Полупрямые произведения моноидов

Изучение алгебр того или иного класса, как правило, начинается в следующих двух основных направлениях. С одной стороны, переходя к подалгебрам и фактор-алгебрам алгебры, А, можно изучать внутренние, структурные свойства алгебры Д, а с другой — переходя от семейств алгебр {/Uj. «.

J у к алгебрам, которые тем или иным способом конструируются из алгебр, мо? яно изучать универсальные, категорию свойства алгебр класса. Способ построения при этом, разумеется, выбирается не произвольным образом. Как правило, появление способов конструирования обусловлено назревшими потребностями теории, а использование их приводит к алгебрам с некоторыми универсальными свойствами данного класса алгебр ,.

И первый и второй пути приводят к тем большему успеху, чем больше известно о том, каким способом данная алгебра, А может быть «сконструирована» из своих подалгебр. Основная теорема о конечнопорожденных абелевых группах, теорема Ведцербарна-Артина хорошо иллюстрируют вышесказанное.

В теории групп изучение различных теоретико-групповых конструкций ведется весьма интенсивно (tl-5]). Полученные при этом результаты находят широкое применение как для описания различных классов групп ([6−83), так и при изучении конкретных групп и их представлений ([9-II]) .

До недавнего времени наиболее употребительными конструкциями в теории полугрупп являлись связки различных типов и (в меньшей мере) прямые произведения. В настоящее время эти конструкции изучены довольно хорошо (см., например, [12−16]). Естественно ожидать, что будет возрастать интерес и к другим теоретико-полугрупповым конструкциям и в первую очередь к тем из них, которые с одной стороны, представлены достаточно содержательными 'Классами конкретных полугрупп, а с другой — имеют аналоги в других алгебраических категориях и, в частности, в категории групп.

Одной из таких конструкций является полупрямое произведение полугрупп. Оно представлено такими классами конкретных полугрупп преобразований, как полугруппы полулинейных и аффинных преобразований линейных пространств и естественным образом возникает как обобщение соответствующей теоретико-групповой конструкции.

В теории групп конструкция полупрямого произведения используется весьма часто (см., например, [6, 17−19]) и к настоящему времени хорошо изучена ([20−23]). Кроме того, полупрямое произведение лежит в основе восходящей к Шробениусу конструкции сплетения групп, которая была использована в решении ряда важных задач теории групп ([24−26]).

Полупрямое произведение полутрупп впервые было использовано Ji. Редей [27] для распространения на полугруппы шрейеровой теории групповых расширений. Позже стало ясно, что, с одной стороны, полупрямые произведения и сплетения полугрупп довольно хорошо моделируют каскадные соединения конечных автоматов [28−30] и могут быть использованы для оценки сложности последних, а с другой — могут играть существенную роль в изучении различных типов расширений полугрупп [31,32] .

Значительно возросший в связи с результатами Крона и Роудза [28−30] интерес к сплетениям полугрупп стимулировал, несомненно, и появление некоторых результатов о полупрямых произведениях полугрупп. Так в работе [33] изучаются регулярные множества в полупрямых произведениях моноидов. Регулярные множества — одно из основных понятий теории автоматов. Одно из основных понятий работ [28−30] - понятие делит,!ости полугрупп — изучается для полупрямых произведений моноидов в [3,4] .

Появились результаты, не связанные с теоретико-автоматной тематикой. Так, например, В. А. Фортунатовым [35] получена абстрактная характеристика полупрямого произведения группы и полурешетки. В работе [36] охарактеризована максимальная подгруппа в полупрямом произведении моноидов.

Результаты более общего характера получены в [31,37]. Л. М. Глускин в работе [31], в частности, доказал, что один тип универсальных плотных расширений коммутативных полугрупп исчерпывается полупрямыми произведениями таких полугрупп на их группы автоморфизмов. В [37] с помощью полупрямых произведений изучаются некоторые свойства инверсных полугрупп.

