Использование кинетического подхода при построении разностных схем газовой динамики

Многие современные проблемы, стоящие перед наукой и техникой в той или иной мере связаны с решением уравнений газовой динамики. Полное решение большинства актуальных задач аэродинамики и, прежде всего, получение количественных характеристик предполагает использование новейших численных методов и их реализацию на быстродействующих вычислительных машинах. В последнее время математическое моделирование явлений и процессов является эффективным средством теоретического анализа задач, выдвигаемых наукой и техникой [1]. Вычислительный эксперимент является во многих случаях практически единственным способом решения сложных систем нелинейных дифференциальных уравнений, описывающих процессы движения жидкости и газа, уравнений Эйлера и Навье-Стокса. То есть, на основе математической модели при помощи непосредственного численного решения соответствующих уравнений количественно определяется поведение газодинамических течений в тех или иных условиях.

Общих методов решения газодинамических задач в настоящее время не существует. Особенности уравнений газовой динамики, такие как нелинейность и возможность появления разрывных решений, зачастую делают именно численные методы исследования наиболее предпочтительными и эффективными. В тоже время, именно нелинейность порождает многие явления, с которыми приходится считаться в практически важных случаях — ударные волны, погранслойные, отрывные, осциллирующие течения, наконец, турбулентность. В последнее время интенсивно развивается новое направление в науке — вычислительная гидродинамика.

Одним из численных алгоритмов, используемых для моделирования течений вязкого теплопроводного газа, являются кинетически-согласованные разностные схемы (КСРС), полученные в 1983 году [2]. В отличии от традиционных подходов, в которых вычислительные алгоритмы для расчета газодинамических течений строятся на основе полной или определенным образом упрощенной систем уравнений Эйлера и Навье-Стокса, кинетически-согласованные разностные схемы учитывают тот факт, что сами уравнения гидродинамики могут быть получены как следствие более сложного уравнения переноса для одночастичной функции распределения [3]. В свою очередь КСРС получаются путем осреднения по скоростям молекул с сумматорными инвариантами дискретных моделей для одночастичной функции распределения. По сравнению с традиционными алгоритмами, в КСРС меняется порядок процедуры осреднения и дискретизации в последовательности, начинающейся с дифференциального уравнения Больцмана. То есть, в отличии от других алгоритмов решения уравнений газовой динамики, в данном случае вначале идет процедура разностной дискретизации, а потом уже осреднение разностной функции распределения [4, 5].

Связь уравнений газовой динамики с уравнением Больцмана хорошо известна, поэтому попытки построения вычислительных алгоритмов, обращаясь непосредственно к кинетическим моделям, осуществлялись и ранее. Например, в работе [6] была предложена феноменологическая модель, описывающая перенос частиц в газе как последовательность процессов бес-столкновительного разлета молекул с последующей мгновенной максвел-лизацией и построена разностная схема решения задач газовой динамики в лагранжевой системе координат. Позднее появилась серия публикаций, в которых макроскопические газодинамические параметры определялись путем осреднения функции распределения после решения уравнения переноса [7, 8]. В работе [9] прослежена связь между одной из полученных таким образом схем и численным решением уравнения Больцмана.

Однако, хотя данные подходы показывали их принципиальную применимость для нахождения газодинамических параметров, но качество расчетов, с учетом вычислительных затрат, уступало уже существующим традиционным методам решения задач о течении идеального газа. В то же время, полученный в работе [2] алгоритм сразу же показал свою конкурентноспособность с традиционными подходами. Проведенные ранее на основе КСРС расчеты газодинамических течений показали перспективность их использования. Следует отметить, что аналогичные схемы были получены в 1986 году в работе [10, И].

Уравнения Навье-Стокса являются теоретической основой для описания течений реального газа. Первоначально эти уравнения были получены феноменологическим путем, опираясь на известный экспериментальный закон о пропорциональности силы трения между движущимися слоями газа производной скорости. Впоследствии эти уравнения были получены, используя асимптотическое разложение Чемпена-Энскога решения кинетического уравнения Больцмана для одночастичной функции распределения [3]. Однако, известны неоднократно предпринимаемые попытки получить описание поведения вязкого газа уравнениями, отличными от традиционных уравнений Навье-Стокса [12, 13]. В работе [14, 15] впервые была получена обобщенная квазигазодинамическая система уравнений, объединяющая газодинамический и кинетический подход. В дальнейшем проводилось много работ в этом направлении, что отражено в монографии [16].

