Метод эталонного моделирования для приближенного решения нелинейных задач гиперболического, параболического и эллиптического типов

Актуальность проблемы и краткий обзор литературы.

Математические модели, базирующиеся на дифференциальных уравнениях математической физики, играли и продолжают играть существенную роль в изучении качественных особенностей и получении количественных результатов для многих явлений и процессов в различных областях современного научного знания [64]. Существенной особенностью физического и математического моделирования сегодня является исследование сложнейших проблем, возникающих при воздействии на вещество электрических полей большой интенсивности, пучков частиц высокой энергии, лазерного когерентного излучения, ударных волн, мощных тепловых потоков и др. Моделирование таких физико-химических процессов и явлений возможно только при использовании нелинейных подходов. Линейные математические модели оказываются лишь определенными приближениями. Их можно использовать только в тех случаях, когда исследуемые величины в. рассматриваемом процессе изменяются в не очень широком диапазоне значений [35- 10-, 92- 90- 91- 5- 72- 97- 74- 56- 104- 12].

Для ряда нелинейных задач математической физики удается найти точные или приближенные решения. Однако законченной теории и общих методов решения нелинейных уравнений в настоящее время не разработано [5- 97]. Учитывая, что использование нелинейных математических моделей позволяет выявить нетривиальные эффекты в исследуемых природных и технических процессах, поиск новых методов получения точных или приближенных решений таких уравнений представляется весьма актуальной задачей [73- 101- 112]. Так, при исследовании высокотемпературных тепловых процессов с учетом действия таких механизмов переноса энергии, как электронная или лучистая теплопроводности, необходимо принимать во внимание зависимость плотности, удельной теплоемкости и коэффициента теплопроводности от температуры. Это существенно осложняет поиск решений соответствующих уравнений:[72- 56].

Мощность тепловых источников-, распределенных в объеме среды, также: может зависеть от температуры, если учитывать процессы диссоциации^ и ионизации молекул, фазовые переходы, излучение, горение,. химические* реакции и другие: экзои- эндотермические процессы, протекающие: в нагретой среде: Процессы такого рода описываются квазилинейными: параболическими уравнениями:

Как известно' нелинейность модели явления^ может быть обусловлена нелинейностью' уравнения — внутренней? нелинейностью! или- (и) нелинейностью' граничных: условий- — внешней! нелинейностью: Число найденных точных решений-этих уравнений весьма1: ограничено [92- 90- 72- 97- 74- 56- 104], чтосвязано во многом? с невозможностью применения принципа: суперпозиции для нелинейных задач [108-: 92- 104]. Вместе с: тем сегодня разработан? ряд эффективных методов исследования: нелинейных, математических моделей: ш решения? соответствующих дифференциальных уравнений- ' .

Дадим краткийобзор наиболее: часто используемых методов решения нелинейных уравнений, возможностей применимости этих методов: Г. Метод автомодельных переменных [108- 92- 90- 56-.67]. Сущность метода состоит в нахождениитаких новых переменных (для каждого уравнения' своих!), при которых: исходное уравнение в частных, производных, превращается: вобыкновенное, дифференциальное уравнение и затем решается: стандартными’методами: При этомполучается. приближенное или численноерешениеПримером: может служить — решение, классической задачиСтефана [97- 74], задачи о сильном взрыве [35- 72], задачи о сходящейсяударной волне [35- 108- 56] и др. Однако для использования этогометода: необходимо-, чтобы, моделируемый процесс в. различные моменты времени оставалсяшодобным самому себе, испытываяшишь, сжатие или растяжение по пространственным переменным. При этом система параметров,-определяющих, процесс, содержала не более двух величин с независимыми! размерностями, отличными от длины и времени. Условием использованияметода автомодельных переменных является отсутствие в моделируемомявлении характерного размера и характерной временной величины. Это требование существенно ограничивает его возможности.

2. Метод обычного разделения переменных [2- 44- 69- 135].

Интегрирование отдельных классов нелинейных дифференциальных уравнений первого, второго и более высоких порядков, имеют решенияс так называемым, обычным разделением переменных.

В последние годы, в частности в работах [15- 16]— были представлены, решения некоторых типов параболических и гиперболических уравнений с квадратичной, нелинейностьюс использованием более сложного способа разделения? переменных, а также решения, соответствующие перестановке независимых переменных х, t.

