Нелинейные волны на поверхности вязкой жидкости и двухфазной смеси

Диссертация посвящена нелинейному моделированию распространения волн на свободной поверхности вязкой жидкости и двухфазной смеси, а также разработке приближенных аналитических методов исследования нелинейных волновых моделей.

Теория волн на поверхности жидкости оформилась в самостоятельный раздел гидромеханики и математической физики в классических работах Ж. Л. Лагранжа, О. Коши и С.Пуассона. Линеаризация задачи о волнах, положенная в основу теории волн бесконечно малой амплитуды, предложена О. Коши [67]. Теория волновых движений жидкости развивалась главным образом в связи с вопросами качки корабля, волнового сопротивления, а также теории приливных волн в каналах и реках. Среди тех, кто способствовал развитию линейной теории волн, следует отметить П. Лапласа, М. В. Остроградского, Дж. Эри, Дж. Стокса, У. Кельвина, Дж. Рэлея, Г. Ламба и других ученых.

Подавляющее большинство краевых задач, описывающих распространение волн, являются нелинейными, что не позволяет получать их точные аналитические решения. Эффективный метод решения нелинейной задачи о незатухающих прогрессивных волнах на поверхности идеальной жидкости первым разработал Дж. Стоке [74]. Этот метод известен как метод малого параметра (или последовательных приближений). В дальнейшем этот метод получил широкое применение при решении различных прикладных задач. Значительный вклад в его разработку и обоснование внесли Рэлей,.

Пуанкаре, Лайтхилл [49] и др. Наиболее полное изложение данного вопроса можно найти в работах Ван-Дайка [35] и Найфэ [ 52, 53]. Теория нелинейных волн на поверхности идеальной жидкости была усовершенствована в работах.

А.И. Некрасова[54], Леви-Чивита[72], Н.Е. Кочина[44], Л. Н. Сретенского.

63], Я.И. Секерж-Зеньковича [60, 61], Ю. З. Алешкова [3] и других авторов.

Дальнейшее развитие этой теории было связано с рассмотрением 4 нелинейных задач о волнах на поверхности жидкости более сложной физической природы и применением метода Стокса к их решению. Так теория волн на поверхности неоднородной жидкости отражена в современных работах [4, 5, 36, 37, 51, 56, 57]. Вопросам корректности постановок таких задач и устойчивости решений посвящены работы [38, 40]. Развитие метода малого параметра для решения нелинейных краевых задач о магнитогидродинамических поверхностных волнах представлено в работах [6, 9, 45, 73]. Таким образом, аналитические исследования нелинейных поверхностных волн проводятся давно и охватывают достаточно широкое многообразие моделей. Однако, в этих моделях как правило рассматриваются бездиссипативные волновые движения жидкостей, т. е. в них не учитывается влияние диссипативных факторов, например, вязкости. Хотя еще в 1845 г. Дж. Стоке указывал на важность учета вязкости жидкости при рассмотрении волновых задач [75]. В своей работе он пытался найти функциональную зависимость между декрементом затухания волны и коэффициентом вязкости.

Теоретическое изучение влияния вязкости на волновое движение жидкости началось ближе к середине XX века и проводилось в основном в линейном приближении. К основополагающим исследованиям этого периода можно отнести работу Г. Ламба [47]. В ней найдено решение линейной задачи на поверхности слоя вязкой жидкости бесконечной глубины в виде комплексных функций, состоящих из потенциальной и вихревой части. Для определения комплексной частоты Ламб получил алгебраическое уравнение четвертой степени (дисперсионное уравнение). Решение этого уравнения (дисперсионные соотношения) было выписано только в приближении слабовязкой жидкости, когда вихревой частью решения пренебрегают по сравнению с потенциальной. В дальнейших работах в основном использовались результаты, полученные Ламбом, например [2, 32, 48, 50, 68]. При этом оставались ненайденными: точное решение дисперсионного уравнения (аналитические выражения для частоты и декремента затухания) — 5 условия существования волнового режима теченияограничения применимости моделей слабои сильновязкой жидкости. Наличие этих проблем приводило к результатам отличным от полученных Ламбом, например [58, 65, 66, 69, 70, 71]. В работе [70] в случае слабовязкого приближения найдено выражение для декремента затухания вдвое меньше полученного Ламбом. В работе [58] при рассмотрении линейной задачи в полной форме также установлено, что найденная Ламбом зависимость и Т" ч и декремента от кинематическои вязкости не выполняется. В этой статье численно получено ограничение на значения относительной вязкости, при котором волновое движение возможно. Это и ограничения на применимость моделей слабои сильновязкой жидкости играют важную в океанологии и гидрофизике. Они позволяют правильно выбирать модели при расчетах волновых движений жидкости [41]. Таким образом, даже в линейном приближении задачу о волнах на поверхности вязкой жидкости нельзя считать полностью решенной. Поэтому в рамках линейного приближения целью диссертационной работы является аналитическое определение точных: дисперсионных соотношений, условий существования волнового движения, ограничений на модели слабои сильновязких жидкостей.

Решений нелинейных задач о волнах на поверхности вязкой жидкости, учитывающих известные нелинейные эффекты Стокса до настоящего времени не было. Отдельные попытки применить метод Стокса к таким задачам были предприняты в работах [1, 32, 33, 64]. За линейное приближение в них взято решение Ламба. Нелинейное исследование свелось к нахождению второго приближения стандартным методом Стокса. Применение этого метода к получению третьего приближения для вязкой жидкости приводит к неразрешимой ситуации — появляются неопределяемые функции времени. Поэтому в этом приближении стандартным методом нельзя получить решение. Но, как известно, только в третьем приближении проявляются нелинейные эффекты Стокса: наличие поправки к фазовой скорости и приповерхностное течение. Поэтому разработка эффективного б аналитического метода, который обобщает метод Стокса на нелинейные задачи для вязкой жидкости, является еще одной целью данной диссертационной работы.

