Элементы наглядной топологии в профильной школе

ДИПЛОМНАЯ РАБОТА по теме Элементы наглядной топологии в профильной школе

• ВВЕДЕНИЕ
• Глава I. Психолого-педагогическая характеристика учащихся старших классов
• § 1. Период подросткового возраста 15−16 лет
• 1.1 Социальные особенности
• 1.2 Психологические особенности мышления
• 1.2.1 Мышление. Его виды. Особенности мышления старших школьников
• 1.2.2 Специфика пространственного мышления
• 1.2.3 Структура пространственного мышления
• 1.2.4 Развитие и формирование пространственного мышления в процессе обучения
• 1.2.5 Возрастные различия учащихся в решении задач на пространственные преобразования
• 1.3 Самосознание
• § 2. Психолого-педагогические особенности обучения геометрии в старших классах
• § 3. Организационно-педагогические аспекты дифференцированного обучения
• 3.1 История развития дифференцированного обучения
• 3.2 Понятие дифференциации обучения
• 3.3 Психолого-педагогические аспекты профильной дифференциации при преподавании математики
• 3.4 Элективные курсы и курсы по выбору в профильном обучении и их методическое обеспечение
• Глава II. Методическое обеспечение элективного курса
• § 1. Программа элективного курса «Элементы наглядной топологии»
• § 2. Методика проведения занятия по теме «Узлы и зацепления»
• § 3. Методика проведения занятия по теме «Двумерные поверхности»
• ЗАКЛЮЧЕНИЕ
• БИБЛИОГРАФИЯ

Данная работа посвящена поиску организации учебной деятельности учащихся старших классов профильной школы по геометрии, способствующей формированию не только математических умений, но и пространственного мышления.

Сегодня организация школьного математического образования строится по принципам дифференцированного обучения, т. е. у учащихся имеется возможность выбора интересующего его профиля, в том числе и математического. Поэтому разработка новых учебных пособий, методических рекомендаций, учебных программ является важной задачей педагогической науки.

Одна из основных задач обучения в средней школе вообще и обучения геометрии в особенности состоит в обогащении пространственных представлений учащихся и развития их пространственного воображения. Без хорошо развитого пространственного воображения немыслима плодотворная деятельность и продолжение образования.

Элективные курсы — это обязательные для посещения курсы по выбору учащихся, которые представляют широкие возможности для реализации принципов дифференцированного обучения, так как позволяют учитывать интересы учащихся, которые хотели бы получить углубленные знания по интересующему их направлению. Разработка программ таких курсов является важной и новой задачей современного школьного математического образования.

В качестве темы элективного курса, мы выбрали «Элементы наглядной топологии». Курс предназначен для учащихся старшей школы профильного уровня.

Топология изучает наиболее общие свойства геометрических фигур, связанные с их непрерывностью. Топологические свойства фигур представляют большой интерес, так как это самые глубокие, самые основные геометрические свойства, — они сохраняются при различных преобразованиях (деформациях).

С топологическими понятиями школьнику постоянно приходится иметь дело в курсе геометрии: граничные и внутренние точки, геометрическое тело, его поверхность и тому подобные. Такие фундаментальные топологические понятия как «внутренняя область», «внешняя область», «граница» лежат в основе восприятия любой двумерной или трехмерной фигуры, изучаемой в школьном курсе планиметрии и стереометрии, и определяемой как часть плоскости или пространства, ограниченной некоторой линией или поверхностью, соответственно.

Топологические пространственные представления лежат в основе восприятия объектов, в том числе и геометрических фигур, и создают базу для развития у учащихся проективных и метрических пространственных представлений.

Изучение вопросов на элективных занятиях по теме: «Элементы наглядной топологии» способствует формированию устойчивого интереса к математике и развитию пространственного воображения, что немаловажно для школьников данной возрастной категории.

Предметом исследования является изучение темы «Элементы наглядной топологии».

Объектом данного исследования является процесс обучения математике на элективных занятиях в 10 классе профильной школы.

Целью написания дипломной работы является разработка и анализ методического обеспечения элективного курса на тему «Элементы наглядной топологии».

В ходе исследования решались следующие задачи:

— анализ психолого-педагогической, методической литературы;

— выяснение психологических и социальных особенностей контингента учащихся старших классов;

— выявление психолого-педагогических особенностей процесса обучения геометрии в старших классах;

— выявление организационно-педагогических аспектов дифференцированного обучения;

— анализ методического обеспечения элективных курсов и курсов по выбору в профильном обучении;

— разработка методического обеспечения элективного курса, который содержит: программу элективного курса; методику проведения занятия по темам «узлы и зацепления» и «двумерные поверхности».

Данная работа состоит из введения, двух глав, заключения, а также библиографии.

Выводы о решении поставленных перед исследование задач формулируются в заключение к дипломной работе.

В первой главе раскрывается психолого-педагогические особенности учащихся подросткового возраста, на которых ориентирован данный электив, и специфика их обучения. Здесь, исследуются социальные и психологические особенности старших школьников. На основе анализа особенностей контингента делаются выводы о психолого-педагогических особенностях обучения геометрии в старших классах. Также в этой главе раскрыты организационно-педагогические основы дифференцируемого обучения: история дифференцируемого обучения, понятие дифференцируемого обучения, психолого-педагогические аспекты профильной дифференциации при преподавании математики, рассматриваем элективные курсы и курсы по выбору в профильном обучении и их методическое обеспечение.

Во второй главе представлены программа курса, теоретическое обоснование курса, методические рекомендации и методика проведения занятий по темам: «Узлы и зацепления», «Двумерные поверхности».

Практическая ценность работы определяется тем, что в ней разработаны учебные материалы для проведения элективного курса по выбранной теме, в частности, подобраны к ней задачи исходя из знаний учащихся.

В приложении к дипломной работе представлены иллюстрации к элективу по темам «Узлы и зацепления», «Двумерные поверхности».

Список используемой литературы составил 35 наименований.

Глава I. Психолого-педагогическая характеристика учащихся старших классов

§ 1. Период подросткового возраста 15−16 лет

Для того, чтобы обучение проходило успешно при подборе материала и подготовке уроков необходимо учитывать возрастные особенности школьников. Мне кажется, что т.к. при изучении наглядной топологии, мы делаем один из главных акцентов на развитие пространственного представления, то необходимо разобраться и в том, что же это такое, какими особенностями обладает? И хотя психологи считают, что в старшем школьном возрасте пространственное мышление уже развито достаточно полно, практика показывает, что это не так, следовательно, встает вопрос, как его развивать? Попробуем ответить на эти вопросы ниже.

Общая характеристика возраста. Старший школьный возраст, или, как его называют, ранняя юность, охватывает период развития детей от 15 до 17 лет, что соответствует возрасту учеников X — XI классов средней школы. К концу этого возраста школьник приобретает ту степень идейной и психической зрелости, которая достаточна для начала самостоятельной жизни, дальнейшего учения в вузе или производственной работы после окончания школы.

Старший школьный возраст — период гражданского становления человека, его социального самоопределения, активного включения в общественную жизнь, формирования духовных качеств гражданина. Личность юноши и девушки складывается под влиянием совершенно нового положения, которое они начинают занимать по сравнению с подростком, в обществе, коллективе. Положение старших в школе, приобретение опыта серьезной общественной деятельности решающим образом сказываются на развитии личности учащихся X — XI классов.

К концу старшего школьного возраста юноши и девушки обычно достигают известной степени физической зрелости. Завершается характерный для подросткового возраста период бурного роста и развития организма, наступает относительно спокойный период физического развития, окончательно завершается половое созревание, выравнивается характерное для подросткового возраста несоответствие в росте сердца и кровеносных сосудов, уравновешивается кровяное давление, устанавливается ритмичная работа желез внутренней секреции. Темп роста тела замедляется, заметно нарастает мышечная сила, увеличивается объем грудной клетки, заканчивается окостенение скелета. Однако полная физическая и психическая зрелость наступает у юношей и девушек немного позже.

Л.С. Выготский особое внимание обращал на развитие мышления в подростковом возрасте. Главное в развитии мышления — овладение процессом образования понятий, что ведёт к высшей форме интеллектуальной деятельности, новым способам поведения. По словам Л. С. Выготского, функция образования понятий лежит в основе всех интеллектуальных изменений в этом возрасте. Организация учебной деятельности должна обеспечить ее направленность на формирование теоретического дискурсивного (рассуждающего) мышления, мышления, основанного на оперировании не конкретными образами и представлениями, а понятиями, на умении сопоставлять эти понятия, переходить в ходе рассуждения от одного суждения к другому. В интеллектуальной деятельности учащихся в период отрочества усиливаются индивидуальные различия, связанные с развитием самостоятельного мышления, интеллектуальной активности, творческого подхода к решению задач, что позволяет рассматривать подростковый возраст как сенситивный период для развития творческого мышления.

1.1 Социальные особенности

Социальная ситуация как условие развития и бытия в подростковом возрасте принципиально отличается от социальной ситуации в детстве не столько по внешним обстоятельствам, сколько по внутренним причинам. Подросток продолжает жить в семье, учиться в школе, он окружен по большей части теми же сверстниками. Однако сама социальная ситуация трансформируется в его сознании в совершенно новые ценностные ориентации — подросток начинает интенсивно рефлексировать на себя, на других, на общество. Теперь уже иначе расставляются акценты: семья, школа, сверстники обретают новые значения и смыслы. Для подростка происходят сдвиги в шкале ценностей. Все освещается проекцией рефлексии, прежде всего самые близкие: дом, семья.

В условиях семьи. Подросток, как правило, живет вместе со своей семьей. Он вошел в семью через свое рождение, привык к близким так, как привыкают к ним в детстве. Теперь наступает пора оценок близких. Набирая опыт жизни, подросток открывает для себя многообразные семейные отношения, которые отличаются от родительской семьи. Он испытывает потребность в более универсальной, более широкой идентичности и одновременно в укреплении своего собственного чувства личности, в обособлении своего «Я» от семейного «Мы». Сама семья занимает прежние позиции по отношению к подростку.

Обычно семья относится к подростку в соответствии со сложившимися семейными (и родовыми) традициями.

Семья с высокой рефлексией и ответственностью понимает, что ребенок взрослеет и что с этим надо считаться, изменяя стиль взаимоотношений. К подростку начинают относиться с учетом появившегося у него чувства взрослости. Не навязывая своего внимания, родители выражают готовность обсудить его проблемы. «Как дела у тебя, Петр?», «Я готов выслушать тебя, Петр», «Я могу тебе помочь в этом, Петр». В таком ключе взрослые из хорошо рефлексирующих семей выражают готовность к сотрудничеству с подростком. Главное в такой семье — сохранение столь желанного для отрочества чувства самоуважения.

Характер подростка из семьи с высокой рефлексивностью и ответственностью развивается вполне благополучно (если, конечно, здесь нет угнетающих это развитие предпосылок). Он строит свои отношения с окружающими (взрослыми и сверстниками) преимущественно по адекватно лояльному типу. Ценностные ориентации подростка в такой семье направлены на проникновение в ценности всего многообразия реальной действительности: предметного мира, образно-знаковых систем, природы, самого социального пространства непосредственных отношений людей. Высокая рефлексия окружения создает благоприятные условия для духовного развития подростка.

Семья отчужденная. В этой семье к подростку относятся так же, как и в детстве, — им мало интересуются, избегают общения с ним и держатся от него на расстоянии. Отчужденные родители уже сделали свой вклад в развитие характера своего ребенка: он или тоже стал носителем отчужденных форм поведения и обладателем отчужденной души, или у него сложился горький комплекс собственной неполноценности. Тенденции развития его характера как способа взаимодействия с другими людьми уже отчетливо проявляют себя: превалируют нигилистические реакции, ажиотированная агрессия или неадекватная лояльность, пассивный стиль поведения.

Подросток в такой семье чувствует себя лишним. По большей части он устремляется на улицу к своим сверстникам, где ищет удовлетворения в общении. Стиль общения со сверстниками дублирует, как правило, способы его взаимодействия в семье. Отчужденная семья может ограничить возможности ребенка в развитии.

