Приближения по произвольным системам элементов гильбертова пространства и бесконечные матричные уравнения

Настоящая работа посвящена вопросу аппроксимации в гильбертовом пространстве и общей теории бесконечных матричных уравнений. Рассматривается случай когда приближения к каждому элементу гильбертова постранства строятся как конечные линейные комбинации элементов некоторой наперёд заданной счётной системы.

4>*>4>г, — - - > «А, • • • (I) из этого же пространства. Бе, а конечное: матричное уравнениа /бм.у-/ - это одно из общепринятых названий счётной совокупности линейных уравнений оо.

ГЦ a. ix'tK — Bi, Le М, (г) где OicKt 6i — данные, а Ь% - неизвестные действительные числа.

Целью настоящей работы является обоснование и изучение свойств предлогаемого в ней способа построения приближений в гильбертовом пространстве и приложение полученных результатов к общей теории б.м.у.

Изучению вопросов построения приближений конечными линейными комбинациями некоторой счётной системы элементов гильбертова пространства посвящена обширная литература. Если система ортогональна, то для построения приближений используется широко известный метод Фурье /см., например, [2], стр. 88−93, 13], стр. I6I-I68, С4 ], стр. 273−275, [5], стр. 39−40/. С помощью определителей Грамма можно сделать то же самое, если система элементов неортогональна, но линейно независима /см. Сб1, стр. 49I-5II, С7], стр. 42−46 [8 J, стр. 18−29/. Такие способы построения приближений широко использовались и используются для решения различных видов уравнений / см. СИ, стр. 11−28, L7], стр- 174−179, 333 -338, LI0], стр. I0I-I27, [153, стр. 214−217, [16], стр- 369−396, и т. д./- Представляют большой интерес и такие способы, которые позволяют строить приближения по любым, например, линейно зависимым системам элементов. В книге С9], стр. 31−165, показано, как спомощью одного из таких способов значительно расширяются возможности приближённого решения граничных задач. При этом нет необходимости отыскивать элементы нарушающие линейную независимость системы, что, зачастую, является довольно трудоёмкой задачей. Многие из способов построения приближений оказываются полезными при изучении свойств систем элементов гильбертова пространства. К сожалению, не всякая последовательность приближений, построеная последним из выше упомянутых способов, будет сходиться даже покоординатно.

О б.м.у.^ же в книге А. В. Канторовича, В. И. Крылова / И, стр. 29/ говорится:. «Теория бесконечных систем уравнений с бесчисленным множествам неизвестных начала разрабатываться в конце прошлого векав настоящее время имеется обширная литература, посвящённая ей. До сих пор, однако, эта теория не получила вполне законченного вида'.' Действительно, записанные в равносильном виде.

ОС б.м.у. изучались Кохом в случае, когда сходится ряд е>о С.

Гильбертом — с вполне непрерывной билинейной формой на O-^^Z.

СЮ.

ГрС, OLiK JCL UK и сходящимся рядом.

ХЭ.

YLBl,.

L-l L '.

Шмидтом — со сходящишся рядами.

ОО.

HocfK .

K=t.

Рассматривались уравнения типа Рисса, у которых сходится ряд с К=1.

Большой вклад в изучение б.м.у. внесли советские математики.

Рассматривались уравнения, у которых сходятся ряды оо g оо.

С, HS? Z к-i см. Clll > стр. 534−536/, регулярные уравнения^ которых для всех //If оо.

Ci ollk.

K’l и вполне регулярные, у которых для всех ielNI оо.

K~t где£<1 /см. ?ll, стр. 37−54/. Не прекращались исследования и в более позднее время. Назовём, например, работы Грибанова Ю. И. / см. [121 «стр. 31−40, [13], [2б], стр. 339−349/, Рогожина B.C. / см., стр. 73−82/ и других. Все выше, перечисленные б.м.у. так или иначе связаны с какой-либо задачей математики или математической физики, а потому, яв ляются частными видами б.м.у., в силу условий, наложенных либо на их коэффициенты, либо на свободные члены, либо на искомые решения. Наиболее общий из этих видов рассмотрен в книге Кука / [ifl, стр. 52−54/, при условии существования ассоциирующей матрицы обратной к матрице коэффициентов уравнения. Отсутствие общей теории б.м.у., конечно же, сужает круг их применения.

