Исследование прямых и обратных задач в моделях Хоффа

Постановка задач.

Прямая и обратная задачи для уравнений Хоффа, заданных на графе.

Динамику конструкции из двутавровых балок моделируют уравнения Хоффа jUjt + щххЬ = ощщ + +. + а^и¹, (0.1.1) заданные на конечном связном ориентированном графе С (21- ^) удовлетворяет уравнению (0.1.1) на ребре Е^, а в вершинах 03 компоненты удовлетворяют условию «непрерывности» .

4/(0, ?) = ик (0, ?) = ит (1т, *) = ип (1п, ?), ^.

Е^ Ек е Яа (К), Ет, Еп е Е" (Ц) — и «условию баланса потока» .

У] - ?кЩх (1к, 1) = 0, (0.1.3) где через обозначено множество ребер с началом (концом) в вершине Кроме того искомые компоненты должны удовлетворять начальным условиям Коши.

0) = х Е (0, у. (0.1.4).

Обратная задача состоит в определении неизвестных коэффициентов а7 = ац, Рз = с*2] (в случае п = 2) и решений и^ уравнений (0.1.1) по результатам дополнительных измерений щщ^О) + (0) = ^и{)з{Ц) + = <фу. (0.1.5).

Касаясь механического смысла задачи отметим, что здесь фj показывают изменение скорости динамики выпучивания в начале и конце балки в начальный промежуток времени.

Прямая задача представляет собой модель для изучения поведения нагруженной конструкции из двутавровых балок, а обратная задача моделирует эксперимент, в результате которого при дополнительных измерениях изучается не только динамика конструкции, но и свойства материалов балок.

Прямая и обратная задачи для уравнения Хоффа, заданного в области.

Пусть П С — ограниченная область с границей сЮ класса С°°. Уравнение Хоффа [77].

А + А) — = оци + а2и3 + а3и5 +. + о^гг2″ -3 + апи2п~1 (0.1.6) в случае в = 1 моделирует динамику выпучивания двутавровой балки, где параметр Л? М+ характеризуют нагрузку на балку, т. е. сжимающую силу, которая принимается нами как величина постоянная, а параметры щ Е М, г = 1,., п характеризуют свойства материала балки. Под прямой задачей понимается начально-краевая задача и{рс, 0) = и0(х), ж € О, и (х, г) = 0, (ж, г) е дО, х К, (0.1.7) где искомая функция и = и (ж,?), ж 6 О,? Е К. имеет физический смысл отклонения балки от вертикали, т. е. от положения равновесия. Разрешимость задачи (0.1.6) — (0.1.7) изучалась в работах [49],.

Между тем, физически осмысленной является задача нахождения не только решения уравнения (0.1.6), но и параметров щ для того, чтобы узнать различия между имеющимся материалом балки и предполагаемым. Для решения обратной задачи введем дополнительные условия (г = 1, ., п) хг 1(alUo (x)dx + а2У-1(х)-Ь .-{-апи1п 1(х))с1х = (0.1.8) характеризующие моменты изменения скорости динамики выпучивания балки.

Историография вопроса.

При моделировании различных процессов в естественных и технических науках часто возникают уравнения или системы уравнений в частных производных, не разрешенные относительно производной по времени. Впервые такие уравнения были получены при изучении задач динамики тел с полостями, содержащими жидкость. Их исследование было начато еще в XIX веке Г. Стоксом и продолжено затем в работах Г. Гельмгольца, Дж. Неймана, Г. Ламба и других ученых.

37], [38], [40], [47].

Интерес к задачам динамики тел с полостями, содержащими жидкость, значительно усилился в связи с быстрым развитием ракетной и космической техники. Запас жидкого топлива, имеющийся на борту ракет, спутников и космических кораблей, в ряде случаев может оказывать существенное влияние на движение этих летательных аппаратов. Аналогичные задачи возникают и в теории движения самолета и корабля, а также и в других технических вопросах.

В работах А. Гринхилла, С. Хафа, А. Пуанкаре и других проводилось теоретическое исследование вопросов устойчивости движения твердого тела с полостью, содержащей жидкость. Авторы этих работ рассматривали движение твердого тела с полостью эллипсоидальной формы, заполненной идеальной жидкостью. В работе А. Пуанкаре [84] учитывалась также неоднородность жидкости и упругость стенок. В работе C.JI. Соболева [50] рассматривалось движение тяжелого симметричного волчка с полостью, заполненной идеальной жидкостью. С. Л. Соболев установил некоторые общие свойства движения, в частности, некоторые условия устойчивости.

Изучая колебания жидкости в быстром вращающемся волчке и исследуя соответствующие приближенные уравнения ov ~k (vx ez) + grad p = F, div v = 0, (0.1.9).

C.JI. Соболев получил уравнение необычного типа, названное в последствии в честь него. Исследования С. Л. Соболева были впоследствии продолжены его учениками P.A. Александряном, H.H. Ваха-нией, Г. В. Вирабяном, Р. Т. Денчевым, Т. И. Зеленяком, В. Н. Масленниковой, С. Г. Овсепяном и др.

Актуальность темы

диссертации.

В литературе уравнения и системы уравнений, неразрешенные относительно старшей производной называют уравнениями и системами соболевского типа, поскольку именно работы С. Л. Соболева послужили началом систематического изучения таких уравнений. В настоящее время теория уравнений соболевского типа переживает пору бурного расцвета. Сформировались научные направления, вокруг которых сложились научные школы. С. Л. Соболев, в основном, занимался линейными уравнениями, и его ученики и последователи составляют обширную и разветвленную научную школу [2], [16], [74], [75]. Наибольший прогресс был достигнут в области линейных уравнений соболевского типа, именно здесь находится большинство из вышедших монографий.

