Диплом, курсовая, контрольная работа
Помощь в написании студенческих работ

Математическое моделирование движения ансамбля частиц с использованием канонического метода интегрирования

Диссертация: Математическое моделирование движения ансамбля частиц с использованием канонического метода интегрирования
ДиссертацияПомощь в написанииУзнать стоимостьмоей работы

Основные научные результаты, полученные в диссертационной работе, докладывались и обсуждались на 2-ой Всероссийской конференции молодых ученых, преподавателей, аспирантов и студентов «Теория динамических систем в приоритетных направлениях науки, технологии и техники» (г. Чайковский, 2007 г.), на 2-ой Международной конференции «Информационно-математические технологии в экономике, технике… Читать ещё >

Содержание

  • СПИСОК ОСНОВНЫХ ПОНЯТИЙ ИСПОЛЬЗУЕМЫХ В РАБОТЕ
  • ГЛАВА 1. МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
    • 1. 1. Анализ подходов в исследовании систем
    • 1. 2. Ансамбль Гиббса в потенциальном поле
    • 1. 3. Гамильтоновы динамические системы
    • 1. 4. Методы интегрирования динамических систем
    • 1. 5. Сравнительный анализ алгоритмов интегрирования
    • 1. 6. Постановка цели и задачи выполняемого исследования
  • ГЛАВА 2. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ АНСАМБЛЯ ЧАСТИЦ
    • 2. 1. Одномерный ансамбль Гиббса
    • 2. 2. Консервативное возмущение в линейной и нелинейной системе
    • 2. 3. Обратимость времени в линейной и нелинейной системе
    • 2. 4. Математическая модель движения двумерного фазового ансамбля
    • 2. 5. Динамика двухатомной молекулы
  • ВЫВОДЫ ПО ГЛАВЕ
  • ГЛАВА 3. ПРОГРАММНЫЙ КОМПЛЕКС МОДЕЛИРОВАНИЯ ДВИЖЕНИЯ АНСАМБЛЯ ЧАСТИЦ
    • 3. 1. Методика моделирования и исследования движения ансамбля Гиббса
    • 3. 2. Структура и работа программного комплекса
    • 3. 3. Отображение данных и сохранение изображения результатов эксперимента
  • ВЫВОДЫ ПО ГЛАВЕ
  • ГЛАВА 4. ДИНАМИКА ОДНОМЕРНОГО КРИСТАЛЛА
    • 4. 1. Энергия и температура системы
    • 4. 2. Динамическая температура в одномерной системе
    • 4. 3. Динамика ансамбля вблизи положения равновесия
    • 4. 4. Консервативный нагрев ансамбля частиц
  • ВЫВОДЫ ПО ГЛАВЕ

Математическое моделирование движения ансамбля частиц с использованием канонического метода интегрирования (реферат, курсовая, диплом, контрольная)

Актуальность. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений позволяет описывать динамические процессы в системах, обладающих свойствами детерминированности, конечномерности и дифференцируемости. Для исследования таких систем существуют аналитические и численные методы интегрирования.

В настоящие время возможности вычислительной техники позволяют численно интегрировать динамические уравнения для систем с числом структурных единиц порядка 104 -105, что является достаточным для исследования многих эволюционных процессов.

Основным при использовании численных методов является учет погрешности, вносимой процессом численного интегрирования, и, как следствие, оценки полученных компьютерных моделей.

В известных численных методах, в частности Эйлера и Рунге-Кутта, влияние итерационных процессов ведет к накоплению погрешности, которую можно снизить уменьшением шага интегрирования, что ведет к увеличению времени счета.

В качестве альтернативного подхода рассматривается так называемый канонический метод численного интегрирования, где сам процесс интегрирования уравнений движения консервативной системы является бесконечно малым по параметру шага консервативным возмущением.

Сравнительный анализ позволяет говорить о перспективности канонического метода численного интегрирования для описания и исследования динамических систем, что и определяет актуальность выполняемого исследования.

Предметом исследования являются динамические системы свободных и взаимодействующих частиц в условиях консервативных возмущений, которые представлены в форме ансамбля Гиббса, а также динамические процессы, происходящие в указанных системах.

