Методы исследования математической модели управления инвестиционным порфелем

Актуальность темы

исследования. В настоящей работе строится и исследуется математическая модель управления инвестиционным портфелем (ИП), которая описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений с управляющим параметром. Исследование проводится с целью определения условий наличия управляющих воздействий путем перераспределения капитала между различными видами инвестиций для достижения желаемой доходности инвестиционного портфеля. В соответствии с целью решается двухточечная краевая задача управляемой системы дифференциальных уравнений, определяются условия нелокальной и локальной управляемости нелинейной системы.

Изучение реальных процессов зачастую сводится к исследованию нелинейных систем дифференциальных уравнений, возникает необходимость построить теорию нелинейных систем, определить условия, при которых такая система управляема. Необходимость решения таких задач возникает при математическом моделировании экономических, химических, биологических, физических, социальных и других процессов [4, 6, 8, 10, 11, 13, 22, 35, 41, 48, 57, 60, 64, 67, 71, 77, 78, 82 — 84, 107]. Математическое моделирование не только помогает строго формализовать знания об объекте, но и в ряде случаев (при хорошей изученности объекта) оно может дать количественное описание процесса и предсказать его ход и эффективность.

Проблема управления инвестиционным портфелем является одной из основных задач финансового менеджмента. При решении этой проблемы исходят, как правило, из предположения о том, что при формирование своего портфеля, инвестор, с одной стороны, хотел бы минимизировать риск портфеля, с другой стороны — получать желаемую доходность. Содержание ИП складывается из ценных бумаг и имущественных вложений. В настоящее время резко возрастает эффективность математических методов в управлении инвестиционным портфелем, увеличивается интерес к их применению в финансовой работе. Необходимость поиска построения методов исследования и расчета математических моделей сложных процессов, динамика которых описывается управляемыми нелинейными системами дифференциальных уравнений, обусловлена в том числе интересом к задаче перевода объекта из начального состояния в заранее заданное при условии, что система линейного приближения не обладает свойством полной управляемости, к выбору множества допустимых управлений. Поэтому задача определения условий управляемости нелинейных математических моделей является актуальной. В диссертации рассматриваются случаи нелинейных моделей управления инвестиционным портфелем, изучаются вопросы нелокального и локального управления нелинейными системами. Несмотря на то, что исследованию проблемы управляемости систем посвящено большое количество работ, основная их часть относится к решению задачи локальной управляемости. Разнообразие теоретических и практических задач, возникающих в теории управляемости и ее приложений, вызывает необходимость поиска новых методов решения краевых задач, особенно для нелинейных систем.

Цели и задачи исследования. Целью работы является математическое моделирование процесса управления инвестиционным портфелем и получение теоретически обоснованных методов определения стратегии управления портфелем, описываемым математическими моделями — системами обыкновенных дифференциальных уравнений х = A{t, ii) x + B{t)u + /(/, х, м), х = A (t,/i)x + B (t)u + f (t, x, u), путем перераспределения капитала между активами для получения желаемой доходности портфеля.

Для достижения поставленной цели в работе решаются следующие математические задачи.

Рассматриваются нелинейные системы дифференциальных уравнений х = A (t)x + B (t)u + f (t, х, и), (0.1) x = A (t, u) x + B (t)u + f (t, x, u), (0.2) х = A (t, ju) x + B (t)u + f (t, x, u), (0−3) x-B (t)u +f{t, x, ii), (0.4) в которых xeEtl — фазовая переменная, u<�п, Ек —^{-мерное} векторное пространство, A (t), A (t, u), A (t,/i) — пхп матрицы, B (t) — матрица порядка пхт, tе[0,Г], Те (0,+со), f (t, x, u) — «-мерная вектор-функция, {л — параметр.

Ставится задача — определить условия наличия числа Т > 0 и управления, заданного на сегменте [0, Г], при которых системы (0.1) — (0.4) имеют решение удовлетворяющее краевым условиям х (0) = а, х{Т) = J3, где аеЕп,/3<=Еп.