В монографии В. Н. Врагова [8] впервые выделяется класс неклассических уравнений математической физики и изучаются начально-краевые задачи для линейных уравнений вида (0.2.1), где Ь и Мдифференциальные операторы по пространственным переменным.

В монографии А. Фавини и А. Яги [71] построена теория полугрупп операторов, разрешающих дифференциальные включения хг е А (х) с линейным многозначным оператором. К такому включению сводится линейное уравнение соболевского типа вида (0.2.1), если М — (Ь, сг)-ограниченный оператор в случае устранимой особой точки в бесконечности. Теория проиллюстрирована различными примерами и приложениями к дифференциальным уравнениям с частными производными.

В монографии Г. В. Демиденко, С. В. Успенского [11] рассматриваются линейные дифференциальные уравнения, не разрешенные относительно старшей производной, а также их системы, которые в операторной форме могут быть записаны следующим образом:

1−1.

Лфи + ^ Аг-^и = /, к=0 где До > Л-1,., Лг — линейные дифференциальные операторы относительно вектора переменных х = (XI,., хп), причем оператор Ло не удовлетворяет условию невырожденности. Изучаются краевые задачи для таких уравнений с использованием метода, основная суть которого заключается в построении последовательностей приближенных решений и получении оценок в соответствующих нормах.

Монография С. Г. Пяткова [86] посвящена исследованию разрешимости краевой нелокальной задачи для неоднородного линейного уравнения (0.2.1), где операторы Ь, М — самосопряженные и определенные в гильбертовом пространстве. Доказано существование сильного решения данной задачи и показано, что при выполнении некоторых условий разрешимости (условия ортогональности) решение краевой задачи является гладким.

В монографии И. В. Мельниковой и А. И. Филенкова [83] получены необходимые и достаточные условия равномерной корректности линейной задачи в терминах условий типа Хилле — Иосиды и расщепления пространств в прямые суммы.

Исследуя некоторые аспекты построения теории краевых задач для линейных и нелинейных уравнений в частных производных нечетного порядка А. И. Кожанов [21], рассматривает уравнения вида.

IA)ut = Bu + f (x, t), где, А и В — дифференциальные по пространственным переменным операторы четного (второго) порядка. Для линейных уравнений решается вопрос о выделении таких классов уравнений, для которых возможна постановка корректной краевой задачи в терминах коэффициентов при частных производных в операторах А, В.

Несмотря на то, что большинство работ относятся к линейным уравнениям соболевского типа, исторически первой является монография P.E. Шоуолтера [89], в которой рассматриваются как линейные уравнения, так и полулинейные вида (0.2.1) дифференциально-операторные уравнения, определенные в полугильбертовых пространствах, т. е. пространствах, имеющих нехаусдорфову топологию. Все абстрактные результаты этой монографии снабжены конкретными прикладными примерами.

Начиная с работ P.E. Шоуолтера стало принято как абстрактные уравнения вида (0.2.1), так и их конкретные интерпретации (например, (0.1.1), (0.1.3)) называть уравнениями соболевского типа. К настоящему времени данная терминология стала общепринятой [22], [29], [43], [44], [82], [88], [91]. Далее всюду мы считаем этот термин синонимом терминов «вырожденные дифференциальные уравнения» [71], [83], «неклассические дифференциально-операторные уравнения» [86], «дифференциальные уравнения, неразрешенные относительно старшей производной» [11], «псевдопараболические» и «псевдогиперболические» уравнения [11], [80] и «уравнения не типа Ко-ши — Ковалевской» [25], [63]. Исследование подобных уравнений в первую очередь связано с исследованием задач гидромеханики, физики плазмы, физики атмосферы [27].

В монографии X. Гаевского, К. Грегера, К. Захариаса [9] теория монотонных операторов применяется при исследовании и приближенном решении краевых задач для нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными, которые трактуются как операторные уравнения или операторные дифференциальные уравнения в рефлексивных банаховых пространствах. В монографии Н. А. Сидорова, Б. В. Логинова, А. В. Синицина и М. А. Фалалеева [90] изучены полулинейные уравнения и их обобщения. Разработаны приложения метода Ляпунова — Шмидта, а также доказано существование и единственность решения в классе непрерывных функций задачи Коши для неоднородного уравнения (0.1.2) с сильно измеримой и интегрируемой по Бохнеру неоднородностью и дополнительными условиями на оператор N (типа ограничений). Показано существование ги-периодического решения задачи Коши для неоднородного уравнения (0.1.2) с замкнутыми плотно определенными операторами и иг-периодической неоднородностью.

В монографии А. Г. Свешникова, A.B. Алыиина, М. О. Корпусова, Ю. Д. Плетнера [34] рассматриваются проблемы глобальной и локальной разрешимости, как в классическом, так и в сильном и слабом обобщенном смыслах, широких классов задач Коши и начально-краевых задач для линейных и нелинейных уравнений в частных производных высоких порядков, включая уравнения соболевского типа и псевдопараболические уравнения. В случае локальной разрешимости для ряда классов задач получены двусторонние оценки времени разрушения решений. Помимо аналитических методов предложены и реализованы численные методы решений конкретных задач.

В монографии Ю. Е. Бояринцева, В. Ф. Чистякова [3] и В. Ф. Чистякова, A.A. Щегловой [62] предметом изучения является алгебро-дифференциальные неоднородные системы вида (0.2.1) с вырожденной при всех t € [О, Т] или прямоугольной матрицей L (t). Доказаны теоремы существования и единственности задачи Коши для алгебро-дифференциальных систем вида (0.2.1) с регулярной и сингулярной парой постоянных (m х п)-матриц L и М [62].

Данная диссертационная работа выполнена в рамках направления, возглавляемого Г. А. Свиридюком. В его совместной с В. Е. Федоровым монографии [91] вводятся и изучаются относительно спектрально ограниченные операторы и порождаемые ими разрешающие группы, выделяются достаточные (а в некоторых случаях и необходимые) условия относительно спектральной ограниченности.