Цель работы — математическое моделирование и исследование динамики ансамбля частиц в условиях действия консервативных возмущений с использованием канонического метода численного интегрирования.

Для достижения поставленной цели решаются следующие задачи:

1. Разработка математических моделей движения ансамбля Гиббса в условиях действия консервативных возмущений.

2. Разработка алгоритмов численного интегрирования ансамбля частиц.

3. Создание комплекса программ для исследования динамики ансамбля частиц.

4. Компьютерное исследование поведения ансамбля частиц с использованием условия обратимости времени.

Методы исследования.

В работе использованы теоретические и численные методы исследования на основе фундаментальных результатов гамильтоновой механики, теории канонического интегрирования и канонической теории возмущений. В практической части исследования использованы основные методы компьютерного моделирования.

Достоверность и обоснованность полученных результатов Достоверность теоретических результатов обеспечивается корректной формулировкой математических моделей. В основу теоретических методов положены основные результаты гамильтоновой механики и теории возмущений. Достоверность результатов численного интегрирования и компьютерного эксперимента подтверждается их совпадением с основными теоретическими предсказаниями теоремы Колмогорова-Арнольда-Мозера для движения систем, близких к интегрируемым, и имеющимися результатами канонической теории возмущения.

На защиту выносятся: 1. Математические модели для исследования движения ансамбля Гиббса в условиях действия консервативных возмущений.

2. Алгоритмы численного интегрирования уравнений движения ансамбля частиц.

3. Комплекс программ для исследования динамики ансамбля частиц при различных начальных условиях и условиях взаимодействия.

4. Результаты компьютерного исследования поведения ансамбля Гиббса с использованием условия обратимости времени.

Научная новизна диссертационной работы состоит в том, что:

1. Впервые получены математические модели движения ансамбля частиц в условиях консервативных возмущений.

2. Впервые проведено аналитическое исследование устойчивости канонического метода интегрирования уравнений движения ансамбля частиц.

3. Впервые построены устойчивые к накоплению погрешности численные алгоритмы интегрирования уравнений движения на больших интервалах времени.

4. Впервые условие обратимости времени использовано для анализа поведения ансамбля Гиббса.

5. Разработан комплекс программ для качественного и количественного исследования ансамбля Гиббса в условиях действия консервативных возмущений.

Научная апробация результатов исследования.

Основные научные результаты, полученные в диссертационной работе, докладывались и обсуждались на 2-ой Всероссийской конференции молодых ученых, преподавателей, аспирантов и студентов «Теория динамических систем в приоритетных направлениях науки, технологии и техники» (г. Чайковский, 2007 г.), на 2-ой Международной конференции «Информационно-математические технологии в экономике, технике и образовании» (г.Екатеринбург 2007 г.), на 6 — ой Всероссийской научно-технической конференции «Информационные системы и модели в научных исследованиях, промышленности, образовании и экологии» (г. Тула 20Юг), на 13-ой Международной научно-практической конференции «Фундаментальные и прикладные проблемы приборостроения и информатики» (г. Сочи 2010 г.).

Практическая значимость и реализация результатов исследования.

Положительные результаты использования канонического метода численного интегрирования для исследования рассмотренных динамических моделей могут быть применены в различных областях эволюционной динамики.

Одношаговый тип канонических алгоритмов интегрирования и минимально возможное количество выполняемых операций делают перспективным создание программных комплексов, используя процедуру распараллеливания процесса счета. Практическая ценность разработанного программного комплекса заключается в том, что, как и в натурном эксперименте, предусмотрена возможность разделения процесса его проведения и анализа результатов.

Программный комплекс используется в учебной программе в спецкурсе «Компьютерное моделирование физических процессов» для специальности «Автоматизированные системы обработки информации и управления», а также преподавания разделов «Механика» и «Молекулярная физика» в курсе физики.

Публикации. Основные результаты диссертационной работы отражены в 8 публикациях, в том числе в 3 работах в издании рекомендованным ВАК РФ, 1 свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из содержания, введения, четырех глав, заключения, библиографического списка, включающего 125 наименований. Работа изложена на 143-х листах машинописного текста, содержит 91 рисунок и 8 таблиц.