Настоящая работа посвящена изучению полупрямых произведений моноидов. Решены некоторые вопросы, связанные с описанием универсальных и внутренних свойств этой конструкции. Основные результаты работы получены при изучении конкретных полутрупп преобразований, строение которых определяется полупрямым произведением, а именно — моноида полулинейных и моноида аффинных преобразований конечномерного линейного пространства над произвольным телом.

При решении основных вопросов работы возникли некоторые чисто теоретико-групповые задачи. Поэтому значительная часть диссертации посвящена изучению полупрямого произведения групп.

В первой главе изучаются абстрактные свойства конструкции полупрямого произведения моноидов.

В § I главы I получены универсальные и внутренние характеристики полупрямого произведения моноидов. Приведены примеры конкретных полугрупп, допускающих разложение в полупрямое произведение своих подполугрупп.

В § 2 описывается связь между различными полупрямыми разложениями одного и того же моноида. Устанавливаются необходимые и достаточные условия, при которых представление полупрямого произведения преобразованиями множества определялось представлениями его компонент.

В § 3 изучаются сюрьекции полупрямых произведений. Получены условия, необходимые и достаточные для того, чтобы эпиморфизм полупрямого произведения являлся композицией эпиморфизмов двух типов — эпиморфизма, иньективного на компонентах и эпиморфизма, разделяющего компоненты полупрямого произведения.

Во второй главе изучаются полупрямые произведения групп.

В § I главы П вводится и изучается понятие полупрямого произведения групп с объединенной подгруппой. Это понятие оказывается полезным при изучении гомоморфных образов полупрямого произведения и для описания нормального строения группы коллинеаций.

В § 2 рассматриваются подгруппы полупрямого произведения групп.

В § 3 изучаются свойства нормальных подгрупп полупрямого произведения. Получены описания нормальных подгрупп полупрямого произведения, с одной стороны, при некоторых ограничениях на компоненты полупрямого произведения, а с другой — при некоторых дополнительных условиях для нормальных подгрупп.

Результаты, полученные в § 1−3, используются в § 4 для опи.

— б сания нормальных подгрупп группы коллинеаций. Вычисляются нормальные подгруппы полупрямого произведения мультипликативной группы конечного поля и его группы автоморфизмов.

Б третьей главе рассматриваются моноид полулинеиных преобразований и моноид аффинных преобразований конечномерного линейного пространства над произвольным телом.

В § 2 главы Ш получен один из основных результатов диссертационной работы — описание конгруенций моноида полулинейных преобразований, обобщающее известную теорему А. И. Мальцева ([41]) о конгруенциях матричных полугрупп.

В § 3 дается абстрактная характеристика моноида аффинных преобразований в терминах теории плотных идеальных расширений ([42, 431″). Описаны конгруенции моноида аффинных преобразований.

Нумерация пунктов внутри глав двузначная. При ссылках на пункты из предшествующих глав дополнительно указывается номер главы. Нумерация форлул внутри главы двузначная сквозная. Первая цифра означает номер главы.

Результаты настоящей диссертационной работы докладывались на ХУ1 и Х7П Всесоюзных алгебраических конференциях (Ленинград,.

1981, Минск, 1983), на семинаре по теории колец и модулей в Московском государственном университете (1982), на семинаре по теории групп в Киевском государственном университете (1980,1981, 1982), на алгебраическом семинаре в г. Hire (1982), на расширенном алгебраическом семинаре Тартуского университета (1982), на алгебраическом семинаре Донецкого государственного университета (1980;1982), на семинаре по теории автоматов Института прикладной математики и механики АН УССР (Донецк, 1981), на алгебраическом семинаре г. Харькова (1979;1982) и опубликованы в работах автора [46−49] .

1. Головин О. Н. Об ассоциативных операциях на множестве групп. -Докл. АН СССР, 1947, т.58, с.1257−1260.