Для линейной системы дифференциальных уравнений х = A (t)x + B (t)u + F (t), (0.5) в которой х е Еп, и е Em, т<�п, A (t), B (t) — матрицы, F (t) — и-мерная вектор-функция, Т > 0 — некоторое число, поставлена задача — найти управление, имеющее наименьшую норму и такое, что система (0.5) имеет решение x (t), удовлетворяющее равенствам х (0) = а, х (Т) = /3.

Методы исследования. Краевая задача для управляемых систем дифференциальных уравнений разрешается в классе кусочно-непрерывных управлений. Допустимые управления отыскиваются в виде вектор-функций, представляющих собой сумму линейной комбинации вектор-строк импульсной переходной матрицы системы и некоторой заранее заданной вектор-функции, зависящей от времени и параметра. В доказательстве теорем об условиях наличия управлений, удовлетворяющих задачам нелокальной и локальной управляемости модели, используется метод неподвижной точки оператора, метод замены переменных. Управление строится путем разбиения промежутка времени на части и задается на каждой части своей формулой. Используются численные методы решения систем линейных алгебраических уравнений.

Основные результаты, имеющиеся по данной проблеме.

Вопросам финансового менеджмента, а также управления инвестиционным портфелем посвятили свои работы многие отечественные и зарубежные ученые. Начальный этап развития теории инвестиций относится к 20 — 30-м годам XX века и является периодом зарождения теории портфельных финансов как науки в целом. Этот этап представлен, прежде всего, основополагающими работами Дж. Хикса [95], И. Фишера [94] по теории процентной ставки и приведенной стоимости. Начало современной теории инвестиций определяется выходом в 1952 г. статьи Г. Марковича под названием «Выбор портфеля» в «Журнале финансов» («The Journal of Finance»). В этой статье впервые была предложена математическая модель формирования оптимального портфеля ценных бумаг, были приведены методы построения таких портфелей при определенных условиях. В более расширенном варианте он изложил свою теорию в монографии [110]. Далее теория управления портфелем развивалась У. Шарпом [97, 112], Д. Тобином [ИЗ]. В работе А. С. Шведова [98] содержится изложение теории эффективных портфелей — одной из математических теорий, используемых для выработки решений на фондовых рынках. У. Шарп, Г. Александер, Дж. Бейли [97] занимались развитием теории оценки финансовых активов, рассматривали методы управления инвестициями, изучали проблемы глобализации инвестирования. Исследованшо динамических моделей макрои микроэкономики в виде функционально-дифференциальных уравнений с последействием посвящены работы Колемаева В. А. [39], Симонова П. М. [82 — 84]. В частности Симоновым П. М. рассмотрены нелинейные экономические модели с запаздыванием ввода инвестиций.

Сегодня вопрос управления инвестиционным портфелем — одна из основных задач финансового менеджмента. В работах [20, 21, 25] предложена многомерная динамическая модель управления инвестиционным портфелем. Задача управления портфелем формулируется как динамическая задача слежения по квадратичному критерию за некоторым, задаваемым инвестором, портфелем, имеющим желаемую доходность (гипотетическим эталонным портфелем). В работе В. В. Домбровского, В. А. Гальперина [24] динамика ИП описывается в агрегированном виде, то есть используются уравнения для капитала портфеля в целом. Состояние портфеля определяется суммарным капиталом всех вкладов в активы, а управлениями являются объемы этих вкладов.

