Дифференциально-разностные операторы, ассоциированные с системами корней коксетеровского типа

Актуальность темы

В конце 80-х годов прошлого века Ч. Дунклом введены [8] коммутирующие между собой дифференциально-разностные операторы, являющиеся обобщением оператора взятия производной по направлению. В настоящее время они называются операторами Дункла рационального типа.

В определении операторов Дункла используется понятие системы корней, связанное с теорией комплексных полупростых групп и алгебр Ли.

Подмножество R евклидова пространства V (относительно фиксированного скалярного произведения (|)) называется системой корней в V, если выполнены следующие условия:

R1) Множество R конечно, порождает V и не содержит 0;

R2) Если, а Е R, то отражение sa относительно гиперплоскости, ортогональной а, оставляет множество R инвариантным;

R3) Если a G R, то среди кратных корню, а в R содержатся только ±-а;

R.4) Для всех а,{3 ER число Е Z. И.

В теории дифференциально-разностных операторов условие (R4) часто отбрасывают и рассматривают операторы Дункла, ассоциированные с системами корней, которые в дальнейшем будут называться системами корней коксетеровского типа. Классификация таких систем приведена, например, в книге Дж. Хамфри-са [20] и связана с классификацией конечных групп Коксетсра [32]. Термин «системы корней коксетеровского типа» не является общепринятым. Он вводится для того, чтобы подчеркнуть связь рассматриваемых наборов векторов с группами Коксетера.

Зафиксируем в V полупространство, граничная гиперплоскость которого не содержит корней. Совокупность корней, содержащихся в этом полупространстве, называется множеством положительных корней и обозначается R+. Выберем также семейство целых чисел ка, подчиняющихся тому условию, что для всех, 6 € Я выполняется равенство ка — kSf}a. Тогда дифференциально-разностный оператор, действующий на функции на пространстве V по правилу где — дифференцирование в направлении? 6 V, называется оператором Дункла рационального типа. s — 1.

Операторы вида у, ., которые переводят функцию f (х) ах) та па грассманианах [35] и группах Коксетера [19]. Сами операторы Дункла используются в теории специальных: функций [10, 11, 12, 26, 29]. В частности, для изучения полигармонических [1, 2], нолитеиловых и поливолновых функций [25].

Они также оказываются тесно связанными с некоторыми представлениями вырожденных афииных алгебр Гекке [6, aeR+ f (sax) — /О) (ах) в функцию f (sax) — f (x) (а|ж) применяются в исчислении Шубер

24]. Кроме того, очень скоро после своего появления теория дифференциально-разностных операторов Дункла нашла многочисленные приложения в математической и теоретической физике [17, 18]. Одним из свойств операторов Дункла является тот факт, что когда векторы (&)i=i.dimV пространства V образуют ортонор-мированный базис, оператор ^ Т| совпадает с гамильтонианом г квантовой модели Калоджеро [7, 21, 22]. С помощью операторов Дункла достигнуты значительные результаты в решении проблемы Адамара о гюйгснсовых операторах [27, 30].

На сегодняшний момент активно ведутся исследования различных обобщений операторов Дункла. Например, изучаются свойства и возможные приложения тригонометрических и эллиптических операторов Дункла [3, 4], а также свойства дифференциально-разностных операторов, ассоциированных с комплексными группами отражений [14].

Другое направление исследований, но операторам Дункла состоит в изучении общих алгебраических свойств гамильтонианов моделей Калоджеро и Сазерленда. В работе В. А. Голубевой и В. П. Лексина [16] дана конструкция операторов Дункла и гамильтонианов в наиболее общей универсальной форме, пригодной для любой системы корней, соответствующей конечной группе симметрии модели. Эти, так называемые «универсальные», операторы Дункла не коммутируют и сумма их квадратов не совпадает с «универсальным» гамильтонианом типа Калоджеро. В той же работе [16] для каждой системы корней определяются алгебраические многообразия Дункла и Бете. Ограничение коммутатора «универсальных» операторов Дункла на многообразие Дункла является нулевым оператором, а ограничение суммы квадратов «универсальных» операторов Дункла на многообразие Бете совпадает с «универсальным» гамильтонианом типа Калоджеро. Определения многообразий Бете и Дункла приведены в главе 3.

