Диплом, курсовая, контрольная работа
Помощь в написании студенческих работ

Алгоритмы и программный комплекс решения задач теории кооперативных игр. 
Ядерные решения дискретных кооперативныхигр

Диссертация: Алгоритмы и программный комплекс решения задач теории кооперативных игр. Ядерные решения дискретных кооперативныхигр
ДиссертацияПомощь в написанииУзнать стоимостьмоей работы

Цель работы состоит в получении условий сбалансированности игр малой размерностив определении новых свойств множества дележей, множества двойственных дележей, множества Вебера и СС-ядра дискретных кооперативных игр, а также соотношений между ними, выводе достаточных условий непустоты С-ядра дискретной игрысоздании на основе проведенных теоретических исследований программного комплекса… Читать ещё >

Содержание

  • Глава 1. Сбалансированные игры с трансферабельными полезностями
    • 1. 1. Основные понятия кооперативной теории игр
    • 1. 2. С-ядро и условия его существования
    • 1. 3. Значения кооперативных игр. Цена Шепли и И-ядро
    • 1. 4. Минимальные сбалансированные покрытия
    • 1. 5. Использование специальных графов для нахождения минимальных сбалансированных покрытий
    • 1. 6. Использование метода свертки систем линейных неравенств для нахождения минимальных сбалансированных покрытий
    • 1. 7. Описание методов получения некоторых классов минимальных сбалансированных покрытий
    • 1. 8. Основные результаты, полученные в первой главе
  • Глава 2. Дискретные кооперативные игры
    • 2. 1. Применение стандартного отношения доминирования для определения сбалансированности дискретных игр
    • 2. 2. С-ядро, Э-ядро, СС-ядро и соотношения между
    • 2. 3. Основные результаты, полученные во второй главе
  • Глава 3. Программный комплекс решения задач кооперативной теории
    • 3. 1. Описание работы комплекса в режиме администрирования
    • 3. 2. Описание работы комплекса в режиме тестирования и обучения
    • 3. 3. Описание работы комплекса в режиме решения задач кооперативной теории
    • 3. 4. Выводы по третьей главе

Алгоритмы и программный комплекс решения задач теории кооперативных игр. Ядерные решения дискретных кооперативныхигр (реферат, курсовая, диплом, контрольная)

Актуальность изучения кооперативных игр обусловлена их универсальностью и простотой, а также возможностью широкого применения для анализа неантагонистических конфликтных ситуаций, возникающих в экономике, социологии, политике и других областях.

Большой вклад в развитие теории кооперативных игр внесли Фон Нейман Дж., Моргенштерн О., Нэш Дж., Шепли JI.C., Воробьев H.H., Бондарева О. Н., Мулен Э., Петросян JI.A., Яновская Е. Б. и др.

В кооперативной игре предполагается возможность перераспределения между игроками выигрыша, полученного в результате действий образованной ими коалиции. Такие игры называются играми с побочными платежами или играми с трансферабельной полезностью (ТП-играми). Выплаты выигрышей осуществляются в количествах бесконечно-делимого и свободно перераспределяемого товара (деньги, золото и т. п.).

Основным понятием теории кооперативных игр является С-ядро. Это множество таких дележей, против которых не будут возражать игроки коалиций, требуя более выгодного для себя распределения общего дохода. Для получения максимального выигрыша требуется единодушное согласие всех игроков. С-ядро может состоять из одной точки — это идеальный случай, тогда любая коалиция не имеет ни возможности, ни желания возражать против такого дележа, может совпадать с множеством всех дележей, а может и не существовать вовсе, т. е. быть пустым.

Если игра имеет непустое С-ядро, то она называется сбалансированной. Для получения явного вида условий сбалансированности при заданном количестве игроков необходимо знать все вершины соответствующего многогранника, алгоритм нахождения которого описан в работе.

Актуальной задачей является получение условий сбалансированности игр малой размерности и исключение зависимых неравенств из условий сбалансированности. Для компактного описания вершин многогранника, определяющего условия сбалансированности, используются минимальные сбалансированные покрытия и векторы их коэффициентов, что позволяет создать эффективный алгоритм расчета, реализованный в комплексе проблемно-ориентированных программ. В литературе приведены все минимальные сбалансированные покрытия для игр трех и четырех лиц. Для игры четырех лиц наборы минимальных сбалансированных покрытий, приведенные в работах Бондаревой О. Н. и Мулена Э., не совпадают. Общего описания минимальных сбалансированных покрытий игры п лиц в литературе пока нет.