Математическая теория управления играет выдающуюся роль в развитии современной цивилизации, хотя возникла сравнительно недавно (наибольшее развитие получила во второй половине XX века). Совершенствование техники и растущая потребность в надежности и безопасности функционирования управляемых систем определило круг задач, которые составляют предмет математической теории управляемых процессов. Так возникли теория управляемости, как результат исследования проблемы перевода управляемого объекта в заданное конечное состояние, теория оптимального управления, направленная на уменьшение потерь при протекании процесса, теория наблюдения и стабилизации. Решение задач конфликтного управления привело к развитию новой ветви математической теории оптимального управления — теории дифференциальных игр. Начало исследований и основные результаты по теории управления процессами, описываемыми системами дифференциальных уравнений, связаны с такими именами, как Р. Е. Калман [36], Н. Н. Красовский [43 — 47], В. И. Зубов [32, 33], Е. А. Барбашин [7], С. Н. Шиманов [99] и другие.

Современная теория оптимального управления основана трудами JI.C. Понтрягина и его учеников — В. Г. Болтянского, Р. В. Гамкрелидзе ц Е.Ф.

Мищенко [74]. Она обеспечила возможность синтеза оптимального управления для широкого класса линейных систем. Большую роль в теории оптимальных процессов наряду с фундаментальным принципом максимума (необходимые условия оптимальности) Понтрягина Л. С. играет метод динамического программирования [8]. Отметим, что работы, посвященные вопросу существования оптимального управления [1, 2, 8, 9, 35, 50, 51, 65, 66, 70, 74, 93, 109], основываются на предположении об управляемости системы, то есть, на предположении, что существует допустимое управление, переводящее объект в заданное конечное состояние.

В работах [8, 36, 51, 74, 104] исследуются системы вида х = Ах + Ви, хей" ,(/е R'" с постоянными параметрами, определена структура области управляемости, получены некоторые свойства решений краевых задач. Авторы статьи [115] рассматривают аналогичные системы в банаховом пространстве, где, А — генератор С-полугруппы, управление и принадлежит LF ([О, Т U), 1 < р <оо, U — банахово пространство. Получены условия управляемости и условия нуль-управляемости таких систем.

Красовским Н.Н. [46] задача об управляемости линейной системы х = A (t)x + B{t)ii +, x (ta) = xa, x (tp) = xp, рассматривается как проблема моментов. Сформулированы необходимые и достаточные условия существования оптимального решения, установлена зависимость решения от краевых условий. Для квазилинейной системы х = f (t, x)+g (t, x) u, x (ta) = xa, x (tp) — 0, в предположении, что система линейного приближения вполне управляема на отрезке j, методом последовательных приближений доказывается существование релейного управления, разрешающего краевую задачу и отличающегося от оптимального управления на величину второго Доказано, что для полной управляемости линейпорядка малости по ной нестационарной системы х — A (t)x + B (t)u, / е [f0, ], элементы матриц.

A (f), B (t) являются аналитическими и периодическими функциями времени t с периодом со, достаточно, чтобы rang{B (z), rB (T),., Г" '1 В (т))= п, где Г = х[&$х[а>$] = х (а>)х{р X{t) — фундаментальная матрица решений системы х = Л (/)х. В работе [47] изучаются задачи программного управления и управления по принципу обратной связи.

Значительная сложность проблемы разрешимости краевой задачи, особенно для нелинейных систем, стимулирует поиск методов её решения. Исследованию проблемы управляемости нелинейных систем посвящены работы [6, 10, 11, 15 — 17, 22, 28 — 34, 52 — 54, 58 — 61, 64, 65, 68, 71 — 73, 75, 76, 79, 80, 86, 94 — 96, 111, 114]. Большинство результатов этих работ относятся к решению задачи локальной управляемости.

Зубов В.И. в работе [32] рассматривал краевую задачу для линейных и квазилинейных систем, большое внимание уделял возможности численного решения краевой задачи с помощью методов последовательного приближения.