Здесь и далее, ограничением оператора С (действующего на функциях N комплексных переменных) па подмножество S С CN называется оператор, переводящий функцию / в функцию (Cf)s.

Научная новизна.

1. Для каждой системы корней дана новая конструкция «универсальных» операторов Дункла и «универсального» гамильтониана типа Калоджеро. Показано, что многообразие Бете совпадает с многообразием Дункла. Поэтому в дальнейшем многообразия Бете и Дункла будут называться многообразием Бете-Дункла.

2. Для систем корней классического типа (An, Bn, Cn, Dn) и тина Go найдены системы независимых уравнений, определяющих многообразие Бете-Дункла. и вычислена размерность этого многообразия. Для остальных систем корней (Есп Е-?, Е8) /<4, Яя, Н4,1'lip)) указаны степени уравнений, определяющих многообразие Бете-Дункла. Для каждой системы корней описаны особенности уравнений, определяющих многообразия Бете-Дункла.

3. Показано, что для корневых систем типа Ап и Dn многообразие Бете-Дункла представляет собой плоскость, а для корневых систем типа Вп и Сп — пересечение некоторого квадратичного многообразия с многообразием Бете-Дункла, которое ассоциировано с системой Dn. Для п = 2 многообразие Бете-Дункла совпадает с многообразием Сегре. Проанализирована связь между рангом системы корней и размерностью ассоциированного с этой системой многообразия Бете-Дункла.

4. Показано, что многообразие Бете-Дункла, соответствующее системе корней типа 6*2, определяется уравнениями четвертой степени и зависит от чисел ка, входящих в определение операторов Дункла. Указаны такие значения ка, при которых рассматриваемый случай редуцируется к случаю системы А^.

5. Установлено, что в случае систем корней тина АГ1 и Dn. ограничение «универсальных» операторов на соответствующее многообразие Бете-Дункла совпадает с операторами Дункла рационального тина. Для системы корней типа Вп найдено линейное подмногообразие многообразия Бете-Дункла, ограничение на которое «универсальных» операторов также приводит к рациональным операторам Дункла.

6. Получен новый способ вывода рекуррентных соотношений и дифференциального уравнения, которым удовлетворяют функции Бееселя с использованием оператора Дункла рационального типа, ассоциированного с системой корней типа А.

7. Найден общий вид функций, принадлежащих ядру оператора Дункла-Лапласа, ассоциированного с системой корней тина G'>. Установлена их связь с многочленами Гегеибауэра и гипергео-метричсскими функциями.

Теоретическая и практическая ценность. Работа имеет теоретический характер. Результат диссертации о совпадении многообразий Бете и Дункла показывают содержательность теории «универсальных» операторов. Методы и результаты исследования могут быть использованы в алгебраической геометрии (алгебраические многообразия, конфигурации гиперплоскостей, ассоциированных с конечными группами Коксетера) и математической физике (интегрируемые модели типа Калоджеро).

Апробация результатов. Основные результаты докладывались и обсуждались на следующих конференциях: Воронежская зимняя математическая школа «Современные методы теории функций и смежные проблемы» (Воронеж 2007) — Международная конференция «Дифференциальные уравнения и смежные вопросы — 2007», посвященная памяти И. Г. Петровского (Москва, 2007) — Воронежская зимняя математическая школа С. Г. Крейна (Воронеж 2008) — Международная конференция по дифференциальным уравнениям и топологии, посвященная 100-летию со дня рождения Л. С. Понтрягина (Москва, 2008) — Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (Суздаль, 2006 и 2008), а также на семинарах по геометрии и топологии многообразий малых размерностей под руководством В. П. Лексина в Коломенском государственном педагогическом институте, по уравнениям математической физики под руководством В. А. Голубевой в Коломенском государственном педагогическом институте, по аналитической теории дифференциальных уравнений под руководством Д. В. Аносова и В. П. Лексина в Математическом институте им. В. А. Стеклова Российской академии наук.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 10 работах автора, список которых приведен в конце реферата.

Структура и объем диссертации

Диссертация, объемом в 110 страниц состоит из оглавления, введения, трех глав, разбитых на 16 параграфов и списка литературы, содержащего 34 наименования. Каждая глава снабжена кратким введением, где даются сжатый обзор известных результатов, непосредственно связанных с содержанием данной главы, а также сводка полученных результатов.