Также вводятся в рассмотрение относительно р — секториальные операторы и порождаемые ими аналитические разрешающие полугруппы и относительно р — радиальные операторы и порождаемые ими сильно непрерывные разрешающие полугруппы. В эту монографию вошли результаты Г. А. Свиридюка и его учеников Т. А. Бокаревой [4], Л. Л. Дудко [12], A.B. Келлер [19], В. Е. Федорова [59], A.A. Ефремова [13], Г. А. Кузнецова [23]. После выхода монографии были защищены кандидатские диссертации С. А. Загребиной [14], C.B. Бры-чева [5], A.A. Замышляевой [15], И. В. Бурлачко [6] и докторская диссертация В. Е. Федорова [60].

В рамках данного направления исторически первой была диссертация Т. Г. Сукачевой [54], в которой линейный метод C.B. Зубовой и К. И. Чернышева [17] был обобщен на полулинейную ситуацию исчерпывающим образом. В дальнейшем Т. Г. Сукачева сосредоточилась на исследовании задачи Коши для неавтономных полулинейных уравнений соболевского типа [43], [45], [46], [52], [53]. Следующим нелинейным исследованием стала диссертация М.М. Яку-пова [68], в которой установлена простота фазового пространства уравнения Осколкова и различных его модификаций. Выявлению достаточных условий существования простых фазовых пространств полулинейных уравнений соболевского типа посвящена диссертация В. О. Казака [18]. В диссертации H.A. Манаковой [26] исследовались достаточные условия разрешимости задачи ШоуолтераСидорова (0.1.5) оптимального управления для некоторых полулинейных уравнений соболевского типа. Посредством метода Галер-кина в ней построены приближенные решения задач оптимального управления. В диссертации В. В. Шеметовой [67] исследовалась разрешимость линейных и полулинейных уравнений соболевского типа, заданных на конечных ориентированных графах. Диссертация О. Г. Китаевой [20] посвящена обобщению теоремы Адамара-Перрона для полулинейных уравнений соболевского типа. В диссертации Д. Е. Шафранова [66] исследовалась разрешимость задачи Коши для линейных и полулинейных уравнений соболевского типа в пространствах к — форм, определенных на гладких римановых многообразиях без края. В диссертации А. Ф. Гильмутдиновой [10] исследовались математические модели с феноменом неединственности.

Число научных публикаций по теории обратных задач и ее приложениям очень велико. К настоящему времени достаточно хорошо изучены обратные задачи для уравнений параболического и гиперболического типов. В исследование разрешимости таких задач существенный вклад внесли А. Н. Тихонов [55], М. М. Лаврентьев [81], А. А. Самарский [33], В. К. Иванов [78], В. Г. Романов [87], A.M. Денисов [70], А. И. Прилепко [85] и другие. Целый ряд результатов в этом направлении получили в последние десятилетия зарубежные авторы из Италии, Голландии, Швеции, США, Франции, Японии и др

Значительно менее изученными являются обратные задачи для неклассических уравнений математической физики. Что же касается уравнений соболевского типа, составляющих обширное подмножество неклассических уравнений математической физики, то результаты в этом направлении для линейных уравнений принадлежат А. И. Кожанову [80], С. Г. Пяткову [31], [32], [86] и H.JI. Абашеевой [1], Г. А. Свиридюку и К. С. Ощепкову [42], В. Е. Федорову и A.B. Уразаевой [57], [58], [73], А. Favini и A. Lorenzo [72].

Однако приложение данных результатов ограничивалось изучением неклассических уравнений, заданных в ограниченных областях. В работе Г. А. Свиридюка, A.A. Баязитовой [105] была впервые исследована обратная задача с финальным переопределением для уравнений Баренблатта — Желтова — Кочиной, определенных на графе.

Краевые и начально-краевые задачи для уравнений на графах начали изучать в конце прошлого века [64], [65], [76], [79], [92]. Независимо от этих работ краевыми и начально-краевыми задачами для уравнений на графах в России начал заниматься Ю. В. Покорный со своими учениками. Первые итоги исследований школы Ю. В. Покорного подведены в монографии [30], где изучаются качественные свойства дифференциальных уравнений на многообразиях типа сети.

В [69] на графе G рассмотрены уравнения реакции-диффузии.

Ujt = ujxx + f (uj), х е (0, lj), t g M+, (0.1.10) где / - гладкая функция, общая для всех дуг Ej с условиями типа Кирхгоффа. Между тем было замечено, что в ряде случаев уравнения соболевского типа описывают процессы реакции-диффузии лучше, чем полулинейные уравнения вида (0.1.10).

Г. А. Свиридюк в своей работе [39] впервые рассмотрел задачу на графе для уравнений соболевского типа.

— ЩХХ1 = щхх + /(«?)> (0.1.11) где параметр, А Е К одинаков для всех уравнений. Диссертация В. В. Шеметовой [67], посвященная описанию фазовых пространств начально-краевых задач для уравнений Баренблатта — ЖелтоваКочиной, Хоффа, Осколкова и Корпусова — Плетнера — Свешникова, определенных на графе, была непосредственным продолжением и развитием этих результатов.

Методы исследования.

Качественное исследование предложенных в предыдущем параграфе задач облегчается тем обстоятельством, что они в подходящим образом подобранных банаховых пространствах 11 и $ редуцируются к линейному.

Ьй = Ми, (0.2.1) либо полулинейному.

Ьй = Ми + И{и) (0.2.2) уравнениям соболевского типа.

Сама редукция использует стандартную технику, возникшую на стыке функционального анализа и теории уравнений в частных производных, основы которой заложены С. Л. Соболевым, К.О. Фри-дрихсом и Ж. Лере.