Задача о построении управления, переводящего нелинейную систему х — A (t)x + b (t)u + f{x, i) из заданного начального состояния x (ta) = x" в заданное конечное x (tp) = xр и имеющего наименьшую интенсивность, при достаточно малых ха, хр рассматривалась в [3], [45]. В этих работах описан метод построения управления близкого к оптимальному. В работе [3] Альбрехтом Э. Г. для квазилинейной системы, описываемой уравнением х = A (t)x + b (t)u + ju f{x, t) с малым параметром //, решается двухточечная краевая задача, строится управления с наименьшей интенсивностью. Автором предложен итеративный способ построения оптимального управления установлены достаточные условия оптимальности. Решение задачи опирается на свойства вполне управляемой системы первого приближения х = Ait^x + bifp. Для аналогичной системы Красовским Н. Н. [46] описан способ построения оптимального управления без требования малости краевых условий.

Построением управления u{t, ju) близкого к оптимальному u°(t, ju) в случае квазилинейных систем занимались Субботин А. И. [85], Альбрехт Э. Г., Соболев О. Н. [5]. В частности авторы работы [5] обосновали процедуру вычисления оптимального управления по принципу обратной связи, исследовали свойства функции оптимального результата.

Красовский Н.Н. в работе [46] и Минюк С. А. в статье [62] исследовали вопрос полной (нуль-управляемости) управляемости системы B{t)u{t), t e[/0,/j]. Получены условия полной нуль-управляемости в случае гладких матричных функций A{t B (t).

Проблемой устойчивости управления по параметру занимался М. Т. Терехин [87, 88]. В отличие от работ [3, 5], где рассматривалась аналогичная задача, в статье [88] определены условия сохранения (потери) управляемости систем вида х = f (t, x, u, X) при изменении параметра Я без предположения о полной управляемости системы линейного приближения.

Ф.Н. Григорьев, Н. А. Кузнецов [22] рассматривали нелинейную систему третьего порядка, являющуюся математической моделью движения крупнотоннажного водоизмещающего судна. Доказано, что оптимальным по быстродействию управлением является релейное управление, имеющее не более двух переключений. Описан метод построения поверхности и линии переключения оптимального управления, что дает основание для синтеза оптимального управления.

Шарафеевым Д.Р. [96] найдены условия существования тройки «начальное значение — управление — параметр», разрешающей периодическую краевую задачу. В работах Львовой Л. Л. [52 — 54] задача управляемости нелинейных систем решается методом последовательных приближений. В предположении, что система линейного приближения может не быть вполне управляемой, получены условия существования пары «управление — параметр», которая переводит объект из нулевого начального в нулевое конечное состояние. Исследуется зависимость свойства управляемости системы х = A{t)х + B{t)u + f{t, х, и, Л) от малых изменений параметра Л.

Земляковой JI.C. [26 — 31] получены достаточные условия существования кусочно-постоянного управления, разрешающего глобальную краевую задачу. Управлением динамическими системами с помощью кусочно-постоянных управлений методом последовательных приближений занимались Раковщик JI.C. [75, 76], Нгуен Т. Б. [67].

Авторами работ [92, 111] в предположении полной управляемости системы линейного приближения получены достаточные условия управляемости нелинейной системы. Тонковым E.JI. [92] установлено, что система х = f (x, t, u), ueUaRm, локально управляема, если Oeint U и локально управляема соответствующая ей система линейного приближения.

Терехиным М.Т. [90] рассмотрены системы, не являющиеся в общем случае управляемыми, определяется множество, в любой точке которого система управляема.

В работе Пантелеева В. П. [69] установлен необходимый и достаточный признак локальной управляемости линейной по состоянию нестационарной динамической системы х = A (t)x + b (t, u). Работы [63, 64] Митрохина Ю. С., Степанова А. Н. посвящены исследованию системы вида х = / (х) + Ви. В случаях, когда система линейного приближения неуправляема, сформулированы необходимое и достаточное условия локальной управляемости.

