Численные и аналитические исследования стационарных и бифуркационных процессов в системах гидродинамического типа

Актуальность работы.

В последние несколько десятилетий для исследования многих задач механики, физики и других наук все больше применяются компьютерные методы, различные численные алгоритмы, системы аналитических вычислений и компьютерной визуализации. Кроме того, с появлением быстродействующих компьютеров возобновился интерес к решению классических задач механики, гидродинамики, астрофизики, аналитические подходы к решению которых исчерпали себя. Для таких задач, наряду с аналитическими методами, для описания глобального поведения возможно также применение численных методов теории динамических систем: построение сечения Пуанкаре, методы поиска периодических решений, топологический анализ инвариантных многообразий интегрируемых и неинтегрируемых систем (на основе бифуркационного комплекса), а также различные численные методы решения систем дифференциальных уравнений в частных производных.

Одной из главных целей диссертации является создание комплекса программ, в котором реализуются приведенные выше численные методы для исследования систем гидродинамического типа. Одной из наиболее сложных для исследования проблем, которые встречаются в системах гидродинамического типа, является проблема определения фигур равновесия самогравити-рующих жидких и газовых масс.

Классическая задача о фигурах равновесия самогравитирующей жидкости имеет более чем трехсотлетнюю историю, тем не менее, в этих исследованиях на сегодняшний день остается много открытых вопросов, которые могут быть разрешены с использованием компьютеров. В рассматриваемой области актуальными являются численная реализация топологических методов анализа и поиск областей устойчивости системы, компьютерная визуализация эволюции и распада фигур равновесия, в том числе в области неустойчивости, которые позволят приблизиться к пониманию многих наблюдаемых в природе астрофизических явлений. Однако трехмерная задача, к классическим результатам которой относятся эллипсоиды Маклорена и Якоби [1, 44], является достаточно сложной как для моделирования, так и с точки зрения наглядности представления результатов [6]. Упрощенной формой общей проблемы является задача о фигурах равновесия бесконечной однородной массы цилиндрической формы, вращающейся с заданным моментом вокруг оси цилиндра, так как достаточно рассматривать плоское сечение. Ранее подробно задача о существовании и устойчивости плоских фигур равновесия исследовалась Липшицем [11], который проинтегрировал данную систему в квадратурах, Джинсом [10] и Лавом [12]. Но, несмотря на то, что квадратуры известны, о качественном и количественном поведении системы было известно очень мало. Поэтому актуальными являются исследование фигур равновесия и анализ их устойчивости современными топологическими методами, с помощью визуализации бифуркационных диаграмм и с использованием современных пакетов аналитических вычислений. Кроме исследования однородных само-гравитирующих тел в двумерной постановке, в ходе работы была поставлена новая задача о равновесии неоднородного вращающегося самогравитирую-щего эллипсоида вращения. Эта задача подробно рассмотрена в работах Чаплыгина [56], который из-за аналитических сложностей не довел решение до конца. Используемые в созданном комплексе программ методы позволяют полностью исследовать данную задачу.

Все известные результаты, полученные ранее аналитическими методами, относятся к эллипсоидальным формам (или формам, бесконечно близким к эллипсоидальным). Для описания динамики более сложных конфигураций решение не может быть получено аналитически из-за сложностей при решении уравнения Пуассона для гравитационного потенциала. Поэтому актуальным является исследование данной системы компьютерными методами и проведение визуализированного численного эксперимента не только в области существования и устойчивости, но и в областях возможных распадов, для которых на сегодняшний день вообще нет аналитического решения.

Для визуализации эволюции фигур равновесия самогравитирующей жидкости возможно использование метода дискретизации сплошной среды (бесконечномерная система аппроксимируется конечномерной системой с большим числом степеней свободы), так как суммарный гравитационный потенциал определяется взаимодействием отдельных частиц, и для каждой частицы можно записать и проинтегрировать уравнения движения (в области свободного движения). Основная проблема при интегрировании уравнений движения возникает на малых расстояниях между частицами. Актуальной также является разработка процедуры регуляризации на малых расстояниях, которая позволит в хорошем приближении описать динамику самогравитирующих систем с учетом законов сохранения.

Такого рода аппроксимации оправдали себя при исследовании систем точечных вихрей [32] и в статистической механике [33] для выявления различных статистических закономерностей. Исследования динамических систем с большим числом степеней свободы с помощью компьютерного моделирования также служат развитию методов неравновесной термодинамики и новых статистических методов анализа динамических систем, предложенных недавно в работах В. В. Козлова [40].