Поэтому тема настоящей диссертации, посвящённой способу построения приближений по произвольным системам элементов в гильбертовом пространстве и общей теории б.м.у., является актуальной.

Для решения поставленных в работе вопросов используются методы гильбертова пространства и, частично, итеррационные методы и методы функциональных пространств.

Все полученные в работе результаты являются новыми. Это обусловлено, в основном, тем, что новым является предложенный здесь способ построения приближений в гильбертовом пространстве. Для произвольных счётных систем элементов такого пространства доказаны новые аналоги неравенства Бесселя и теоремы Фишера-Рисса, критерии полноты и минимальности. Для конечных систем элементов так же доказаны аналоги неравенства Бесселя, теоремы Фишера-Рисса и критерий линейной независимости.

Для произвольного б.м.у. указаны критерий существования последовательности приближённых решений и критерий существования точного решения. Для б.м.у., имеющего приближённые решения, указан способ их оценки, если они найдены указанным в работе способом, пригодным для любого б.м.у. При этом, как обычно, точным решением б.м.у. (2 ^ называют всякую такую конкретную последовательность действительных чисел fc-(?/<), для которой все ряды в левой части равенств (2) сходятся и выполняются сами эти равенства, а последовательность последовательностей действительных чисел L названа в работе последовательно стью приближённых решений б. м-у. (2), если длявсех L гк^к -°с • (з).

П.-* со fci.

Гсй член этой последовательности назван /7.-м приближённым р е ш, а н. и е м б.м.у- (2) .

Предложенный в работе способ построения приближений в гильбертовом пространстве осуществим и тогда, когда система элементов линейно зависима. Получающаяся при этом последовательность всегда слабо сходится. Коэффициенты последующих элементов этой последовательности достаточно просто получаются из коэффициентов предыдущих. Это даёт возможность, при использовании этого способа для решения конкретных практических задач, использовать вычислительные машины. При этом процесс будет самоисправляющимся. Теоретически любая счётная система элементов гильбертова пространства может быть исследована на полноту и минимальность.

Из результатов работы следует, что при решении любой конечной системы линейных уравнений метод Зейделя можно осуществить так, что последовательность приближённых решений будет минимизировать эвклидову норму невязки. Указана точная оценка этой невязки. Последовательности компонент приближённых решений будут суммами членов некоторых возвратных последовательностей с одними и теш же коэффициентами для всех компонент. Это, в некоторых случаях, поможет получать точное решение конечной системы линейных уравнений за конечное число шагов без трудоёмких вычислений.

Теоретически любое б.м.у. может быть исследовано на совместность, а это расширит круг и практически рассматриваемых таких уравнений. Показано как любое б.м.у. можно свести к равнозначному, у которого либо все столбцы, либо все строки принадлежат гильбертову пространству. В предположении, что в первом случае можно найти скалярные произведения любых столбцов, а во втором — всех строк, указаны возможности нахождения приближённых решений за конечное число шагов и оценки степени приближения. Указаны, случаи, когда гарантирована покоординатная сходимость последовательности приближённых решений к точному;

Работа состоит из введения и двух глав. Глава I состоит из 6-ти, а глава II — из 5-ти параграфов.

В § 1, главы I, даётся описание, способа построения приближений в гильбертовом пространстве /7¦ Пусть в этом пространстве задана система элементов (I). Не нарушая общности, будем считать её нормированной. Тогда, для любого фиксированногоfG-H для каждого натурального ГЬ приближения строятся при помощи равенства гь.

K-i гдал nrl K-iС^-JZjCr.j yJK, К? П. (5) а — о.

Здесь.

А К, ^PjKWjj^k) — KjeN. (б).