Основным методом исследования является метод фазового пространства, основы которого заложили Г. А. Свиридюк и Т. Г. Сукачева [43], [44]. К настоящему времени условия однозначной разрешимости задачи Коши и (0) = щ (0.2.3) для уравнений (0.2.1)-(0.2.2) достаточно хорошо изучены [91].

В частности если оператор М (Ь, р) — ограничен, то даже в случае кегЬ ф {0} уравнения (0.2.1), (0.2.2) редуцируются к регулярным уравнениям и = 5″, (0.2.4) й = Би + Р (и), (0.2.5) определенным, возможно, не на всем пространстве И, а только на некотором его подмножестве, понимаемом как фазовое пространство уравнения (0.2.1) или (0.2.2). Возможность такой редукции обоснована в монографии Г. А. Свиридюка и В. Е. Федорова [91]. Основная трудность — доказательства (?,^{-ограниченности} оператора М и гладкости оператора N.

Кроме основного в данной диссертации метода фазового пространства мы широко используем, во-первых, теорию линейных уравнений соболевского типа и порождаемых ими вырожденных групп и полугрупп операторов [91]- во-вторых, такие мощные средства нелинейного функционального анализа как теорему о неявной функции см. например, [28]) и теорему Вишика — Минти — Браудера (см. теорию монотонных операторов в [9]) — в-третьих, теорему Коши для случая векторных полей на банаховых многообразиях [24].

Поскольку диссертация кроме качественных исследований содержит еще и результаты численных экспериментов, подтверждающих существование и единственность решений прямых и обратных задач для уравнений Хоффа, заданных на геометрическом графе и в области, а также простоту фазового пространства в этих случаях, здесь необходимо еще упомянуть метод Галеркина [7], лежащий в основе наших экспериментов.

Теоретическая и практическая значимость.

Основное содержание диссертации — исследование прямых и обратных задач для одного класса уравнений математической физики, возникшего в пятидесятых годах двадцатого века, — это уравнения Хоффа, заданные на ограниченной области и на конечном связном ориентированном графе. К результатам теоретической значимости следует отнести теоремы существования и единственности решения прямых и обратных задач. Эти результаты необходимы при построении численных алгоритмов решения задач.

Полученные результаты носят окончательный характер, т. е. содержат исчерпывающую информацию о поставленных обратных задачах, носящих прикладной характер. В целом результаты диссертации реализуют программу исследований, намеченную Г. А. Свири-дюком.

Практическая же значимость заключается в том, что данные результаты должны учитываться при проведении численных расчетов. Необходимость этого обстоятельства уже была отмечена в конечномерном варианте линейной теории уравнений соболевского типа [26], [5], [6]. Проведенные нами численные эксперименты также подтверждают данную необходимость.

Апробация результатов диссертации.

Результаты, изложенные в диссертации, были представлены на Всероссийской научной конференции «Дифференциальные уравнения и их приложения» (г. Самара, 2007), региональной конференции «Разработки Челябинской области по приоритетным направлениям развития науки, технологий и техники Российской Федерации» (г. Челябинск, 2007), Международной конференции «Дифференциальные уравнения и смежные проблемы» (г. Стерлитамак, 2008), Международной конференции «Алгоритмический анализ неустойчивых задач посвященной 100-летию со дня рождения В. К. Иванова (г. Екатеринбург, 2008), Международной конференции, посвященной 100-летию со дня рождения С. Л. Соболева «Дифференциальные уравнения. Функциональные пространства. Теория приближений» (г. Новосибирск, 2008), X Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (г. Санкт-Петербург, 2009), первой и второй научной конференции аспирантов и докторантов Южно-Уральского государственного университета (2009, 2010), на Воронежской зимней математической школе им. С. Г. Крейна 2010 г. Воронеж, 2010). Также результаты докладывались на семинаре профессора В. В. Васина в Институте математики и механики УРО РАН и на семинарах по уравнениям соболевского типа профессора Г. А. Свиридюка в ЮУрГУ (г. Челябинск).

Краткое содержание диссертации.

Диссертация, кроме введения и списка литературы, содержит три главы.

Список литературы

содержит 107 наименований.

Первая глава состоит из 6 параграфов и содержит формулировки теорем и определения, которые используются для получения основных результатов диссертации. Первый параграф содержит определения и теоремы об относительно р — ограниченных операторах, взятые из [91]. Во втором параграфе рассматриваются следующие определения: карты, атласа, банахова Ск — многообразия, касательного расслоения Ск — многообразия, векторного поля и теорема Ко-ши [24]. В третьем параграфе определяется понятие решения, фазового пространства, простоты фазового пространства для полулинейных уравнений соболевского типа. В четвертом параграфе определяются пространства Соболева [51], пространства с негативной и позитивной нормами и приводятся теоремы вложения Соболева и Кондрашова — Реллиха [56], [61]. Пятый параграф содержит сведения из [9], [28], а именно определения радиалыю непрерывного, монотонного, коэрцитивного оператора, теорему Вишика — Минти — Браудера, определение и свойства производной Фреше, теорему о неявной функции. Шестой параграф содержит сведения из [100] и посвящен описанию свойств собственных значений и собственных функций задачи Штурма — Лиувилля на геометрическом графе.

Вторая глава состоит из 4 параграфов и содержит исследование прямых и обратных задач, а также фазовых пространств уравнений Хоффа, определенных на графе. Первый параграф посвящен исследованию начально-краевой задачи, второй — исследованию обратной задачи, в третьем параграфе содержатся постановка и решение задачи Шоуолтера-Сидорова для прямой и обратной задачи, а также описание алгоритмов программ нахождения численного решения прямой и обратной задач. Четвертый параграф содержит описание программного продукта, разработанного в вычислительной среде Maple 13.0. и примеры его применения.