Семья авторитарная по сложившимся стереотипам продолжает предъявлять подростку те же жесткие требования, что и в детстве. Обычно, если это было принято ранее, здесь продолжают применять и физические наказания (в детстве — шлепали, теперь могут «врезать»). В авторитарной семье подросток так же одинок, несчастен и неуверен в себе, как и в детстве. Однако тенденции развития его характера уже отчетливо вырисовываются: он становится носителем авторитарного способа взаимодействия с людьми или, напротив, демонстрирует униженную неадекватную лояльность, пассивность, за которой стоит высокая невротизация неуверенного в себе подростка. Авторитарная семья также может ограничить возможности подростка в развитии.

Семья с попустительским отношением. В такой семье продолжает господствовать принцип вседозволенности: подросток уже давно «сел на голову» родителям и хорошо освоил способы манипулирования ими. Эгоизм и сопутствующая ему конфликтность — основные характеристики характера подростков из таких семей. Здесь подросток несчастлив вдвойне: сам по себе возраст — уже кризис личностного развития плюс еще недостатки, сформированные в его личностной позиции отношениями вседозволенности, чего ему никогда не предложит действительная жизнь.

Семья гиперопекающая. Подросток в такой семье вырос под пристальным вниманием и заботой родителей, у которых масса своих внутренних проблем, возникающих по большей части на основе личных трагедий и комплексов. С подростком родители по-прежнему не расстаются, опекают его не только извне, но стремятся завладеть и его душевными переживаниями. Здесь подросток, как и в детстве, неуверен в себе. В случае необходимости он не может дать отпор, но и не может сам построить позитивные отношения. Он пассивен, принужденно лоялен. Он инфантилен по своим социальным реакциям и на эту его особенность уже реагируют сверстники, дающие ему детские прозвища типа «Малыш», «Маменькин сынок», «Детский сад» и др.

Описанные стили отношений к подростку демонстрируют лишь тенденции условий развития личности в подростковом возрасте. Реальная жизнь может быть мягче, благополучнее, но и жестче, ужаснее, непостижимее. В семье может быть одновременно множество разнообразных стилей общения, обусловленных неоднородностью культурных уровней ее членов (дедушек, бабушек, родителей, других родственников). Подросток может стремиться к идентификации со своими родителями, но может занимать и отчужденную позицию.

1.2 Психологические особенности мышления

1.2.1 Мышление. Его виды. Особенности мышления старших школьников

Прежде всего мышление является высшим познавательным процессом. Оно представляет собой порождение нового знания, активную форму творческого отражения и преобразования человеком действительности. Мышление порождает такой результат, какого ни в самой действительности, ни у субъекта на данный момент времени не существует. Мышление (в элементарных формах оно имеется и у животных) также можно понимать как получение новых знаний, творческое преобразование имеющихся представлений.

Отличие мышления от других психологических процессов состоит также в том, что оно почти всегда связано с наличием проблемной ситуации, задачи, которую нужно решить, и активным изменением условий, в которых эта задача задана. Мышление в отличие от восприятия выходит за пределы чувственно данного, расширяет границы познания. В мышлении на основе сенсорной информации делаются определенные теоретические и практические выводы. Оно отражает бытие не только в виде отдельных вещей, явлений и их свойств, но и определяет связи, существующие между ними, которые чаще всего непосредственно, в самом восприятии человеку не даны. Свойства вещей и явлений, связи между ними отражаются в мышлении в обобщенной форме, в виде законов, сущностей.

На практике мышление как отдельный психический процесс не существует, оно незримо присутствует во всех других познавательных процессах: в восприятии, внимании, воображении, памяти, речи. Высшие формы этих процессов обязательно связаны с мышлением, и степень его участия в этих познавательных процессах определяет их уровень развития.

Мышление — это движение идей, раскрывающее суть вещей. Его итогом является не образ, а некоторая мысль, идея. Специфическим результатом мышления может выступить понятие — обобщенное отражение класса предметов в их наиболее общих и существенных особенностях.

Мышление — это особого рода теоретическая и практическая деятельность, предполагающая систему включенных в нее действий и операций ориентировочно-исследовательского, преобразовательного и познавательного характера.

Рассмотрим виды мышления:

Теоретическое понятийное мышление — это такое мышление, пользуясь которым человек в процессе решения задачи обращается к понятиям, выполняет действия в уме, непосредственно не имея дела с опытом, получаемым при помощи органов чувств. Он обсуждает и ищет решение задачи с начала и до конца в уме, пользуясь готовыми знаниями, полученными другими людьми, выраженными в понятийной форме, суждениях, умозаключениях. Теоретическое понятийное мышление характерно для научных теоретических исследований.

Теоретическое образное мышление отличается от понятийного тем, что материалом, который здесь использует человек для решения задачи, являются не понятия, суждения или умозаключения, а образы. Они или непосредственно извлекаются из памяти, или творчески воссоздаются воображением. Таким мышлением пользуются работники литературы, искусства, вообще люди творческого труда, имеющие дело с образами. В ходе решения мыслительных задач соответствующие образы мысленно преобразуются так, чтобы человек в результате манипулирования ими смог непосредственно усмотреть решение интересующей его задачи.

Оба рассмотренных вида мышления — теоретическое понятийное и теоретическое образное — в действительности, как правило, сосуществуют. Они неплохо дополняют друг друга, раскрывают человеку разные, но взаимосвязанные стороны бытия. Теоретическое понятийное мышление дает хотя и абстрактное, но вместе с тем наиболее точное, обобщенное отражение действительности. Теоретическое образное мышление позволяет получить конкретное субъективное ее восприятие, которое не менее реально, чем объективно-понятийное. Без того или другого вида мышления наше восприятие действительности не было бы столь глубоким и разносторонним, точным и богатым разнообразными оттенками, каким оно является на деле.

Отличительная особенность следующего вида мышления нагляднообразного состоит в том, что мыслительный процесс в нем непосредственно связан с восприятием мыслящим человеком окружающей действительности и без него совершаться не может. Мысля наглядно-образно, человек привязан к действительности, а сами необходимые для мышления образы представлены в его кратковременной и оперативной памяти (в отличие от этого образы для теоретического образного мышления извлекаются из долговременной памяти и затем преобразуются).

Последний из видов мышления — это наглядно-действенное. Его особенность заключается в том, что сам процесс мышления представляет собой практическую преобразовательную деятельность, осуществляемую человеком с реальными предметами. Основным условием решения задачи в данном случае являются правильные действия с соответствующими предметами. Этот вид мышления широко представлен у людей, занятых реальным производственным трудом, результатом которого является создание какого-либо конкретного материального продукта.

Заметим, что перечисленные виды мышления выступают одновременно и как уровни его развития. Теоретическое мышление считается более совершенным, чем практическое, а понятийное представляет собой более высокий уровень развития, чем образное.

Старший школьный возраст характеризуется продолжающимся развитием общих и специальных способностей детей на базе основных ведущих видов деятельности: учения, общения и труда. В учении формируются общие интеллектуальные способности, особенно понятийное теоретическое мышление. Это происходит за счет усвоения понятий, совершенствования умения пользоваться ими, рассуждать логически и абстрактно. Значительный прирост предметных знаний создает хорошую базу для последующего развития умений и навыков в тех видах деятельности, где эти знания практически необходимы.

В подростковом и раннем юношеском возрасте завершается формирование когнитивных процессов, и прежде всего мышления. В эти годы мысль окончательно соединяется со словом, в результате чего образуется внутренняя речь как основное средство организации мышления и регуляции других познавательных процессов. Интеллект в своих высших проявлениях становится речевые, а речь интеллектуализированной. Возникает полноценное теоретическое мышление. Наряду с этим идет активный процесс формирования научных понятий, содержащих в себе основы научного мировоззрения человека в рамках тех наук, которые изучаются в школе. Приобретают окончательные формы умственные действия и операции с понятиями, опирающиеся на логику рассуждений и отличающие словесно-логическое, абстрактное мышление от наглядно-действенного и наглядно-образного. Можно ли ускорить все эти процессы, и если да, то каким образом это сделать?

Думается, что с точки зрения психолого-педагогических возможностей развития, которыми обладают школьники средних и старших классов, с позиций совершенствования обучения и научения на этот вопрос следует дать утвердительный ответ. Интеллектуальное развитие детей можно ускорить по трем направлениям: понятийный строй мышления, речевой интеллект и внутренний план действий. Развитию мышления в старших классах школы может способствовать такой вид занятий, до сих пор, к сожалению, слабо представленный в общеобразовательной школе, как риторика, понимаемая в качестве умения планировать, составлять и произносить публичные речи, вести дискуссию, умело отвечать на вопросы. Большую пользу могут сыграть разные формы письменного изложения мысли, применяемые не только на занятиях языком и литературой (в форме традиционного изложения или сочинения), но и другими школьными предметами. Они вполне могут быть использованы на занятиях по математике, в частности и в стереометрии при решении задачи на построение на этапе анализа условия задачи и на этапе исследования возможных путей решения. При этом важно оценивать не только содержание, но и форму изложения материала.

Ускоренного образования научных понятий можно добиться на занятиях специальными предметами, где соответствующие понятия вводятся и изучаются. При представлении учащемуся любого понятия, в том числе и научного, важно обратить внимание на следующие моменты:

а) почти каждое понятие, в том числе и научное, имеет несколько значений;

б) обычные слова из повседневно используемого языка, который употребляется и для определения научных понятий многозначны и достаточно точны для того, чтобы определить объем и содержа не научного понятия. Поэтому любые определения понятий через слова обыденного языка могут быть только приблизительными;

в) отмеченные свойства допускают как вполне нормальное явление существование различных определений одних и тех же понятий, полностью совпадающих друг с другом, и это относится даже к самым точным наукам, таким, как математика и физика. Ученому, пользующемуся соответствующими понятиями, обычно ясно, о чем идет речь, и поэтому он не всегда заботится о том, чтобы определения всех без исключения научных понятий были одними и теми же;

г) для одного и того же человека по мере его развития, а также науки и представляющих ее ученых по мере их проникновения в суть изучаемых явлений, объем и содержание понятий, естественно, меняются. Произнося одни и те же слова через значительный период времени, мы обычно вкладываем в них несколько различный, со временем меняющийся смысл. Из этого следует, что в средних и старших классах школы учащиеся не должны механически учить и повторять застывшие определения научных понятий. Скорее следует добиваться того, чтобы сами учащиеся находили и давали определения этих понятий. Это, несомненно, ускорит процесс развития понятийной структуры мышления у старшеклассников. Становлению внутреннего плана действий могут помочь специальные упражнения, направленные на то, чтобы одни и те же действия как можно чаще совершались не с реальными, а с воображаемыми предметами, т. е. в уме. Например, на занятиях математикой следует побуждать учащихся к тому, чтобы они больше считали не на бумаге или с помощью калькулятора, а про себя, находили и четко формулировали принцип и последовательные шаги в решении некоторой задачи прежде, чем практически приступят к реализации найденного решения. Надо придерживаться правила: до тех пор, пока решение до конца не продумано в уме, пока не составлен план включенных в него действий и пока он не выверен на логичность, к практическому осуществлению решения не следует приступать. Этими принципами и правилами можно пользоваться на занятиях всеми без исключения школьными предметами, тогда и внутренний план действий будет формироваться у учащихся быстрее.

Характерной особенностью подросткового возраста является готовность и способность ко многим различным видам обучения, причем как в практическом плане (трудовые умения и навыки), так и в теоретическом (умение мыслить, рассуждать, пользоваться понятиями). Еще одной чертой, которая впервые полностью раскрывается именно в подростковом возрасте, является склонность к экспериментированию, проявляющаяся, в частности, в нежелании все принимать на веру. Подростки обнаруживают широкие познавательные интересы, связанные со стремлением все самостоятельно перепроверить, лично удостовериться в истинности. К началу юношеского возраста такое желание несколько уменьшается, и вместо него появляется больше доверия к чужому опыту, основанного на разумном отношении к его источнику.