Цель работы.

Целью диссертационной работы является создание программного комплекса для исследования динамики жидких и газовых самогравитирующих масс методом дискретизации, а также для исследования систем с одной степенью свободы, анализ которых возможен с помощью гироскопической функции и топологических методов.

Методы исследования.

Для исследования рассматриваемых в диссертации задач использовался спектр аналитических и компьютерных методов теории динамических систем. При решении уравнений движения дискретных частиц использовался модифицированный метод Рунге-Кутта четвертого порядка с переменным шагом по времени. Шаг по времени определялся с помощью регуляризации уравнений движения и корректным описанием рассеяния частиц. Программирование осуществлялось на языке С++ в среде Visual Studio.NET 2003. Многие алгебраические преобразования, в том числе построение бифуркационной диаграммы, выполнялись с помощью программы Maple. Для исследования систем, описываемых гироскопической функцией (к которым относится жидкий эллиптический цилиндр), и определения областей устойчивости применялись топологические методы анализа (на основе бифуркационного комплекса).

Научная новизна работы.

Предложена математическая модель, описывающая динамику самогра-витирующих масс, включающая метод дискретизации сплошной среды в двумерной постановке. Частицы взаимодействуют по логарифмическому закону. Также модель включает в себя процедуры регуляризации и рассеяния на малых расстояниях (частицы на малых расстояниях ведут себя как упругие диски конечного радиуса), при этом с высокой точностью выполняются законы сохранения энергии, импульса и момента импульса системы. Данная модель впервые реализована в комплексе программ, позволяющем визуализировать процессы эволюции системы взаимодействующих частиц во времени.

Также впервые в общем виде реализована процедура компьютерного анализа устойчивости систем, описываемых гироскопической функцией, на примере жидкого самогравитирующего эллиптического цилиндра с внутренним течением в классе эллиптических возмущений. Для данной системы также впервые получены фигуры равновесия и построена бифуркационная диаграмма, указаны условия существования стационарных решений. Найден новый класс фигур равновесия неоднородной самогравитирующей идеальной жидкости — сфероид с гомофокальным расслоением плотности. Получена зависимость угловой скорости для случая двух однородных оболочек и для непрерывной функции плотности.

Положения и результаты, выносимые на защиту.

1) Разработана математическая модель, описывающая динамику самогравитирующей системы большого числа частиц конечного радиуса в двумерной постановке, взаимодействующих по логарифмическому закону, которая включает в себя регуляризацию уравнений движения (использование переменного шага по времени и законы упругого отталкивания частиц на малых расстояниях).

2) Разработан метод компьютерного анализа устойчивости систем, описываемых гироскопической функцией, реализующий топологические методы.

3) Создан комплекс программ, реализующий описанные выше математическую модель и метод компьютерного анализа.

4) С помощью комплекса построена бифуркационная диаграмма и определены области существования и устойчивости жидкого самогравитирующего эллиптического цилиндра с заданным моментом импульса и внутренним полем скоростей. Определены точки бифуркации эллиптического цилиндра с нулевой завихренностью. Найдены двумерные аналоги эллипсоидов Якоби и Дедекинда. 5) Найден новый класс фигур равновесия неоднородной самогравитирующей жидкости — сфероиды с гомофокальным расслоением. Получена замкнутая система уравнения гидродинамики в частных производных в криволинейной неортогональной системе координат, описывающая движение сфероидов с гомофокальным расслоением. В общем виде найдено совместное решение данной системы, а также найдены зависимости угловой скорости и давления от слоя для заданной функции плотности.

Аргументированность, обоснованность и достоверность результатов диссертации.

Полученные в диссертации результаты основываются на строго доказанных теоремах и утверждениях, имеют ясную физическую трактовку и не противоречат известным результатам, обобщают результаты, полученные ранее другими авторами. Достоверность результатов, полученных при работе с разработанным комплексом программ, подтверждается согласованностью с аналитическими результатами в рассматриваемых задачах.

Комплекс программ для моделирования динамики дискретных частиц был опробован на задаче о движении двух тел, взаимодействующих по ньютоновскому и логарифмическому законам. Полученные траектории соответствуют классическому решению задачи двух тел. Кроме того, при численных расчетах проверялось выполнение законов сохранения энергии, импульса и момента импульса.