Краткое содержание работы.

Во введении обосновывается актуальность темы, формулируется цель, основные задачи исследования и методы проведения диссертационного исследования. Определяется научная и практическая значимость, научная новизна и основные положения, выносимые на защиту.

В первой главе приводятся математические модели исследования динамики ансамбля частиц на основе использования теории обыкновенных дифференциальных уравнений, гамильтоновой механики, канонической теории возмущений, численных методов интегрирования. Выполнен обзор существующих численных методов и приведен сравнительный анализ устойчивости к накоплению погрешности для алгоритмов по каноническому методу и методу Эйлера на больших интервалах времени.

На основе проведенного анализа определяется общая структура работы и этапы решения поставленных задач.

Во второй главе проводятся исследования влияния малых консервативных возмущений, генерируемых алгоритмами канонического метода численного интегрирования в линейных и нелинейных системах. В качестве математической модели динамической системы был использован ансамбль Гиббса. Исследования влияния консервативных возмущений, моделируемых вычислительным процессом, осуществляются на следующих системах невзаимодействующих частиц: с одной степенью свободы — гармонический осциллятор, математический маятникс двумя степенями свободы — движение в потенциальном поле Тода.

Влияние консервативного возмущения в условиях межчастичного взаимодействия исследуется на компьютерной модели двухатомной молекулы. В качестве потенциала взаимодействия используется известный потенциал Леннарда-Джонса.

Проведена оценка влияния малых консервативных возмущений на исследуемые системы посредством относительного изменения функции Гамильтона.

В третьей главе представлен разработанный программный комплекс, в основу которого положен канонический метод численного интегрирования динамических уравнений. Описывается структура и работа.

Приведены опытные результаты работы программного комплекса исследования динамической модели из И = 3 -1000 частиц. Полученные результаты показали устойчивость работы программного комплекса к накоплению погрешности. Использования в блоке интегрирования алгоритмов канонического метода численного интегрирования обеспечивают повышение точности и производительности компьютерного эксперимента.

В четвертой главе приводятся результаты проведения компьютерного эксперимента, полученные на программном комплексе, при исследовании динамики одномерного ансамбля частиц в условиях попарного межчастичного взаимодействия. Для ансамблей из 11 и 101 частиц исследовано влияние передаваемых импульсов в начальный момент времени.

В ходе проведения компьютерного эксперимента было подтверждено, что использование канонического метода численного интегрирования в программном комплексе обеспечивает устойчивость систем к влиянию малых консервативных возмущений вблизи положения равновесия. При возрастании нелинейности системы и действия малых консервативных возмущений упорядоченное движение переходит в неупорядоченное.

ВЫВОДЫ ПО ГЛАВЕ.

Полученные результаты исследования одномерного ансамбля частиц в условиях попарного межчастичного взаимодействия на программном комплексе позволяют сделать следующие выводы:

1. Разработанный программный комплекс позволяет осуществлять исследования процессов в одномерных ансамблях взаимодействующих частиц.

2. Анализ компьютерного эксперимента показал, что неупорядоченные процессы в одномерном ансамбле при консервативном нагреве могут развиваться, начиная со значения начального импульса Ар = 0,5.

3. Причиной неупорядоченных процессов в условиях нелинейного характера движения частиц ансамбля является влияние малых консервативных возмущений.

4. Развитие неупорядоченных процессов под действием малых консервативных возмущений приводит к общей необратимости динамических процессов в ансамбле.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

В ходе исследования были получены следующие основные результаты:

1. Построены математические модели движения ансамбля частиц, которые позволяют исследовать движение ансамбля Гиббса: гармонический осциллятор, математический маятник, двумерный ансамбль с потенциалом Тода, в условиях действия консервативных возмущений.

2. Проведен сравнительный анализ устойчивости к накоплению погрешности на больших интервалах времени для алгоритмов интегрирования по каноническому методу и методу Эйлера.

3. На основе компьютерного эксперимента, осуществляемого в условиях обратимости времени, было показано:

— линейные системы устойчивы к действию консервативных возмущений;

— наличие консервативных возмущений в условиях нелинейности системы приводят к возникновению и развитию неупорядоченных процессов;

— в неинтегрируемых системах в отличие от интегрируемых, неупорядоченные процессы развиваются интенсивнее.