Так как равенство С 5) имеет много общего с основным равенством метода Зейделяприближённого решения конечных систем линейных уравнений, то линейные комбинации (4) названы в работе приближениями типа Зейделя или, просто, приближениями Зейделя для элемента jпо системе элементов (I) .

Наряду с числами ос п к используются числа г пс. — ^ - и о с— ос.

7).

При этом, п,.

Э&П.К — 2И C-LK ¦ г^к.

Подпространство, порождённое в // первыми п элементами системы (I), обозначим И^, а подпространство порождён ное всей системой, — Но * Ортогональные проекции элемента на эти подпространства обозначим, соответственно, Рп/ и Р0 f.. Проекцию Р^ ^ часто называют элементом наилучшего приближения элемента элементами подпростран-ства а.

Ро£ - элементом наилучшего приближения элементаjэле-:.", ментами подпространства Hq • Традиционные способы построения приближений указываются для линейно Независимых систем элементов (I) и, для каждого натурального /Ъ, линейная комбинация, которая является приближением, совпадает с Pr^ -f- .

Т е о р е м, а 1,1 Пусть система элементов (I) линейно независима. Для того чтобы для каждого j-^-H и для всех Гье-INI выполнялось равенство Q/i-f — Pn-f- «необходимо и достаточно, чтобы система элементов (I) была ортогональной.

Отсюда следунт, что предложенный способ построения приближений не является ни частным случаем ни обобщением какоголибо из традиционных и может совпадать с какимлибо из них только тогда, когда система элементов ортогональна. Если же в равенстве (5) положить = 0 для j > К, то предлагавмый в работе способ построения приближений будет совпадать со способом, рассмотренным в книге Алексидзе М. А. С91. Наоборот, если способ книги [91 применить к системе элементов.

Ч>£, — ''MJ&J «'J то получится предлагаемый способ.

§ 2 является основным в главе I. Здесь доказаны аналог неравенства Бесселя и основная.

Теорема 2.2. Для любогоf? Н последовательность приближений GLriJслабо сходится к Р0 .

Это даёт возможность показать, что для любого натурального ГЬ оператор Qtt> Н ~? Нп является линейным ограничен-ныгл оператором, доказать критерий полноты системы элементов (I) и получить много других следствий.

В § 3 рассматриваются условия сильной сходимости последовательности (Qnj-). Доказаны несколько критериев такой сходимости, в часности, на языке псевдосходимости / [17], стр. 38/. На основе критериев получении несколько достаточных условий, из которых следует: если сильная сходимость последовательности (Q-^-f) и не всегда имеет место, то она гарантирована для достаточно широкого класса систем элементов (I) .

Основным результатом § 4 является аналог теоремы Фишера-Рисса.

Теорема 4.1. Если для последовательности комплексных чисел А/с, числа определены равенством (5) и величина.

Cn.~-h.tLx.njK (8.

К-1 ограничена при, то существует и притом единственный элемент j.? Ио «для которого Ак -(^з^Рк) для всехК^/М* Как следствие этой теоремы, получен критерий минимальности системы элементов (I) .

П№).

В § 5 указан способ построения приближений (х^для элемента? /7 по конечной системе норшрованных элементов.

Ч>1, 4>z,. >> 4>ггь. ^.

Доказаны неравенство аналогичное неравенству Бесселя, теорема аналогичная теореме Фишера-Рисса и критерий линейной независимости системы элементов (9) •.

Показано, что последовательность приближений (¦а tb Т' AL сильно сходится к ортогональной проекции Pmf • Это позволило результаты § 5 перенести на случай счётных систем элементов (I), что и сделано в § 6. Тем самым, получены новые аналоги неравенства Бесселя и теоремы Фишера-Рисса, критерии полноты и минимальности для систем элементов. Глава II посвящена б.м.у.

В § 1 даны общие определения, касающиеся б.м.у. и указана возможность двух типов их представлений, тесно связанных с действительным гильбертовым пространством. А именно, либо в виде ор (10).

ГЧ — J.

ГДe^t/^e tz «llt/^ll-i д®-1 всех к € INI, либо в виде.

