Теоретико-модельные свойства группоидов с условиями абелевости и нормальности

Тема диссертации относится к теоретико-модельной алгебре. Предметом исследования являются группоиды, а именно, полугруппы, группоиды с единицей и квазигруппы. С помощью современного арсенала теории моделей и методов универсальной алгебры изучаются такие свойства этих группоидов, как абелевость, гамильтоновость, примитивная нормальность и аддитивность.

Понятие абелевости для алгебр было введено R. McKenzie [30] как обобщение понятия абелевой группы. Легко понять, что группа является абелевой алгеброй тогда и только тогда, когда она коммутативна. Также нетрудно показать, что унарные алгебры и модули являются абелевыми алгебрами. Абелевы алгебры изучались в работах Н. Werner, W. Lampe, D. Hobby, R. McKenzie, M. Valeriot, R. Freese, C. Herrman, J. Shapiro и др. (см. 47, 29, 18, 19, 40, 21, 24, 37]). Абелевы алгебры сыграли важную роль в развитии теории коммутаторов [21], в исследованиях, связанных с функционально полными алгебрами [47]. Абелевы группоиды исследовались в работах W. Taylor, R. McKenzie, R. Warne, E.B. Овчинниковой (см. [39, 31, 43, 44, 45, 6]). В [6] E.B. Овчинниковой приводится описание абелевых группоидов (А,-), для которых |Л-Л|<3. В [31] R. McKenzie дается характеризация конечных абелевых полугрупп. R. Warne в [43, 44] приводит полное описание структуры абелевых полугрупп, в частности, описывает полу простые, квазирегулярные, периодические абелевы полугруппы.

Понятие сильной абелевости появилось в работе R. McKenzie [32] при описании конечных алгебр с определенным типом решеткок конгруэнций. Примером сильно абелевых алгебр являются унарные алгебры. Результаты R. McKenzie, связанные с понятиями абелевой и сильно абелевой алгебры, явились толчком для развития теории ручных конгруэнций, являющейся основным инструментом исследования конечных алгебр.

Понятие гамильтоновости для алгебр было введено В. Csakany [20] и К. Shoda [38]. Оно является обобщением понятия гамильтоновой группы. Гамильтоновы алгебры изучались в работах R. McKenzie, Е. Kiss, М. Valeri-ote, J. Garcia (см. 26, 27, 33, 22]). В работе [26] Е. Kiss и М. Valeriote показали, что если декартов квадрат алгебры гамильтонов, то сама алгебра абелева.

В данной работе описаны абелевы, сильно абелевы и гамильтоновы конечные квазигруппы и группоиды с единицей. Охарактеризованы абелевы полугруппы с условием минимальности всех односторонних главных идеалов, сильно абелевы полугруппы и гамильтоновы полугруппы с условием абелевости.

Абелевы, сильно абелевы и гамильтоновы многообразия алгебр изучались в работах таких математиков, как D. Hobby, R. McKenzie, Е. Kiss, М. Valeriot, L. Klukovits (см. 18, 33, 35, 34, 25, 26, 27, 42, 23, 28]). В [27] Е. Kiss и М. Valeriot показали, что если конечная алгебра порождает сильно абелевое многообразие, то она гамильтонова. В [26] эти же авторы доказали, что если многообразие гамильтоново, то оно абелево. В [40] М. Valeriot показал, что если конечная простая алгебра абелева, то она гамильтонова. В [26] Е. Kiss и М. Valeriot показали, что для локально конечного многообразия свойства абелевости и гамильтоновости эквивалентны.

Нами дана характеризация конечных квазигрупп, группоидов с единицей и полугрупп, порождающих абелевы, сильно абелевы и гамильтоновы многообразия.

Примитивно нормальные и аддитивные теории изучались Е. А. Палютиным в [7, 36]. Эти теории являются обобщением теории модулей. Как и теория модулей, данные теории допускают элиминацию кванторов до примитивных формул. В аддитивных теориях, являющихся по определению примитивно нормальными, на факторах любых примитивных копий по некоторой примитивной эквивалентности можно определить с помощью примитивной формулы изоморфные абелевы группы. Это свойство аддитивных теорий обобщает известное свойство модулей: в любом модуле примитивные копии являются классами смежности некоторой абелевой группы.

В данной работе описаны квазигруппы, группоиды с единицей и полугруппы с примитивно нормальными и аддитивными теориями.