Классические кооперативные игры не охватывают конфликты, в которых разыгрываются неделимые виды ресурсов, в связи с чем актуально изучение дискретных кооперативных игр. В диссертационной работе разработаны и исследованы новые свойства и взаимосвязи между множествами, характеризующими дискретные игры (С-ядром, £>-ядром, СС-ядром и множеством Вебера), получены достаточные условия непустоты С-ядра дискретной игры.

Актуальной также является задача создания программного комплекса, ориентированного на решение задач кооперативной теории игр, с помощью которого можно вычислять минимальные сбалансированные покрытия, существенные минимальные сбалансированные покрытия, проверять супераддитивность, сбалансированность, двойственную сбалансированность игр, вычислять вектор Шепли, ТУ-ядро, обобщенное Ы-ядро, вершины С-ядра и двойственного С-ядра и другие множества, связанные с кооперативной игрой. Комплекс должен включать блоки администрирования, тестирования и обучения студентов, изучающих теорию кооперативных игр, позволять студентам самостоятельно изучать теоретические материалы и готовиться к тестированию, а также позволять преподавателю создавать и редактировать тестовые задания контрольных работ для студентов.

Цель работы состоит в получении условий сбалансированности игр малой размерностив определении новых свойств множества дележей, множества двойственных дележей, множества Вебера и СС-ядра дискретных кооперативных игр, а также соотношений между ними, выводе достаточных условий непустоты С-ядра дискретной игрысоздании на основе проведенных теоретических исследований программного комплекса, позволяющего не только решать задачи кооперативной теории игр, но и обучать студентов и тестировать степень усвоения изученного материала.

Для достижения этих целей в работе решены следующие задачи:

1. Получены существенные минимальные сбалансированные покрытия для игр малой размерности и их коэффициенты. Выведены условия, позволяющие получать некоторые классы минимальных сбалансированных покрытий и их коэффициенты для игр п лиц.

2. Доказана неприемлемость непосредственного применения стандартного отношения доминирования для определения сбалансированности дискретных игр.

3. Разработаны и исследованы дополнительные свойства таких математических объектов как: множество дележей, множество двойственных дележей, множество Вебера и СС-ядро целочисленной игры, которые используются при моделировании социально-экономических и других процессов. Получены необходимые и достаточные условия непустоты множества дележей, множества двойственных дележей, множества Вебера и СС-ядра дискретной игры, а также соотношения между этими множествами.

4. Выведены достаточные условия непустоты С-ядра дискретной игры.

5. Разработанные алгоритмы реализованы в виде блоков комплекса проблемно-ориентированных программ, позволяющих вычислять минимальные сбалансированные покрытия, существенные минимальные сбалансированные покрытия, проверять супераддитивность, сбалансированность, двойственную сбалансированность игр, вычислять вектор Шепли, ТУ-ядро, обобщенное ТУ-ядро, вершины С-ядра и двойственного С-ядра и другие множества, связанные с кооперативной игрой.

6. Создано три интерфейса программного комплекса, позволяющих преподавателю, студенту или иному пользователю, получать доступ к необходимым материалам в понятном и удобном виде.

Практическая ценность работы состоит в том, что полученные результаты можно использовать для генерирования данных при вычислительном тестировании, проверке научных гипотез, составлении практически неограниченного количества различных учебных заданий, что актуально при дистанционном обучении студентов и контроле их знаний, а также для вывода достаточных условий сбалансированности кооперативной игры, вычисления № ядра игр малой размерности, формирования характеристических функций игр с пустым и непустым С-ядром и других целей. Результаты, связанные со сбалансированными покрытиями, могут быть использованы при доказательстве некоторых утверждений и теорем кооперативной теории игр. Доказанные положения позволяют решать задачи, связанные с конфликтными ситуациями, в которых распределяется полезность неделимого типа: дискретные варианты игр банкротства, игр большого босса (в частности, холдинговых игр), клановых кооперативных игр, игр двухстороннего рынка, игр, связанных с телекоммуникационными потоками, и т. д., что служит развитию методов анализа игровых моделей задач исследования операций.

Большая часть полученных теоретических результатов, была использована при разработке программного комплекса для решения задач кооперативной теории игр, который уже используется в учебном процессе факультета математики механики и компьютерных наук Южного федерального университета.