Вопросом управляемости нелинейных систем дифференциальных уравнений занимался Воскресенский Е. В. [11 — 17]. В основе его подхода лежит метод сравнения системы с другой, линейной или нелинейной, более удобной для исследования системой. При этом помимо решения проблем теории управляемости метод сравнения позволяет установить ряд других полезных свойств решений, например, устойчивость. В работе [17] на основании принципа сравнения решаются задачи управляемости движением с обратной связью, при условии, что система имеет линейное приближение. За счет малости нелинейной части, управляемости системы линейного приближения свойством управляемости обладает и нелинейная система. dx.

Павлов А.Ю. [68] систему — = A (t)x + B (t)u + fit, х, и) + F (t) сравниdt вает с соответствующей линейной системой в предположении, что в фиксированном классе управлений система сравнения является управляемой за конечный или бесконечный промежуток времени.

Мастерковым Ю.В. в работах [58 — 60] исследовались множества локально управляемых, устойчиво управляемых и Nуправляемых систем. Получены соотношения между этими понятиями. Показано, что свойство Nуправляемости является наиболее сильным из известных свойств управляемости. Авторами работы [111] получен аналог критерия Калмана, сформулированный для систем с запаздыванием.

Петров Н.Н. в работах [71, 72] при исследовании нелинейной автономной системы не предполагал полной управляемости системы линейного приближения. Методом функции Ляпунова получены достаточные условия существования кусочно-постоянного управления, переводящего динамическую систему за конечный промежуток времени из любой точки фазового пространства в начало координат.

При решении задач управляемости в работах [6, 59, 61] в качестве допустимых управлений рассматриваются измеримые, ограниченные вектор-функции. В работе Пантелеева В. П. [69] предполагается, что функция, содержащая управление, удовлетворяет условиям Каратеодори. В [101] допустимыми управлениями считаются измеримые, ограниченные на [0,Г] вектор-функции, зависящие от фазовой переменной,.

Проблема существования управлений, разрешающих краевую задачу для нелинейных систем, исследовалась различными методами [17, 26 — 31, 67, 68, 107]. Габасов Р. Ф. и Кириллова Ф. М. [18] применяют метод приращений, рассматриваемых на траекториях системы, Терехин М. Т., Землякова JI.C. [94] предлагают метод вариации промежуточной точки, в работе D. Kleis, E.W. Sachs [107] используют метод неподвижных точек.

Содержание работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на параграфы, заключения и приложения.

Введение

содержит обоснование актуальности темы диссертации, цель работы, методику исследования, краткий обзор результатов других авторов по теме исследования, краткое содержание работы.

Заключение

.

Работа посвящена построению и исследованию математической модели управления инвестиционным портфелем, описываемой системой обыкновенных дифференциальных уравнений с управляющим параметром. Предложены методы разрешимости двухточечной краевой задачи для нелинейной модели. Получены условия нелокальной и локальной управляемости модели на множестве кусочно-непрерывных управлений.

В диссертации допустимые управления отыскиваются в виде вектор-функций, представляющих собой сумму линейной комбинации вектор-строк импульсной переходной матрицы системы и некоторой заранее заданной вектор-функции, зависящей от времени и параметра. Теоремы о разрешимости краевой задачи доказываются с использованием метода неподвижной точки нелинейного оператора. Управление строится путем разбиения промежутка времени на части и задается на каждой части своей формулой.

Рассматривается применение изложенной теории к исследованию математической модели управления инвестиционным портфелем. Полученные в работе результаты исследований по теории систем дифференциальных уравнений позволяют находить условия достижения желаемой доходности инвестиционного портфеля, корректировать управляющие воздействия методом разбиения промежутка времени на части. Управляющее воздействие определяется как кусочно-непрерывная вектор-функция. В случае линейной модели управления портфелем найдены условия наличия оптимального управления, исследована возможная ожидаемая доходность портфеля при выбранном виде управления.

В диссертации имеются численные примеры с исследованием математических моделей управления конкретными инвестиционными портфелями. Составлена программа в системе Matchcad 14.0, позволяющая исследовать линейные математические модели управления портфелем.