В работе получены следующие основные результаты:

— описаны абелевы группоиды с единицей, абелевы конечные квазигруппы и абелевы полугруппы с условием минимальности всех односторонних главных идеалов (теоремы 2.1, 2.8, 2.18);

— дана характеризация гамильтоновых группоидов с единицей и полугрупп при условии абелевости этих алгебрдоказано, что конечная абелева квазигруппа является гамильтоновой алгеброй, (теоремы 2.5, 2.23, 2.11);

— описаны полугруппы, группоиды с единицей и квазигруппы, порождающие абелевы, сильно абелевы и гамильтоновы многообразия (теоремы 3.1, 3.2, 3.3, 3.6, следствия 3.4, 3.7);

— дана характеризация полугрупп, группоидов с единицей и квазигрупп с примитивно нормальными и аддитивными теориями (теоремы 4.2, 4.5, 4.6, 4.7).

Результаты диссертации являются новыми и носят теоретический характер. Они могут быть использованы в теоретико-модельной алгебре, в универсальной алгебре, при чтении спецкурсов по теории моделей и универсальной алгебре, написании учебных пособий и монографий.

Результаты диссертации излагались автором на семинарах Института математики СО РАН (г. Новосибирск), Института прикладной математики ДВО РАН (г. Владивосток), Дальневосточного федерального университета, а также на следующих международных конференциях и школах-семинарах: Российская школа-семинар «Синтаксис и семантика логических систем» (Владивосток, 2008), Международная конференция «Мальцевские чтения» (Новосибирск, 2009), Международная конференция «Мальцевские чтения» (Новосибирск, 2010), Российская школа-семинар «Синтаксис и семантика логических систем» (Иркутск, 2010), Международный алгебраический симпозиум (Москва, 2010), Международная конференция «Мальцевские чтения» (Новосибирск, 2011), Дальневосточная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых по теоретической и прикладной математике (Владивосток, 2011).

Основные результаты по теме диссертации опубликованы в работах [9, И, 12, 16].

Перейдем к более подробному изложению содержания диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав и библиографии.

1. Белоусов В. Д. Основы теории квазигрупп и луп // М.: Наука. 1967.

2. Ершов Ю. Л., Палютин Е. А. Математическая логика // М.: Наука. 1987.

3. Кейслер Г., Чен Ч. Теория моделей // М.: Мир. 1977.

4. Клиффорд А., Престон Г. Алгебраическая теория полугрупп // М.: Мир. 1972.

5. Мальцев А. И. Алгебраические системы // М.: Наука. 1970.

6. Овчинникова Е. В. Об абелевых группоидах с образами малой мощности // Алгебра и теория моделей. Сборник статей. НГТУ. 2005. С.125−131.

7. Палютин Е. А. Примитивно связные теории // Алгебра и логика. 2000. Т.39. № 2, С.145−169.

8. Степанова A.A. Категоричные и полные хорновы теории группоидов: Дис.. канд. физ.-мат. наук // ДВГУ. Владивосток. 1987.

9. Степанова A.A., Трикашная Н. В. Абелевы и гамильтоновы группоиды // М.: Фундаментальная и прикладная математика, 2009, Т. 15. № 7. С. 165−177.

10. Степанова A.A., Трпкашная H.B. Сильно абелевы группоиды // Материалы международной конференции «Мальцевские чтения». Институт математики СО РАН. Новосибирск. 2009.

11. Степанова A.A., Трикашная Н. В. Абелевы и гамильтоновы многообразия группоидов // Новосибирск: Алгебра и логика. 2011. Т.50. № 3. С. 388−398.

12. Степанова A.A., Трикашная Н. В. Об абелевых полугруппах // Algebra and Model Theory. Collection of papers. Edited by A.G. Pinus, K.N. Pono-marev, S.V. Sudoplatov, and E.I. Timoshenko. Novosibirsk State Technical University. 2011. P.75−81.

13. Степанова A.A., Трикашная Н. В. Абелевы полугруппы // Российская школа-семинар «Синтаксис и семантика логических систем». Тезисы докладов. Владивосток: Изд-во Дальнаука. 2008. С. 22.

14. Трикашная Н. В. Абелевы и гамильтоновы многообразия некоторых группоидов // Материалы международной конференции «Мальцевские чтения» / Институт математики СО РАН, Новосибирск. 2010.

15. Трикашная Н. В. Полугруппы с примитивно нормальными теориями // Российская школа-семинар «Синтаксис и семантика логических систем». Тезисы докладов. Иркутск. 2010. С. 126.