1. Сбалансированные игры с трансферабельными полезностями

3.4. Выводы по третьей главе

Описанные и исследованные в первой и второй главах диссертации математические объекты позволили реализовать эффективные алгоритмы в виде комплекса проблемно-ориентированных программ.

Разработанный комплекс состоит из трех основных функциональных блоков. Блок решения задач кооперативной теории позволяет решать широкий круг вопросов, связанных с кооперативной теорией игр. Вычисление минимальных сбалансированных покрытий и существенных минимальных сбалансированных покрытий, делает возможным генерирование сбалансированных игр. Также есть возможность проверки суперадцитивности, сбалансированности, двойственной сбалансированности игрвычисления цены Шепли, тУ-ядра, обобщенного УУ-ядравычисления вершин С-ядра, двойственного С-ядра. Блок администрирования позволяет преподавателю устанавливать основные настройки комплекса, редактировать и создавать новые тестовые задания. Блок тестирования и обучения помогает студентам подготовиться к проверочным работам, а также дает возможность преподавателю проводить контрольные работы для студентов в виде тестов.

Заключение

Основные научные и практические результаты работы:

1. Разработанные алгоритмы реализованы в виде комплекса проблемно-ориентированных программ для решения задач кооперативной теории игр, позволяющего вычислять минимальные сбалансированные покрытия, существенные минимальные сбалансированные покрытия, проверять супераддитивность, сбалансированность, двойственную сбалансированность игр, вычислять вектор Шепли, iV-ядро, обобщенное iV-ядро, вершины С-ядра и двойственного С-ядра и другие множества, связанные с кооперативной игрой.

2. Использование программного комплекса позволяет обучать студентов, изучающих теорию кооперативных игр.

3. Получены все существенные минимальные сбалансированные покрытия для игр трех, четырех и пяти лиц, а также их коэффициенты.

4. Доказаны утверждения, позволяющие получать некоторые классы минимальных сбалансированных покрытий и их коэффициенты для игр п лиц.

5. Выведены необходимые и достаточные условия непустоты множества дележей, множества двойственных дележей, множества Вебера и СС-ядра дискретной игры, а также исследованы соотношения между этими множествами.

6. Разработаны и исследованы дополнительные свойства таких математических объектов как: множество дележей, множество двойственных дележей, множество Вебера и СС-ядро целочисленной игры.

7. Установлено, что при использовании множестваzz между дискретными и классическими играми устанавливаются соотношения, аналогичные соотношениям между дискретными и непрерывными задачами математического программирования.

8. Получены достаточные условия непустоты С-ядра дискретной игры.