В простых случаях удаетсяполностьюразделить переменные и получить, обыкновенные дифференциальные уравнения дляфункцийкомпонент решения. Так, уравнение: теплопроводности со степной нелинейностью имеет точное решение в виде произведения функций разных аргументовВолновое уравнение, с нелинейностьюэкспоненциального вида имеет точное решение в виде суммы. функций разных аргументов. Уравнение теплопроводности в анизотропной среде с источником логарифмического', типа имеет точное решение в виде произведения функций? разных аргументов* [108- 72- 15]. 3. Метод нетривиального разделения переменных [15- 16- 86];

Имеется: немало примеров? разделенияпеременных в нелинейных уравнениях, которое происходит не так, как в уравненияхлинейных. Так, в уравнении с кубической нелинейностью для разделения переменных возникает необходимость введения трех функций (при двух независимых переменных). При этом появляется возможность, получить несколько вариантов решений функционально-дифференциальных уравнений.

Уравнение третьего. порядка с кубической нелинейностью удается решить методом разделения переменных, используя особый механизм. Представив решение в виде суммы и подставив его в исходное уравнение, можно получить уравнение с одинаковыми по величине, но разными по знаку слагаемыми, которые при сложении нелинейных членов сокращаются. Это позволяет найти решение основной задачи.

4. Методы функционального разделения переменных [82- 86- 131- 121- 125].

Ряд нелинейных уравнений математической физики может быть получен из линейных путем замены искомой функции и перехода к новой' независимой переменной. При выполнении этих требований полученные нелинейные уравнения будут иметь точные решения.

Выражения, содержащие в себе как частные случаи все наиболее распространенные решения — это:

— решения типа бегущей волны;

— автомодельные решения;

— решения в виде суммыили произведения двух функций разных аргументов;

— многие инвариантные решения.

Следует назвать еще метод расщепленияс редукцией к функциональному уравнению с двумя переменными и, так называемый, метод дифференцирования [121- 125].

Существует и используется упрощенная схема построения точных решений уравнений некоторых типов (в частности, с квадратичной нелинейностью). Если решения-не зависят явно-от координат, то в случае, когда система координатных функций описывается линейными уравнениями с постоянными коэффициентами, решения таких уравнений чаще всего выражаются через элементарные функции.

Для поиска точных решений с обобщенным разделением переменных используются конечные последовательности комбинаций^ этих функций.

Система функций, зависящих от времени, определяется путем решения соответствующих нелинейных уравнений.

Изложенный упрощенный подход не обладает той общностью, которой обладают другие, названные в кратком обзоре методы. Однако явное задание системы координатных функций существенно упрощает процедуру построения точных решений. Заметим, что при этом отдельные решения могут быть потеряны [86- 121].

Важную роль в решении нелинейных уравнений математической физики играют приближенные методы: теория возмущений, квазиклассическое приближение (метод ВКБ), вариационные методы, прямое численное интегрирование.

Основная идея теории возмущения для нелинейных задач [112- 70 и др.] та же, что и для линейных: поиск малых поправок к точному решению линейной задачи, которые позволяют учесть влияниенелинейности. Разложение искомого решения в ряд по степеням малого параметра, который выбирается специально для каждой задачи, нахождение поправок, определение сходимости ряда требует выполнения обычных условий: малости нелинейного возмущения, выяснения физического смысла поправок и преодоления существенных расчетных сложностей. Такие условия позволяют использовать метод в задачах, в которых «фактор нелинейности» много меньше базового «линейного фактора» решаемого уравнения.

Квазиклассическое приближение (метод ВКБ), разработанное и широко используемое в рамках квантовой теории- [108- 53- 138- 37], позволяет получить приближенные решения некоторых нелинейных уравнений математической, физики, в частности, нелинейного уравнения Шрёдингера (НУШ). Вместе с тем, требование малости градиентов" внешних полей в сравнении с энергией объекта выполняется далеко не всегда. Это особенно проблематично в нелинейных задачах. Существенной проблемой оказывается быстрота сходимости ВКБ-разложения, которая может потребовать вычисления большого числа слагаемых. В-каждой конкретной задаче возникает необходимость изучения зависимости сходимости от начальных данных задачи, разделения солитонных и несолитонных решений.

Довольно часто [60- 89- 37- 142- 132] при поисках приближенных решений нелинейных проблем используют возможности различных вариационных методовопирающихся на исследование виртуального бесконечно малого изменении вида вариационного функционала. Опираясь на выражение усредненного лагранжиана системы, решая уравнение Лагранжа, подыскивая адекватную пробную функцию (для нелинейных задач это довольно сложная проблема, не имеющая установленного алгоритма решения), удается получить довольно близкие к правильным решения.