В работах [17, 18, 19] на основе кинетических моделей были получены квазигазодинамические дифференциальные уравнения и их дискретизация — кинетически-согласованные разностные схемы, использованные затем для численного моделирования течений вязкого теплопроводного газа. Данные уравнения отличаются от обычных уравнений Эйлера и Навье-Стокса наличием в правой части дополнительной вязкости специального вида, являющейся схемной искусственной вязкостью, влияющей на устойчивость разностной схемы.

Кинетически-согласованный подход обеспечивает естественное обобщение разностной схемы для линейного уравнения переноса на систему нелинейных газодинамических уравнений. С другой стороны, аппроксимацию уравнения переноса схемой с направленными разностями можно интерпретировать как физическую модель переноса кусочно-постоянной функции распределения. Получающиеся после осреднения разностные макроуравнения в дифференциальном приближении можно рассматривать как обобщение уравнений Эйлера и Навье-Стокса — квазигазодинамическая система уравнений [4, 5].

Кинетически-согласованные разностные схемы показали свою эффективность при решении задач газовой динамики. Целью диссертации является рассмотрение кинетически-согласованных разностных схем с точки зрения классических методов и подходов, используемых при построении аппроксимаций уравнений газовой динамики. И на этом пути выявить возможные варианты модификации и улучшения существующих на сегодняшний день кинетических схем, а также возможность построения новых высокоэффективных алгоритмов на основе кинетического подхода.

Ниже приводится краткое содержание работы по главам. В первой главе рассматриваются базовые принципы построения кине-тически-согласованных разностных схем для невязкого уравнения Бюргерса в качестве модельной задачи и уравнений одномерной газовой динамики на основе использование модели расщепления по физическим процессам уравнения Больцмана для одночастичной функции распределения молекул по скоростям. Отмечено, что вид разностной схемы для макроскопических уравнений зависит не только от способа аппроксимации уравнения переноса для функции распределения, но и от вида функции распределения. Далее было показано, что КСРС можно интерпретировать как схему из класса схем вектора расщепления потока для аппроксимации уравнений Эйлера и предложена новая схема из этого класса. Затем на основе этого расщепления были построены кинетические схемы повышенного порядка точности, не прибегая к рассмотрению кинетического уравнения. Все построения иллюстрируются расчетами тестовых задач.

Во второй главе рассматриваются вопросы, связанные с обобщением полученных кинетических схем для аппроксимации конвективной части уравнений Навье-Стокса на неструктурированные треугольные сетки. Приведен вывод кинетически согласованной схемы на основе метода конечных объемов путем обобщения модели «бесстолкновительный разлетмгновенная максвеллнзация» на произвольные треугольные сетки. Были сконструированы кинетические схемы повышенного порядка точности по пространственной переменной на треугольных сетках, аппроксимирующие невязкие уравнения Эйлера. Проведена аппроксимация диффузионных членов уравнения Навье-Стокса с использованием метода конечных объемов. В качестве примера использования кинетических схем для моделирования сложных задач был сделан расчет задачи обтекание двумерного аэродинамического профиля потоком вязкого газа с числом Маха набегающего потока равным 0.8 с использованием неструктурированных адаптивных сеток.

В третьей главе приводится вывод полудискретной квазигазод-намической системы уравнений, исходя из модели «бесстолкновительный разлет-максвеллизация». Далее проводится анализ полученной квазигазодинамической системы уравнений (КГУ) и показывается ее отличие от системы уравнений Навье-Стокса наличием членов второго порядка малости относительно времени бесстолкновительного разлета. Далее система КГУ аппроксимируется с использованием смешанного метода: метод конечных объемов и кинетическая схема для аппроксимации конвективного переноса, метод конечных элементов для вычисления вязких членов. Для сравнения поведения разностного решения уравнений Навье-Стокса и КГУ решается задача об обтекание сферы при числе Маха равном 0.1 и числе Рейнольдса равном 25.

В заключении приведены основные результаты диссертации. Цели и задачи диссертационной работы:

Основной целью данной диссертационной работы является обоснование и улучшение существующих на сегодняшний день кинетически-согласованных разностных схем, а также проведение сравнения результатов, полученных при моделировании по уравнениям Навье-Стокса и системе КГУ, с целью выявле-ния классов течения, где их решения мало отличаются, а где система КГУ пре-восходит по точности моделирования уравнения Навье-Стокса. Для ее дости-жения решаются следующие задачи:

• представление КСРС, как схемы принадлежащей классу схем расщепления вектора потока для аппроксимации системы невязких уравнений Эйлера;

• изучение свойств КСРС относительно семейства схем расщепления вектора потока, а также построения схем повышенного порядка точности на основе базовых КСРС первого порядка;

• построение кинетически согласованной аппроксимации на неструктурированных сетках (треугольных и тетраэдральных);

• построение аппроксимации системы КГУ на тетраэдральной сетке и проведение расчетов обтекания сферы при различных параметрах течения и сравнение с аналогичными расчетами, полученными при решении уравнений Навье-Стокса.