Библиографический

Показать весь текст

Список литературы

  1. М.Х., Морозов В. В. О решении дискретных кооперативных игр трех лиц // Математические методы оптимизации и управления в сложных системах. Межвузовский тематический сборник научных трудов. Калинин. 1986. С.84−88.
  2. М.Х. Условия непустоты ядер дискретных кооперативных игр // Программное оборудование и вопросы принятия решений. М. 1989. С.210−219.
  3. О.Н., Некоторые приложения методов линейного программирования к теории кооперативных игр // Проблемы кибернетики. 1963. Вып. 10
  4. О.Н., О теоретико-игровых моделях в экономике. Л.: ЛГУ, 1974.
  5. H.H., Основы теории игр: бескоалиционные игры, М.: Наука. 1984
  6. Ю.Б., Игры с непротивоположными интересами. М.: Наука, 1976.
  7. М.В. Управление организационными системами с коалиционным взаимодействием участников. М., 2003. 140 с.
  8. С.В., Землянухина Л. Н., Зинченко А. Б., Сантылова Л. И. Методические указания по курсу: Методы оптимизации, части 5 и 7. — Ростов-надону, 2000.
  9. В.А., Мельников О. И., Сарванов В. И., Тышкевич P.M. Лекции по теории графов. М., 1990.
  10. В.А., Ковалев М. М., Кравцов М. К. Многогранники, графы, оптимизация. М., 1981.
  11. Жак C.B., Зинченко А. Б. Согласование внутренних цен предприятий как кооперативная игра с побочными платежами // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки, № 4, 2001.
  12. А.Б. Об одном способе вывода достаточных условий существования с-ядра кооперативной игры // Тез. докл. 23 междунар. школы-семинара им. академика С. С. Шаталина «Системное моделирование социально-экономических процессов», Воронеж, 2000.
  13. А.Б. С-ядро дискретной кооперативной игры. Деп. 3.03.2004. №−390-В2004.
  14. А.Б. Аналитическое описание игр, моделирующих сбалансированные конфликты // Теория конфликта и ее приложения. Материалы IV Всероссийской научно-технической конференции, Воронеж, 2006, с. 183−186.
  15. А.Б., Оганян U.C., Тенищее И. Е. Графы пересечений и нецелочисленные вершины релаксированного многогранника разбиений ДЕП., №−1216-В2006, от 9.10.2006.
  16. А.Б., Тенищее И. Е. Устойчивость экономических ситуаций, моделируемых ТП-играми // Управление устойчивым развитием экономических систем. Межвузовский сборник научных трудов, Санкт-Петербург, 2006, с.627−629.
  17. А.Б., Мермелъштейн Г. Г. Сбалансированные и двойственно сбалансированные дискретные кооперативные игры // Экономический вестник РГУ. 2007. Т. 5. № 1. Ч. 2. С. 109−115.
  18. А.Б., Оганян U.C. О структуре многогранников, использующихся в кооперативной теории // Известия вузов. СевероКавказский регион. Естественные науки, 2007. № 1. С.21−23.
  19. A.A. Основы теории графов. М., 2004.
  20. А. Введение в прикладную комбинаторику. М., 1975.
  21. H.С., Морозов B.B. Теория неантагонистических игр. М., 1984.
  22. Майника Алгоритмы теории графов. — М., 1981.
  23. В.В., Аъзамхуэ/саев М.Х. О поиске дележей дискретной кооперативной игры //Применение вычислительных средств в научных исследованиях и учебном процессе. М., 1991. С.49−62.
  24. Э. Теория игр с примерами из математической экономики. — М., 1985.
  25. Э. Кооперативное принятие решений: аксиомы и модели. — М., 1991.
  26. Л.С., Зинченко А. Б., Мермелъштейн Г. Г. Компьютерная поддержка спецкурса по кооперативным играм, Современные информационные технологии в образовании: Южный Федеральный округ, Ростов-на-Дону, 2007, 196−197.
  27. JI.C. Свойства ядра кооперативной игры с целочисленными дележами, Материалы II международной научной конференции «Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования», Воронеж, 2007, 145−146.
  28. Л.С., Мермелъштейн Г. Г. Обучающий программный комплекс «Кооперативные игры», ХУ1 Международная конференция «Математика. Экономика. Образование», Ростов-на-Дону, 2008.
  29. Л.С., Зинченко А. Б., Мермелъштейн Г. Г. Кооперативные игры с условиями дискретности, Обозрение прикладной и промышленной математики. Десятый всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной математике, Москва, 2009. Т. 16. — Вып. 4. — С. 687
  30. JI.C., Зинченко А. Б., Мермелъштейн Г. Г. Ядерные решения дискретной кооперативной игры, Известия высших учебных заведений, Северо-Кавказский регион, Технические науки, № 5, 2009, 6−9.
  31. С.Л., Функции эксцесса для кооперативных игр без побочных платежей: аксиоматический подход. //Экономико-математические исследования: математические модели и информационные технологии. СПб:. Наука 65−82.