Подростковый возраст отличается повышенной интеллектуальной активностью, которая стимулируется не только естественной возрастной любознательностью подростков, но и желанием развить, продемонстрировать окружающим свои способности, получить высокую оценку с их стороны. В этой связи подростки на людях стремятся брать на себя наиболее сложные и престижные задачи, нередко проявляют не только высокоразвитый интеллект, но и незаурядные способности. Для них характерна эмоционально-отрицательная аффективная реакция на слишком простые задачи. Такие задачи их не привлекают, и они отказываются их выполнять из-за соображений престижности.

В основе повышенной интеллектуальной и трудовой активности подростков лежат не только указанные выше мотивы. За всем этим можно усмотреть и естественный интерес, повышенную любознательность детей данного возраста. Вопросы, которые задает подросток взрослым детям, учителям и родителям, нередко достаточно глубоки и касаются самой сути вещей.

Подростки могут формулировать гипотезы, рассуждать предположительно, исследовать и сравнивать между собой различные альтернативы при решении одних и тех же задач. Сфера познавательных, в том числе учебных, интересов подростков выходит за пределы школы и приобретает форму познавательной самодеятельности — стремления к поиску и приобретению знаний, к формированию полезных умений и навыков. Подростки находят занятия и книги, соответствующие их интересам, способные дать интеллектуальное удовлетворение. Стремление к самообразованию — характерная особенность и подросткового, и раннего юношеского возраста.

Мышление подростка характеризуется стремлением к широким обобщениям. Самостоятельность мышления проявляется в независимости выбора способа поведения. Подростки и особенно юноши принимают лишь то, что лично им кажется разумным, целесообразным и полезным.

1.2.2 Специфика пространственного мышления

Пространственное мышление — вид умственной деятельности, обеспечивающей создание пространственных образов и оперирование ими в процессе решения различных практических и теоретических задач. В ходе онтогенеза пространственное мышление проходит ряд закономерных этапов своего становления: вначале оно вплетено в другие виды мышления, а в своих наиболее развитых и самостоятельных формах оно выступает в виде пространственных образов.

Произвольное оперирование образами особенно отчетливо наблюдается в школьном возрасте, когда происходить интенсивное психическое развитие, овладение соответствующими средствами интеллектуальной деятельности, обеспечивающими создание образов, их преобразование, произвольное изменение системы отсчета, использование разнотипной наглядной основы. Развитие пространственного мышления осуществляется в этом возрасте под решающим воздействием тех школьных предметов (например, геометрии), которые наиболее «ответственны» за формирование данного вида мышления и «заинтересованы» в его развитии, так как без этого не может быть эффективного усвоения научных знаний.

Особенности пространственного мышления ярко выступают в процессе решения графических задач (например, на построение), где вычленение пространственных соотношений, их преобразование осуществляется на основе условных изображений (рисунков, чертежей, схем и т. п.)

Термином «пространственное мышление» обозначается довольно сложный процесс, куда включается не только логические (словесно-понятийные) операции, но и множество перцептивных действий, без которых мыслительный процесс в форме образов протекать не может, а именно опознание объектов, представленных реально или изображенных различными графическими средствами, создание на этой основе адекватных образов и оперирование ими в процессе решения задачи. Пространственные образы, которыми оперирует мышление, должны быть динамичными, подвижными, оперативными. Эти качества вытекают из условия их создания и оперирования ими. Подвижность, динамичность образов обусловлена тем, что в процессе решения задач требуется постоянный переход от объемных (трехмерных) изображений к плоскостным (двумерным) и обратно, от восприятия реальных объектов к их графическим изображениям. Итак, пространственное мышление является специфическим видом мыслительной деятельности, которая имеет место в решении задач, требующих ориентации в практическом и теоретическом пространстве (как видимом, так и воображаемом). В своих наиболее развитых формах это есть мышление образами, в которых фиксируются пространственные свойства и отношения. Оперируя исходными образами, созданными на различной наглядной основе, мышление обеспечивает их видоизменение, трансформацию и создание новых образов, отличных от исходных.

Главным содержанием данного вида мышления является оперирование пространственными образами в процессе решения практических и теоретических (графических) задач. Это оперирование обеспечивается деятельностью представления, которая опирается на восприятие реальных объектов или их графических изображений. Пространственное мышление проходит сложный путь развития у каждого человека. Сначала оно вплетено в «предметно-манипулятивную» деятельность ребенка и лишь постепенно вычленяется как самостоятельный вид мышления, осуществляемый в форме образов, превращается в разнообразные и весьма сложные виды профессиональной, творческой деятельности. Пространственное мышление в своих наиболее развитых формах проявляется в процессе решения графических задач, где происходит создание образов и оперирование ими на основе использования разнотипной наглядной основы. Психологическим механизмом пространственного мышления является деятельность представления, обеспечивающая перекодирование образов, использование разных систем отсчета, оперирование в процессе решения задач различными свойствами и признаками: формой, величиной, пространственными отношениями объектов.

Вся эта сложная деятельность осуществляется в основном в образной форме. Восприятие различных видов изображений не является в условиях решения графических задач самоцелью. Оно всегда включено в решение определенной задачи и подчинено её условиям. Более того, образ, возникший на основе заданного изображения, в процессе решения задачи подвергается неоднократному изменению (преобразованию), а потому пространственное мышление мы рассматриваем как одну из разновидностей образного мышления. Образное мышление оперирует не словами, а образами; в процессе этого оперировании происходит их воссоздание, перестройка, видоизменение в требуемом направлении. Образы являются в этом виде мышления исходным материалом и основной оперативной единицей. Это не означает, конечно, что при этом не используются словесные знания в виде определений, развернутых суждений и умозаключений. Но в отличие от словесно-дискутивного мышления, где словесные знания являются основным содержанием, в образном мышлении слова используются лишь как средство выражения, интерпретации уже выполненных в образах преобразований.

1.2.3 Структура пространственного мышления

Создание пространственных образов и оперирование ими — тесно взаимосвязанные процессы. В основе каждого из них лежит деятельность представливания [33], однако структура этой деятельности, условия ее осуществления в обоих случаях различны. В одном случае эта деятельность направлена на создание пространственного образа. В другом — на его переработку (мысленное видоизменение, преобразование) в соответствии с поставленной задачей. При создании любого образа, в том числе и пространственного, мысленному преобразованию подвергается наглядная основа, на базе которой образ возникает. При оперировании образом мысленно видоизменяется уже созданный на этой основе образ, нередко в условиях полного отвлечения от нее.

Выделяя оперирования образами в особый вид деятельности представливания, не совпадающий ни по своему содержанию, ни по результатам с процессом создания образа, мы тем самым получаем возможность определить основную функцию пространственного мышления. Под пространственным мышлением подразумевается свободное оперирование пространственными образами, их преобразование с учетом требований задачи.

Создание образов обеспечивает накопление представлений, которые по отношению к мышлению являются исходной базой, необходимым условием его осуществления. Чем богаче и разнообразнее запас пространственных представлений, чем наиболее совершенны способы их создания, тем легче будет протекать процесс оперирования ими, ибо нельзя, как известно, оперировать тем, чем не овладел, чего не имеешь в наличии. Выделение двух видов деятельности представливания, направленной на создание образов и оперирование ими, анализ их психологических механизмов, показывает, что мы имеем здесь дело с различными уровнями развития пространственного мышления.

В психологии понимание механизма возникновения различных образов базируется в основном на отнесении их к различным психическим функциям (восприятию, представлению, воображению), последовательно и независимо сменяющим друг друга. Различие их усматривается также в динамике соотношения чувственных и понятийных компонентов, в преобладании в них единичного или общего. Основой создания образов и оперирования ими признается деятельность двух типов, четко обособляемая: продуктивная и репродуктивная. Выражением этого является принятая в психологии классификация на образы памяти и образы воображения, которые в свою очередь делятся на воссоздающие и творческие. Создание образа и в процессе восприятия, и в представлении обеспечивается деятельностью продуктивной, приводящей к созданию нового. Но как же тогда быть с воображением? Ведь именно за воображением в психологии закреплялось «право» создания нового. Воображение есть процесс оперирования созданными образами, данными в представлении. Воображение также реализуется деятельностью представливания, которая выступает как самостоятельная, развернутая деятельность, осуществляемая в специфических условиях. Она выполняется на основе уже созданных первичных образов, без непосредственной опоры на исходный наглядный материал. Она базируется, как правило, на использовании разнотипных образов, вовлеченных в процесс создания нового образа, творческого по своему характеру. Таким образом, если представление есть результат представливания с опорой на восприятие, то воображение есть сложная деятельность представливания, осуществляемая с максимальным отвлечением от исходной основы, путем разноплановых и многократных преобразований имеющихся представлений. Создание нового, преобразование воспринятого не является признаком воображения. Оно имеет место на всех уровнях чувственного познания (в восприятии, в представлении).

Широко распространенным является определение представления как воспроизведения прошлых восприятий, а воображения как преобразования прежних восприятий и представлений. Деятельность представливания, протекающая на различном уровне, приводит к преобразованию исходного чувственного опыта. Однако различия состоят в том, что содержание и уровень этих преобразований, условия их выполнения различны. Анализ деятельности представливания на основе ее содержания и структуры позволяет разрешить терминологические трудности в использовании таких понятий, как пространственное представление и пространственное воображение. Для этого рассмотрим уровни деятельности представливания. Уже в процессе восприятия она выступает в своих элементарных формах, правда еще не как развернутая и самостоятельная. Как более самостоятельная, эта деятельность выступает в процессе создания образа путем мысленного преобразования его наглядной основы. Она имеет четкую структуру, выраженную в определенной системе действий, последовательности их выполнения. Ее результатом является создание представления. В восприятии исходной наглядности уже имеются все необходимые предпосылки для создания образа, но сам образ не дан в готовом виде. Его надо создать, причем этот созданный образ, воплощенный, например, в рисунке, словесном описании, существенно отличается от исходной наглядности и является новым по отношению к ней. Созданные образы в ряде случаев не остаются неизменными. В процессе решения задач они видоизменяются в требуемом направлении. В этих случаях деятельность представливания направлена не на преобразование исходной наглядной основы (как это имеет место в представлении), а на преобразование уже созданных образов, которые мысленно видоизменяются (преобразуются) одновременно в разных направлениях. Деятельность представливания выступает здесь как самостоятельная и довольно сложная умственная деятельность воображения, осуществляемая преимущественно без опоры на восприятие и имеющая сложную структуру. Она состоит из целого ряда действий, направленных на мысленное удержание первоначально созданного образа, на фиксирование в представлении его различных преобразований, осуществляемых с учетом требований представленной задачи, т. е. на развернутое, многократное оперирование образом. Эта деятельность характеризуется: 1) особыми условиями создания образа; 2) содержанием деятельности представливания; 3) уровнем сложности её выполнения.

Итак, мы рассмотрели различия в деятельности представливания, исходя из анализа результата этой деятельности, условий её осуществления, структуры. Уровень ее развития проявляется в степени ее развернутости, произвольности, компенсируемости. Все выше сказанное можно отнести к характеристике пространственных образов. Создание этих образов идет на различной графической основе путем ее мысленного преобразования. Оперирование пространственными образами осуществляется в условиях графичесикх задач. Преобразование пространственных образов нередко осуществляется одновременно в нескольких направлениях или, наоборот, очень избирательно, что отражается на структуре пространственных образов. Этим определяется сложность выполняемых мысленно преобразований, а тем самым и структура пространственного мышления.

1.2.4 Развитие и формирование пространственного мышления в процессе обучения

Развитие пространственного мышления в процессе обучения идет по следующим основным направлениям:

1) овладение произвольностью в использовании систем отсчета,

2) формирование обобщенных способов создания пространственных образов и оперирования ими, т. е. совершенствование деятельности представливания,

3) усвоение графической культуры, что обеспечивает возможность оперирования пространственными образами разной меры конкретности, наглядности.