4. Изменение динамической температуры во времени может быть использовано для оценки характера движения системы в условиях парного взаимодействия с потенциалом Леннарда-Джонса.

5. Анализ компьютерного эксперимента показал, что неупорядоченные процессы при консервативном нагреве в одномерном ансамбле N = 51−1001 частиц, могут развиваться, начиная со значения начального импульса Ар = 0,5.

6. Разработан и протестирован комплекс программ для исследования движения ансамбля Гиббса до N = 1000 частиц.

Показать весь текст

Список литературы

  1. Р.Л., Полякова М. С. Элементы молекулярной физики, термодинамики и статистической физики. Изд-во Московского Университета, 1981, — 176 с.
  2. А.К., Кикоин И. К. Молекулярная физика. Изд-во «Наука» М., 1976, -480 с.
  3. Г. Я. Динамические и статистические закономерности в физике. -М.: Наука, 1973
  4. Гапонов-Грехов A.B., Рабинович М. И. Хаотическая динамика простых систем. // Природа. 1981. — № 2
  5. Я.Г. Случайность неслучайного. // Природа. 1981. — № 3
  6. Л.В. Мир, построенный на вероятности. М.: Просвещение, 1984
  7. Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 1−5. М.: Советская энциклопедия, 1977−1984.
  8. П.Ньютон И., Математические начала натуральной философии, пер. с латин., в кн.: Крылов А. Н., Собр. трудов, т.7, М.-Л., 1936.
  9. Л., Основы динамики точки. М.-Л., 1938.
  10. ., Аналитическая механика. Т. 1,2. / Пер. с фр.- Под ред. А.Н. —М.-Л., 1950.
  11. М.В. Полное собрание трудов. Т. 2,3. -К. 1961.
  12. У. Об общем методе в динамике., / Пер. с англ. В кн.: Вариационные принципы механики. Сборник статей под ред. A.C. Полака. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 1959. С. 284−288.
  13. К. Лекции по динамике. / Пер. с нем.- Под ред. А.Н. -M.-JL, ОНТИ, 1936. -272 с.
  14. Р. и др. Фейнмановские лекции по физике. Т. 1,2. М.: Мир, 1981. — 14 у.п.л.
  15. М.М. Курс теоретической механики: учебник для вузов. 4-е изд., перераб. и сокр. — М.: Высшая школа, 1981. — 304 е., ил.
  16. Л.Д., Лифшиц Е. М. Механика. -М.: Наука, 1988. 174 с.
  17. Н.Г. Теоретическая механика. М.: Наука, 1987. — 368 с.
  18. И.И. Курс теоретической механики для физиков. — М. Изд-во Моск. ун-та: 1978. 575 е., 127 ил.
  19. Я.В. Лекции по классической динамике. М.: Изд. МГУ, 1984. -295 с.
  20. А.П. Теоретическая механика. М.: Наука, 1990. -416 с.
  21. В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1971.-240 с.
  22. Н. Дифференцируемые и аналитические многообразия. М.: Мир, 1981. — 14 у.п.л.
  23. Р., Криттенден Р. Геометрия многообразий. — М.: Мир, 1967. — 335 с.
  24. В.И. Математические методы классической механики. М.: Наука, 1974.-432 с.
  25. Н.В. Введение в аналитическую механику. М.: Наука, 1971. — 264 с.
  26. А. Дифференциальное исчисление. Дифференциальные формы. -М.: Мир, 1971.-392 с.
  27. П.К. Риманова геометрия и тензорный анализ. М.: Наука, 1967. — 664 с.
  28. Дж. В. Основные принципы статистической механики. M.-JL, Гостехиздат, 1946.
  29. И.Н., Морозов Е. А. Каноническое интегрирование гамильтоновых систем. Изд-во Институт экономики УрО РАН, 2006, 142 с.
  30. Курс физики: Учебник для вузов: В 2 т. Т.1. / Под ред. В. Н. Лозовского. -СПб.: Изд-во «Лань», 2001 576 с.