Третья глава состоит из 4 параграфов и содержит исследование прямых и обратных задач, а также фазовых пространств уравнения Хоффа, определенного в области. Первый параграф посвящен исследованию начально-краевой задачи, второй — исследованию обратной задачи, в третьем параграфе содержатся постановка и решение задачи Шоуолтера-Сидорова для прямой и обратной задачи, а также описание алгоритмов программ нахождения численного решения прямой и обратной задач. Четвертый параграф содержит описание программного продукта, разработанного в вычислительной среде Maple 13.0. и примеры его применения.

Публикации.

Все результаты диссертации своевременно опубликованы [93] -[107], причем работы [100], [103], [104] и [106] опубликованы в журналах, включенных в список ВАК по специальности 05.13.18 — математическое моделирование, численные методы и комплексы программ, получено свидетельство о государственной регистрирации программы для ЭВМ [107]. Необходимо отметить, что во всех работах, выполненных в соавторстве с научным руководителем, последнему принадлежит только постановка задачи и идеи доказательств. Все доказательства выполнены автором диссертации самостоятельно.

Благодарности.

В заключение выражаю искреннюю благодарность своему научному руководителю профессору Г. А. Свиридюку за постановку задачи и неоценимую помощь в работе над диссертациейколлективу кафедры уравнений математической физики ЮУрГУ за ценные советы и конструктивную критику. Особую благодарность выражаю моим родителям Баязитовой Галие Галеевне и Баязитову Адыгаму Мухаметгалеевичу за терпение и понимание.

1. Абашеева, Н. J1. Неклассические операторнодифференциальные уравнения и связанные с ними спектральные задачи: дис.. канд. физ.-мат. наук: 01.01.02 / Абашеева Нина ЛеонидовнаНовосиб. гос. ун-т. — Новосибирск, 2000. — 108 с.

2. Белопосов, В. С. Качественные свойства одной математической модели вращающейся жидкости / В. С. Белоносов, Т. И. Зеленяк // Сиб. журн. индустр. мат. 2002. — 5:4 — С.3−13.

3. Бояринцев, Ю. Е. Алгебро-дифференциальные системы: методы решения и исследования / Ю. Е. Бояринцев, В. Ф. Чистяков Новосибирск: Наука, 1998. — 224 с.

4. Бокарева, Т. А. Исследование фазовых пространств уравнений типа Соболева с относительно секториальными операторами: дис.. канд. физ.-мат. наук / Т. А. БокареваЛГПИ им. А. И. Герцена, — СПб., 1993. 107 с.

5. Брычев, С. В. Исследование математической модели экономики коммунального хозяйства малых городов: дис.. канд. физ.-мат. наук / С. В. БрычевЧеляб. гос. ун-т. Челябинск, 2002. — 124 с.

6. Бурлачко, И. В. Исследование оптимального управления системами уравнений леонтьевского типа: дис.. канд. физ.-мат.наук / И. В. БурлачкоЧеляб. гос. ун-т. Челябинск, 2005. -122 с.

7. Вайнберг, М. М. Вариационный метод и метод монотонных операторов в теории нелинейных уравнений / М. М. Вайнберг. М.: Наука, 1972. — 415 с.

8. Врагов, В. Н. Краевые задачи для неклассических уравнений математической физики / В. Н. Врагов. Новосибирск: НГУ, 1983. — 179 с.

9. Гаевский, X. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения / X. Гаевский, К. Грегер, К. Захариас. М.: Мир, 1978. — 336 с.

10. Гильмутдинова, А. Ф. Исследование математических моделей с феноменом неединственности: дис.. канд. физ.-мат. наук / А. Ф. Гильмутдинова. Челябинск, 2009. — 123 с.

11. Демиденко, Г. В. Уравнения и системы, не разрешенные относительно старшей производной / Г. В. Демиденко, С. В. Успенский.- Новосибирск: Науч. кн., 1998. 438 с.

12. Дудко, Л. JI. Исследование полугрупп операторов с ядрами: дис.. канд. физ.-мат. наук / JL Л. Дудко. Новгород, 1996. -88 с.

13. Ефремов, А. А. Исследование оптимального управления линейными уравнениями типа Соболева: дис.. канд. физ.-мат.наук / А. А. ЕфремовЧеляб. гос. ун-т.- Челябинск, 1996. -102 с.

14. Загребина, С. А. Исследование математических моделей фильтрации жидкости: дис.. канд. физ.-мат. наук / С. А. ЗагребинаЧеляб. гос. ун-т. Челябинск, 2002. — 100 с.

15. Замышляева, А. А. Исследование одного класса линейных уравнений соболевского типа высокого порядка: дис.. канд. физ.-мат. наук / А. А. ЗамышляеваЧеляб. гос. ун-т. Челябинск, 2003. — 101 с.

16. Зеленяк, Т. И. Избранные вопросы качественной теории уравнений с частными производными / Т. И. Зеленяк. Новосибирск, 1970. — 164 с.

17. Зубова, С. П. О линейном дифференциальном уравнении с фредгольмовым оператором при производной / С. П. Зубова, К. И. Чернышев // Дифференц. уравнения и их применение. 1976. — N14. — С.21−39.

18. Казак, В. О. Исследование фазовых пространств одного класса полулинейных уравнений соболевского типа: дис.. канд. физ.-мат. наук / В. О. Казак. Челябинск, 2005. — 99 с.

19. Келлер, А. В. Исследование ограниченных решений линейных уравнений типа Соболева: дис.. канд. физ.-мат. наук / А. В. Келлер. Челябинск, 1997. — 115 с.

20. Китаева, О. Г. Исследование устойчивых и неустойчивых инвариантных многообразий полулинейных уравнений соболевского типа: дис.. канд. физ.-мат. наук / О. Г. Китаева. -Магнитогорск, 2006. 111 с.

21. Кожанов, А. И. Краевые задачи для уравнений математической физики нечетного порядка / А. И. Кожанов. Новосибирск: НГУ, 1990. — 132 с.