Благодарности. Выражаю благодарность и глубокую признательность Д. В. Аносову, С. П. Хэкало, а также участникам семинара по аналитической теории дифференциальных уравнений за внимание, помощь и сотрудничество.

Особую благодарность выражаю В. А. Голубевой за руководство и пристальное внимание к работе.

Содержание работы.

Во введении обсуждается история проблемы, изучаемой в диссертационной работе. Изложены основные результаты представляемой диссертации и ее структура.

В первой главе сформулированы основные определения и утверждения, касающиеся систем корней коксетеровского типа и конечных групп, порожденных отражениями в вещественном конечномерном векторном пространстве.

Рассматривается каноническая билинейная форма, ассоциированная с приведенной и неприводимой системой корней R, которая для любых векторов х, у пространства У, порожденного Я, удовлетворяет равенству.

Для каждой системы R указана связь канонической формы с исходным скалярным произведением (j) на V. Например, для систем корней #3,Я4 и hiv)-, не ассоциированных ни с какими полупростыми группами и алгебрами Ли, проведены подробные вычисления. В результате получены следующие формулы.

Вторая глава посвящена рассмотрению некоторых общих свойств операторов Дункла рационального тина. В рамках теории этих операторов проведено элементарное исследование свойств специальных функций, ассоциированных с системами корней типа, А и Gi.

Для произвольной системы корней R определяются оператор Дункла-Лапласа А/1- действующий на пространстве веществен-нозначных функций (определенных на пространстве V) по правилу aeR.

TP (г, (Х I У) FhAxi У) = 3Q >

Ahf (x) = Af (x) + X] к a-ei?.+.

2(Vfix) j а) (х | а) 2 f (x) — f{sax) и оператор V/t, определенный, но правилу.

V*/(ar) — V/(ar) +Y.k a где A — оператор Лапласа, V — оператор набла, sa — отражение относительно корня а, а ка — неотрицательные числа, обладающие следующим свойством: для любого элемента w группы Коксетера выполняется равенство ка — kwa. Для произвольного вектора (G У оператор Дункла Тс определяется формулой T^f = (V,/ | ?). В явном виде оператор Дункла Т задается формулой где — дифференцирование в направлении.

Операторы Дункла Тс и оператор Дункла-Лапласа Д/г обладают многими свойствами, которые аналогичны свойствам операторов д^ и Д. Например, для произвольных векторов 4, г)? V, операторы Дункла Т^ и Tv коммутируют: Т^Тп = Т7]г1. А если {?-}i=i,.1dimvr ~~" ортоиормированный базис пространства V, то.

Ключевым звеном в доказательстве этих свойств оказывается тождество Дункла [8], справедливость которого устанавливает следующая.

Лемма. Пусть В (х, у) — билинейная форма на V, такая что B (sax, say) = В (у, х) для всех, а из плоскости, порожденной векторами х иу. И пусть w — произвольный неединичный элемент группы Коксетера Wr. Тогда имеет место тождество Дункла.

T6f (x) = dj (x) + Y, I a t R+ x) — f (sax) (, x | a) n г| = д&bdquo-. o.

В случае системы корней типа, А оператор Дункла действует на функции по формуле.

Tf (x)=f (x) + kf{x)~f{" x),.

00 где к — произвольное целое число. Решение дифференциально-разностного уравнения Т/ — /, удовлетворяющее начальному условию /(0) = 1, выражается через функции Бесселя [31] оо ^ ^ 2 где (m)q — m (m-j-l). (m—q — 1) — символ Похгаммера. А именно, если через expfc обозначить функцию, являющуюся решением уравнения Т/ = /, то [23, 28] сс ехрЛ (я) — Jki (rc) +.

Используя такую интерпретацию функций Бссселя, дано новое доказательство рекуррентного соотношения.

— +^ТТЯЦМ и приведен вывод дифференциального уравнения для функций Бесселя:

2 к ip" {x) + —ч>'{х) — ip{x) = 0.

ОС.

В работах Ч. Дункла с помощью дифференциально-разностных операторов демонстрируется оригинальный способ получения специальных функций и вывода некоторых их свойств. Им показано, что все однородные гармонические многочлены (т. е. многочлены, являющиеся решениями уравнения Ahf (z) = 0), инвариантные относительно диэдральных групп /2(3) и h (4), выражаются через функции Гейзенберга и многочлены Якоби [12]. Рассмотрены специальные функции [10, 13], ассоциированные с системами корней типа Ап-1, Вп и Dn.