2. Hirsli К. Л. Assofciailve Opcraiionen an Qmppen. SNzungsier, Berber MqU. Gtsetsd. M51−4958, -12−13.

3. Головин О. Н. Функторные операции на классе всех групп. Докл. АН СССР, 1963, т.149, с.12−15.

4. Шмелькин А. Л. К теории правильных произведений групп. Матем. сборник, I960, т.51, с.277−292.

5. WieqM J* Ni fpoien-t ptoduth oj group a vi-jK cuwa^a-maltons.— РиДО.МЛк., 4953, v. 6, p. m-lfcS.

6. Каргаполов М. И. Локально конечные группы, обладающие нормальными системами с конечными факторами. Сиб. матем. журн., 1961, т.2, с.853−873.

7. Горчаков Ю. М. О примарно факторизуемых группах. Укр. матем. журн., 1962, т.14, с.3−9.

8. Черников С. Н. Группы с заданными свойствами системы подгрупп. М.:" Наука", 1980, с. 384.

9. Плоткин Б. И. Группы автомофизмов алгебраических систем. М.: «Наука», 1966, с. 604.

10. Плоткин Б. И., Вовси С. М., Многообразия представлений групп. Рига:" 3инатне", 1983.

11. Нейман X. Многообразия групп. М.:" Шр", 1969, с. 264.12. pehich М. Sbvb-ocJue-jrionio Semigroups. A fczU and Hovie-f-P Company, CoCum^us, Oko, 1943, pj> Ш.

12. P<2-tYiok, И. LeeiutQQ in Semigroups, /leademi'e-Vcr Ber^n, 4941, ff. 1G8.

13. Ляпин E.C. Полугруппы. M.: Физматгиз, I960.

14. Cti^ord А, И. Extensions of ssnujroups.-Телns, /4mer. M Зое. l >(950, v.^, р.4Ь5-Ш.

15. СЩого1 A.H. Eaclicafs th semigroups. ЗеЫ^гоир Povujn} v. <1, p.4D3-m.

16. H^s.Kimo-to Dtyee^, suUlreei olcepmpost4ipns and coagmence refa-tiens. — Osa-lccu MaiJw j J954, y. ^ p. g^-lll,.

17. Кубланова E.M. 0 полупрямых произведениях, связанных со стабильными представлениями групп. Латв.матем.ежегодник, 1976, вып. 18, с.100−109.

18. Мерзляков Ю. И. Рациональные группы. М.:" Наука", 1980, с. 464.

19. Плоткин Б. И. Радикалы в групповых парах. Докл. АН СССР, 1961, т.140, с.1019−1022.

20. Маланыгаа Г. А. Полупрямые произведения циклических групп. -Докл. АН СССР, I960, т.132, с.762−765.

21. Baer?. Das Htper^nirum tiner firuppe, jy. ArcJx, Mcdh^ •<354, y. 5, p. 56−59.

22. Haimo F. Semi’dlred produces wdih ampfij. liompmovpXisms.— Trans. Ашъ M (tU. Soc%| 4951, v. S4, p. 404−425,.

23. Kmsner M4 KaPcujnine L Protfuii tompfei ole, з groupes o/c pamu-'bcUpne* sion de.^roupes. 1.1. Ada Sti. p 208−230-³⁵⁴ v, i4} р. з^-a.

24. Калужнин Л. А. Центральные расширения абелевых групп. Укр. ма-тем. журн., 1956, т.8, с.262−272.

25. Шмелькин А. Л. Сплетения алгебр Ли и их применение в теории групп. Тр. Моск. матем. об-ва, 1973, т.29, с.247−260.27. 2-ofei L. Dife V^ra^gemcLnerumj dter З^гелегзсЛеп EvW€t'lerun$ 3±hecrie.- AdaSti. MM., 052, K, p. £52-гчз.