Достоверность результатов.

Достоверность результатов, полученных в работе, подтверждается тем, что для выполненных в работе численных расчетов наблюдается качественное совпаде-ние полученных результатов с точным решением сои ответствующих задач, экспериментальными данными и результатами других авторов. Эффективность предложенных кинетических алгоритмов подтверждается результатами тестирования разработанных на их основе программ.

Основные положения диссертации, выносимые на защиту.

1. Кинетически-согласованных схем как новый класс схем расщепления вектора потока.

2. Кинетически-согласованных схемы повышенного порядка точности.

3. Аппроксимация. кинетически-согласованными схемами уравнений Эйлера и Навье-Стокса на неструктурированных сетках.

4. Кинетически-согласованных схемы повышенного порядка точности на неструктурированных сетках.

5. Аппроксимация трехмерной квазигазодинамической системы уравнений на тетраэдральной сетке.

Публикации автора по теме диссертации.

1. Абалакин И. В., Четверушкин Б. Н. Кинетически-согласованные разностные схемы как модель для описания газодинамических течений, Математическое моделирование, 1996. Т.6, № 8.

2. Абалакин И. В., Жохова А. В., Четверушкин Б. Н. Кинетически-согласованная аппроксимация газодинамических уравнений на треугольных сетках, Тезисы докладов VII Всероссийской школы-семинара «Современные проблемы математического моделирования», Ростов-на-Дону, 1997, с. 1−4.

3. Абалакин И. В., Жохова А. В., Четверушкин Б. Н. Кинетически-согласованные разностные схемы на нерегулярных сетках, Математическое моделирование, 1997. Т.9, № 7.

4. Абалакин И. В., Жохова А. В., Четверушкин Б. Н. Кинетически согласо-ванный алгоритм для расчета газодинамических течений на треугольных сетках, Математическое моделирование, 1998. Т. 10, № 4, с.51−60.

5. Абалакин И. В., Жохова А. В. Кинетически-согласованные разностные схемы с коррекцией на треугольных сетках, Дифференциальные уравнения, 1998, Т.34, № 7, с.904−910.

6. Абалакин И. В., Жохова А. В., Четверушкин Б. Н. Разностные схемы на основе кинетического расщепления вектора потока, Математическое модели-рование, 2000. Т.12, № 4, с.73−82.

7. Абалакин И. В., Жохова А. В., Четверушкин Б. Н. Кинетически-согласованные схемы повышенного порядка точности, Математическое моделирование, 2001. Т.13, № 5, с.53−61.

8. I.V. Abalakin, A. Dervieux, Т.К. Kozubskaya A vertex centered high order MUSCL scheme applying to linearised Euler acoustics, INRIA report, № 4459, 2002.

9. Абалакин И. В., Суков С. А., Моделирование внешнего обтекания тел на многопроцессорных системах с использованием тетраэдрических сеток. В сб. «Фундаментальные физико-математические проблемы и моделирование технико-технологических систем», вып. 7, под ред. JI.A. Уваровой. М., Изд-во «Janus-K», 2004, с. 52−57.

Автор выражает благодарность своему научному руководителю Борису Николаевичу Четверушкину за формирование своих научных взглядов и постоянное внимание в ходе работы над диссертациейТатьяне Геннадиевне Елизаровой, чьи советы и полезные замечания способствовали написанию диссертацииЛюдвигу Вацлавовичу Дородницыну и Сергею Александровичу Сукову за помощь в постановке граничных условий и параллельной реализации кинетических схем на многопроцессорной вычислительных системах.

Заключение

.

В заключении кратко суммированы основные результаты работы, выносимые на защиту:

1. Предложены новые методы кинетического расщепления. Проведен анализ кинетически-согласованных разностных как схем расщепления вектора потока. Выведены новые аппроксимации уравнений Эйлера на основе кинетиче-ского расщепления вектора потока.

2. Разработаны алгоритмы повышения порядка точности кинетически согласованных разностных схем с использованием методики MUSCL.

3. Построены кинетических схемы, аппроксимирующие уравнения Эйлера с повышенным порядком аппроксимации на неструктурированных треугольных и тетраэдральных сетках.

4. Проведен сравнительный анализ квазигазодинамической системы уравнений и системы уравнений Навье-Стокса как системы уравнений. Построена аппроксимация квазигазодинамической системы на неструктурированных тетраэдральных сетках.