Пространственное мышление формируется в системе знаний, подлежащих усвоению. Каждый учебный предмет своим содержанием определяет требования к развитию пространственного мышления. В ходе онтогенеза пространственное мышление развивается в недрах тех форм мышления, которые отражают закономерные этапы общего интеллектуального развития. Сначала оно формируется в системе наглядно-действенного мышления. Затем в своих наиболее развитых и самостоятельных формах выступает в контексте образного мышления. По мере овладения предметной деятельностью, графической культурой, определенной системой знаний, умений и навыков формируются более теоретические формы пространственного мышления.

Оперирование пространственными свойствами и отношениями на ранних этапах онтогенеза осуществляется в основном в предметно-практической манипулятивной форме. Оно происходит в пространстве, в пределах трех измерений. Приобщение к графической (изобразительной) деятельности приводит к тому, что дети начинают оперировать пространственными свойствами и отношениями в системе не только трех, но и двух измерений, т. е. не только в пространстве, но и на плоскости. Постепенно расширяются и усложняются формы наглядности. В качестве наглядности используются не только реальные (объемные) предметы, но и их плоскостные изображения (рисунки, иллюстрации и т. п.). На этой основе формируются разнообразные проективные пространственные представления.

Дальнейшее развитие пространственного мышления в онтогенезе идет по линии усложнения всех форм ориентации в пространстве, обогащения их теоретическим содержанием, усложнения задач, в которых требуется преобразование наглядной ситуации путем ее восприятия или по представлению неоднократного и многопланового оперирования пространственными образами. Все это создает условия для овладения разнообразными навыками построения, вычисления, измерения. Формируются метрические представления, обеспечивающие оперирование такими пространственными свойствами, как удаленность, протяженность, ширина, длина и т. п. На этой основе становиться возможным решение задач, связанных с вычислением площадей плоских фигур, определением объемов сложных тел и поверхностей, преобразованием различных геометрических форм путем их предметного или графического моделирования. Используемые при этом средства наглядности становятся более условно-схематическими, абстрактными, символическими. Такова общая логика развития пространственного мышления в онтогенезе.

В обучении развитие имеет три основные линии: 1) переход от трехмерного пространства к двухмерному и обратно; 2) переход от наглядных изображений к условно-схематическим и обратный процесс; 3) переход от фиксированной в себе точки отсчета к свободно выбранной или произвольно заданной.

У учащихся, приступающих к изучению систематического курса геометрии пространственные (трехмерные) представления более развиты, чем плоскостные (двумерные). Однако возможность младших школьников «работать» одновременно и в плоскости, и в пространстве тормозится из-за того, что учащиеся привыкают работать только с двумерными изображениями. Их богатый опыт, накопленный в практике оперирования реальными объемными предметами, как бы вытесняется при овладении планиметрией, поскольку содержанием и логикой этого предмета требуется оперирование только плоскостными изображениями. Указывая на это обстоятельство, многие опытные методисты и дидакты советуют с самого начала обучения математике постоянно обращать внимание на то, что планиметрическая фигура является частным случаем пространственной, и с самого начала изучения планиметрии рассматривать точки, прямые, а позже и более сложные фигуры в пространстве, лежащими в разных плоскостях.

Основополагающим понятием при оперировании пространственными соотношениями в процессе перехода от плоскости к пространству и обратно является понятие проекции. В ходе обучения различным предметам (в том числе и стереометрии) учащиеся овладевают этим понятием сначала чисто эмпирически, интуитивно, а затем в соответствии с его научным содержанием. Обращение к такому способу введения фундаментального для развития пространственного мышления понятия можно объяснить только недостаточным учетом психологических закономерностей.

Развитие пространственного мышления затрудняется ещё и тем, что отсутствует единая классификация видов графических изображений. В каждом учебном предмете своя классификация, определяются требования к использованию графических изображений, нередко специфичные лишь для данного предмета. Во многих учебных предметах используются разнообразные пространственные преобразования, но психологические средства их осуществления исследованы очень мало. Поэтому близкие по своему логическому содержанию, они оказываются разнородными в психологическом отношении. Расхождение между математическим и психологическим содержанием операций порождает многие трудности, в осуществлении пространственных преобразований, что осложняет развитие пространственного мышления.

1.2.5 Возрастные различия учащихся в решении задач на пространственные преобразования

Практика обучения в школе свидетельствует о наличии возрастных различий в пространственном мышлении учащихся. Мы остановимся на особенностях пространственного мышления старших школьников.

С возрастом по мере накопления знаний, умений и навыков обогащается запас пространственных образов. Они становятся богаче по содержанию и динамичнее. Старшеклассники активно оперируют не только двух-, но и трехмерными образами. Они используют как плоские геометрические фигуры, так и объемные тела, их различные изображения. Однако здесь, как известно, имеется немало трудностей. В старших классах, при переходе от планиметрии к стереометрии, где требуется оперирование пространственными изображениями с выходом за пределы плоскости в пространстве, сформированный у детей стереотип (использования в планиметрии только плоских изображений в пределах только одной плоскости) мешает свободному оперированию пространственными образами. «Расшатать» уже сложившиеся, прочно закрепленные приемы оперирования в основном плоскостными (двумерными) изображениями довольно трудно.

С возрастом изменяется отношение к использованию наглядных опор при осуществлении требуемых пространственных преобразований. Учащиеся 5−8 классов при выполнении любого задания сначала стараются выполнить чертеж, что-то зарисовать, использовать для выделения пространственных соотношений разные средства (цветные мелки, карандаши, разнообразить характер линий). Учащиеся 9−11 классов используют эти опоры гораздо реже, обычно только в тех случаях, когда возникают затруднения в решении задач.

Различными являются и средства используемой наглядности. Учащиеся 9−11 классов в качестве основного средства наглядности используют различные эскизы, схематичные зарисовки, условные обозначения, проекционные чертежи. В этом проявляется, во-первых, опыт работы с разнотипными изображениями, обогащение знаниями о видах изображений, во-вторых, сформированная в процессе обучения способность вычленять нужные пространственные свойства и отношения и фиксировать их в виде отвлеченных схем. Так же для учащихся старших классов характерно осознанное использование приемов представливания. С возрастом увеличивается возможность переноса усвоенных приемов представливания на новые задания, возрастает возможность использования обобщенных приемов, появляется стремление анализировать свою деятельность представливания, выделять ее сильные и слабые стороны, что связано с повышенной рефлексией, свойственной старшеклассникам. Они наибольший интерес проявляют к процессу достижения конечного результата, стремясь овладеть наиболее рациональными приемами представливания.

Итак, пространственное мышление рассматривается как сложное структурное образование, в котором проявляются как общие, так и специфические закономерности умственной деятельности. Обладая весьма ярким качественным своеобразием, пространственное мышление не является локальным образованием. Это фундаментальная особенность психики, обеспечивающая возможность ориентации в пространстве. Его формирование осуществляется в системе общего психического развития по мере овладения человеком предметным миром, в процессе общения, в ходе специального обучения, в котором наиболее полно познаются пространственные свойства и отношения в их всеобщих и закономерных связях. Основное содержание пространственного мышления и есть оперирование этими связями и отношениями, осуществляемое в образной форме. Развитие пространственного мышления рассматривается как процесс, имеющий социальную природу. Его формирование идет под непосредственным и решающим влиянием обучения. Таким образом, учитывая все трудности и особенности развития пространственного мышления у старшеклассников, нам необходимо построить обучение так, чтобы использовать все возможности для дальнейшего развития пространственного мышления учащихся и ликвидации сложностей, возникающих при этом.

1.3 Самосознание

В подростковом возрасте в процессе физического, психического и социального развития вместе с позитивными достижениями закономерно возникают негативные образования и специфические психологические трудности. Развивающееся самосознание именно в подростковом возрасте делает человека особенно тревожным и неуверенным в себе.

Благодаря рефлексии на себя и других подросток продвигается в направлении самопознания. Он стремится понять себя самого. «Кто Я?» — основной вопрос возраста.

Подросток стремится осмыслить свои притязания на признание; оценить себя как будущего юношу или девушку; определить для себя свое прошлое, значение личного настоящего, заглянуть в личное будущее; определиться в социальном пространстве — осмыслить свои права и обязанности.

Самосознание подростка уже включает в себя все компоненты самосознания взрослой личности.

Развивающееся самосознание в отрочестве определяет духовную работу в отношении определения «внутренней позиции», в основе которой лежит стремление быть ответственным за себя, за свои личностные качества, за свое мировоззрение и за способность самостоятельно отстаивать свои убеждения.

Подростка начинает волновать он сам в своем физическом и духовном воплощении. «Каким я могу предстать перед другими?» — актуальный вопрос для него. В этой связи его волнует его тело, лицо, имя.

Внешний облик — предмет исследования, заботы, подражания и поиска индивидуальности.

Подростку предстоит в сфере развития его самосознания приспособиться к своему телесному, физическому облику. От отрицания себя телесного через кризисные переживания и подвиги физического самосовершенствования он должен прийти к принятию уникальности своей телесной оболочки и принять ее как единственно возможное условие своего материального бытия.

Идентификация со своим новым обликом — трудный для подростка процесс. «Принять себя таким, как я есть…», несмотря на эталонных красавиц и красавцев, несмотря на превосходящих сверстниц и сверстников. Как тут не удариться в панику?

Кроме проблемы привлекательности внешности многих подростков волнует проблема наличия духовности в выражении лица.

Углубленная рефлексия на свою внешность и тревога по ее поводу наряду с другими возрастными проблемами создают у подростков общее напряженное выражение, которое сопутствует возрасту. Подростки могут ходить сгорбленными, загребать или шаркать ногами, могут быть резкими или «развинченными» в телесных выражениях своих эмоциональных состояний, могут смотреть «тусклыми» и «безразличными» глазами на окружающих, как бы демонстрируя незаинтересованность собой или другим человеком.

Для подростков особую значимость приобретает одежда. У них свой автономный от взрослых стиль: чаще спортивный или диско.

Подростки проходят сложные социальные инициации в отношении своего имени.

В отрочестве в условиях родительской семьи представление о фамильном «Мы» претерпевает изменения и деформацию. Подросток может занять негативную позицию, может потерять уверенность в своей личной значимости для членов своей семьи, может пережить и другие катаклизмы, связанные с психологическими особенностями возраста, с особенностями статуса и психологического климата семьи и характером отношения к общей социальной ситуации.

И все-таки именно в отрочестве человек обращается к своему «Я», стремится утвердить себя. Встреча с самим собой в отрочестве дается нелегко — можно наблюдать выраженную психическую напряженность в позах и жестах подростков, в суждениях и рефлексивных самоописаниях.

Подростки весьма озабочены собственной духовной, интеллектуальной, волевой сферой. Специфичным для них является фиксация на реальных или воображаемых недостатках. «Некрасивый», «неумный», «безвольный» и другие оценки, выражающие отсутствие достоинств и положительных качеств, выступают на первый план самооценки подростка. Сравнения со сверстником, которые делает подросток, чаще всего оборачиваются против него.

Особенность самосознания и самооценки в отрочестве непосредственно отражается на поведении. При заниженной самооценке подросток недооценивает свои возможности, стремится к выполнению только самых простых задач, что мешает его развитию. При завышенной самооценке он переоценивает свои возможности, стремится выполнить то, с чем не в состоянии справиться, что также негативно сказывается на развитии его личности.

Особое влияние на поведение подростка оказывает его семейное положение.

§ 2. Психолого-педагогические особенности обучения геометрии в старших классах

Результатом обучения математике, прежде всего, является формирование различных видов познавательной деятельности или отдельных её элементов: понятий, представлений, различных умственных действий. Формирование познавательной деятельности непосредственно связано с процессом усвоения, так как процесс усвоения знаний — это всегда выполнение учащимися определённых познавательных действий. Вот почему при планировании усвоения любых знаний необходимо определить, в какой деятельности (в каких умениях) они должны использоваться учениками, с какой целью они усваиваются. Кроме того, учитель должен быть уверен, что учащиеся владеют всей необходимой в данном случае системой действий, составляющих умение учиться.

Особое внимание при обучении математике, в частности геометрии, нужно уделять принципу развивающего обучения. Среди развивающих задач обучения геометрии особо выделяются следующие:

· Развитие мышления — одна из основных задач геометрии. Логика геометрии заключена не только в отдельных формулировках и доказательствах, но и во всей системе в целом.