26. KroU k., Rhodes A^eiraiciiuory о£ тасКлез. 1. — Trans. Amer. Mai Ь. Зое., 1365 — lib, 450−464.

27. Krohn К., MaicosiCLn RRMes Me-lhocfs (xfyebraCc1.corjf mftc.lvines. I. — Computer Sgslem Scu.y.

28. H. P. Cascade syn-tbesls oj? LnUe sWe mcuUunes — CMorma-Uon and (3>Лго£, 40^, 4 I? — 4 S3.

29. Глускин JI.M. 0 плотных расширениях. Тр. Моск. матем. об-ва, 1983, т.29, с.119−131.

30. Huirter R. p, Some yesuHs on wreaih produds semigroups.— BuM. Soc. M*Ui. Befg., IS, р.-3-lt.

31. Parciolls Л.Э. RejufW suUeis In semL-direvt руое1цЫ-з o^ rw>no-Lolcs. -Discrete MdU.,^^, п, д/з, 299−304.

32. Loi^men-t 6. Suv Ь imVuc^ili tiie dz eedains rnonoYc/es.-f-uus.-R г, Л ел pf. Bfti., 4969,26*, f/w, p. ЛШ-Л/31Г.

33. Фортунатов В. А. О полупрямых произведениях полурешетки и группы.-В кн." Теория полугрупп и ее приложения", Саратов, 1974, вып. 3, с.129−139.

34. NWat М', Merger Mi Р. Зик fas podvu-is demi-diretAdyoUs o/e monoVol^S. — (?. г" Aeaol. 8ei., 4 96 С, 2 13, p. A5W-AU0.

35. A. U procfui+ dtmi-direct pour its demi-^roupts inverse*. Semigroup Forim, 13 Я9, v. p. 283−305%.

36. Se4y0n Qruppen. *i. ¦—Mona-fesk. M.

37. Schreter Wber die Erwet-terimg Won Swppen.H. — Ham&uKj. /Н/ь, 4326, 4, p. 321−346.

38. Курош А. Г. Теория групп. М.:" Наука", 1967, с. 648.

39. Мальцев А. И. Мультипликативные сравнения матриц. Докл. АН СССР, 1953, 90, № 3,с.333−335.

40. Глускин Л. М. Плотно вложенные идеалы полугрупп.- Докл. АН СССР, 1.60, т.131, № 5, с.1004−1006.

41. Глускин Л. М. Идеалы полугрупп. Матем. сборник, 1961, т.55 97 :4, с.421−448.

42. Глускин Л. М. Полугруппы и кольца эндоморфизмов линейных прост-. ранств. Изв. АН СССР, сер.матем. 1959, т.23, с.841−870.

43. Глускин Л. М. Полугруппы и кольца эндоморфизмов линейных пространств. II. Изв. АН СССР, 1961, т.25, с.809−814.

44. Усенко В. М. О полупрямых произведениях моноидов. ХУ1 всесоюзная алгебраическая конференция. Тезисы, ч.2. Л.:1981, с. 138.

45. Усенко В. М. О полупрямых произведениях моноидов. Укр. матем. нурн., 1982, т.34, Р2, с.185−189.

46. Усенко В. М. Полугруппы полулинейных преобразований. Харьковский ин-т радиоэлектр., Харьков, 1982. Депонировано в ВИНИТИ9 августа 1982 г., № 4391−82 Деп., 17 с.

47. Усенко В. М. Полугруппы полулинейных преобразований. ХУЛ Всесоюзная алгебраическая конференция. Тезисы сообщ., ч.2. Минск, 1983, с. 246.

48. Усенко В. М. О полупрямых произведениях группы и вполне 0-простой полугруппы. В кн." Структурные свойства алгебраических систем? Нальчик, 1982, с, 116−121.

49. Кострикин А. И.

Введение

в алгебру. М.:" Наука", 1977, с. 495.

