Решение алгоритмических проблем для свободного произведения с коммутирующими подгруппами

ДиссертацияПомощь в написанииУзнать стоимостьмоей работы

Во второй главе решается вопрос описания пересечения конечного числа централизаторов элементов группы G. В рассматриваемом классе групп пересечение конечно порожденных подгрупп в общем случае не является конечно порожденной подгруппой. Это следует из результата Д. И. Молдаванского (1968 г.): группа, содержащая прямое произведение бесконечной циклической подгруппы и свободной ранга 2, не обладает… Читать ещё >

Содержание

Глава 1. О централизаторах элементов для свободного произве- 10 дения с коммутирующими подгруппами
- 1. 1. Описание централизатора элементов со слоговой длиной 10 единица
- 1. 2. Доказательство общего случая
Глава 2. Описание пересечения централизаторов элементов
- 2. 1. Построение пересечения конечного числа циклических подгрупп и свободных абелевых ранга
- 2. 2. Построение пересечения циклических подгрупп и централизаторов элементов со слоговой длиной единица
- 2. 3. Построение пересечения свободных абелевых подгрупп ранга 2 и централизаторов элементов со слоговой длиной единица
- 2. 4. Построение пересечения конечного множества централизаторов элементов со слоговой длиной единица
Глава 3. Решение обобщенной проблемы сопряженности
- 3. 1. О пересечении смежных классов централизаторов элементов
- 3. 2. Разрешимость проблемы обобщенной сопряженности

Решение алгоритмических проблем для свободного произведения с коммутирующими подгруппами (реферат, курсовая, диплом, контрольная)

Основными алгоритмическими проблемами в теории групп, поставленными М. Деном [4] в одной из его работ в 1911 году, являются проблемы равенства и сопряженности в конечно определенных группах и проблема изоморфизма групп.

Исследование этих проблем стимулировало развитие комбинаторных методов в теории групп, что явилось причиной возникновения одного из самых активно развивающихся направлений современной математики — комбинаторной теории групп. В настоящее время имеется целый ряд книг, посвященных данной темесреди них достаточно назвать монографии Карраса, Магнуса и Солитера [22], а также Линдона и Шуппа [20].

Среди работ, связанных с исследованием проблем М. Дена, наиболее выдающимися являются работы П. С. Новикова [31], доказавшего неразрешимость проблемы равенства слов в конечно определенных группахим же доказана неразрешимость проблемы изоморфизма групп. Примеры конечно определенных групп с неразрешимой проблемой равенства были даны Бу-ном [2].

С.И. Адяном [9] определено понятие наследственного нетривиального свойства группы и доказано, что не существует алгоритма, позволяющего для произвольной группы с конечным числом образующих и определяющих соотношений распознать выполнимость свойства /3, представляющего собой объединение нетривиального наследственного инвариантного свойства, если только существуют группы, обладающие этим свойством /3.

Из этого следует, что практически все проблемы, относящиеся к конечно определенным группам, в общем случае неразрешимы.

Отрицательное решение проблемы равенства слов явилось причиной изучения проблем Дена в определенных классах групп.

Для групп с разрешимой проблемой равенства слов возникает более общая проблема — проблема вхождения, впервые рассмотренная Нильсеном в свободных группах и Магнусом в группах с одним определяющим соотношением для так называемых магнусовых подгрупп.

Известно, что проблема вхождения в классе всех конечно определенных групп неразрешима, что непосредственно следует из связи между проблемой вхождения и проблемой равенства слов. Поэтому естественен интерес к изучению рассматриваемой проблемы для каких — то фиксированных классов групп. Как было отмечено выше, положительное решение проблемы вхождения в свободных группах следует из результата Нильсена.

К. А. Михайловой [28] этот результат был обобщен на свободное произведение групп, доказано, что если в группах, А и В разрешима проблема вхождения, то она разрешима в их свободном произведении.

В отличие от свободного произведения, прямое произведение групп, как доказала К. А. Михайлова [29], не наследует свойства сомножителей иметь разрешимой проблему вхождения.

Обобщением проблемы сопряженности слов является проблема обобщенной сопряженности слов, проблема степенной сопряженности и проблема сопряженности подгрупп.

Определение 1. Под обобщенной проблемой сопряженности слов в группе G понимается решение в G системы уравнений &" =l (z 'w.z = v/y), где Wj, vjr i = I, n— фиксированные элементы группы G.

Существование такого алгоритма для некоторого класса конечно определенных групп позволяет для любого автоморфизма ^ Е AutG определить, является ли он внутренним.

Проблема изоморфизма конечно порожденной коммутативной полугруппы сводится к проблеме обобщенной сопряженности слов в классе GLn (Z) групп. Отсюда следует, что решение данной проблемы является важной задачей в комбинаторной теории групп.

С описанием множества решений данной системы связана проблема построения централизатора конечно порожденной подгруппы.