В последние десятилетия $ в, связи с развитием' компьютерных технологий расширяется использование численных методов для решения нелинейных проблем [5- 72- 104- 98- 8- 111]. К наиболее часто применяемым относятся стандартный и модифицированный метод Ньютона, метод Рунге-Кутта, дифференциальная прогонка, методы переменных направлений, сеток и др. Однако, условием успеха этих методов * в нелинейных задачах является, как правило, знание «расположения» решения, что позволяет уточнить имеющееся грубое приближение к искомому значению.

Таким, образом, анализ монографических и журнальных публикаций по изучаемой проблеме показал следующее:

1 .За последние десятилетия внимание к нелинейному математическому моделированию существенно возросло, поскольку исследуемые физико-химические явления, создаваемые технические устройства являются фундаментально нелинейными.

2.Ядром большинства нелинейных моделей являются нелинейные дифференциальные уравнения в континуальной или конечно-разностной форме. Основная часть начальных и граничных условий таких математических моделей являются нелинейными по природе явлений или структуре технических систем. Нередко источником нелинейности модели становится среда, в которой протекает явление, поскольку значение характеристик изучаемого процесса (энергия, амплитуда и др.) выводят его в-зону нелинейности параметров среды.

З.В последние двадцать-тридцать лет разработано немало методов решения нелинейных дифференциальных уравнений различного вида. Краткий обзор наиболее частоиспользуемых методов дан выше и будет представлен в развернутом виде в главе 1 и Приложениях. Очевидно, однакочто большинство предлагаемых подходов пригодны для уравнений с конкретными (частными).типами нелинейности. Более того, в каждом из этих методов действуют весьма жесткие ограничения, суживающие область его применения.

4 г.Расширение круга. проблем, дляшсследования-которых используются нелинейные математические модели, ограниченные возможности, теоретических методов решения нелинейных дифференциальных уравнений, относительно узкие границы, применимости известных методов можно рассматривать как серьезное обоснование необходимости поиска новых (возможно, приближенных) ^ методов решения нелинейных дифференциальных уравнений с достаточно широкой областью применимости.

Эти аргументы подтверждают актуальность выполненного исследования.

Объектом исследования являются нелинейные модели физических явлений, их основное ядро — нелинейные дифференциальные уравнения математической физики.

Исследования^ автора показали1, что, — опираясь на известные методы точного и' приближенного решения" нелинейных уравнений математической физики, оказалось, возможным разработать в достаточной степени универсальный метод моделированияпозволяющий получать надежные решения нелинейных уравнений, обладающий стандартной расчетной схемой, широкой областью применимости, хорошей сходимостью:

Предметом исследования — являются дифференциальные уравнения математической физики с различными типами нелинейности.

Цель исследования — исследовать возможность метода эталонного моделирования для нахождения приближенных асимптотических решений нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных второго и более высоких порядков.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

1.Провести сравнительный анализ используемых в настоящее время точных и приближенных методов решения нелинейных уравнений математической физикивыявить достоинства и недостатки, этих методов.

2.Разработать метод моделирования для получения приближенных решений нелинейных уравнений математической физики, определив его основные положения, расчетную схему, условия применимости, характер сходимости, существования3решений'.

3.Исследовать возможности метода при решении нелинейных дифференциальных^ уравнений второго и третьего порядка с различными типами нелинейности.

4.Апробировать метод путем получения приближенных решений тестовых нелинейных уравнений гиперболического, параболическогоj и эллиптического типов.

Научная новизна и теоретическое значение результатов исследования заключается в следующем:

— разработан метод моделирования для нахождения приближенных решений нелинейных дифференциальных уравнений основных типов, составляющих ядро нелинейных математических моделей ряда, физико-химических и технических явлений и процессов;

— построена расчетная схема метода моделирования для нелинейных задач математической физики и дано обоснование ее решения;

— определены критерии оценки области применимости разработанного метода для нелинейньж математических моделей, различных видов;

— с помощью нового метода решен ряд «тестовых» задач и показана надежность получаемых результатовпредложены:

— алгоритм проверки сложных математических моделей • на «фундаментальную» нелинейность;

— принципы и методики подбора «эталонных» задач для? использования метода моделирования;

— качественные физико-химические и технические интерпретации моделей-эталонов;

— способы: решения нелинейных уравнений с различными типами нелинейности.