С использованием тех же методов в диссертационной работе найден общий вид однородных h-гармонических многочленов степени 6п, которые инвариантны относительно действия группы Go’п з=о где 9 — zz, 62 — z6 — z6, а коэффициенты aj находятся из рекуррентного соотношения j (2n + ks + ki — j) a, j — 2(n — .7 + 1)(k8 — ki) aj-1+ +4(n — j + 2)(n — j + l) flj2 = 0.

В последнем равенстве через и ^ обозначены числа kQ, отвечающие коротким и длинным корням соответственно.

В частном случае, когда ks = kt = к, получено следующее предложение.

Предложение 2.4.1. h-гармонические функции, ассоциированные с системой корней типа G2, имеют вид z) = (2И coS6*r Л (4 -п — k + 1- или где г и 9 — модуль и аргумент комплексного числа z соответственно, 2-F1 гипергеометрическая функция, а С^ — многочлен Гегепбауэра.

В третьей главе рассматриваются свойства так называемых «универсальных» операторов Дункла [16]. «Универсальные» операторы Дункла, ассоциированные с системой корней R, действуют на функциях от R+ комплексных переменных, где R+ — число положительных корней в системе R.

Пусть Fr (x, у).каноническая билинейная форма, ассоциированная с системой корней R, С’л+! — комплексное пространство, координаты которого занумерованы отражениями из группы Коксетера Wr, упорядоченными относительно некоторого порядка, выбранного в R. То есть вектор и = (uSn)aeR+.

Действие WR на определим следующим образом: wuSa = ew (a)uwaaw-i, Va € R+, где.

1, если гиа е R+, —1, если wa ф R+. А в пространстве комплекснозначных функций, определенных на C'^+l, группа Wr действует по формуле wf)(u) = f (wu). д dUa.

Введем обозначение да — ——, и пусть уЦ — оператор вида.

Fr (j, а) ка.

Sa,.

Us a€R+ где, как и раньше, ка — набор неотрицательных целых чисел, которые удовлетворяют условию Wu-w нв ар и антноети: kwa ~ ка, для всех w € Wr.

Определим также «универсальные» операторы Дункла.

V7 = ~?>7 + Ау, для 7 G R и «универсальный» гамильтониан типа Калоджеро нс = - Е Е.

Равенство [V7, V5] = 0 справедливо на подмножестве (с. 7) пространства которое называется многообразием Дункла и определяется системой уравнений.

Vz. I. ^(7, <*)*я № /3) — Fr{7, а) > v ——-l = о, где w G И^г.

SaSf}=W.

Аналогично, соотношение — ~Нс выполняется лишь.

7&euro-Д+ на подмножестве (с. 7) пространства которое называется многообразием Бете и определяется системой уравнений.

Е = 0, где w 6 W*. > II ?/ а. 06 R+.

SaSf)=W usau8p.

Далее доказывается следующая теорема.

Теорема 3.1.1. Многообразия Бете и Дункла, построенные для произвольной системы корней коксетеровского типа, совпадают.

Таким образом, все результаты, полученные для многообразия Бете Mb{R), останутся справедливыми и для многообразия Дункла Mp®. Поэтому в дальнейшем многообразия Бете и Дункла называются многообразиями Бете-Дункла.

Затем описывается строение многообразий Бете-Дункла, ассоциированных с классическими системами корней (тина Ап~i, Вп, Сп и Dn). При этом, мы используем оригинальное определение «универсальных» операторов Дункла, которое было впервые введено в работе [16]. В этом случае многообразия Бете и Дункла являются подмножествами пространства и задаются системами уравнений.

V к /, Ыа-в) = о.

Ыа-и-Жир-и-р).

SaSg~W и Z Ыъ Р) ~ Ря (ъ P) FR (5, <*). п, / w С — U aMR+ {Ua — U-a){Uf, — U-p).

Sa8f3=w соответственно, где у, 5 Е R, w € W®.