Волновое движение двухфазной смеси из-за межфазного трения является диссипативным. Поэтому решение нелинейной задачи о таком движении является еще одной целью диссертационной работы. Нелинейная математическая модель распространения волн по свободной поверхности слоя дисперсной смеси была приведена в работах [10, 12, 13]. В них также приводится решение линейной краевой задачи, выражения фазовой скорости и декремента затухания волны. Решение нелинейной задачи с точностью второго приближения по амплитудному параметру приведено в [7, 11], при этом остаются не исследованными нелинейные эффекты, которые проявляются только в третьем приближении: зависимость фазовой скорости от высоты волны, наличие течения Стокса. Для решения задачи в трех приближениях в данной диссертации применяется метод переменной во времени частоты, использованный для задачи о волнах на поверхности слабовязкой жидкости. Получена нелинейная добавка к фазовой скорости, определены нелинейные траектории жидких частиц, а также выражение переносной скорости Стокса.

Первая глава диссертации посвящена постановке нелинейной краевой задачи о волновом движении на свободной поверхности вязкой жидкости. Приводятся уравнения, описывающие движение жидкости, и граничные условия на свободной поверхности жидкости.

Во второй главе рассматривается линейная задача о плоских волнах на слое вязкой жидкости бесконечной глубины. Найдено точное решение задачи, а также выражения для частоты, фазовой скорости и декремента затухания волны. Аналитически определено критическое значение относительной вязкости, при котором возможно волновое движение и условие, при выполнении которого жидкость можно считать слабовязкой. Определены траектории жидких частиц. Найдены дисперсионные уравнения 7 для задачи линейной задачи о волнах на поверхности слоя вязкой жидкости конечной глубины.

В третьей главе рассматривается нелинейная задача о распространении гравитационных волн по свободной поверхности слабовязкой жидкости. Для решения задачи предложен метод переменной во времени частоты. С точностью до третьего приближения найдены выражения для относительной фазовой скорости, скорости волнового движения, динамического давления и формы свободной поверхности. Определены нелинейные траектории жидких частиц, а также выражение переносной скорости Стокса.

В четвертой главе рассматривается нелинейная задача о капиллярно-гравитационных волнах на поверхности слабовязкой жидкости. Задача решена методом переменной во времени частоты. С точностью до третьего приближения найдены выражения для относительной фазовой скорости, скорости волнового движения, динамического давления и формы свободной поверхности.

В пятой главе приводится постановка задачи о волнах на поверхности среды с равномерным распределением дисперсной фазы в покоящемся слое. Приводятся уравнения, описывающие движения двухфазной среды, и граничные условия на свободной поверхности слоя. Решена нелинейная задача о плоских волнах на слое дисперсной смеси бесконечной глубины. Решение найдено с точностью до третьего приближения по малому амплитудному параметру методом переменной во времени частоты. Найдена поправка к фазовой скорости волны, определены скорости волнового движения, возмущения давления и концентрации дисперсной фазы, а также форма свободной поверхности. Исследованы траектории частиц несущей и дисперсной фазы.

В диссертации принята тройная нумерация формул. Первая цифра указывает номер главы, вторая — номер параграфа, третья — номер формулы.

Основные результаты и выводы диссертации.

1. Для линейной задачи о волнах на поверхности вязкой жидкости найдены выражения для фазовой скорости и декремента затухания волны. Исследовано влияние вязкости на траектории движения жидких частиц.

2. Аналитически определено критическое значение относительной вязкости, при котором возможно волновое движение, а также границы применимости модели слабовязкой и сильновязкой жидкости.

3. Получена система дисперсионных уравнений для линейных волн на слое вязкой жидкости конечной глубины. Численно установлено, что конечность слоя изменяет частоту и декремент затухания, если глубина меньше длины волны. Если глубина больше, то частота и декремент мало отличаются от случая бесконечно глубокого слоя.

4. С точностью третьего приближения методом переменной частоты, являющимся обобщением метода Стокса для диссипативных процессов, решена задача о распространении волн по свободной поверхности слабовязкой жидкости. Получены нелинейные выражения скорости волнового движения, динамического давления и формы свободной поверхности. Установлено, что с течением времени фазовая скорость стремится к ее линейному значению. Найдены нелинейные траектории движения частиц слабовязкой жидкости, а также выражение для приповерхностного течения. Выражения для частоты и скорости приповерхностного течения являются обобщением нелинейных эффектов Стокса на случай слабовязкой жидкости.

5. Исследовано влияние поверхностного натяжения на волновое движение слабовязкой жидкости. Установлено, что капиллярно-гравитационная волна движется быстрее гравитационной, но при этом амплитуды их убывают с одной скоростью.

6. Найдено решение с точностью третьего приближения нелинейной задачи о поверхностных волнах на слое дисперсной смеси методом переменной частоты. Тем самым, показана универсальность данного метода для диссипативных волновых процессов. Найдена нелинейная поправка к фазовой скорости волны. Исследованы траектории движения частиц несущей и дисперсной фазы. Установлено, что дисперсные частицы с меньшей, по сравнению с несущей жидкостью, плотностью заглубляются по мере движения, а частицы с большей плотностью поднимаются ближе к свободной поверхности. Найдены выражения для скорости приповерхностного течения несущей и дисперсной фазы.

7. Разработана программа для ЭВМ «ЬУТга]ес1:огу», предназначенная для компьютерного моделирования движения частицы слабовязкой жидкости с течением времени.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.