  32. С.Л., Яновская Е. Б., Трансферабельные значения для игр с нетрансферабельными полезностями //Экономические исследования: теория и приложения. СПб:. Европейский университет в СПб. 2000. 310−349.
  33. ЪЪ.Петросян Л. А., Зенкевич H.A., Семина Е. А., Теория игр. М.: Высшая школа, Книжный дом «Университет». 1998.
  34. Ф.С. Дискретные математические модели с приложениями к социологическим, биологическим и экологическим задачам. М., 1986.
  35. И. Кооперативные игры и рынки. М., 1974.
  36. В.А. О методе решения задач целочисленного линейного программирования специального вида. // Докл. АН СССР, 1969, 189, № 5.
  37. С.Н. Линейные неравенства. М., 1968.
  38. Фон Нейман Дж. Моргенштерн О. Теория игр и экономическое поведение. М.: Наука, 1970.41 .Aumann R.J., The core of a cooperative game without side payments, Transactions of the American Mathematical Society 98, 1961. P. 539−552.
  39. Aumann, R.J. and Dreze J.H., Cooperative games with coalition structure, International Journal of Game Theory, 3, 1974. P. 217−237.
  40. Azamkhuzhaev M.Kh., Nonemptiness conditions for cores of discrete cooperative games // Computational Mathematics and Modeling, 1991. V.2. N.4. P.406−411.
  41. Billera L.J., Some theorems on the core of an n-person game without side payments, SIAM Journal on Applied Mathematics 18, 1970. P. 567−579.
  42. Bonnisseau J. M., Iehle V. Payoff-dependent balancedness and cores // Games and Economic Behavior. 2007. Vol. 61. No. 1. P. 1−26.
  43. Branzei R., D. Dimitrov and S. Tijs S. Models in cooperative game theory: crisp, fuzzy and multichoice games. //Lecture notes in economics and mathematical systems, Springer-Verlag, Berlin, 2005, P. 17−19.
  44. Bruyneel Guido. Computation of the nucleolus of a game by means of minimal balanced sets. «Oper. Res. «Verfahren, 1978, 34.
  45. Calvo E. and Santos J.C., A value for multichoice games, Mathematical Social Sciences 40, 2000. P. 341−354.
  46. Calvo E. and Santos J.C., A value for mixed action-set games, International Journal of Game Theory 30, 2001. P. 61−78.
  47. Curiell. J., Maschler M., Tijs S. Bankruptcy games // Math. Meth. Oper. Res. 1987. Vol. 34. No. 5. P. 143−159.
  48. Davis, M. and Maschler M., The kernel of a cooperative game, Naval Research Logistics Quarterly, 12, 1965. P. 223−259.
  49. Dimand Mary-Ann, Dimand Robert W. The History Of Game Theory, Routledge, 1996.
  50. Driessen T.S.H., Cooperative Games, Solutions and Applications, Kluwer Academic Publishers.1988.
  51. Driessen T.S.H. and H. Sun, A potential approach to solutions for set games, Memorandum No. 1571, Faculty of Mathematical Sciences, University of Twente, Enschede, The Netherlands. 2001.
  52. Francisco S., Balanced contributions axiom in the solution of cooperative games, Games and Economic Behavior, 20, 1997. P. 161−168.
  53. Funaki Y. Dual Axiomatizations of Solutions of Cooperative Games. Working Paper. 13. Toyo University. Japan. 1994.
  54. Funaki Y., Yamato T. The core and consistency properties: a general characterizations // International Game Theory Review. 2001. 3. P.175−187.
  55. Gibbins R., Game theory for applied economists. Princeton University Press, Princeton, 1992.
  56. Hamers H., Klijn F., Solymosi T., Tijs S., Villar J. P. Assignment games satisfy the CoMa-property // Games and Economic Behavior. 2002. Vol. 38. No. 2. P. 231−239.
  57. Hanley N. Folmer //., Game-theoretic modelling of environmental and resource problems: an introduction, in Game Theory and the Environment, Hanley N., Folmer H. (eds.), 1998. P. 1−29.
  58. Hwang Y.A., Sudholter P. An Axiomatization of the Core on the Universal Domain and other Natural Domains // International Journal of Game Theory. 2001.29. P.597−623.
  59. KeidingH. and L. Thorlund-Petersen, The core of a cooperative game without side payments, Journal of Optimization Theory and Applications 54, 1987. P. 273−288.
  60. Kuipers J. On the core of information graph games // Int. J. Game Theory.1993. Vol. 21. P. 339−350.
  61. Llerena F., Rafels C. Convex decomposition of games and axiomatizations of the core and D-core // International Journal of Game Theory. 2007. V.35. N.4. P.603−615.
  62. Lucas, W. F., Game theory and its application, Proceedings of Symposia in Applied Mathematics, 24, American Mathematical Society. 1981.
  63. Monderer D., Samet D. and L.S. Shapley, Weight values and the core, International Journal of Game Theory, 21, 1992. P. 27−39.