  31. И.В. Курс общей физики, Т.1. Механика. Молекулярная физика. -М.: Наука. 1982. 432 с.
  32. Henon М., Heiles С. The applicability of the third of motion: some numerical experiments.Asrtron. J., 69, 73 (1964).
  33. Ford J., Stoddard S.D., Turner J.S. On the integrability of the Toda lattice. Prog. Theor. Phys., 50, 1574 (1973).
  34. Contopoulos G., Polymilis C. Approximations of the 3- particle Toda lattice. Physica, 24D, 328 (1987).
  35. Физическая энциклопедия. Гл. ред. Прохоров A.M., т. 1−5. — М.: Советская энциклопедия, 1990.
  36. А. Квантовая теория кристаллических твердых тел. — М.: Мир, 1981,574 с.
  37. Lennard-Jones J. Е.// Proc. Roy. Soc. 1924. V. A106. P. 463- Lennard-Jones J. E. Wave functions of many-electron atoms// Proc. Camb. Phil. Soc. 1931. V. 27. P. 469.
  38. Morse P. M. Diatomic molecules according to the wave mechanics. II. Vibrational levels// Phys. Rev. 1929. V. 34. P. 57.
  39. В. И., Сорокин Б. П., Турчин П. П. Основы физики твердого тела. М.: Изд-во физ.-мат. лит., 2001.
  40. А. М., Кривцова Н. В. Метод частиц и его использование в механике деформируемого твердого тела// Дальневосточный математический журнал. 2002. Т. 3, № 2. С. 254.
  41. Malescio G. Intermolecular potentials — past, present, future// Nature Materials. 2003. V. 2. P. 501.
  42. Wilson N. T. The structure and dynamics of noble metal clusters: PhD Thesis, 2000.
  43. Maruyama S. Molecular dynamics method for microscale heat transfer// W. J. Minkowycz, E. M. Sparrow (Eds). Advances in Numerical Heat Transfer. V. 2, Chap. 6. New York: Taylor & Francis, 2000. P. 189—226.
  44. Stoddard S. D., Ford J. Numerical Experiments on the Stochastic Behavior of a Lennard-Jones Gas System// Phys. Rev. 1973. V. A8. P. 1504.
  45. M. Хаос и интегрируемость в нелинейной динамике. Пер. с англ. -М.: Эдиториал УРСС, 2001. 320 с.
  46. .А., в сб. Итоги науки и техники (Динамические системы, Т.4, Сер. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления) М.: ВИНИТИ, 1985. С.179
  47. В.И., Козлов В. В., Нейштадт А. И. Математические аспекты классической и небесной механики. М.: Эдиториал УРСС, 2002
  48. В.В. Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике. Ижевск: Изд-во Удм. гос. ун-та, 1995
  49. Г. М. Физика хаоса в гамильтоновых системах. М.- Ижевск: Инст. компьют.исслед., 2004
  50. П. Статистическая и динамическая электронная оптика. — М.: Мир. 1958. 72 с.
  51. Л.Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика. Т. З: Квантовая механика. М.: Наука, 1989.-652 с.
  52. А.С. Квантовая механика. М.: Наука, 1973. 450 с.
  53. М. Лекции по атомной механике. Т. 1−2. Харьков. ОНТИ, 1975.
  54. Л.В. и др. Теория нелинейных электрических цепей. Л.: Энергоатомиздат, 1990. -256 с.
  55. A.B. и др. Теория автоматического управления: Нелинейные системы, управление при случайных воздействиях: учебник для вузов. — 2-е изд., перераб. и доп. — М.: Высш. школа, 1983. — 432 е., ил.
  56. .П. Лекции по математической теории устойчивости.- М.: Наука, 1967. 488 с.
  57. .В. Начала теоретической физики. М.: Наука, 1977. — 496 е., ил.
  58. А. Избранные труды. Т.1. М.: Наука, 1971.
  59. Д. Динамические системы. Ижевск: Изд. дом. «Удм. ун-т», 1999.
  60. Н.С. Работы по обоснованию статистической физики. М.-Л.: Изд-во АН СССР, 1950.