П) где €, II.

П-^сО взаимнооднозначно соответствует последовательность приближённых решений. Это даёт возможность к изучению общей теории б.м.у. привлечь результаты главы I, перенесённые на случай действительного гильбертова пространства .

Для каждого б.м.у. представлений вида (10) бесконечно много. При одних представлениях элемент может принадлежать подпространству Hq, при других нет. Как показано в § 2, существование такого представления, что & Но > необходимо и достаточно, для того чтобы у б.м.у. существовала последовательность прибли жённых решений. Отсюда, например, следует, что всякое б.м.у. с верхней треугольной матрицей, диагональные элементы которой отличны от нуля, всегда имеет последовательность приближённых решений.

Очевидно, существование такого представления в виде (10), что 1~10, является необходимым для существования у б.м.у. точного решения.

В § 3, на языке последовательностей приближённых решений, сформулирован и доказан критерий существования точного решения б.м.у. При этом, использована известная теорема Маркова, которая представляет собой критерий совпадения суммы двойного ряда по столбцам с его суммой по строкам.

В §§ 2,3 показано как, с помощью результатов главы I, можно найти приближённые решения любого б.м.у., если оно их имеет, как оценить степень приближения, указано когда и как с помощью этих приближённых решений можно найти точные.

В § 4 доказано необходимое условие единственности точного решения б.м.у. Это условие состоит в том, чтобы при любом представлении б.м.у. в виде (II) система элементов Ltpi) была полной в 0*2, • Так же указаны возможности нахождения приближённых и точных решений б.м.у. за счёт его представления в виде (II) и результатов главы I. В конце, на основе результатов §§ 1−4, даются ответы на некоторые вопросы общей теории б.м.у.

В § 5, для любого б. м-у., рассмотрен вопрос о некоторых частных типах его точных решений. Показано, что любое б.м.у. спомощью его представлений в виде (II) и результатов главы I может быть полностью исследовано и решено относительно таких решений. Класс этих решений достаточно широк.

В работе формулы нумеруются двумя числами: первое — номер параграфа, второе — номер формулы внутри этого параграфа. Внутри каждого параграфа теоремам приписывается одно число — их порядковый номер. При ссылках же — два: номер параграфа и номер теоремы в этом параграфе. То же самое относится и к леммам. Если в главе II делается ссылка на какой-либо результат главы I, то перед соответствующим номером ставится цифра «I». Каждому следствию приписываемся его очередной номер за теоремой, из которой оно получено. При ссылке указывается и само следствие и теорема.

Определения не выделяются, выделяются определяемые понятия. Они печатаются в разбивку. Не выделяются и замечания.

Начала доказательств теорем и следствий и лемм отмечается знаком «??», а конец — «.!!». Если доказательство начинается со слова «Необходимость», то знак «??» отсутствует.

При представлении б.м.у. в видах (10) и СIX^ элементы и J. разные, хотя и обозначены одинаково. Это необходимо для удобства применения результатов главы I в главе II.

Везде /N1 — множество натуральных чисел, j — пространство всех последовательностей действительных чисел, «пространство всех последовательностей действительных чисел суммируемых с квадратом, ^ - символ Кронекера.

В главе II, при применении результатов главы I, пространство играет роль пространства Н .

В конце приведён список литературы, использованной в работе. Работы автора помещены последними в этом списке.

1. Канторович Л. В., Крылов В. И. Приближенные методы высшего анализа. М., Физматгиз, 1962.

2. Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа. М., «Наука», 1965.

3. Вулих Б. З.

Введение

в функциональный анализ. М., «Наука», 1967.

4. Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы. ИЛ, 1962.

5. Морен К. Метода гильбертова пространства. М., «Мир», 1965. о- ^гси^гъ S. tU&t zUutfL п>ъи? oUrz, Xfw^f^ UVL JUut&JL uwzJkxAboi&ruzsb vorvWUWl^H^I,. MaZk.

6. Талдыкин А. Т. Векторные функции и уравнения. Л., 1977.