· Развитие пространственного воображения — расширяет видение мира. Оно обогащает внутренний мир человека, давая ему возможность создавать в себе и созерцать разнообразные картины. Развитие пространственного воображения — это важный элемент общей культуры.

· Развитие познавательного интереса к геометрии — необходимо проведение целенаправленной работы по формированию устойчивого интереса учащихся к овладению знаниями. Наличие познавательных интересов учащихся способствует росту их активности на уроках, повышению качества знаний, формированию положительных мотивов учения, активной жизненной позиции, что в совокупности вызывает повышение эффективности всего процесса обучения.

· Развитие творческих способностей, необходимых каждому человеку. Чем шире круг знаний человека, тем продуктивнее его творческая деятельность. Творчество высшая форма активности и самостоятельности.

При отборе содержания, соответствующего профилю обучения, необходимо стремиться к научности материала. Принцип научности имеет отношение и к методам педагогической деятельности и деятельности детей. В соответствии с эти принципом процесс обучения математики должен быть направлен на развитие познавательной активности учащихся, на формирование у них умений и навыков научного поиска, на ознакомление их со способами научной организации учебного труда.

Этому способствует широкое использование проблемных ситуаций при изучении геометрии. Суть проблемной интерпретации учебного материала состоит в том, что преподаватель не сообщает знаний в готовом виде, но ставит перед учащимися проблемные задачи, побуждая искать пути и средства их решения. Вопрос о применении теоретических знаний на практике, применение абстрактных теоретических фактов при решении задач относительно конкретных, реальных объектов ставит учащегося в проблемную ситуацию. Ученик вынужден либо самостоятельно осуществлять мыслительный поиск, либо с помощью преподавателя.

Но при создании проблемных ситуаций на уроках геометрии необходимо учитывать реальные возможности учащихся в соответствии с принципом доступности и посильности обучения. При предъявлении недоступного для усвоения материала резко снижается мотивационный настрой на учение, падает работоспособность, быстро наступает утомление. Вместе с тем чрезмерное упрощение математического материала тоже снижает интерес к учению, не способствует формированию учебных навыков и, главное, не содействует развитию учащихся.

Изложение материала должно быть последовательным и образовывать некоторую систему, то есть отвечать требованиям преемственности, последовательности и систематичности. Преемственность в обучении математики предполагает такую организацию педагогического процесса, при которой тот или «иной урок является логическим продолжением предыдущего. Последовательность и систематичность в обучении позволяют разрешить противоречие, где, с одной стороны, необходимость формирования системы знаний, умений и навыков по предметам, а с другой — необходимость формирования целостного мировоззрения о единстве и обусловленности окружающего мира.

Обучение соответствующее выбранному профилю характеризуется сознательностью, так как отвечает потребностям учащегося. Содержание обучения, отвечающие индивидуальным способностям и склонностям ученика, возбуждает активность учащегося. Причём активность должна быть направлена не столько на простое запоминание и проявление внимания, сколько на сам процесс самостоятельного добывания знаний. В обучении геометрии решающее значение имеет овладение теоретическими знаниями, а это значит их осмысление и усвоение на понятийном уровне и осознание прикладного значения теоретических идей.

В связи с этим необходимо отметить, значительное увеличение роли наглядности в процессе обучения. Наиболее приемлемыми формами работы, методами и средствами обучения учащихся в данной ситуации являются те, которые позволяют через физические действия с материальными объектами переходить к общим выводам; учат в конкретных объектах и явлениях реальной действительности видеть возможность применения общих закономерностей формул.

Наглядность в процессе обучения основана на закономерностях познания окружающей действительности и развития мышления, которое развивается от конкретного к абстрактному. Научные понятия и абстрактные положения легче доходят до учащихся, если они подкрепляются конкретными фактами в процессе сравнения, проведения аналогий и т. п. Наглядность в процессе обучения геометрии обеспечивается применением разнообразных иллюстраций, демонстраций, лабораторно — практических работ, использованием ярких примеров и жизненных фактов.

По линии возрастания абстрактности виды наглядности подразделяются следующим образом:

· естественная — абстрактные геометрические объекты и положения иллюстрируются примерами предметов из объективной реальности, данный вид наглядности наиболее распространён в силу простоты реализации;

· экспериментальная — абстрактные геометрические положения подтверждаются в ходе специально организованных опытов, экспериментов; обучение в рамках профильной дифференциации предоставляет возможность организовывать лабораторно-практические работы, выполнение которых даёт наглядное экспериментальное подтверждение многих положений геометрии;

· объёмная — демонстрация моделей геометрических тел; демонстрация параллельно с формальным описанием и чертежом объёмной модели стереометрического тела значительно усиливает эффективность обучения;

· изобразительная — иллюстрация абстрактных геометрических объектов и положений картинками, фотографиями, рисунками;

· символическая и графическая — использование схем, формул для демонстрации взаимосвязи и других отношений между теми или иными понятиями.

Чтобы не сдерживать развитие абстрактного мышления учащихся, в использовании наглядности важно чувство меры. Большое значение имеет сочетание применения наглядности с творческой работой детей по созданию наглядных пособий. В использовании наглядности должна быть вариативность, чтобы в сознании учеников не запечатлелся какой-либо конкретный образ предмета или явления. Так, некоторые учащиеся испытывают затруднения при работе с цилиндром, если он расположен горизонтально, если все теоретические факты относительно цилиндра и его свойств иллюстрировались на цилиндре, имеющем вертикальное положение.

Итак, обучение геометрии с одной стороны базируется на рекомендациях и принципах общей методики преподавания математики, педагогики и психологии. С другой стороны обладает своей спецификой, связанной, прежде всего с контингентом обучающихся и отбором содержания, соответствующего профилю обучения. Эта специфика определяется возрастными, психологическими и социальными особенностями учащихся их склонностями, предпочтениями, направленностью личности.

§ 3. Организационно-педагогические аспекты дифференцированного обучения

3.1 История развития дифференцированного обучения

Проанализируем основные вехи российского образования, с XVIII в. по настоящее время. Для того чтобы понять и осознать то, что происходит с нашим образованием на современном этапе развития общества.

Система светского образования в России начала складываться при Петре I в XVIII веке. Он наметил основной путь — путь создания широкой сети общеобразовательных школ, специальных школ и училищ. В России этого периода стали образовываться школы различной практической направленности, готовящие учащихся к различным профессиям. Стране нужно было большое число образованных людей, способных воплотить в жизнь реформы Петра, работать в новой промышленности, служить в новой армии и т. д. Однако, закладывались не только основы практического или, как позже его назвали, реального образования, но и общего — классического. В 1724 году последовал высочайший указ об организации Академии наук, а при ней университета и гимназии.

Большой вклад в развитие академических гимназий внес М. В. Ломоносов. Он уделял много внимания развитию отечественной науки и просветительству. Именно он основал в 1754 году Московский университет и гимназию при нем.

Следующей важной заметной вехой в дифференциации обучения было создание гимназий (их также называли государственными училищами) разного типа, «чтобы каждый своему приличному состоянию, склонности и определению обучаться мог». Таким образом, в основе дифференциации лежали не только сословные различия, но индивидуальные особенности и интересы учащихся. Были открыты школы следующих типов:

1) Училища для ученых людей. Они готовили выпускников для поступления в университеты, в них очень серьезно был поставлен курс математики, в частности геометрии.

2). Военные училища. Любопытно, что в них геометрия использовалась при изучении таких предметов, как фортификация, архитектура, география (точнее она называлась даже «математическая география»).

3) Гражданские училища. Здесь изучались арифметика, геометрия и логика. Выпускники этих училищ работали в коллегиях и канцеляриях

4) Купеческие училища. Геометрия также была здесь обязательным предметом, но большее значение уделялось коммерческой арифметике, составлению и ведению счетов, различных расчетов и т. д.

Вдохновителем создания гимназий такого типа и составителем генерального плана их развития, который появился в 1764 году, был Г. Н. Теплов (1711−1779).

Особо отметим, что в конце XVIII века в работах передовых просветителей и педагогов появилась мысль о том, что одной из главных целей обучения в школе является выявление у ребят их склонностей, интересов и активное использование последних в обучении.

Итак, ХVШ век — век значительных достижений и преобразований в сфере просвещения, создания — школ разного типа. Обучение в средних учебных заведениях носило элементы дифференцированного характера.

Начало XIX века ознаменовалось реформой образования. В 1802 году были учреждены министерства, в том числе Министерство народного образования, что способствовало централизации государственного аппарата. Была создана новая система образования. В ней предусматривались следующие четыре ступени: высшая — университеты, средняя — гимназии, промежуточная — уездные училища, низкая — приходские училища.

Именно гимназии соответствовали современным старшим классам. В них не было дифференциации обучения, точнее почти не было, потому что в некоторых гимназиях разрешалось увеличивать число учебных предметов, когда находились способные к тому или иному предмету ребята, что было специально занесено в устав гимназии. Можно считать, что это было первым прообразом такой формы дифференцированного обучения, как факультативные занятия или занятия по выбору. В остальном же гимназии подчинялись одной программе, ориентированной на практическое, реальное образование. К сожалению, наличие непосредственно прообразов элективных курсов не наблюдается.

Появились сторонники другого, так называемого, классического или гуманитарного образования. Практическое воплощение дискуссия о разнице и преимуществах того и другого образования нашла уже в следующей реформе образования во второй половине XIX века и выразилось это в учреждении классических и реальных гимназий. Кроме того, передовые педагоги того времени говорили о специфических особенностях обучения в различном возрасте, т. е. о дифференциации обучения по основным возрастным группам.

Так, в работах известного просветителя И. Ф. Богдановича (1758−18) содержится руководство по образованию и воспитанию детей от 6 до 10 лет; от 10 до 13 и от 13 до 16 лет. У него много замечательных практических советов родителям и учителям, в частности по выявлению и развитию склонностей ребенка.

Необходимо отметить и специально подчеркнуть, что именно в XIX веке были заложены основы педагогической психологии и провозглашены тезисы о воспитывающем и развивающем обучении. Мы находим подтверждение этому в работах многих крупных педагогов и просветителей того времени. Например, Е. О. Гугель (1804−1842) — известный педагог, автор многих учебных книг, один из издателей «Педагогического журнала», отметил у себя метод взаимного обучения, обучения всех одному и тому же материалу. Он делил класс на параллельные отделения в зависимости от успехов ученика в изучении предмета, в частности математики. По существу, он использовал уровневую дифференциацию.

В середине XIX века началась новая реформа среднего образования. Политическим фоном была обострившаяся борьба против крепостного права. После его отмены традиционная система подготовки учащихся к определенной профессии, т. е. прикладное реальное среднее образование, было подвергнуто резкой критике, что нашло отражение в новом Уставе 1864 года.

Необходимо особо отметить, что в этом уставе учителям гимназии предоставлялась достаточно широкая свобода в преподавании. Если прежде не разрешалось отступать от программы, от принятого учебника, то теперь педагогический совет каждой гимназии был вправе сам решать, по какой программе и какому учебнику следует обучать учащихся. Стоит отметить, что в современных школах складывается похожая ситуация.

Именно в конце XIX века из отдельных элементов стала складываться система дифференцированного обучения, его теоретическое обоснование. Большой вклад в это внесли, в частности работы видного педагога — просветителя В. Я. Стоюнина (1826−1888). Например, в его произведении «Мысли о наших гимназиях» говорится о том, что старших школьников нужно учить немногим предметам, но как следует, «обременяя и развлекая юношей множеством разнообразных предметов, можем ли мы требовать от них какого-либо направления, когда им не приходилось преследовать никакой мысли, не приходилось ни над чем долго и серьезно задумываться за неимением времени».