  61. А., Либерман М. Регулярная и стохастическая динамика. М.: Мир, 1984.
  62. А.Н. О сохранении условно периодических движений при малом изменении функции Гамильтона. //Докл. АН СССР. 1954, т.98, С. 572
  63. А.Н. ДАН СССР 124 754 (1959)
  64. Я.Г. ДАН СССР 124 768 (1959)
  65. А.Н. ДАН СССР 98 527 (1954)
  66. Н.Г. Устойчивость движения. М.: Наука, 1990. — 176 с.
  67. Е.А. Введение в теорию устойчивости. М.: Наука, 1967. — 224 с.
  68. В.И. знаменатели и проблемы устойчивости движения в классической механике. // Успехи математических наук. Т.18, С. 85, 1963
  69. A.B., Мамаев И. С. Динамика твердого тела. Гамильтоновы методы, интегрируемость, хаос. — Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2005. — 576 с.
  70. Ю., в сб. Математика. Периодический сборник переводов иностранных статей Т.6. М.: Мир, 1962, С. 51
  71. В.И. Успехи математической науки 18 13 (1963)
  72. В.И. Успехи математической науки 18 91 (1963)
  73. Ю. Лекции о гамильтоновых системах. М.: Мир, 1973
  74. Мозер Ю. KAM теория и проблемы устойчивости. — Ижевск: ИРТ, 2001. -С. 448
  75. М. и др. Методы анализа нелинейных динамических моделей. -М.: Мир, 1991.-368 с.
  76. В.М. Прикладные методы нелинейной динамики. М.: Наука, 1977.-256 с.
  77. Г. М., Сагдеев Р. З. Введение в нелинейную физику: От маятника до турбулентности и хаоса. М.: Наука, 1988
  78. С.П. Динамический хаос. М.: Физматлит, 2001
  79. Мун Ф. Хаотические колебания. М.: Мир, 1990
  80. Ю.И., Ланда П. С. Стохастические и хаотические колебания. М.: Наука, 1987
  81. Д.В. Ведение в теорию возмущений гамильтоновых систем. М.: Фазис, 1998
  82. И.Н., Морозов Е. А. О принципе консервативных возмущений. // Интеллектуальные системы в производстве. ИжГТУ. 2005/1 Ижевск 2005, С. 52−62
  83. Е.А. Об устойчивости интегральных кривых в сопряженных пространствах. // Вестник ИжГТУ. 2005. № 3 Ижевск: Изд-во ИжГТУ, 2005. С. 39−41
  84. А.Ю. Динамический хаос. Системы классической механики. // Успехи физических наук, 2007. Том 177, № 9. С. 990−1015
  85. М.А., Переломов A.M., Семенов-Тян-Шанский М.А., в сб. Итоги науки и техники. Сер. Динамические системы. Т.7. М.: ВИНИТИ, 1987. С.86
  86. В.В., Фоменко А. Т. в сб. Итоги науки и техники. Динамические системы. Т.7, Сер. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. М.: ВИНИТИ, 1987. С.227
  87. А.А., Сушкин И. Н., Зах Р.Г., Бахмачевский Б. И., Лызо Г. П.
  88. . М. 1973 С. 479
  89. Л.Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика. Т.5: Статистическаяфизика. М.: Наука, 1964. 523 с.
  90. Д.В. Общий курс физики. Термодинамика и молекулярная физика.1. М.: Наука, 1979.-552 с.
  91. Курс физики: Учебник для вузов: В 2 т. Т.2. / Под ред. В. Н. Лозовского.
  92. СПб.: Изд-во «Лань», 2001 576 с.
  93. И.С. Березин, Н. П. Жидков. Методы вычислений. Физматгиз, 1959, ч. II, гл. 1.
  94. .П. и др. Численные методы. М.: Наука, 1967. — 368 с.
  95. Н.И. и др. Численные методы. Учебник для техникумов. М.: Высшая школа, 1976. — 368 с.
  96. Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. -М.: Наука, 832 с.
  97. Л. Коллатц. Численные методы решения дифференциальных уравнений, ИЛ, 1953, гл. 1.
  98. Дж. Скарборо. Численные методы математического анализа, ГТТИ, 1934, гл. Х1, XIII.