Теоретическая и практическая ценность.

Программный комплекс для моделирования динамики самогравитирующей системы большого числа частиц может быть использован для решения космогонических задач эволюции самогравитирующих небесных тел, в том числе при описании распадов на двойные системы и наблюдении их эволюции. Метод компьютерного анализа устойчивости систем, описываемых гироскопической функцией, может быть использован для изучения различных систем механики, приводимых к одной степени свободы. Полученные в ходе апробации модуля научные результаты, описанные во второй главе, носят теоретический характер и могут быть основой для дальнейших исследований, например, устойчивости эллиптического цилиндра с внутренним полем скоростей при произвольных возмущениях. Кроме того, интересно было бы указать при помощи компьютерных методов новые семейства неэллиптических фигур равновесия с внутренним полем скоростей.

Апробация результатов.

Результаты диссертации отражены в 8 публикациях, из них 3 статьи — в научных журналах списка ВАК. Основные результаты работы неоднократно обсуждались на семинарах Института компьютерных исследований УдГУ, Института Машиноведения им. А. А. Благонравова РАН, а также докладывались на всероссийских и международных конференциях:

1) Всероссийская конференция «Регулярная и хаотическая динамика», г. Ижевск, 19−24 января, 2010 г.

2) Международная конференция «Регулярная и хаотическая гидродинамика. Приложения к атмосфере и океану», г. Ижевск, 12−15 мая, 2010 г.

3) Конференция-семинар «Проблемы классической и статистической механики», г. Ижевск, 20−23 декабря, 2010 г.

4) Всероссийская конференция «Динамические системы и робототехника», г. Ижевск, 3−6 июня, 2011 г.

5) III International conference «Geometry, dynamics, integrable systems — GDIS 2011», Lisbon — Sintra, Portugal, 10−16 September, 2011.

Публикации автора по теме диссертации.

1) Иванова Т. Б. Построение бифуркационной диаграммы и анализ устойчивости жидкого самогравитирующего эллиптического цилиндра с внутренним вращением // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2010. № 4. С. 77−86.

2) Борисов А. В., Мамаев И. С., Иванова Т. Б. Устойчивость жидкого самогравитирующего эллиптического цилиндра с внутренним вращением // Нелинейная динамика. 2010. Т. 6. № 4. С. 807−822.

3) Бизяев И. А., Иванова Т. Б. Фигуры равновесия жидких самогравитирую-щих неоднородных масс // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2011. № 3. С. 142−153.

4) Иванова Т. Б. К вопросу о равновесных формах самогравитирующей вращающейся жидкости // Регулярная и хаотическая динамика: тез. докл. Все-рос. конф., г. Ижевск, 19−24 января, 2010 г. / Мат. ин-т им. В. А. Стеклова РАН, Ин-т компьютер, исслед., ГОУВПО «УдГУ». — Ижевск: Регулярная и хаотическая динамика, 2010. С. 44.

5) Иванова Т. Б. Равновесные конфигурации вращающегося жидкого цилиндра с внутренним течением // Регулярная и хаотическая гидродинамика. Приложения к атмосфере и океану: тез. докл. Междунар. конф., г. Ижевск, 12−15 мая, 2010 г. — Ижевск: РХД, 2010. С. 19−20.

6) Иванова Т. Б., Мамаев И. С. Исследование динамики большого количества самогравитирующих упругих дисков с ударами // Проблемы классической и статистической механики: тезисы докл., г. Ижевск, 20−23 декабря, 2010 г. / Ин-т компьютер, исслед., ГОУВПО «УдГУ». — Ижевск: РХД, 2010. С. 25.

7) Иванова Т. Б., Бизяев И. А. Исследование фигур равновесия жидких самогравитирующих неоднородных масс // Динамические системы и робототехника: тез. докл. Всерос. конф., г. Ижевск, 3−6 июня, 2011 г. / Ин-т компьютер, исслед., ГОУВПО «УдГУ». — Ижевск: РХД, 2011. С. 22. 8) Ivanova Т. The modeling of the dynamics of rotating self-graviting liquid // III International conference «Geometry, dynamics, integrable systems — GDIS 2011»: тез. докл. междунар. конф., Lisbon — Sintra, Portugal, 1016 September, 2011. P. 12.

Краткое содержание работы.

