БогдановМГУ. М., 2004. — 72 с.ч.

3. Бредон, Г. Теория пучков текст. / Г. Бредон. М.: Наука, 1988. -321 с.

4. Варанкина, В. И. Полукольца непрерывных функций: делимость, идеалы, конгруэнции текст. / В. И. Варанкина, Е. М. Вечтомов, И. А. Семенова // Фундаментальная и прикладная математика. -1998. Т. 4. — № 2. — С. 493−510.

5. Вечтомов, Е. М. Функциональные представления колец текст. / Е. М. Вечтомов. М.: МПГУ им. Ленина, 1993. — 190 с.

6. Вечтомов, Е. М. О конгруэнциях на иолутелах текст. /Е. М. Вечтомов // Материалы международной конференции «Проблемы алгебры и кибернетики», посвященной памяти академика С. А. Чунихи-на. Гомель: Гомельский гос. ун-т, 1995. — С. 38−39.

7. Вечтомов, Е. М. Две общие структурные теоремы о полумодулях текст. / Е. М. Вечтомов // Абелевы группы и модули. 2000. -Вып. 15. — С. 17−23.

8. Вечтомов, Е. М.

Введение

в полукольца текст. / Е. М. Вечтомов. -Киров: Вятск. гос. пед. ун-т, 2000. 44 с.

9. Вечтомов, Е. М. О свойствах полутел текст. / Е. М. Вечтомов // Математический вестник педвузов и университетов Волго-Вятского региона. 2001. — Вып. 3. — С. 11−20.

10. Вечтомов, Е. М. Функциональное представление полутел текст. / Е. М. Вечтомов // Международная алгебраическая конференция, посвященная 100-летию рождения А. Г. Куроша. Тезисы докладов. -М.: Механико-математический факультет А1ГУ, 2008. С. 58−60.

11. Вечтомов, Е. М. Абелево-регулярные положительные полукольца текст. / Е. М. Вечтомов, А. В. Михалев, В. В. Чермных // Труды семинара им. И. Г. Петровского. 1997. — Т. 20. — С. 282−309.

12. Вечтомов, Е. М. Структура абелево-регулярных положительных полуколец текст. / Е. М. Вечтомов, О. В. Старостина // Успехи математический наук. 2007. — Т. 62. — Вып. 1. — С. 199−200.

13. Вечтомов, Е. М. Обобщенные абелево-регулярные положительные полукольца текст. / Е. М. Вечтомов, О. В. Старостина // Вестник Сыктывкарского университета. Серия 1: Математика. Механика. Информатика. 2007. — Вып. 7. — С. 3−16.

14. Вечтомов, Е. М. Конгруэнции на поукольцах непрерывных функций на F-пространствах текст. / Е. М. Вечтомов, Д. В. Чупраков // Вестник Сыктывкарского университета. Серия 1: Математика. Механика. Информатика. 2008. — Вып. 8. — С. 15−26.

15. Гретцер, Г. Общая теория решеток текст. / Г. Гретцер. М.: Мир, 1982. — 456 с.

16. Кон, П. Универсальная алгебра текст. / П. Кон. М.: Мир, 1968. -352 с.

17. Копытов, В. М. Решеточно упорядоченные группы текст. / В. М. Копытов. М.: Наука, 1984. — 320 с.

18. Литвинов, Г. Л. Линейные функционалы на идемпотентных пространствах. Алгебраический подход текст. / Г. Л. Литвинов, B. П. Маслов, Р Б. Шпиз // Докл. РАН. 1998. — Т. 363. — № 3. C. 298−300.

19. Лукин, М. А. Дизъюнктное нолукольцевое объединение кольца и полутела текст. / М. А. Лукин // Чебышевский сборник. 2005. -Т. 6. — Вып. 4(16). — С. 126−135.

20. Маслов, В. П. Идемпотентный анализ и его применение в оптимальном управлении текст. / В. П. Маслов, В. Н. Колокольцов. М.: Наука, 1994. — 144 с.

21. Полин, С. В. Простые полутела и полуполя текст. / С. В. Полин // Сибирский математический журнал. 1974. — Т. 15. — № 1. — С. 90 101.

22. Пунинский, Р Е. Кольца и модули текст. / Р Е. Пунинский, А. А. Туганбаев. М.: Союз, 1998. — 420 с.