  99. И.Н., Морозов Е. А. Канонические схемы численного интегрирования уравнений движения. // Социально-экономические проблемы развития региона. Г. Чайковский, 2001. С. 339−349
  100. Е.А. О связи канонических отображений с гамильтонианами. // Интеллектуальные системы в производстве. ИжГТУ. 2005/2. Ижевск 2005
  101. Е.А. Каноническое интегрирование в проектировании динамических систем. Екатеринбург-Ижевск: Изд-во Института экономики УРО РАН, 2006. 196 с.
  102. И.Н., Морозов Е. А. Устойчивость канонического метода интегрирования гамильтоновых систем. // Интеллектуальные системы в производстве. ИжГТУ. 2003/1. Ижевск 2003. С.23−38
  103. Е.А. О консервативном характере возмущений метода численного интегрирования. // Известия ТулГУ. Серия математическая. Математика. Механика. Информатика. — Т 11. Вып. 3. Тула. Изд-во ТулГУ. 2005. С. 142−145.
  104. A.B., Шилейко Т. И. Информация или интуиция? М.: Мол. гвардия, 1983.-208 с.
  105. Henon М. Integrals of the Toda lattice. Phys. Rev., B9, 1921, 1974
  106. Casati G., Ford J. Stochastic transition in the unequal-mass Toda lattice. Phys. Rev., Al 2, 1702, 1974
  107. Тимоти Бадд. Объектно-ориентированное программирование в действии. Изд-во: Питер, 1997 464 с.
  108. Е.В. Основные концепции и механизмы объектно-ориентированного программирования. Изд-во: СПб.: БХВ — Петербург, 2005 640с.
  109. Г. С., Ничушкина Т. Н., Пугачев Е. К. Объектно-ориентированное программирование. М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2001 320с.
  110. Ш. Немнюгин Сергей Андреевич, Pascal и Turbo Pascal. Учебные языкипрограммирования 2-е издание, — СПб.: Питер, 2008. 544 с. 112. Фаронов В. В. Turbo Pascal 7.0. Практика Программирования. — М.: Просвещение. 1999
  111. ПЗ.Культин Н. Б. Delphi 6. Программирование на OBJECT PASCAL. 2 изд.М.
  112. Вильяме". 2001. — 526 с. 114. Фленов М. Е. Библия Delphi 2-е изд., перераб. и доп. — Спб.: БХВ-Петербург, 2008. — 800 с: ил. +CD-ROM
  113. Архангельский А.Я. Delphi 2006/ Справочное пособие: Язык Delphi, классы, функции Win 32 и .NET. M.: ООО «Бином-Пресс», 2006 г. — 1152 с.: ил
  114. Нб.Культин Н. Б. Основы программирования в Delphi 7. СПб.: БХВ-Петербург. 2003. — 608 е.: ил.
  115. Е. А. Программирование на языке Turbo Pascal 6.0, 7.0, М.:Веста, Радио и связь, 1993, — С.376
  116. В. Ф. Turbo Pascal 7.0, Диасофт, 2003
  117. Нэйл Рубенкинг. Turbo Pascal для Windows = Turbo Pascal for Windows. Techniques and Utilites. — M.: Мир, 1993. — С. 535.
  118. В. В. Turbo Pascal. Наиболее полное руководство. BHV-Санкт-Петербург, 2007.
  119. Шрайнер Дэйв, By M., Нейдер Дж., Девис, OpenGL Programming Guide, Fourth edition. СПб.: Питер, 2006. — 624 с.
  120. С. Райт мл., Бенджамин Липчак. OpenGL. Суперкнига = OpenGL SuperBible. — 3 изд. — M.: Вильяме, 2006. — С. 1040.
  121. By M., Дэвис Т., Нейдер Дж., Шрайндер Д. OpenGL. Руководство по программированию. Библиотека программиста. Питер, 2006
  122. Эдвард Энджел. Интерактивная компьютерная графика. Вводный курс на базе OpenGL = Interactive Computer Graphics. A Top-Down Approach with Open GL. — 2-е изд. — M.: Вильяме, 2001. — 592 с
  123. Дж. Рост. OpenGL. Трехмерная графика и язык программирования шейдеров. Для профессионалов. Питер, 2005
Заполнить форму текущей работой

На отлично!