Среди значительных работ, посвященных исследуемой проблеме, необходимо отметить труды крупного педагога и психолога П. Ф. Каптерева (1849−1922). В работе «О разнообразии и единстве общеобразовательных курсов» поражают звучащие абсолютно современно мысли о необходимости дифференциации обучения в старших классах. Основой дифференциации называются различные индивидуальные особенности учащихся. Причем Каптерев рассматривал психологический аспект индивидуальных особенностей учащихся. Его перу принадлежит монография «Педагогическая психология», изданная в 1876 году и предназначенная для учителей и воспитателей. По глубине идей, которые в ней заложены, его по праву можно считать основателем этого направления в отечественной психологии. Говоря о содержании учебного материала, предлагаемого учащимся, автор говорит об общей, обязательной части каждого курса, в частности математики. Причем он подчеркивает, что «до старшего школьного возраста, когда умственные склонности учащихся еще не определились, нельзя вводить такие предметы или такие отделы предметов, которые для своего усвоения требуют особенных способностей, особых умственных расположений; сначала нужно давать то, что равно необходимо всем желающим считаться образованными людьми. Пусть сначала определенно выяснятся особые умственные расположения на общепригодных упражнениях». Далее подчеркивается важность и одновременно трудность составления обязательной части общеобразовательного курса, в котором определяются и раскрываются индивидуальные способности учеников. Постепенно обязательные курсы по каждому предмету сокращаются и уступают место факультативным. Специально подчеркнем, что это термин самого автора. Причем факультативными являются общеобразовательные предметы, а не другие, которые не изучались в школе. Автор поясняет свою мысль на примере математики, которая, «…по крайней мере, в небольшое объеме должна войти в число общеобразовательных предметов; но она же в большем объеме, в высших отделах и с более серьезной постановкой может быть и факультативным предметом».

Проблемами дифференциации обучения интересовался и другой видный ученый и педагог К. П. Яновский (1822−1902). Ему принадлежат работы, в которых обсуждаются вопросы, актуальные и по сей день. Вот названия нескольких его работ: «Самодеятельность учащихся», «Отношение обучения к воспитанию», «Врожденные качества и способности и развитие последних посредством воспитания». В последней названной работе автор говорит о том, что способности ребенка к чему-то могут и не быть заметными в младшем школьном возрасте, более того, они могут даже не проявиться, если не попадут в среду, благоприятствующую их развитию. Таким образом, важный момент в обучении — это выявление способностей учащихся и создание необходимой для их дальнейшего развития среды. При этом автор предостерегает учителей от односторонности развития, т.к. «при развитии какой-либо одной из врожденных особенностей в ущерб другим, ей противоположным, нарушается равновесие душевных сил воспитанника в ущерб всей духовной его стороне».

Далее автор пишет о всестороннем и гармоничном развитии каждого отдельного индивидуума. Ввиду различных способностей в учениках к разным предметам, «нельзя не признать крайне неблагоразумными требования школы от разных учеников одинакового объема научных знаний и умений». Такие требования Яновский считал антипедагогическими и, таким образом, уже в XIX веке проповедовал уровневую дифференциацию, как наиболее естественную и соответствующую всестороннему развитию своих воспитанников.

Таким образом, к концу XIX столетия в образовании сложилась ситуация, когда, с одной стороны, педагогическая и методическая науки накопили много новых положений и идей в теории обучения, а с другой стороны, имела место старая общеобразовательная система с ранней специализацией учащихся, не соответствующая достижениям педагогической психологии, подвергающаяся резкой критике.

С XX века начался эксперимент по внедрению дифференциации обучения в школу в рамках факультативных занятий. Выявившаяся в начале их эффективность затем снизилась из-за недостаточной материальной обеспеченности и слабого научно-педагогического обоснования. Для продолжения эксперимента были созданы классы по интересам, объединившие учеников, посещавших один и тот же факультатив. В основу эксперимента был заложен ряд теоретических идей, определивших отбор содержания обучения и организации учебного процесса. Сохранился установленный государственными программами для средней школы единый объем общего образования (независимо от избранной специальности); в соответствии с направлением дифференциации выделялись ведущие учебные предметы — физико-технические, химико-технические, биолого-технические, гуманитарные. Особое внимание уделялось установлению рациональных связей школы и производства. Были созданы единые внутренне согласованные программы по трем направлениям: выбору предметов для углубленного обучения; прикладному курсу. Профилирование обучения не ограничивало развития учащихся в других направлениях. Сформулированная концепция дифференциации обучения и её практическая реализация вызвали неоднозначную оценку в педагогической литературе, выявили полярные взгляды на дифференциацию обучения. Некоторые ученые (Гончаров, Мельников и др.) считали, что дифференциация обучения позволяет создать оптимальные условия для развития индивидуальных способностей и интересов учащихся, так как дает возможность соответствующим образом изменить содержание и методику преподавания не только профилирующих, но и других учебных предметов. Эксперимент показал эффективность найденных форм дифференциации обучения.

В 60−70 годы XX века существовали и другие формы организации дифференциации обучения: специализированные классы и школы с углубленным изучением отдельных предметов. Несмотря на положительный опыт реализации дифференциации обучения, в начале 70-х годов XX века исследование проблем дифференциации обучения было прекращено, а сама идея дифференциации обучения продолжала рассматриваться как порождение буржуазной школы.

В конце 80-х годов прошлого века возобновились исследования теоретического и практического аспектов дифференциации обучения. Разработана концепция дифференциации обучения в средней образовательной школе. Дифференциация обучения в сочетании с единством базового образования рассматривается в качестве определяющего фактора демократизации и гуманизации образования. Дифференциация учебного процесса, включающая профилированное обучение старшеклассников, курсы по выбору и факультативы, рассматривается как необходимая составная часть общего конструирования учебного плана.

Опыт школы, особенно последних лет, доказывает необходимость организации профильной дифференциации обучения как системы. В школах профильная дифференциация частично реализовывалась через сеть специализированных школ, классов с углубленным изучением отдельных предметов. Но мы не разделяем те точки зрения, когда здесь формально расширялись лишь программы по определенному предмету (в основном за счет увеличения числа часов), по существу, не отражаясь на комплексе программ по другим предметам.

Как показывает практика, для реализации идеи уровневой и профильной дифференциации требуется серьезная перестройка всей методической системы. Прежде всего, появляется необходимость разноуровневых и профильных программ, учебно-методических пособий для организации дифференцированного обучения на уроках, групповых и индивидуальных занятиях с учащимися разных способностей, разного уровня обучаемости, и т. д. В то же время, очевидно, что переход школы в такое качественно новое состояние — это не революционный путь. Он осуществляется постепенно по мере накопления теоретических разработок и практического опыта.

В настоящее время сотрудниками ИСИМО РАО разработана новая концепция дифференцированного обучения. В ней определены цели дифференциации, выделены основные её формы и решен ряд других вопросов. Авторы концепции выделяют внутреннюю и внешнюю дифференциацию. Внутренняя форма дифференциация заключается в различном обучении детей в достаточно больших группах (классах), подобранных по случайным признакам. С целью наиболее полного учета индивидуальных и групповых особенностей учащихся внутри класса происходит деление на группы. При этом предполагается возможность широкого варьирования темпа изучения материала, дифференциация учебных заданий, выбор различных видов деятельности на уроке, характер и объём помощи со стороны учителя. Кроме того, такое разделение способствует расширению применения различных форм и методов обучения с учетом уровня подготовки учащихся. Надо заметить, что эти группы, как правило, гибки, мобильны, подвижны. При этом учитываются не только возможности неуспевающих учеников, испытывающих определенные трудности, но и создаются условия для дальнейшего развития одаренных детей.

При внешней дифференциации происходит направленная специализация образования путем создания относительно стабильных групп на основе определенных принципов (интересов, склонностей, способностей, достигнутых результатов, проектируемой профессии). В этих группах и содержание материала и предъявляемые в связи с этим требования различаются. Существуют две формы внешней дифференциации: «жесткая» — выбор профильного класса и др., «гибкая» — свободный выбор предметов (факультативов, кружков и др.).

С целью уточнения видов дифференциации целесообразно рассматривать уровневую и профильную дифференциацию. Термин «уровневая дифференциация» авторами предлагается вместо «внутренней дифференциации».

В соответствии с предлагаемой концепцией школьного образования в основной школе (I-IX классы) предполагается осуществление уровневой дифференциации: по одним и тем же программам и учебникам учащиеся достигают разных конечных целей, соответствующих их возможностям и склонностям. При этом предлагается, что все учащиеся должны достичь установленного сверху обязательного уровня подготовки (государственный стандарт по предмету), а затем уже решать, обучаться дальше или остановиться на достигнутом.

А в старшем звене средней школы (X-XI классы) предполагается осуществление профильной дифференциации на базе фуркации, т. е. учащимся предоставляется возможность получить образование в различных направлениях, по разным учебным планам и программам. При этом независимо от избранного профиля, учитывая возможности каждого подростка, предполагается обеспечить достижение каждым из них обязательного (базового) уровня знаний по тому или иному предмету.

Анализ опыта работы русской и советской школ по осуществлению профильной дифференциации показывает:

профильная дифференциация обучения осуществляется благодаря наличию различных типов учебных заведений, работающих по своим учебным планам и программам;

профильная дифференциация, осуществляемая с чисто прагматическими целями подготовки кадров разных специальностей, когда слабо учитываются склонности и способности учащихся, не приводит к позитивным результатам;

частичная фуркация, т. е. изменение учебного плана и программ только в отношении одного предмета, без коренной перестройки всего учебного плана и всех учебных программ, нецелесообразна.

3.2 Понятие дифференциации обучения

Рассмотрим различные подходы к пониманию понятия дифференциации обучения.

В литературе под дифференциацией понимают такую систему обучения, при которой каждый ученик, овладевая некоторым минимумом общеобразовательной подготовки, являющейся общезначимой и обеспечивающей возможность адаптации в постоянно изменяющихся жизненных условиях, получает право и гарантированную возможность уделять преимущественное внимание тем направлениям, которые в наибольшей степени отвечают его склонностям. Кратко коснемся чрезвычайно спорного терминологического вопроса. В современной педагогической литературе широкое распространение получили по отношению к «дифференциации» термины: «дифференцированное обучение», «дифференцированный подход», «уровневая дифференциация», «профильная дифференциация», «индивидуализация обучения», «индивидуальный подход».

И.Э. Унт указывала, что наибольшее затруднение при определении этого понятия вызывает то обстоятельство, что смешиваются два таких понятия, как «индивидуализация» и «дифференциация». Предпочтение того или иного слова в педагогике — это по большей части вопрос традиции или договоренности.

В «Педагогической энциклопедии» индивидуализация определяется как «…организация учебного процесса, при которой выбор способов, приемов, темпа обучения учитывает индивидуальные различия учащихся, уровень развития их способностей к учению». Большинство наиболее известных советских исследователей индивидуализации обучения используют понятие индивидуализации примерно в том же значении. Индивидуализация здесь вовсе не предполагает обязательного учета особенностей каждого учащегося, чаще всего исследователи ограничиваются учетом групп учащихся, сходных по какому-либо комплексу качеств. С той же позиции, например, дает определение А. А. Кирсанов. Он рассматривает индивидуализацию учебной работы как «систему воспитательных и дидактических средств, соответствующих целям деятельности и реальным познавательным возможностям коллектива класса, отдельных учеников и групп учащихся, позволяющих обеспечить учебную деятельность ученика на уровне его потенциальных возможностей с учетом целей обучения».

Однако часто встречается употребление терминов «индивидуализация» и «дифференциация» в качестве синонимов.

В противовес этой позиции педагогическая энциклопедия различает понятия «дифференцированное обучение» и «индивидуализация обучения». Дифференцированное обучение, согласно энциклопедии, — это «разделение учебных планов и программ в старших классах средней школы» [24], а индивидуализация обучения — это «организация учебного процесса, при котором выбор способов, приемов, темпа обучения учитывает индивидуальные различия учащихся, уровень развития их способностей к учению».

Само понятие дифференциации обучения в нашей литературе появилось относительно недавно, в конце 50-х годов XX века. Оно пришло на смену дореволюционному понятию «фуркация».