23. Ряттель, А. В. Положительно упорядоченные полутела: дис.. канд. физ.-матем. наук: 01.01.06: защищена 17.03.2002/ А. В. Ряттель. Киров: ВятГГУ, 2002. — 89 с.

24. Семенов, А. Н. О строении полутел текст. / А. Н. Семенов // Вестник ВятГГУ. Информатика. Математика. Язык. 2003. — № 8. -С. 105−107.

25. Семенов, А. Н. О решетке конгруэнций полутел текст. / А. Н. Семенов // Вестник ВятГГУ. Информатика. Математика. Язык. 2003. -т. — С. 92−95.

26. Семенов, А. Н. Порядки на полуполях текст. / А. Н. Семенов // Математический вестник педвузов и университетов Волго-Вятского региона. 2004. — Вып. 6. — С. 77−92.

27. Семенова, И. А. Максимальные конгруэнции на полуполе непрерывных положительных функций текст. / И. А. Семенова //Фундаментальная и прикладная математика. 2000. — Т.6. — JV21. — С. 305−310.

28. Скорняков, JI. А. Элементы общей алгебры текст. / JI. А. Скорняков. М.: Наука, 1983. — 272 с.

29. Старостина, О. В. Строение абелево-регулярных положительных полуколец текст. / О. В. Старостина // Чебышевский сборник. 2005. Т. 6. — Вып. 4 (16). С. 142−151.

30. Старостина, О. В. Функциональные представления абелево-регулярных положительных полуколец текст. / О. В. Старостина // Математический вестник педвузов и университетов Волго-Вятского региона. 2007. — Вып. 9. — С. 70−75.

31. Старостина, О. В. Абелево-регулярные положительные полукольца: дис.. канд. физ.-матем. наук: 01.01.06: защищена 29. 10. 2007. -Киров: ВятГГУ, 2007. 90 с.

32. Чермных, В. В. Полукольца текст. / В. В. Чермных. Киров: Вят-скоий гос. пед. ун-т, 1997. — 131 с.

33. Чермных, В. В. О полноте пучковых представлений полуколец текст. / В. В. Чермных // Фундаментальная и прикладная математика. 1996. — Т 2. — № 1. — С. 267−277.

34. Чермных, В. В. Полукольца сечений пучков текст. / В. В. Чермных // Вестник ВятГГУ. 2005. — № 13. — С. 151−158.

35. Чермных, В. В. Функциональные представления полуколец и полумодулей: дис.. докт. физ.-матем. наук: 01.01.06: защищена 28.06.2007. Киров: ВятГГУ, 2007. — 234 с.

36. Широков, Д. В. Условия дистрибутивности решетки конгруэн-ций полуполя непрерывных положительных функций текст. / Д. В. Широков // Вестник ВятГГУ. 2003. — № 8. — С. 137−140.

37. Шпиз, Г. Б. Решение алгебраических уравнений в идемпотентиых полуполях текст. / Г. Б. Шпиз // Успехи математических наук. -2000. Т. 55. — Вып. 5. — С. 185−186.

38. Энгелькинг, Р. Общая топология текст. / Р. Энгелькинг. М.:Мир, 1986. — 752 с.

39. Dauns, J. The represention of biregular rings by sheaves text./ J. Dauns, К. H. Hofmann // Math. Z. 1966. — V. 91. — № 2. — P. 103 -123.

40. Davey, B. A. Sheaf spaces and sheaves of universal algebras text. / B. A. Davey // Math. Z. 1973. V. 134. — № 4. — P. 275−290.

41. Gillman, L. Rings of continuous functions text. / L. Gillman, M. Jerison. N.Y.: Springer-Verlag, 1976. — 300 p.

42. Glazek, K. A Guide to the Literature on Semirings and Their Applications in Mathematics and Information Sceinces: With Complete Bibliography text. / K. Glazek. Kluwer Academic Publishers. Dordrecht-Boston-London, 2002. — 294 p.

43. Golan, J. S. The theory of semirings with applications in mathematics and theoretical computer science text. / J. S. Golan. Pitman monographs and surveys in pure and applied mathematics, 1992. -V. 54. — 318 p.

44. Golan, J. S. Semirings and their applications text. / J. S. Golan. -Kluwer Academic Publishers. Dordrecht-Boston-London, 1999. 381 p.