16. Трикашная Н. В. Группоиды с примитивно нормальными и аддитивными теориями // Новосибирск: Вестник НГУ. Серия: Математика, механика, информатика. 2011. Т.11. вып.4. С.68−77.

17. Трикашная Н. В. Группоиды с примитивно нормальными теориями // Материалы международной конференции «Мальцевские чтения» / Институт математики СО РАН, Новосибирск. 2011.

18. Хобби Д., Макензи Р. Строение конечных алгебр // М.: Мир. 1993.

19. Berman J., McKenzie R. Clones satisfying the term condition // Discrete Math. 1984. V.52. № 1. P.7−29.

20. Csakany B. Abelian properties of primitive classes of universal algebras // Acta. Sci. Math. Szeged. 1964. № 25. P.202−208.

21. Freese R., McKenzie R. Commutator theory for congruence modular varieties // Volume 125 of London Mathematical Society Note Series. Cambridge University Press. 1987.

22. Garcia J. The congruence extension property for algebraic semigroups // Semigroup Forum. 1991. № 43. P. l-18.

23. Hart В., Valeriot M. A structure theorem for strongly abelian varieties with few models // Accepted by the JSL. 1990.

24. Herrman C. Affine algebras in congruence modular varieties // Acta. Sci. Math. 1979. № 41. P.119−125.

25. Kiss E. Each Hamiltonian variety has the congruence extension property // Algebra Universalis. 1981. № 12. P.395−398.

26. Kiss E., Valeriote M. Abelian algebras and the Hamiltonian property //J. Pure Appl. Algebra. 1993. V.87. № 1. P.37−49.

27. Kiss E., Valeriote M. Strongly abelian varieties and the Hamiltonian property // Canad. J. Math. 1991. V.43. № 2. P. l-16.

28. Klukovits L. Hamiltonian varieties of universal algebras // Acta. Sci. Math. 1975. № 37. P. ll-15.

29. Lampe D., Freese R. and Taylor W. Congruence lattices of algebras of fixed similarity type // I. Pacific Journal of Math. 1979. № 82. P.59−68.

30. McKenzie R. On minimal, locally finite varieties with permuting congruence relaion // Berkeley Manuscript. 1976.

31. McKenzie R. The Number of Non-isomorphic Models in Quasi-varieties of Semigroups // Algebra Universalis. 1983. № 16. P. 195−203.

32. McKenzie R. Finite forbidden latties //In Universal Algebra and Lattice Theory. Volume 1004 of Springer Lectures Notes. Springer-Verlag. 1983.

33. McKenzie R. Congruence extencion, Hamiltonian and Abelian properties in locally finite varieties // Algebra Universalis. 1991. № 28. P.589−603.

34. McKenzie R., Valeriot M. The Structure of Decidable Locally Finite varieties // Birkhauser Boston. 1989.

35. McKenzie R., McNulty G., Taylor W. Algebras, Lattice, Varieties // The Wadsworth and Brooks. Cole Mathematical Series. 1987. V.l.

36. Palyutin E. A. Additive theory // Proceedings of Logic Colloquium'98 (Lecture Notes in Logic, 13). ASL. Massachusetts. 2000. P.352−356.

37. Shapiro J. Finite algebras with Abelian properties // Algebra Universalis. 1988. № 25. P.334−364.

38. Shoda K. Zur theorie der algebraischen erweiterungen // Osaka Math. Journal. 1952. № 4. P. 133−143.

39. Taylor W. Some Application of the Term Condition // Algebra Universalis. 1994. № 31. P.113−123.

40. Valeriot M. Finite simple Abelian algebras are strictly simple // Proc. of the Amer. Math. Soc. 1990. № 108. P.49−57.

41. Valeriot M. On Decidable Locally Finite Varieties // PhD thesis. University of California. Berkeley. 1986.

42. Valeriot M., Willard R. The isomorphism problem for strongly Abelian varieties // preprint. 1989.

43. Warne R.J. Semigroups obeying the term conditions // Algebra Universalis. 1994. № 31. P.113−123.

44. Warne R.J. Semigroups and Inflations // Semigroup Forum. 1997. V.54. P.271−277.

45. Warne R.J. On the structure of TC semigroups // Semigroups. Algebraic Theory and Applications to Formal Languages and Codes. World Scientific. 1993. P.300−310.

46. Warne R.J. TC semigroups and related semigroups // Workshop on Semigroups, Formal Languages and Combinatorics on Words. Kyoto. Japan. August. 1992.

47. Werner H. Congruences on products of algebras and functionally complete algebras // Algebra Universalis. 1974. № 4. P.99−105.