50. Дьедонне Ж. Геометрия классических групп. М.:" МЙР" 1974, с. 204.

51. ФейсК. Алгебра: кольца, модули и категории. М.:" Мир", 1977, т.1, с. 688.

52. Клиффорд А., Престон Г. Алгебраическая теория полугрупп. М.: «Мир», 1972, т.1, с. 285, Т.2, с. 422.

53. Ko^er Р, Quasi" -oUeDjnrtposttione $es.

54. MaoUr A. A no-ie on direct and %errU-direct proof uc*s eb groups. ~ ИаЛк. 1., j> 2²−255.

55. Neumann ft. Emfceololinj iHeovemefor semigroups. —1.ndon MaiL Зоом Що, 35, N2., p. 144 122.

56. Плоткин Б. И., Штейнбук В. Б. Полугруппы и автоматы. Semtgvou-psJW. &nf§ SUgeof, Aigus-fc 2 4−2 8, >l6tt (aks-ii-aC-ts). Зэдсо1.1?Я, р.20″.

57. Алгебраическая теория автоматов, языков и полугрупп. Сб. ст. под ред. М.Арбиба. М.: «Статистика», 1975.

58. Weffs OA. Som е appfv’Oaiions oj wreath proo/исЛ aons-iruertion Amer. MaU. Hon., л/^ p. 314−338,.

59. Скорняков JI.А. Элементы теории структур. М.:" Наука", 1970, с. 148.

60. Bivcl ?•> GUeene С., KPctimanD-, >4u-|omorpJusrr*s oj feyteogra^ic products .-7>Um-U MariL, p. 4s.

61. Mioluya S., ТоЛок f. Thebftn^qiion efUCL-tion on d dittci product oj jvoups Ann. po? ma4k., 13И, 35-fls, p. 223−228.

62. Калужнин Л. А., Сущанский В. И. О сплетениях абелевых групп. -Тр. Моск. матем. об-ва, 1973, т.29, с.147−163.

63. Ганюшкин А. Г. Расслоенные произведения групп. В кн. «Теоретические и прикладные вопросы дифференциальных уравнений и алгебра», Киев, «Наукова думка», 1988, с.64−67.

64. Сушкевич А. К. Обобщенные группы особенных матриц. Зап. НИШ и М ХГУ и Харьк. матем. об-ва, сер.4, 1939, т.16, с. З-П.

65. Сушкевич А. К. Узагальнен1 групи деяких типе в неск? нченних матриць.-Зап. НИШ и М ХГУ и Харьк. матем. об-ва, сер.4, 1939, т. 16, с.115−120.

66. Сушкевич А. К. Об одном типе обобщенных полугрупп. Зап. НИШ иМ ХГУ и Харьк. матем, об-ва, сер. 4, 1948, т.19, С.27−33.

67. Сушкевич А. К. 0 построении некоторых типов групп бесконечных матриц. Зап. НЙЙМ и М хгу и Харьк. матем. об-ва, сер.4, 1948, т.19, с.27−33.

68. Сушкевич А. К. Об одном типе алгебр бесконечных матриц. Зап. НШМ иМ ХГУ и Харьк. матем. об-ва, сер.4, 1948, сер.4, т.20, с.131−141.

69. Сушкевич А. К. 0 бесконечной алгебре треугольных матриц. Зап. НЙИМ и М ХГУ и Харьк. матем. об-ва, 1949, т.22, 77−93.

70. Глускин Л. М. Ассоциативная систему квадратных матриц. Докл. АН СССР, 1954, т. ХСУП,№ 1, с.17−20.

71. Глускин Л. М. Автоморфизмы мультипликативных полугрупп матричных алгебр. УМН, 1956, т. II, вып 67, с.199−206.

72. Глускин Л. М. Полугруппы матриц с неотрицательными элементами. -Уч. зап. Харьк. ун-та, 1957, Р25, с.167−173.31.