В случае систем корней типа Апи Dn соответствующие многообразия Бете определяются системами линейных уравнений, т. е. являются плоскостями в комплексном пространстве размерностей 2п (п — 1) и п2 соответственно.

Многообразие Бете, ассоциированное с Вп, определяется системой, которая состоит из линейных уравнений и уравнений второй степени.

Пусть (et)i< j, образуют положительную подсистему системы корней типа Ап-1- векторы о—7 и flij = + cj — положительную подсистему системы корней типа.

Dnвекторы a: jj,, 7г- = e* — положительную подсистему системы корней типа i? n. Координаты пространства (Я, которые отвечают положительным корням а. ц, Д-j, г < j, и 7- обозначим через Vij и ги?-, а координаты, которые отвечают отрицательным корням —"у, —ftiji i < jи —ji — через Uji, Vji и w-i. Тогда справедливы следующие теоремы..

Теорема 3.5.1. Многообразие Бегпе-Дупкла для системы Ani представляет собой плоскость uij — ulk + Ujk = Ujiuki + ukj, 1 < j < к < n в пространстве с исключенными гиперплоскостями Uij — п — 1)(п + 2) и^ — 0, где 1 < г < j < п. Его размерность равна—-..

Теорема 3.5.2. Многообразие Бете-Дункла для системы корней типа Dn представляет собой пересечение плоскости, которая определяется системой уравнений иЦ — vi, j+1 + vj: j+1 = Щг — vj+i, i + v3+i, j> 1 < j < n, Щп — Щ, п-1 + Vn-l, n = Uni — Vn-l-i + vn, n-i, 1 < г < n — 1, Un-l, n — Vn-2,n-l + Vn-2,n — Un. n-1 —^n-2,n-l + Цг. п-2, Щ, г+1 — Vj, i+2 — Vi+l, i+3 + Vi+2^+3 = Vi+1,* - Vj+2,i — Ui+3,i+l + Vi+3,i+2, 1 < i < n — 2, Vij ~ Uh3+1 ~ Vi+l, j + vi+l., j+l — Vji — Vj+ij — Vj, i+i + Vj+i, t+i, 1 < i < j — l, j < n и множества.

XD = C2n^ (J {u^ - Uji = 0, v^ - vji = 0}..

1 .

Размерность многообразия равна n2..

Теорема 3.5.3. Многообразие Бете-Дункла. ассоциированное с системой корней типа Вп, является пересечением поверхности, которая определяется системой уравнений.

Щ — viJ+i + vjd+1 = uji — vj+i, i + vj+lJ, 1 < i < j < n, Щп — Щ, п-1 + Vn-l, n = uni — Vn-ijf vn>T1i, 1 г+3,г+1 + Vi+3ii+2, 1 < % < П — 2, г’и ~ ~ ^i+.Lj + vi+lJ+l — Vji ~ v3+l, i — Uj, i+1 + vj+l, i+l> l< г < j < n а, множества.

XBn = &euro-2тг2 (J {"// - = 0, Vij — Vji = 0, Wiw-i — 0}. l.

Размерность многообразия равна n2 —n + 1..

Так как система корней типа Сп двойственна по отношению к системе корней типа Вп, то многообразие Мв{Сп) будет описываться той же системой уравнений, что и Мв{Вп)..

Таким образом, многообразие Бете-Дункла описано в явном виде для всех классических систем корней..

В конструкции «универсальных» операторов, которая предложена нами, многообразия Бете-Дункла, ассоциированные с классическими системами корней определяются системами уравнений из теорем 3.5.1 — 3.5.3, в которых координаты, занумерованные отрицательными корнями, заменены нулями..

Например, многообразие Бете-Дункла, ассоциированное с системой корней тина, Во задается только одним уравнением.

Uij (iV- + Wj) = Vij (Wi — Wj), которое заменой.

Zq = U2, Z — Vn, Z2 — wi — w2, Z3 = wi + w2, приводится к виду.

ZqZ-S — Z1Z2 — 0..

Последнее уравнение определяет многообразие Сегре [37]..

Из перечисленных теорем нетрудно установить связь размерности многообразий Бете-Дункла, ассоциированных с классическими системами корней с рангом последних. В случае систем корней типа Ап и Dn размерность многообразий Бете-Дункла равна те, а в случае системы корней типа Вп — п 4- 1..

Для исключительных систем корней получены следующие результаты..