Практическая значимость. Результаты исследования? могут быть использованы:

— для. нахождения! приближенных решений: дифференциальных уравненийсоставляющих ядро нелинейных^ математических моделей^ с различными видами нелинейности;

— для содержательной интерпретации эффектов при учете приближений различных порядков, в асимптотическихразложениях, как фазовой функции, так и содержательных характеристик моделируемых-систем и явлений-,.

— при построении «приближенных» нелинейных моделей,' различных физико-химических явлений, связанных, с решением стационарных проблем, проблем переноса, распространения воли в нелинейных средах различной физическойшрироды.

Достоверность и обоснованность полученных научных результатов подтверждаются:

— корректностью — применения апробированных: математических методов (теорииоператоров, дифференциальных уравненийрядов, теории линейных, и, нелинейных уравнений математической физики);

— опубликованными результатами исследований других авторов (теорией эталонных уравнений акад. А. А. Дородницына [23]- исследованиями математических моделей теплопереноса, ВКБ-метода В. П. Маслова [7] и др.- методами создания и исследования нелинейных математических моделей [97- 74- 15- 16- 82- 86- 131- 121- 125], непосредственно примыкающими к изложенным в диссертации или вытекающими из результатов защищаемой работы;

— результатами, полученными при решении тестовых задач, согласующимися с экспериментальными и теоретическими данными других исследователей.

На защиту выносятся следующие положения:

1. Основные положения и расчетная схема обобщенного метода эталонного, моделирования для получения приближенных решений нелинейных уравнений математической физики гиперболического, параболического и эллиптического типа.

2. Критерии применимости предложенного метода моделированияих математические выражения и способы использования при решении конкретных задач. Методика выбора моделей-эталонов.

3. Технология применения метода эталонного моделирования при решении одномерных уравнений второго и третьего порядка со степенными нелинейностями, анализ свойств различных типов решений.

4. Результаты изучения особенностей применения метода эталонного моделирования для решения нелинейных уравнений математической физики гиперболического, параболического и эллиптического типа.

Результаты исследования были доложены на:

— 50-й научно-методической конференции «Физико-математические науки в Ставропольском государственном университете» (г. Ставрополь, 2005);

— 51-й научно-методической конференции «Университетская наукарегиону» (г. Ставрополь, 2006);

— Седьмом Всероссийском Симпозиуме по прикладной и промышленной математике (г. Кисловодск, 2006);

— 52-й научно-методической конференции «Научно-инновационные достижения физико-математического факультета в области физико-математических и технических дисциплин» (г. Ставрополь, 2007);

— Всероссийской научной конференции «Физико-химические и прикладные проблемы магнитных дисперсных наносистем» (г. Ставрополь, 2007).

Публикации. Основные результаты диссертации представлены в 12 научных публикациях. Во всех совместных статьях автором работы конкретизирована постановка задач, предложены методы аналитического решения, получены численные результаты, сделаны предложения к выводам и обобщениям.

Краткое содержание работы.

Работа состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы и приложений.

Во введении дано обоснование актуальности исследования, сделан краткий обзор литературы, сформулирована цель работы, ее научная новизна, теоретическая и практическая значимость результатов, приведены аргументы в пользу их достоверности и обоснованностисформулированы основные положения, выносимые на защиту, дана информация об апробации материалов исследования и публикаций по теме работы.

Первая глава диссертации представляет собой обзор и анализ современного состояния нелинейного математического моделирования реальных (главным образом физических) явлений, сравнение методов их исследования, сопоставление достоинств и недостатков.

В начале главы приведены известные на сегодня представления о природе нелинейности, ее физическое, геометрическое, динамическое (связанное с изменением свойств объекта) происхождение, имеющее место как в естественных условиях, так и в технологических процессах. Предложена и обоснована по аналогии с линейными математическими моделями система классификации нелинейных моделей по следующим основаниям: виду моделируемого процесса, источнику и типу нелинейности. В качестве примера-эталона (приложение 1) рассмотрена математическая модель, процесса распространения тепловых возмущений от двух мгновенных источников в среде с поглощением.

Представлен сравнительный обзор" основных методов поиска точных решений нелинейных дифференциальных уравнений*, лежащих в основе математических моделей физических, химических, биологических явлений: В' обзор включен метод автомодельных переменных, специальные преобразования ^ (Миуры, Беклунда, Коула-ХопфаМОЗР), разделение переменных, метод дифференцирования. Анализ расчетных схем методов, условий применимости, примеров применения" (приложения 2,3) позволил сопоставить возможность и результативность, надежность и полноту, степень разработанности общего алгоритма, оценить их достоинства и недостатки.