Диссертация изложена на 104 страницах и состоит из введения, трех глав, заключения, приложения и списка цитируемой литературы (56 наименований). Диссертация содержит 38 рисунков.

Заключение

.

Сформулируем основные результаты, полученные в диссертационной работе.

1) Разработана математическая модель, описывающая динамику самограви-тирующей системы большого числа частиц конечного радиуса в двумерной постановке, взаимодействующих по логарифмическому закону, которая включает в себя регуляризацию уравнений движения (использование переменного шага по времени и законы упругого отталкивания частиц на малых расстояниях).

2) В общем виде реализована процедура компьютерного анализа устойчивости систем, описываемых гироскопической функцией, на примере жидкого самогравитирующего эллиптического цилиндра с внутренним течением в классе эллиптических возмущений.

3) Создан комплекс программ, реализующий описанные выше математическую модель и метод компьютерного анализа устойчивости одностепен-ных систем.

4) С помощью комплекса построена бифуркационная диаграмма и определены области существования и устойчивости жидкого самогравитирующего эллиптического цилиндра с заданным моментом импульса и внутренним полем скоростей. Устойчивость исследовалась в классе эллиптических возмущений.

5) Определены точки бифуркации эллиптического цилиндра с нулевой завихренностью. Найдены двумерные аналоги эллипсоидов Якоби и Дедекинда.

6) При анализе уравнений Римана для эллиптического цилиндра определены области отрицательного давления, в которых решение не существует.

7) Найден новый класс фигур равновесия неоднородной самогравитирующей жидкости — сфероиды с гомофокальным расслоением. Получена замкнутая система уравнения гидродинамики в частных производных в криволинейной неортогональной системе координат, описывающая движение сфероидов с гомофокальным расслоением. В общем виде найдено совместное решение данной системы, а также найдены зависимости угловой скорости и давления от слоя для заданной функции плотности.

8) В ходе численного эксперимента получены различные сценарии эволюции самогравитирующих масс в двумерной постановке, в том числе распадов.

Обсудим также некоторые задачи, которые могут быть решены на основании результатов диссертации.

В известной работе Лава [12] показано, что жидкий эллиптический цилиндр без внутреннего течения является устойчивым по отношению к про.

1 а извольным возмущениям, если отношение полуосей — < - < 3 (в то вре.

3 о мя как согласно результатам данной работы по отношению к эллиптическим возмущениям эти цилиндры всегда устойчивы). Выше было показано, что устойчивому цилиндру без внутреннего вращения соответствует лишь некоторая кривая на бифуркационной поверхности всевозможных эллиптических цилиндров с произвольным внутренним вращением (см. рис. 10). Поэтому возникает естественный вопрос об устойчивости эллиптического цилиндра с внутренним течением по отношению к произвольным возмущениям, который может быть решен обобщением методов Лава.

Отметим также, что, помимо рассматриваемого в данной работе обобщения о решении Дирихле для жидких цилиндров, известно аналогичное решения для газовых самогравитирующих эллиптических цилиндров (для эллипсоидов подобные решения обнаружены в работах [2, 24]). Эта система не является интегрируемой. Тем не менее, стационарные решения существуют, и их устойчивость является открытым вопросом. Задание различных функций плотности в разработанном комплексе программ позволяет наблюдать эволюцию, в том числе, разреженных газовых масс. Совмещение численных и аналитических методов исследования газовых эллипсоидов позволит разрешить многие вопросы в этой области.

В заключение отметим, что двумерная задача об эллиптических цилиндрах использовалась начиная с Джинса и его современников для качественного объяснения распада звезд или происхождения двойных звезд и т. п. Как правило, в основе этих заключений лежит предположение о том, что при изменении параметров системы (например, в связи с некоторыми внутренними процессами или диссипацией) она проходит через последовательность равновесных конфигураций, среди которых следует искать равновесные двойные конфигурации. С другой стороны, также вероятен сценарий, при котором в процессе эволюции параметров система приходит к границе устойчивости либо к границе разрывности (области отрицательного давления). При этом аналитических методов для описания этих процессов не существует. Созданный программный комплекс и наблюдение численных решений, демонстрирующих распад, позволят продвинуться в аналитическом исследовании данной задачи.

Выражаю благодарность научному руководителю Мамаеву Ивану Сергеевичу, а также Борисову Алексею Владимировичу и Килину Александру Александровичу за внимание к работе и полезные обсуждения.