  64. Moulin H., Cores and large cores when population varies, International Journal of Game Theory, 19, 1990. P. 219−232.
  65. Moulin H., Cooperative Microeconomics: a Game Theoretic Introduction. Princeton University Press- Prentice-Hall. 1995.
  66. Myerson R.B., Game Theory: analysis of conflict. Harvard University Press, Cambridge. 1991.
  67. Nash J., Two-person cooperative games, Econometrica 21, 1953. P. 128−140.
  68. Nouweland H., Borm P.E.H., Brouwers M., Bruinderink R. and Tijs S.H., A game theoretic approach to problems in telecommunication, Management Science, 42, 1996. P. 294−303.
  69. Nowak A.S. and T. Radzik, The Shapley value for n-person games in generalized characteristic function form, Games and Economic Behavior 6,1994. P. 150−161.
  70. Oganyan L.S., Zinchenko A.B., Mermelshtejn G.G. The concept of a core ofcooperative game with integer imputations, Proceedings of the second international conference «Mathematical modeling of social and economical dynamics», Moscow, 2007. P. 199−201.
  71. Oganyan L.S., Zinchenko A.B. and Mermelshtejn G. G. Core like solution concepts for discrete cooperative games, //Game theory and management: proceedings of the third international conference, St. Petersburg, 2009, 189−191.
  72. Osbourne M.J., Rubinstein A. A Course in Game Theory, MIT Press, 1994.
  73. Owen G., Game Theory, 3rd ed., Academic Press. 1995.
  74. Predtetchinski A. and Hering P.J.J., A necessary and sufficient condition for the non-emptiness of the core of a non-transferable utility game, METEOR Research Memorandum 02/19, Universiteit Maastricht, 2002.
  75. Peleg B. and SudhAolter P. Introduction to the Theory of Cooperative Games. Boston: Kluwer Academic Publishers. 2003.
  76. Peters H, Cooperative Game Theory. University of Maastricht. 1997.
  77. Potters J., Poos R., Tijs S., MutoS. Clane games // Games and Economic Behavior. 1989. No. 1. P. 275−293.
  78. Rafels, C. and S. Tijs, On cores of cooperative games and the stability of the Weber set, International Journal of Game Theory 26, 1997. P. 491−499.
  79. Roth, A., The Shapley Value: Essays in Honor of Lloyd S. Shapley, Cambridge University Press. 1988.
  80. Rosenthal E.G., Monotonicity of the core and value in dynamic cooperative games, International Journal of Game Theory, 19, 45−57. Scarf H., The core of an N person game, Econometrica 35. 1990. P. 50−69.
  81. Shapley, L.S., A value for n-person games, in: Contributions to the Theory of Games II, Annals of Mathematics Studies No, 28, (Kuhn H. and A.W. Tucher, eds.) Princeton University Press, Princeton, 1953. P. 307−317.
  82. Shapley L.S. and ShubikM., On market games, Journal of Economic Theory 1, 1969. P. 9−25.
  83. Shapley L.S., On balanced games without side payments, in: Mathematical Programming, eds. T.C. Hu and S.M. Robinson (Academic Press, New York, 1973. P. 261−290.
  84. Shapley L.S., Measurement of power in political systems, Proceedings of symposia in applied mathematics, 24, 1981. P. 69−81.
  85. Shubik M., Game theory in the social sciences: concepts and solutions. Massachusetts: MIT Press, 1991.
  86. Tijs S., MecaA., LorezM.A. Benefit sharing in holding situations // Eur. J. Oper. Res. 2005. Vol. 162. No. 1. P. 251−269.
  87. Tijs, S. Introduction to Game Theory, Hindustan Book Agency. 2003.
  88. Tijs, S., Branzei R., Ishihara S. and S. Muto, On cores and stable sets for fuzzy games, Fuzzy Sets and Systems 146,2004. P. 285−296.
  89. Voorneveld M., Grahn S. A minimal test for convex games and the Shapley value // Working Paper Series 2001:2, Department of Economics, Uppsala University. 2001.
  90. Weber R.J., Probabilistic values for games. In The Shapley Value: Essays in Honor of Lloyd S. Shapley. Cambridge: Cambridge University Press, 1988. P. 101−119.
  91. Yanovskaya E. Consistency Properties of the Nontransferable Cooperative Game Solution // Game Theoretical Applications to Economics and Operation Research /T.Parthasarathy at al. (eds.). Kluwer Academic Publishers. 1997. P. 67- 84.
  92. Yanovskaya E. Set-Valued Analogues of the Prenucleolus // Game Theory and Applications. 3 / L. Petrosjan, V. Mazalov (eds.). N.Y.: Nova Science Publishers. 1997a. 161−175.
  93. Young, H.P., Monotonic Solutions of Cooperative Games, International Journal of Game Theory 14, 1985. P. 65−72.118
Заполнить форму текущей работой

На отлично!