22. Костюченко, А. Г. Задача Коши для уравнений типа Соболева-Гальперна / А. Г. Костюченко, Г. И. Эскин // Тр. Моск. матем. об-ва. 1961. — Т. 10. — С. 273−285.

23. Кузнецов, Г. А. Исследование относительно спектральных свойств линейных операторов: дис.. канд. физ.-мат. наук / Г. А. КузнецовЧеляб. гос. ун-т. Челябинск, 1999. — 105 с.

24. Ленг, С.

Введение

в теорию дифференциальных многообразий / С. Ленг. Волгоград: Платон, 1997. — 203 с.

25. Лионе, Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач / Ж.-Л. Лионе. М.: Мир, 1972. — 587 с.

26. Манакова, Н. А. Исследование задач оптимального управления для неклассических уравнений математической физики: дис.. канд. физ.-мат. наук / Н. А. МанаковаЧеляб. гос. ун-т. Челябинск, 2005. — 124 с.

27. Маслов, В. П. Уравнения одномерного баротропного газа / В. П. Маслов, П. П. Мосолов. М.: Наука, 1990. — 216 с.

28. Ниренберг, Л. Лекции по нелинейному функциональному анализу / Л. Ниренберг. М.: Мир, 1977. — 232 с.

29. Осколков, А. П. Нелокальные задачи для одного класса нелинейных операторных уравнений, возникающих в теории уравнений типа С. Л. Соболева / А. П. Осколков // Зап. науч. сем. ЛОМИ. 1991. — Т. 198. — С. 31−48.

30. Дифференциальные уравнения на геометрических графах / Ю. В. Покорный, О. М. Пенкин, В. Л. Прядиев и др.]. М.: Физ-матлит, 2005. — 272 с.

31. Пятков, С. Г. Некоторые обратные задачи для параболических уравнений / С. Г. Пятков // Фунд. и прикл. мат.-ка, 2006. Т. 12, № 4, С.187−202.

32. Пятков, С. Г. О некоторых эволюционных обратных задачах для параболических уравнений / С. Г. Пятков, Б. Н. Цыбиков // ДАН, 2008. Т. 418, № 5, С. 596−598.

33. Самарский, А. А. Численные методы решения обратных задач математической физики / А. А. Самарский, П. Н. Вабищевич.- М.: Едиториал УРСС, 2004. 480 с.

34. Свешников А. Г. Линейные и нелинейные уравнения соболевского типа / А. Г. Свешников, А. Б. Алынин, М. О. Корпусов, Ю. Д. Плетнер. М.: Физматлит, 2007. — 736 с.

35. Свиридюк, Г. А. Многообразие решений одного нелинейного сингулярного псевдопараболического уравнения / Г. А. Свиридюк // ДАН СССР. 1986. — Т. 289. — № 6. — С. 1315−1318.

36. Свиридюк, Г. А. Одна задача для обобщенного фильтрационного уравнения Буссинеска / Г. А. Свиридюк // Изв. вузов. Математика. 1990. — № 2. — С. 55−61.

37. Свиридюк, Г. А. Квазистационарные траектории полулинейных динамических уравнений типа Соболева / Г. А. Свиридюк // Изв. РАН, сер. матем. 1993. — Т. 57, № 3, — С. 192−207.

38. Свиридюк, Г. А. Фазовые пространства полулинейных уравнений типа Соболева с относительно сильно секториальным оператором / Г. А. Свиридюк // Алгебра и анализ. 1994. -Т. 6, № 5. — С. 252−272.

39. Свиридюк, Г. А. Уравнения соболевского типа на графах / Г. А. Свиридюк // Некласс, уравн. матем. физики.- Новосибирск: ИМ СО РАН, 2002. С.221−225.

40. Свиридюк, Г. А. Фазовое пространство начально-краевой задачи для уравнения Хоффа / Г. А. Свиридюк, В. О. Казак // Мат. заметки. 2002. — Т. 71, № 2. — С. 292−297.

41. Свиридюк, Г. А. Задача оптимального управления для уравнения Хоффа / Г. А. Свиридюк, Н. А. Манакова // Сиб. жур. индустр. математики. 2005. — Т. 8, № 2. — С. 144−151.

42. Свиридюк Г. А. О существовании решений одной обратной задачи / Г. А. Свиридюк, К. С. Ощепков // Вестник МаГУ, Математика. Магнитогорск: МаГУ, 2005. Вып. 8. — С. 168 172.

43. Свиридюк, Г. А. Задача Коши для одного класса полулинейных уравнений типа Соболева / Г. А. Свиридюк, Т. Г. Сукачева // Сиб. мат. журн. 1990. — Т. 31, № 5. — С. 109−119.

44. Свиридюк, Г. А. Фазовые пространства одного класса операторных полулинейных уравнений типа Соболева / Г. А. Свиридюк, Т. Г. Сукачева // Дифференц. уравнения. 1990. — Т. 26, № 2. — С. 250−258.

45. Свиридюк, Г. А. Медленные многообразия одного класса полулинейных уравнений типа Соболева / Г. А. Свиридюк, Т. Г. Сукачева // Вестн. Челяб. ун-та. Сер. математика, механика. -1991. № 1. — С. 3−20.

46. Свиридюк, Г. А. О разрешимости нестационарной задачи динамики вязкоупругой жидкости / Г. А. Свиридюк, Т. Г. Сукачева // Мат. заметки. 1998. — Т.63, N5. — С.442−450.

47. Свиридюк, Г. А. Сборка Уитни в фазовом пространстве уравнения Хоффа / Г. А. Свиридюк, И. К. Тринеева // Изв. вузов. Математика. 2005. — № 10. — С. 54−60.

48. Свиридюк, Г. А. Уравнения Хоффа на графе / Г. А. Свиридюк, В. В. Шеметова //Дифференц. уравнения. 2006. — Т. 42, № 1. — С. 126−131.