Во второй части главы изложены" результаты анализа приближенных методов решения нелинейных уравнений, наиболее широко используемые в математическом моделировании. Базойфассмотренияи основой обобщенных выводов являютсяконкретные модели и уравнения. Так, метод теории возмущений рассмотрен на примере решения квазилинейной задачи теплопроводности. Квазиклассическое приближение, его идеи, алгоритм, достоинства и недостатки раскрыты в процессе поиска приближенного решения нелинейного уравнения Шрёдингера (НУШ). Структура, возможности и проблемы вариационного метода проиллюстрированы" в ходе решения уравнения Кортевега-де Фриза (КдФ) (приложение4). Завершается параграф анализом возможностей численных методов для интегрирования нелинейных уравнений. Общие выводы состоят в том, что приближенные и численные методы позволяют получать решения конкретных уравнений, но не создают универсальных возможностей (приложение 5).

Общие выводы, которые можно сделать на основе аналитического обзора нелинейных моделей, сравнения точных и приближенных методов их решения, представленные в таблицах в конце главы, подтверждают необходимость и возможность разработки нового обобщенного' метода, обладающего широкой областью применимости, четкой расчетной процедурой и надежностью и прозрачностью алгоритмических действий.

Вторая глава диссертационного* исследования1 посвящена обоснованию, разработке и апробации метода моделирования для решения нелинейных уравнений математической физики. В' небольшой по объему вводной части сформулированы, аргументы в поддержку необходимости созданиятакого приближенного аналитического метода, характеризуемого ясным физическим смыслом используемых моделей, применимостью в широком диапазоне значений, относительно быстрой сходимостью разложений.

Параграф 2.1. посвящен формулированию и обоснованию основных положений расчетной схемы, определению области и критериев применимости метода моделирования. Все системные компоненты метода описаны и содержательно аргументированы на примере уравнения Sin-Гордона (2.2.), для которого подобрана эталонная модель, получено уравнение и сама фазовая^ функция-, найдены соотношения" для< критериев применимости метода (2.39−2.41). В качестве конкретного примера (2.3.), подтверждающего надежность метода, рассмотрена задача расчета прозрачности потенциального барьера для нелинейного уравнения Шрёдингера.

Во второй части главы на достаточно строгом математическом уровне исследованы возможности метода моделирования в поиске приближенных решений некоторых нелинейных уравнений математической физики. Введены понятия продолжаемых, колеблющихся и особых решений. Рассмотрены уравнения с частными производными второго и третьего порядков, содержащие нелинейности степенного вида для искомой функции и ее первой производной. Полученные результаты могут быть использованы для создания и исследования математических моделей нелинейных волновых процессов, переноса энергии и вещества, кантовых явлений, распространения и взаимодействия солитонов и пр.

Эти возможности метода моделирования раскрываются в главе 3, где представлены решения «тестовых» нелинейных задач математической физики: волнового уравнения Клейна-Гордона, уравнения диффузии, стационарного БУШ. Полученные методоммоделирования решения сопоставлены с результатами прямого численного интегрирования соответствующих уравнений:

В заключении сформулированы иобобщены основные идеи и результаты, полученные в диссертационном исследовании, определены дальнейшие перспективы работы в данном направлении.

Список литературы

включает 152 наименования научных изданий отечественных и зарубежных авторов. В приложениях представлены: математическая модель процесса распространения" тепловых возмущений от двух мгновенных источников в среде с поглощением (приложение 1);

— примеры применения точных методов решения нелинейных уравнений (приложения 2, 3,4);

— некоторые детали расчетов, необходимых для получения численных решений нелинейных уравнений (приложение 5);

— доказательство существования решений нелинейного уравнения (приложение 6);

— исследование свойств и поведения приближенных решений нелинейного уравнения третьего порядка (приложение 7).

Выводы к главе 3.

Применение метода эталонного моделирования к решению уравнений математической физики гиперболического (3.1), параболического (3.2.) и эллиптического (3.3.) типовпозволило подтвердить достаточно широкие его возможности. Это касается как типов уравнений, так и характера нелинейности проблем.

При полученииприближенного решения > уравнения Клейна-Гордона была использована комбинированная^ фазовая функция, включающая* как координатную, так и временную' составляющие. Ограниченность объема работы позволила представить результаты сравнительного анализа. процессов распространения1 волн в «модельной» и исследуемойсредах, сделать заключения* о соотношении волновых чисел, амплитуд и ихзависимости' от характера нелинейности моделируемого нелинейного коллоида.