Дифференциация (от латинского differentia — различие) означает расчленение, разделение, расслоение целого на части, формы, ступени, тогда перенося это на процесс обучения, мы понимаем дифференциацию как действие, задача которого разделение учеников в процессе обучения для достижения главной цели обучения и учета особенностей каждого учащегося. Ученые давно пытаются дать строгое толкование понятию «дифференциация обучения». Обратимся к определениям этого понятия, сформулированным разными учеными в различное время.

3.И. Калмыкова заявляла, что дифференциация обучения — это создание специализированных классов и школ, рассчитанных на учете психологических особенностей школьников. И. Э. Унт отмечала, что дифференциация — это учет индивидуальных особенностей учащихся в той или иной форме, когда учащиеся группируются на основании каких-либо особенностей для раздельного обучения. Г. В. Дорофеев, С. Б. Суворова, Л. В. Кузнецова были сторонниками того, что дифференциация — это такая система обучения, при которой каждый ученик, овладевая некоторым минимумом общеобразовательной подготовки, являющейся общезначимой и обеспечивающей возможность адаптации в постоянно меняющихся жизненных условиях, получает право и гарантированную возможность уделять преимущественное внимание тем направлениям, которые в наибольшей степени отвечают его склонностям.

Итак, можно выделить три подхода к определению понятия дифференциации обучения:

психологический (учет индивидуальных особенностей учащихся);

педагогический (учет склонностей и интересов учащихся);

методический (дифференциация материала по уровням и профилям).

Эти различные подходы позволяют наглядно представить, как обогащалось и развивалось интересующее нас понятие дифференциация обучения. Последнее определение, на наш взгляд, наиболее емко, и можно сделать вывод, что дифференциация обучения на современном этапе является определяющим фактором демократизации и гуманизации образования.

Исходя из всего вышесказанного, определим цели дифференциации с различных позиций. С социальной точки зрения целью дифференциации обучения является формирование творческого, интеллектуального, профессионального потенциала общества в целях рационального использования возможностей каждого члена общества в его взаимоотношениях с социумом. С дидактической точки зрения целью дифференциации является решение назревших проблем школы путем создания новой дидактической системы дифференцированного обучения учащихся, основанной на принципиально новой мотивационной основе. С психолого-педагогической точки зрения конечной целью дифференциации является его индивидуализация, основанная на создании оптимальных условии для выявления задатков, развития интересов и способностей каждого ученика.

Обычно сторонники дифференциации выдвигали два основных тезиса:

1. Полная унификация учебных планов старших классов находится в противоречии с общественными потребностями, с требованиями психологии юности и задачей всестороннего развития способностей, дарований, талантов молодого поколения, дифференциация же является целесообразной формой индивидуализации занятий.

2. Дифференциация обеспечивает безболезненный переход из средней школы в высшую, она формирует индивидуальные интересы учащихся и способствует сознательному выбору высшей школы. Дифференциация помогает всестороннему развитию личности. Наконец, она является известной базой и для подготовки учащихся к практической деятельности.

Но, несмотря ни на что, следует отметить, что у дифференциации в то же время было немало противников. Основные возражения против нее сводились к следующему:

Дифференцированная система обучения не дает учащимся равные шансы. Это проявляется в том, что создаются неполноправные средние учебные заведения, одни из которых открывают дорогу к высшей школе, а другие делают уделом своих воспитанников только практическую деятельность.

Дифференциация противоречит демократическому принципу единства школы.

Дифференциация мешает всестороннему развитию личности.

Она снижает уровень общего среднего образования.

Дифференциация заставляет подростка рано выбирать будущую профессию.

Учащиеся, получившие разную общеобразовательную подготовку, например, гуманитарную и техническую, усваивают разный подход к рассмотрению и оценке одних и тех же процессов и явлений, что неизбежно вызывает их затруднения во взаимопонимании друг друга.

Критикам можно противопоставить положение о том, что единство школы вовсе не означает ее однообразия, унификации, а означает лишь предоставление всем равных прав в получении среднего, а затем высшего образования. Единство школы также не означает единого содержания учебного материала по каждому предмету, а также единых методов и форм работы. Учащиеся имеют разные индивидуальные задатки, способности и интересы.

Отсюда следует, что одной из главных целей школы является своевременное выявление способностей учащихся, их интересов и предоставление соответствующих условий для их максимально возможного развития. Таким условием, прежде всего, является дифференциация обучения, так как она не нарушает системы общего образования, а наоборот содействует его расширению и углублению. Необходимо учесть, что дифференциация учащихся по профилям, соответствующим их интересам, повышает качество знаний не только по предметам углубленного изучения, но и по всем другим учебным предметам .

Начиная с 60-х годов ХХ века, термин «дифференциация» прочно вошел в употребление. Например, в работе «Актуальные вопросы формирования интереса в обучении» Г. И. Щукиной рассматриваются различные показатели для дифференциации учащихся, а именно: уровень овладения прежними знаниями, умениями и навыками; уровень познавательной и практической самостоятельности учащихся; степень их умственного развития; отношение к учению и к данному учебному предмету.

Теперь нам предстоит определить понятие «дифференцированный подход». Обычно в педагогической литературе дифференцированный подход часто ассоциируется с дифференциацией обучения. Определим их различия. Дифференцированный подход определяется педагогической интуицией учителя в связи с реализацией принципа индивидуализации обучения, он является конкретным показателем его педагогического мастерства. Различные исследователи по-разному раскрывают сущность этого понятия: И. Д. Бутузов утверждал, что основной смысл дифференцированного подхода заключается в том, чтобы, зная и учитывая индивидуальные различия в обучении учащихся, определить каждому из них наиболее рациональный характер работы на уроке. Ю. К. Бабанский [4]говорил, что это способ оптимизации, который предполагает оптимальное сочетание общеклассных, групповых и индивидуальных форм обучения. А. А Кирсанов указывал, что — особый подход учителя к различным группам учеников, заключающийся в организации учебной работы, различной по содержанию, объёму, сложности методам, приёмам. Е. С. Рабунский отмечал, что — это дидактическое положение, предполагающее деление класса на группы. Дифференцированный подход — приспособление форм и методов работы к индивидуальным особенностям учащихся.

Определим для нашей работы оба эти понятия. Когда речь идет о дифференцированном обучении, мы будем иметь в виду комплекс организационно-управленческих, социально-экономических, правовых аспектов обучения, которые создают статус учебного заведения. Например, содержание и организация учебно-воспитательного процесса определили различия профильного и углубленного изучения предметов, условия набора учащихся, наполняемость групп, сроки обучения, нагрузку и оплату учителей. А если речь идет о дифференцированном подходе, то говорится о технологии индивидуального подхода к учащимся с целью определения уровня их способностей и возможностей, их профильной ориентации, максимального развития каждой личности на всех этапах обучения. Если дифференциацию рассмотреть как систему, то, на наш взгляд, дифференцированный подход немыслим без дифференцированного обучения, т. е. от организации учебно-воспитательного процесса во всех его звеньях непосредственно зависит результативность технологии индивидуального подхода к учащимся.

А индивидуальный подход к учащимся предполагает частичное, временное изменение ближайших задач и отдельных сторон содержания учебно-воспитательной работы, постоянное варьирование её методов и организационных форм с учетом общего и особенного в личности каждого ученика для обеспечения всестороннего ее развития.

Исходя из вышесказанного, необходимо заметить, что уже в середине 80-х годов к дидактическим принципам был добавлен новый принцип индивидуализации обучения или принцип индивидуального (дифференцированного) подхода.

Проблема индивидуализации и дифференциации обучения очень глубоко исследовалась И. Э. Унт [31], предложившей следующее определение: «Дифференциация — это учет индивидуальных особенностей учащихся в той форме, когда учащееся группируются на основании каких-либо особенностей для отдельного обучения».

В докторской диссертации В. А. Гусева определены методические основы дифференцированного обучения математике в средней школе. В этой работе он утверждает, что дифференцированное обучение есть учебно-воспитательный процесс, протекающий с учетом доминирующих особенностей групп учащихся. При этом индивидуализированное обучение рассматривается как один из видов дифференцированного обучения, его наиболее полное воплощение.

Автор выделяет четыре вида дифференциации, а именно: внутреннюю (уровневую), внешнюю (профильную), поисковую и непрерывную. Причем последние два вида являются авторскими, они связаны с практикой работы школы: поисковая дифференциация применяется для исследования индивидуальных возможностей учащихся, а непрерывная должна обеспечить непрерывный переход от одного уровня строгости изложения теоретического учебного материала к другому, от одного уровня учебной математической деятельности к другому.

Уровневая дифференциация выражается в том, что, обучаясь в одном классе, по одной программе и учебнику, школьники могут усваивать материал на различных уровнях. Определяющим при этом является уровень обязательной подготовки. Его достижение свидетельствует о выполнении учеником минимально необходимых требований к усвоению содержания. На его основе формируются более высокие уровни овладения материалом.

Профильная дифференциация предполагает обучение разных групп старшеклассников по программам, отличающимися глубиной изложения материала, объемом сведений и даже номенклатурой включенных вопросов, а также профессионально ориентированным содержанием обучения. Разновидностью профильного обучения является углубленное изучение отдельных предметов, которое отличает достаточно продвинутый уровень подготовки школьников по этим предметам, что позволяет добиваться высоких результатов. Профильное обучение является более демократичной и широкой формой фуркации школы на старшей ступени.

Оба вида дифференциации уровневая и профильная — сосуществуют и взаимно дополняют друг друга на всех ступенях школьного образования, однако в разном удельном весе. В основной школе ведущим направлением дифференциации является уровневая, хотя она не теряет своего значения и в старших классах. На старшей ступени школы приоритет отдается разнообразным формам профильного изучения предметов. Вместе с тем дифференциация по содержанию может проявляться уже и в основной школе, где она осуществляется через систему кружковых занятий (во всех классах) и элективных курсов. Эти формы предназначены для школьников, проявляющих повышенный интерес к какому-то предмету, имеющих желание и возможность работать больше отводимого расписанием.

Итак, исходя из всего вышесказанного, подводим некоторый итог. В первый названный период дифференциация обучения понималась как фуркации обучения, т. е. разделение учебных планов и программ для специализации учащихся с сохранением общеобразовательного характера школы. В этот период накоплен большой опыт работы при различных формах дифференцированного обучения: в спецшколах, классах с углубленным изучением ряда предметов, на факультативных занятиях. Реформа математического образования конца 60-х — начала 70-годов ХХ века — реформа содержания математического образования. В результате появляются новые методы и формы обучения: программирование обучение; индивидуальные, групповые и коллективные формы работ на уроке. Начинается комплексное исследование индивидуализации обучения. Появляется принцип индивидуализации обучения или индивидуального подхода к учащимся, который отождествляется с принципом дифференцированного подхода. Началом новой реформы можно считать 1988 год, съезд работников образования. Современное определение дифференциации стало шире, чем просто разделение учебных программ. Начался период комплексного изучения проблемы дифференциации обучения. В современное употребление вошли два вида дифференциации: уровневая дифференциация и профильная дифференциация. Первая выражается в том, что, обучаясь в одном классе, школьники усваивают материал на различных уровнях. Профильная дифференциация — это фактически дифференциация по содержанию учебного материала.

В качестве дидактических функций дифференциации выделим следующие:

1. Дифференциация рассматривается как учет индивидуальных особенностей учащихся, которые группируются на основании каких-либо особенностей для отдельного обучения.

2. Дифференциация обучения является такой системой обучения, которая в наибольшей степени отвечает склонностям учащихся.

3. Дифференциация предполагает создание таких условий, при которых будет возможен свободный выбор уровня изучения курса (например, математики) в соответствии со склонностями, способностями и личными планами учащихся.

4. Дифференциация обеспечивается созданием относительно стабильных или временных учебных групп, отличающихся по тем или иным признакам.

5. Дифференциация рассматривается как разделение учебного материала по глубине изложения, по включению различных тем, по ориентации будущую профессию (то есть по уровням и профилям).

3.3 Психолого-педагогические аспекты профильной дифференциации при преподавании математики

При рассмотрении элективных курсов нас в первую очередь интересует профильная дифференциация, так как целью уровневой дифференциации является индивидуализация обучения, в то время как профильная дифференциация предполагает обучение учащихся в разных направлениях с целью их профессиональной ориентации.