49. Сидоров, Н. А. О применении некоторых результатов теории ветвления при решении дифференциальных уравнений / Н. А. Сидоров, О. А. Романова //Дифференц. уравнения. -1983. Т. 19, № 9. — С. 1516−1526.

50. Соболев, С. Л. Об одной новой задаче математической физики / С. Л. Соболев // Изв. АН СССР, сер. матем. 1954. -Т. 18. — С. 3−50.

51. Соболев С. Л. Применение функционального анализа к математической физике / С. Л. Соболев. Л.: Наука, 1961. — 255 с.

52. Сукачева, Т. Г. О разрешимости нестационарной задачи динамики несжимаемой вязкоупругой жидкости Кельвина-Фойгта ненулевого порядка / Т. Г. Сукачева // Изв. вузов. Математика. 1998. — № 3. — С. 47−54.

53. Сукачева, Т. Г. О разрешимости нестационарной задачи термоконвекции вязкоупругой несжимаемой жидкости / Т. Г. Сукачева // Дифференц. уравнения. 2000. — Т. 36, № 8. -С. 1106−1112.

54. Сукачева, Т. Г. Исследование фазовых пространств полулинейных сингулярных уравнений динамического типа: дис.. канд. физ.-мат. наук / Т. Г. Сукачева. Новгород: НГПИ, 1990. 112 с.

55. Тихонов, А. Н. Численные методы решения некорректных задач / А. Н. Тихонов, А. В. Гончарский, В. В. Степанов, А. Г. Ягола. М.: Наука, 1990. — 230 с.

56. Трибель, X. Теория интерполяции. Функциональные пространства. Дифференциальные операторы / X. Трибель. М.: Мир, 1980. — 664 с.

57. Уразаева, А. В. Задачи прогноз-управления для некоторых систем уравнений гидродинамики / А. В. Уразаева, В. Е. Федоров // Дифференц. уравнения. 2008. — Т. 44, № 8. — С. 1111— 1119.

58. Уразаева, А. В. О корректности задачи прогноз-управления / А. В. Уразаева, В. Е. Федоров // Матем. заметки, 85:3 (2009).- С. 440−450.

59. Федоров, В. Е. Исследование разрешающих полугрупп уравнений типа Соболева: дис.. канд. физ.-мат. наук / В. Е. Федоров. Челябинск, 1996. — 104 с.

60. Федоров, В. Е. Исследование разрешающих полугрупп линейных уравнений соболевского типа в банаховых и локально выпуклых пространств: дис.. д-ра физ.-мат. наук / В. Е. Федоров. Челябинск, 2005. — 271 с.

61. Хатсон, В. Приложения функционального анализа и теории операторов / В. Хатсон, Дж. Пим. М.: Мир, 1983. — 432 с.

62. Чистяков, В. Ф. Избранные главы теории алгебро-дифференциальных систем / В. Ф. Чистяков, А. А. Щеглова. Новосибирск: Наука, 2003. — 320 с.

63. Чистяков, В. Ф. О методах численного решения и исследования систем не типа Коши-Ковалевской / В. Ф. Чистяков, О. В. Бормотова // Журн. вычислит, мат. и мат. физики. -2004. Т. 44, № 8. — С. 1380−1387.

64. Шафаревич, А. И. Дифференциальные уравнения на графах, описывающие асимптотические решения уравнений Навье-Стокса, сосредоточенные в малой окрестности кривой / А. И. Шафаревич // Дифференц. уравнения. 1998. — Т.34, № 8. — С. 1119−1130.

65. Шафаревич, А. И. Обощенные уравнения Прандтля-Маслова на графах, описывающие растянутые вихри в несжимаемой жидкости / А. И. Шафаревич // Докл. РАН. 1998. — Т. 358, № 6. — С.752−755.

66. Шафранов, Д. Е. Задача Коши для уравнений соболевского типа на римановых многообразиях: дис.. канд. физ.-мат. наук / Д. Е. Шафранов. Челябинск, 2006. — 95 с.

67. Шеметова, В. В. Исследование одного класса уравнений соболевского типа на графа: дис.. канд. физ.-мат. наук / В. В. Шеметова. Магнитогорск, 2005. — 109 с.

68. Denisov, A.M. Elements of the Theory of Inverse Problems / A. M. Denisov. Utrecht: VSP, 1999. — 272 pp.

69. Favini A. Degenerate differential equations in Banach spaces / A. Favini, A. Yagi. N. Y.- BaselHong Kong: Marcel Dekker, Inc., 1999. — 236 pp.

70. Favini A. Differential equations: direct and inverse problems. / A. Favini, A. Lorenzi (eds.).- (Lecture notes on pure and applied mathematics: v.251), 2006. 288 pp.

71. Fedorov V. E. An inverse problem for linear Sobolev type equations / V. E. Fedorov, A. V. Urazaeva // Y.Inv. Ill-Posed Problems. 2004. — V. 12, № 5. — P. 1−9.

72. Fokin M. V. Existence of singular spectrum and asymptotic dehavior of solution in Sobolev’s problem. I / M. V. Fokin // Sib. Adv. in Math. 1994. V. 4, № 1 — P. 18−51.

73. Fokin M. V. Existence of singular spectrum and asymptotic dehavior of solution in Sobolev’s problem. II / M. V. Fokin // Sib. Adv. in Math. 1994. V. 4, № 2, — P. 16−53.

74. Hale, J. K. Reaction-diffusion equations on thin domains / J. K. Hale, G. Raugel // J. Math. Pures Appl. 1991. — Vol. 71. — P. 33−95.

75. Hoff, N. J. Creep buckling / N. J. HofF // Aeron. 1956. — V. 7, № 1. — P. 1−20.

76. Ivanov V. K. Theory of Linear Ill-Posed Problems and its Applications / V. K. Ivanov, V. V. Vasin, V. P. Tanana. Utrecht: VSP, 2002. — 281 p.