Физический анализ, построение математической модели конвективного диффузного процесса, связанного с погружением капли суспензии в большой объем чистой жидкости потребовало рассмотрения диффузионных потоков в пограничном слое, учета особенностей* процесса в точке «набегания», на боковых поверхностях и «корне» капли. Результаты, полученные методом моделирования, позволили найти выражения для потока диффундирующих частиц, размеров пограничного слоя и выявить их зависимость от концентрации, коэффициента диффузии, скорости погружения.

Немало новых, интересных результатов дало применение1 метода моделирования к решению стационарного уравнения Шрёдингера с нелинейными центрально-симметрическими потенциалами. Количественные результаты — значение длинрассеяния, сопоставлениеих с данными экспериментов, прямого численного интегрирования показали хорошее совпадение и, тем самым, подтвердили надежность и эффективность предлагаемого метода, моделирования длярешения нелинейных уравнений математической физики.

Заключение

:

Изучение проблемы создания* и исследования нелинейных математических моделей физических явлений позволилоконкретизировать источники нелинейности, связав их с нелинейностью некоторых физических закономерностей, сложнойгеометрией области задания, изменением свойств объектов, под воздействием протекающих процессов, с различным сочетанием указанных факторов. В: работе показано, — чтоприближенное решение сложной нелинейнойпроблемы, можно получить, используя более простую задачу, обладающую качественным сходством с исследуемой'- по действующим физическим закономерностям, геометрии области задания, поведению величин, описывающих свойства среды. Такие возможности дает предложенный в работе метод<�эталонного моделирования.

Сравнительный анализ точных и приближенных методов решения) нелинейных уравнений, составляющих ядро математических моделей сложных физических явлений, показал следующее:

— общим недостатком, точных методов (разделения' переменных, дифференцирования, специальных преобразований и др.) является ограниченная область применимости, негибкость алгоритмов, необходимость интуитивных поисковавтомодельной переменной, вида специального преобразования, способа разделения переменных;

— использование известных приближенных методов требует специального анализа нелинейных критических особенностей, корректировки алгоритмованализа сходимости разложений, специального анализа физического смысла поправок к «нулевому приближению».

Обобщение полученных результатов" позволяет сформулировать следующие основные выводы:

1. Проведено обобщение метода* эталонного моделирования для нахождения приближенных решений нелинейных уравнений математической физики на основе принципов качественного сходства системы и модели (решение для которой считается' известным) и составлен алгоритм определения структуры, и нахождения конкретного вида обобщенной фазовой: функции (функции Миллера-Гуда) обладающие ясной физической природойуниверсальностью алгоритмаширокой областью.применимости.

2. Установлены, три-варианта критериев применимости обобщенного метода эталонного моделирования: один из нихработает, еслиэнергия исследуемойсистемы* много больше' градиентов функцийопределяющих условияэволюции": исследуемой< системывторой — имеет место, если удается отыскать модель, близкую к изучаемой физическойсистеме по условиям ее эволюции— третий — работает в случае малых энергий, когдавлияние внешних факторовможет рассматриватьсякак возмущение. Это позволяет в каждой задаче выбрать оптимальную модель-эталон.

3- Показана применимость, метода и егоэффективность при' решениидифференциальных, уравнений второго и третьего-, порядкасо степенными нелинейностями. Исследованы проблемы существования решений, их единственностисходимость получающихся рядов, отработанатехника, расчетов.

4. Решение серии конкретных: задачдает основания утверждать, чтообобщение метода эталонного моделирования позволяет получать приближенные решения основных типов нелинейных уравнений" математической физики;

В работе приведены оригинальные решения следующих задач: -о двух точечных мгновенных источниках тепловоговозмущения t в нелинейной среде с объемным поглощением;

— приближенное решение уравнения синус-Гордона- -о. рассеянии частицы в поле потенциала Эккарта;

— уравнений? второго и третьего порядка со степенными нелинейностями;

— уравнения Клейна-Гордона;

— нелинейного уравнения конвективной диффузии;

— о низкоэнергетическом рассеянии квантовых частиц в нелинейном центрально-симметричном поле.

Полученные конкретные и общетеоретические результаты могут служить основой для применения разработанного метода эталонного моделирования к исследованию нелинейных проблем различной природы, нахождению приближенных решений нелинейных дифференциальных уравнений математической физики.