45. Hebisch, U. Semirings and semifields text. / U. Hebisch, H. J. Weinert // M. Hazewinkel (ed.): Handbook of Algebra. -Amsterdam, 1996. V. I. P. 425−462.

46. Hutchins, H. С. Homomorphisms and kernel of semifields text. / H. C. Hutchins, H. J. Weinert // Periodica Mathematica. 1990. -V. 21(2). — P 113−152.

47. Hutchins, H. Division semirings with 1+1=1 text. / H. Hutchins // Semigroup forum. 1981. — V. 22(2). — P. 181−188.

48. Lambek, J. On representation of modules by sheaves of factor modules text. / J. Lambek // Can. Math. Bull. 1971. — 14. — № 3. — P. 359−368.

49. Mikhalev, A. V. Semirings: sheaves and continuous functions text. /А. V. Mikhalev, E. M. Vechtomov, I. I. Artamonova, V. V. Chermnykh, V. I. Varankina // Semigroups with applications, including semigroup rings. Sankt-Peterburg, 1999. — P. 23−58.

50. Pierce, R. S. Modules over commutative regular rings text. / R. S. Pierce // Mem. Amer. Math. Soc. 1967. — P. 1−112.

51. Vandiver, H. S. Note on a simple type of algebra in which cancellation law of addition does not hold text. / H. S. Vandiver// Bull. Amer. Math. Soc. 1934. — V. 40. — № 12. — P. 914−920.

52. Weinert, H. J. Uber Halbring und Halbkorper. I text. / H. J. Weinert // Acta math. Acad, scient. hung., 1962. V. 13. — № 3 4. — S. 365−378.

53. Weinert, H. J. Uber Halbring und Halbkorper. II text. / H. J. Weinert // Acta math. Acad, scient. hung. 1963. — V. 14. -№ 1−2. — S. 209−227.

54. Weinert, H. J. Uber Halbring und Halbkorper. Ill text. / H. J. Weinert // Acta math. Acad, scient. hung. 1964. — V. 15. -№ 1−2. — S. 177−194.

55. Weinert, H. J. Em Struktursatz fur idempoiente Halbkorper text. / H. J. Weinert // Acta math. Acad, scient. hung. 1964. — V. 15. -№ 3−4. — S. 289−295Публикации автора по теме диссертации.

56. Черапева, А. В. О сократимых конгруэнциях на полу телах текст. / А. В. Черанева // Вестник ВятГГУ. Информатика. Математика. Язык. 2005. № 3. — С. 160−163.

57. Черанева, А. В. О конгруэнциях на полутелах текст. / А. В. Черанева // Чебышевский сборник. 2005. — Т. 6. — Вып. 4(16). -С. 164−171.

58. Черанева, А. В. О главном ядре, порожденном 2 текст. / А. В. Черанева // Математический вестник педвузов и университетов Волго-Вятского региона. 2006. — Вып. 8. — С. 120−125.

59. Черанева, А. В. О дистрибутивности полутел текст. / А. В. Черапева // Современные методы физико-математических наук. Труды международной конференции. Т. 1. — Орел: Орловский гос. ун-т, 2006. — С. 198−200.

60. Черанева, А. В. Кольцо разностей полутела текст. / А. В. Черанева // Вестник ВятГГУ. Информатика. Математика. Язык. 2007. -No 4. — С. 205−207.

61. Черанева, А. В. О решетке конгруэнций полутела текст. / А. В. Черапева // Международная конференция «Алгебра и ее приложения». Красноярск: Сибирский федерал, ун-т. — 2007. — С. 143.

62. Вечтомов, Е. М. К теории полутел текст. / Е. М. Вечтомов, А. В. Черанева // Успехи математических наук. 2008. — Т. 62. -Вып. 2. — С. 161−162.

63. Вечтомов, Е. М. Неприводимые ядра полутел текст. / Е. М. Вечтомов, А. В. Черанева // Математический вестник педвузов и университетов Волго-Вятского региона. 2008. — Вып. 10. — С. 25−31.

64. Вечтомов, Е. М. Пучки полутел над нульмерным компактом текст. / Е. М. Вечтомов, А. В. Черанева // Математический вестник педвузов и университетов Волго-Вятского региона. 2008. -Вып. 10. — С. 32−44.