Г. С. Маканиным [23] решена известная проблема Артина об описании всех кос в, J/)n+, коммутирующих с данной косой. Доказано, что централизатор любого элемента в конечно порожден и указан алгоритм построения его образующих. Используя результат Г. Г. Гурзо [19], обобщившей теорему Г. С. Маканина [23], Т. А. Маканина [24] получила полное решение обобщенной проблемы сопряженности слов в JSn+i.

Результаты Г. С. Маканина, Г. Г. Гурзо и Т. А. Маканиной справедливы для групп Артина конечного типа, определенных Брискорном Э. и Сайто К. в статье [18], а именно, в [32] показано, что централизатор конечно порожденной подгруппы конечно порожден и существует алгоритм, выписывающий образующие централизатораразрешима проблема обобщенной сопряженности словдано полное описание решений системы уравнений.

—l (z~Jwjz = vi).

И. Г. Лысенок [21], доказал разрешимость обобщенной проблемы сопряженности для гиперболических групп, им же установлено, что централизатор элемента в гиперболической группе является конечно порожденным.

В. Н. Безверхний доказал разрешимость проблемы обобщенной сопряженности в группах C (p)&T (q), где (p, q) Е {(6,3), (4,4), (3,6)} и в группах Артина большого типа [10, 14, 15]. Также, для данных классов групп была доказана конечная порожденность централизатора конечной порожденной подгруппы.

Герстеном и Шортом [4] доказана конечная порожденность централизатора элементов для биавтоматных групп.

Помимо указанных выше проблем, мы будем рассматривать проблему А. И. Мальцева [26] о нахождении образующих пересечения конечно порожденных подалгебр данной алгебры, решившего данную проблему для конечно порожденных нильпотентных групп [25]. С данной проблемой тесно связано свойство <~У ((Хаусона) подалгебр данной алгебры, а именно, алгебра обладает свойством гУ (? если пересечение конечно порожденных подалгебр есть конечно порожденная подалгебра. Известно [5], что свободные группы обладают свойством rY{. Б. Баумслаг [1] обобщил результат Хаусона на свободное произведение групп.

Для свободных групп проблема А. И. Мальцева о пересечении подгрупп решена В. Н. Безверхним [11]. Конструктивное доказательство теоремы Б. Баумслага, данное в статье [16], позволило ее авторам решить указанную проблему А. И. Мальцева для свободного произведения групп. Там же доказано, что теорема Баумслага на свободное произведение с объединением не переносится. Показано, что свободное произведение групп, обладающих свойством Хаусона, объединенных по конечным группам, обладает свойством Хаусона. Также в данной работе показано, что если сомножители обладают свойством Хаусона и них разрешима проблема Мальцева и разрешима проблема пересечения смежных классов конечно порожденных подгрупп, то и свободное произведение этих групп, объединенных по конечным подгруппам, наследует указанное выше свойство.

Д. И. Молдаванским в [29] доказывается, что группы с одним определяющим соотношением с нетривиальным центром свойством Хаусона не обладают.

И. Капович показал [6], что в группе G= свойством Хаусона также не выполнено.

Представленная работа посвящены решению некоторых алгоритмических проблем в классе групп, являющемся свободным произведением двух свободных групп с коммутирующими подгруппами:

С = ^А*В-{Н, К = 7^, где Н и К — конечно порожденные подгруппы в.

А и В соответственно, а именно, описанию централизатора элементов, построению пересечения централизаторов и решению обобщенной проблемы сопряженности. Для групп этого класса Д. Гурвицем [8] доказана разрешимость проблем равенства и сопряженности слов. В работе Р. Е. Шуппа и С. Ф. Миллера [7] исследуется геометрия этих групп и показано, что условия при которых проблема слов разрешима идентичны для свободного произведения с объединением. Если, А и В имеют разрешимую проблему равенства и в подгруппах Н и К разрешима обобщенная проблема равенства, то в группе G разрешима проблема равенства.

В первом параграфе вводятся основные определения симметризованного множества, циклически R — приведенного слова, R — диаграммы, приводятся результаты, полученные ранее для рассматриваемого класса групп. Основным результатом первой главы является следующая теорема Теорема 1. Централизатор любого элемента группы G конечно порожден и есть либо циклическая, либо свободная абелева ранга 2, либо подгруппа вида.

Cjg)= (V, П*а>Ка')' 4 84 е н> S >8 * н;

Ca (g)= (5, К *П*аМ/)> а-84 е Д g=sk, g е Н. f.

— 1 i.-i.

Ca (8h s, UhUb], b. gbi e K, g g^K, i=l.

CJg)= H * Т1*ЬДЪ]1 j, bj'gbi e K, g=sk, g g К.

Причем Cliybjj выбирается как минимальный представитель двойного смежного класса < g > а'/ Н (< g > b’K^j.