7. Талдыкин А. Т. Системы и ряды элементов. М., «Наука», 1971.

8. Алексидзе М. А. Решение граничных задач методом разложения по неортогональным функциям. М., «Наука», 1978.

9. Раевский X., Грегер К., Захариас К. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения. М., «Мир», 1978.

10. Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ. М., «Наука», 1977.

11. Грибанов 10.И. О методе редукции для бесконечных систем линейных уравнений. Изв. ВУЗов, Математика, № 1/26/, 1962.

12. Грибанов Ю. И. Координатные пространства и бесконечные системы линейных уравнений. Изв. ВУЗов, Математика, 1/32/, № 3/34/, 1963.

13. Кук Р. Бесконечные матрицы и пространства последовательностей. М., Гос. изд. физ.-мат. литер., I960.

14. Ахиезер Н. И., Глазман И. М. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве. Изд. «Высш. школа.», Харьков, 1977.

15. Гохберг И. Ц., Крейн М. Г.

Введение

в теорию линейных несамосопряжённых операторов. М., «Наука», 1965.

16. Меленцов А. А., Рудаков С. А. Псевдосходимость и суммируемость итераций нелинейных операторов. Математические записки УрГУ, Свердловск, 1979.

17. Воробьёв Н. Н. Теория рядов. М., «Наука», 1979.

18. Щербаков А. А. О ядре последовательности, полученной из данной последовательности с помощью регулярного преобразования. Матем. заметки, т.19, вып.5, 1976.

19. Иванов В. К., Васин В. В., Танана В. П. Теория линейных некорректных задач и её приложения. М., «Наука», 1978.

20. W. У. $<�ьгъсис1!ь.

21. Красносельский M.A., Рутицкий Я. Б. Выпуклые функции и пространства Орлича. М., Гос. изд. физ.-мат. литер., 1958.

22. Рогожин B.C. К теории бесконечных систем линейных алгебраических уравнений. Ростов н/Д, Уч. зап. ун-та, 43, Тр. физ.-мат. фак., 6, 1959.

23. У. 7. СЯьехг^и cUrc '^^—coCLf^o^^^ илъс/. cLe/т, (лм^плХ&ЬсЛ&гг.

24. Шрагин И. В. К теории пространств Орлича. ДАН СССР, 179, I!<5, 1968.

25. Фадоев Д. К., Фадеева В. Н. Вычислительные методы линейной алгебры. М., физматгиз, I960.

26. Крылов В. Н., Бобков В.В.- Монастырный П.й. Вычислит ельные методы высшей математики. T.I. Изд. «Высш. школа», Минск, 1972.

27. Хаусхольдер А. С. Основы численного анализа. Ы., ИЛ, 1956.

28. КоллатцЛ. Функциональный анализ и вычислительная математика. М., «Мир», 1969.

29. Бондаренко II.С. К вопросу об единственности для бесконечных систем линейных уравнений. Матем. сб.29, W-2, 1951.

30. Кузьмин P.O. К теории бесконечных систем линейных уравнений. Труды физ.-мат. ин-та им. В. А. Стеклова, 2, вып.2, 1931.

31. Брюханов А. К. Пространство ^Дл/. Сб.ст. по матем. Челяб. пед. ин-та, вып. II, 1970.

32. Брюханов Л. К. Матричные операторы в пространствах Сб.ст. по матем. Челяб. пед. ин-та, вып. II, 1970.

33. Брюханов А. К. Аналоги теоремы Рисса-Фишера и неравенства Бесселя для произвольных систем гильбертова пространства. /деп./. РЖ «Математика», реф. 8Б 629, 1973.

34. Брюханов А. К. Об исследовании и решении бесконечных систем линейных уравнений, «(ёункц. анализ и дифф. уравнения». Науч. тр. Куйб. пед. ин-та, т.226, 1978.

35. Брюханов А. К. Об одном способе приближений по неортогональным системам гильбертова пространства, «Функц. анализ. Теория операторов». Сб. ст. Ульян, пед. ин-та, вып.15,1980.