Теорема 3.6.1. Многообразие Бете Mb (G<2), ассоциированное с системой корней типа G2, является пересечением поверхности (размерность которой зависит от значений чисел ка) и множества.

Ха2 = С6 у {uSiJ. — 0, ич — 0}..

1<г<7<3.

Если одно из чисел ка равно нулю, то Mb{G2) является гиперплоскостью. Если же они оба отличны от нуля, то многообразие Mb{G2) — четырехмерная поверхность, определяемая системой.

1 1 1 1 1 1.

-!-±±+—-= о, fc? fc?.

A1 3/uo ЗА^о 1 1 -I——-1———— 4—— ^ 0..

USl2U$l3 US12US23 USl3US23 US1US3 USiU$ 2 US2US 3.

Предложение 3.6.1. Многообразия Бете-Дункла, ассоциированные с системами корней типа Eq, Ej и Eg, являются плоскостями..

Предложение 3.6.2. Многообразие Вете-Дункла, ассоциированное с системой корней типа Fопределяется системой линейных уравнений и уравнений второй степени..

Предложение 3.6.3. Многообразия Вете-Дункла, ассоциированные с системами корней типа Щ и определяются системами линейных уравнений и уравнений третьей степени..

Предложение 3.6.4. Многообразие Вете-Дункла, ассоциированное с системой корней типа I’zip), определяется системой р — ll г.

-— уравнений степени р —2, где [ж] обозначает целую часть числа х..

В заключение рассматриваются ограничения «универсальных» операторов Дункла, ассоциированных с классическими системами корней, на многообразия Бете-Дункла. Доказаны следующие теоремы..

Предложение 3.7.1. Ограничения «универсальных» операторов Дункла, ассоциированных с системой корней типа Апили Dn. па многообразие Вете-Дункла совпадают с рациональными операторами Дункла. В некоторой системе координат они записываются в виде i.

Предложение 3.7.2. Ограничения операторов Дункла V7, ассоциированных с системой корней типа Вп, на плоскость.

Uij = Wi — Wji 1 < i < n, Vij = Wj + wv 1 < i < n. совпадают с рациональными операторами Дункла..

Таким образом, предложения 3.7.1 и 3.7.2 устанавливают связь «универсальных» операторов Дункла с операторами Дункла рационального типа..

1. Almansi Е. Sull’integrazione dell’equazione differenziale A2nu = 0. Ann. Mat. Рига Appl. (3) 2 (1899), 1−51..

2. Aronszajn N., Creese T.M., Lipkin L. J. Polyharmonic Functions, Oxford Univ. Press, New York, (1983)..

3. Cherednik I. Double affine Hecke algebras, London Mathematical Society Lecture Note Series, 319, Cambridge University Press, Cambridge, 2005..

4. Cherednik I. A unification of the Knizhnik-Zamolodchikov equations and Dunkl operators via affine Hecke algebras, Invent. Math. 106 (191), 411−432..

5. Cowenberg W. Heckman G. and Looijenga E. On the geometry of the Calogero-Moser system, Indag. Mathem., N.S., 16 (2005), 443−459..

6. Dunkl C.F. Differential-difference operators associated to reflection groups // Trans. Amer. Math. Soc., 311, no 1 (1989), 167−183..

7. Dunkl C.F., Opdam E. Dunkl operators for complex reflections groups, Proc. London Math. Soc. (3) 86, no 1 (2003), 70−108..

8. Dunkl C.F. Orthogonal polynomials on the sphere with octahedral symmetry, Trans. Amer. Math. Soc. 282 (1984), 555 575..

9. Dunkl C.F. Polynomials Associated with Dihedral Groups, SIGMA 3 (2007), 052—070..

10. Dunkl C.F. Reflection groups and orthogonal polynomials on the sphere, Math. Z. 197 (1988), 33−56..

11. Dunkl C.F. Symmetric function and^-invariant spherical harmonics, J. Phys. A: Math. Gen. 35 (2002), 10 391−10 408..

12. Dunkl C.F., Opdam E. Dunkl operators for complex reflections groups, Proc. London Math. Soc. (3) 86, no 1 (2003), 70−108..