77. Kosugi, S. A semilinear elliptic equation in a thin network-shaped domain / S. Kosugi // J. Math. Soc. Jap. 2000. — Vol.52, № 3. -P. 672−697.

78. Kozhanov A. I. Composite Type Equations and Inverse Problems / A. I. Kozhanov. -Utrecht: VSP, 1999. 171 p.

79. Lavrentiev, M. M. Inverse Problems of Mathematical Physics / M. M. Lavrentiev, A. V. Avdeev, M. M. Lavrentiev, Jr. Utrecht: VSP, 2003. — 275 p.

80. Lightbourne, J. H. A. Partial functional equations of Sobolev type / J. H. A. Lightbourne //J. Math. Anal. Appl. 1983. -V. 93, № 2. — P. 328−337.

81. Melnikova I. V. The Cauchy problem. Three approaches Monograhps and Surveys in Pure and Applied Mathematics / I. V. Melnikova, A. L. Filinkov. LondonN. Y.- Washington, 2001. — 240 p.

82. Poincare, H. Sur l’equilibre d’une masse fluide animee d’un mouvement de rotation // Acta Math. 1885. V. 7. — P. 259 380.

83. Prilepko, A. I. Methods for Solving Inverse problems in mathematical physics. / A. I. Prilepko, D. G. Orlovsky, I. A. Vasin. N. Y.: Marcel Dekker, 1999. — 709 p.

84. Pyathov, S. G. Operator theory. Nonclassical problems / S. G. Pyatkov. UtrechtBostonTokyo: VSP, 2002.

85. Romanov, V. G. Investigation Methods for Inverse Problems / V. G. Romanov. UtrechtBostonTokyo: VSP, 2002. — 280 p.

86. Showalter, R. E. Partial differential equations of Sobolev-Galpern type / R. E. Showalter // Pacific J. Math. 1963. — V. 31, № 3. -P. 787−794.

87. Showalter, R. E. Hilbert space methods for partial differential equations / R. E. Showalter. PitmanLondonSan FranciscoMelbourne, 1977. -152 pp.

88. Sidorov, N. Lyapunov-Shmidt methods in nonlinear analysis and applications / N. Sidorov, B. Loginov, A. Sinithyn, M. Falaleev. -Dordrecht, Boston, London: Kluwer Academic Publishers, 2002. -548 pp.

89. Sviridyuk, G. A. Linear Sobolev type equations and degenerate semigroups of operators / G. A. Sviridyuk, V. E. Fedorov. -Utrecht: VSP, 2003. 216 pp.

90. Yanagida, E. Stability of nonconstant steady states in reaction-diffusion systems on graphs / E. Yanagida // Japan J. Induct. Appl. Math. 2001. — Vol. 18. — P.25−42.

91. Баязитова, А. А. Об обратной задаче для уравнений Барен-блатта Желтова — Кочиной на графе / А. А. Баязитова // Дифференциальные уравнения и их приложения: тез. докл. науч. конф. — Самара, 2007. — С. 31−32.

92. Баязитова, А. А. Об обратной задаче для уравнений Барен-блатта Желтова — Кочиной на графе / А. А. Баязитова //Дифференциальные уравнения и смежные проблемы: тр. меж-дунар. конф., Стерлитамак, 24−28 июня 2008 г. Уфа, 2008. -Т. 3. — С. 10−14.

93. Баязитова, А. А. Обратная задача для уравнения Хоффа / А. А. Баязитова // Вестн. ЮУрГУ. Сер.: Мат. моделирование и программирование. 2008. — № 15(115). — С. 4−8.

94. Баязитова, А. А. Обратная задача для одного неклассического уравнения / А. А. Баязитова // Обозрение прикладной и промышленной математики. М., 2009. — Т. 16, Вып. 2. -С. 285−286.

95. Баязитова, А. А. Обратная задача для одного неклассического уравнения / А. А. Баязитова // Научный поиск: материалы первой науч. конф. аспирантов и докторантов. Соц.-гум. и естеств. науки. Челябинск, 2009. — С. 12−15.

96. Баязитова, А. А. Обобщенная задача Штурма Лиувилля на графе / А. А. Баязитова // Воронежская зимняя математическая школа им. С. Г. Крейна 2010. Тез. докл. Воронеж: ВорГУ, 2010. — С. 18−19.

97. Баязитова, А. А. Задача Штурма Лиувилля на геометрическом графе / А. А. Баязитова // Вестн. ЮУрГУ. Сер.: Мат. моделирование и программирование. — 2010. — N2 16(192).- С. 4−10.

98. Баязитова, А. А. Начально-краевая задача для обобщенного уравнения Хоффа / А. А. Баязитова // Научный поиск: материалы второй науч. конф. аспирантов и докторантов. Естеств. науки. Челябинск, 2010. — С. 11−14.

99. Баязитова, А. А. Фазовое пространство начально-краевой задачи для обобщенного уравнения Хоффа / A.A. Баязитова // Вестник МаГУ. Математика. Магнитогорск: МаГУ, 2010. Вып. 12. С. 15−21.

100. Баязитова, А. А. Численное исследование процессов в моделях Хоффа / А. А. Баязитова // Вестн. ЮУрГУ. Сер.: Мат. моделирование и программирование. 2011. — № 4(221). — С.4−9.

101. Баязитова, А. А. Задача Шоуолтера Сидорова для модели Хоффа на геометрическом графе. / А. А. Базитова // Изв. Иркутского гос. ун-та. Сер. Математика. — 2011. — Т. 4, № 1. -С. 2−8.

102. Свиридюк, Г. А. О прямой и обратной задачах для уравнений Хоффа на графе / Г. А. Свиридюк, А. А. Баязитова // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2009. — № 1(18).- С. 6−17.