13. Etingof P., Xiaoguang Ma On elliptic Dunkl operators, arXiv: math/0706.2152vl..

14. Golubeva V. A. Leksin V. P. Heisenberg-Weyl operator algebras associated to the models of Calogero-Sutherland type and isomorphism of rational and trigonometric models // J. Math. Sci., 98, no 3 (2000), 291−318..

15. Gutkin E., Satherland В. Completely integrable systems and groups generated by reflection. Proc. Natl. Acad. Sci. USA 76, no 12 (1979), 6057−6059..

16. Hikami K. Dunkl operators formalism for quantum many-body problems associated with classical root systems, J. Phys. Soc. Japan 65 (1996), 394−401..

17. Hiller H. Geometry of Coxeter groups, Pitman, Boston, London and Melbourne. 1982..

18. Humphreys J.E. Reflection groups and Coxeter groups. Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 29. Cambridge University Press, Cambridge, 1990..

19. Kakei S. Common algebraic structure for the Calogcro-Sutherland models, J. Phys. 29 (1996), 619−624..

20. Lapointe L., Vinet L. Exact operator solution of the Calogero-Sutherland model, Comm. Math. Phys. 178 (1996), 425−452..

21. Opdam E.M. Dunkl operators, Bessel function and the discriminant of a finite Coxeter group. Composito mathematica, 85, 3 (1993), 333−373..

22. Opdam E. M. Harmonic analysis for certain representations of graded Hecke algebras, Acta Math. 175 (1995), 75−121..

23. Ren G. B. U. Kahler Almansi decomposition for polyharmonic, polyheat and polywawe functions, Stud. Math. 172 (2006), 91 100..

24. Rosier M. Generalized hermite polynomials and the heat equation for Dunkl operators, Comm. Math. Phys. 192 (1998), 519−542..

25. Said S. Ben, 0rsted B. The wave equation for the Dunkl operators. Preprint 2004..

26. Sisi M, Soltani F. Generalized Fock spaces and Weyl relations for the Dunkl kernel on the real line//J. Math. Anal. Appl., 270, 2002..

27. Yuan Xu Harmonic polynomials associated to reflection groups. Canad. Math. Bull. Vol. 43 (2000), 496−507..

28. Берест Ю. Ю., Веселов А. П. Принцип Гюйгенса и интегри-руемость//Успехи математических наук, № 6, 1994, С. 8−78..

29. Бейтмен Г., Эрдей А. Высшие трансцендентные функции. ——М.: Наука, 1973..

30. Бурбаки Н. Группы и алгебры Ли. Группы Кокстера и системы Титса. Группы, порожденные отражениями. Системы корней. М.: Мир, 1972..

31. Виленкнн Н. Я. Специальные функции и теория представлений групп. М.: Наука, 1965..

32. Серр Ж.-П. Алгебры Ли и группы Ли/Перев. с английского и французского А. Б. Волынского. М.: Мир, 1969..

33. Фултон У. Таблицы Юнга и их приложения к теории представлений и геометрии/Пер. с англ. —- М.:МЦМНО, 2006..

34. Хамфрис Дж.

Введение

в теорию алгебр Ли и их представле-ний/Перев. с англ. Б. Р. Френкина. М.:МЦНМО, 2003..

35. Харрис Дж. Алгебраическая геометрия. М.: МЦНМО, 2006. Работы автора по теме диссертации Публикации в изданиях, рекомендованных ВАК РФ.

36. Мещеряков В. В. Многообразия Бете, ассоциированные с классическими системами корней//Математические заметки. Т. 82. № 5. 2007. С. 709−718..

37. Мещеряков В. В. «Универсальные» операторы Данкла.// Успехи математических наук. Т. 64. № 1. 2009. С. 155 -156.Публикации в других изданиях.

38. Мещеряков В. В. Функции Бесееля как обобщенные гиперболические функции//Всстпик КГПИ. Математические и естественные науки, № 2(3), Коломна: КГПИ, 2007. С. 62−65..

39. Мещеряков В. В. Многообразия Бете и Дункла в модели Калоджеро и их совпадение//Воронежская зимняя математическая школа С. Г. Крейна — 2008. Тезисы докладов. Воронеж: ВорГу, 2008. С. 106−107..

40. Meshcheryakov V. On coincidence of two manifolds associated to Calogero model// Journal of Dynamical and Control Systems. Vol. 15 (2009), ..