Профильное обучение, как уже говорилось выше, связано с «внешней» дифференциацией. В чем новизна и практическая острота этой проблемы в настоящее время? Цель профильной дифференциации с психолого-педагогической точки зрения это создание наиболее благоприятных условий для развития интересов и специальных способностей каждого ученика.

Философская, психолого-педагогическая литература убеждает в том, что успехи общественного развития в значительной мере будут зависеть от того, насколько рационально удается использовать в любом деле способности каждого человека. Следует иметь в виду, что способности не сводятся к приобретенным человеком в процессе обучения навыкам, умениям и знаниям, они лишь характеризуют легкость и быстроту их приобретения. Психологи утверждают, а повседневная практика подтверждает, что все здоровые в психическом отношении люди способны к тому или иному виду деятельности, что ни к чему не способных людей нет. Способности, как и все индивидуально-психические особенности личности, не даны человеку при рождении в готовом виде, а формируются из задатков в процессе жизнедеятельности и обучения. Общество заинтересовано в выявлении этих задатков и в их развитии в наибольшей мере. Только в этом случае можно правильно решить проблему рационального использования потенциальных возможностей каждого члена общества и тем самым увеличить его интеллектуальный потенциал.

Для выявления и развития способностей человека необходимо создать благоприятные условия. Важнейшим из этих условий является разностороннее общее образование. Однако одинаковое для всех учащихся общее образование, являясь необходимым условием для выявления задатков и способностей учащихся, не гарантирует достаточно интенсивного их развития. Необходима система определенных мер, обеспечивающих развитие задатков и формирование способностей учащихся в оптимальном режиме.

Перед общеобразовательной школой сохраняется задача подготовки молодежи к продолжению образования в высшей школе. Общество заинтересовано в необходимости обучения в высших учебных заведениях тех выпускников средней школы, у которых к моменту ее окончания проявился устойчивый интерес к определенной области науки, техники или искусства, будут в достаточной мере развиты природные задатки, проявилась способность к творческой работе в избранной области и будет заложен прочный фундамент общего образования. При этом важно, чтобы работа по развитию задатков и способностей учащихся проводилась, на определенном образом, подобранном учебном материале. Объём, характер и структура этого материала будут зависеть от интересов учащихся, степени их развития и возраста. Чем старше учащиеся, тем четче и яснее проступают у большинства учащихся локальные интересы.

Таким образом, заинтересованность общества в создании оптимальных условий для выявления задатков и максимального развития способностей всех детей приводит к необходимости дифференциации обучения. Необходимость дифференциации обучения вытекает и из задачи общества удовлетворить потребности и интересы человека. Подготовка учащихся к продолжению образования в высших учебных заведениях требует профильной дифференциации, особенно на последнем этапе обучения в средней школе.

Как показывают наблюдения за практикой и анализ опыта школ, профильная дифференциация помогает решить ряд противоречий, в т. ч. осуществление профориентации с элементами допрофессиональной подготовки. Профессиональные знания и навыки понадобятся учащимся не только для подготовки к будущей деятельности по окончании школы, но и для их участия в производительном труде в средних, а особенно в профильных классах. Но эти профессиональные знания и навыки должны при этом даваться не взамен общеобразовательных и политехнических, а в дополнение к ним.

При этом важно, чтобы профессиональная ориентация и допрофессиональная подготовка строились на базе углубленного изучения тех учебных предметов, к которым у учащихся проявился и в достаточной мере развит интерес.

Итак, организация профильной дифференциации в средней общеобразовательной школе на данном этапе развития нашего общества обусловлена:

Ш стремлением общества к наиболее рациональному использованию потенциальных возможностей каждого своего члена, что связано с выявлением и максимальным развитием задатков и способностей учащихся;

Ш заботой общества о всестороннем развитии личности и максимальном удовлетворении интересов личности;

Ш требованием общественного производства к дальнейшему повышению уровня специальной подготовки рабочих и инженеров;

Ш необходимостью дальнейшего совершенствования средней общеобразовательной школы.

Эмпирические наблюдения, проводимые в процессе изучения данного вопроса, убеждают в том, что профильная дифференциация — это один из заключительных этапов системы дифференциации вообще, что она естественно вытекает из всей системы, подготовленная ходом осуществления других видов и этапов дифференциации в образовательной системе. Анализ практики показывает, что важнейшую психолого-педагогическую основу составляет то, что осуществление дифференциации строится на учете различий учебных возможностей, способностей детей. Другая психолого-педагогическая основа дифференциации связана с постоянным ростом объема знаний, необходимого для усвоения учащимися. Ускоренное развитие науки приводит к непрерывному увеличению знаний. Наиболее существенное и значимое из нового знания поступает в сферу обучения. Это приводит к тому, что объем учебного материала в школьных программах непрерывно растет.

Наконец, следует отметить, что темп и уровень изложения, рассчитанный на среднего ученика, не соответствует познавательным возможностям учащихся со слабыми способностями к изучению того или иного предмета. Эти учащиеся, как правило, теряют веру в собственные силы и перестают работать.

Таким образом, несоответствие между объемом учебного материала и временем, отводимым на его изучение, в сочетании с неоднородным составом учащихся в конечном итоге приводит к такой организации учебного процесса, при которой не достигаются оптимально возможные результаты.

Особенно необходима дифференциация для выявления и наиболее полного развития учащихся, проявляющих особенные способности, развитие которых при обычной форме занятий (без дифференциации) проходит не в оптимальном режиме. По видимому, группировка детей (особенно старшеклассников) по интересам в рамках класса, в котором изучение одного или групп родственных предметов (к изучению которых эти учащиеся проявили повышенный интерес) будет проходить на повышенном уровне, не создает благоприятных условий для интенсивного развития детей со сравнительно низкими способностями.

Таким образом, педагогическая целесообразность профильной дифференциации в классах математического профиля возникает в случаях:

Ш наличия у большинства старшеклассников устойчивого интереса к определенным видам деятельности;

Ш необходимости использования устойчивых интересов учащихся для целей обучения и воспитания;

Ш необходимости создать благоприятные условия для максимального развития задатков и способностей одаренных учащихся;

Ш стремления ликвидировать перегрузку учащихся;

Ш необходимости профессиональной ориентации учащихся.

Из вышеизложенного вытекают следующие психолого-педагогические основы профильной дифференциации:

максимальное развитие способностей учащихся в целях формирования интеллектуального потенциала общества;

организация педагогического процесса, основанная на более полном учете возможностей, дарований, талантов учащихся, чтобы развивать их одаренность и возможности к различным видам человеческой деятельности как интеллектуального, так и физического, трудового характера;

профилизация изучаемых предметов, содержания образования и способов его добывания, повышающая интерес учащихся к знаниям, определяющая оптимальный режим самостоятельного труда в получении знаний и профессиональных умений и навыков;

преодоление перегрузки школьников учебным материалом путем создания интегрированных курсов, блочного изучения разделов, курсов, предметов, оптимальным погружением в содержание предмета и т. д.;

создание профильных учебных групп в зависимости от индивидуальных возможностей, способностей, профессиональных интересов учащихся, способствующая рациональному построению учебного процесса в зоне ближайшего развития школьников.

В обучении математике дифференциация имеет особое значение, что объясняется спецификой этого учебного предмета. Математика объективно является одной из самых сложных школьных дисциплин и вызывает субъективные трудности у многих школьников. В то же время имеется большое число учащихся с явно выраженными способностями к этому предмету.

В работах Г. В Дорофеева, Л. В Кузнецовой, С. Б. Суворовой, В. В. Фирсова высказывается идея о возможности профильного обучения в основной школе, которое может осуществляться в рамках углубленного изучения математики. Начиная с VIII класса с целью зарождения у учащихся интереса к математике на первичном уровне, поддерживать его развитие до познавательного уровня и тем самым создавать основы для выбора математики как предмета для последующего углубленного изучения. В этих классах можно эффективно использовать факультативные занятия. Педагогический совет школы определяет, исходя из желания ребят и возможностей школы, набор необходимых факультативных курсов. В настоящее время это реализовано в виде предпрофильного обучения в 9 классах. А на второй ступени школы (X-XI классах) можно осуществить полноценное дифференцирование профильного обучения математике. Факультативные занятия и элективный курс (более современная форма факультативных занятий) являются наиболее массовой формой дифференцированного обучения.

Коснемся вопроса методов обучения в профильных классах. Как уже говорилось ранее, дифференциация обучения предполагает дифференцированный подход к учащимся. В данном случае, по мнению Рональда де Гроота, уместно направление дифференциации по времени обучения, т. е. учащимся дана свобода выбора и он сам может определить, сколько времени будет работать над заданием и когда его закончит. Специфика методов обучения в профильных классах, как отмечается в статье В. Н. Келбакиани [17], проявляется в большей доле самостоятельной работы учащихся с литературой при изучении, нового материала, решении задач и выполнении творческих заданий, в интенсификации обучения с помощью лекционно-семинарской системы, в усилении индивидуальной работы преподавателя с учащимися как на уроках, так и во внеурочной работе.

Анализируя педагогическую литературу в области профильного преподавания математики можно сделать следующие выводы:

Целесообразно вводить обучение по направлениям (профилям), лишь после того, как школьники получат достаточно единое базовое математическое образование и утвердятся в своих склонностях, для этого требуется введение факультативов или элективных курсов.

На старшей ступени обучения следует обеспечить возможно большее количество направлений (профилей) обучения или продолжение образования через широкую систему учебных заведений различных типов.

При составлении программ и учебников, выборе форм и методов обучения следует учитывать возрастные особенности подростков, склонных к данному виду деятельности, и в то же время не исключать возможности изменить профиль обучения подростку при ошибке в его выборе, учитывать уровневый подход.

3.4 Элективные курсы и курсы по выбору в профильном обучении и их методическое обеспечение

Элективные курсы (курсы по выбору) играют важную роль в системе профильного обучения на старшей ступени школы. В отличие от факультативных курсов, существующих ныне в школе, элективные курсы обязательны для старшеклассников.

В соответствии с одобренной Министерством образования России «Концепцией профильного обучения на старшей ступени общего образования» дифференциация содержания обучения в профильных классах осуществляется на основе различных сочетаний курсов трех типов: базовых, профильных, элективных. Каждый из курсов этих трех типов вносит свой вклад в решение задач профильного обучения. Однако можно выделить круг задач, приоритетных для курсов каждого типа.

Базовые общеобразовательные курсы отражают обязательную для всех школьников инвариативную часть образования и направлены на завершение общеобразовательной подготовки обучающихся. Профильные курсы обеспечивают углубленное изучение отдельных предметов и ориентированы, в первую очередь, на подготовку выпускников школы к последующему профессиональному образованию. Элективные же курсы связаны, прежде всего, с удовлетворением индивидуальных образовательных интересов, потребностей и склонностей каждого школьника. Из вышесказанного данной работы становится понятно, что электив представляет собой один из видов дифференцированного обучения. Именно они по существу и являются важнейшим средством построения индивидуальных образовательных программ, т.к. в наибольшей степени связаны с выбором каждым школьником содержания образования в зависимости от его интересов, способностей, последующих жизненных планов. Элективные курсы как бы «компенсируют» во многом достаточно ограниченные возможности базовых и профильных курсов в удовлетворении разнообразных образовательных потребностей старшеклассников.

Интересно выяснить, есть ли принципиальная разница между элективными и факультативными программами и курсами, и, если она есть, то в чём она состоит? Что такое факультативный курс? Во-первых, это курс, в котором представляется материал, выходящий за рамки программ основных курсов, или углубленный, соответствующий требования программ основных курсов. Во-вторых, перед факультативным курсом обычно ставились задачи в парадигме знаний, умений и навыков, то есть значимые задачи по овладению определённой информацией, и учебно-деятельностные задачи. В последние годы, в ситуации сокращения часов на систематические курсы по многим предметам, факультативные курсы использовались уже для освоения основного учебного материала. В-третьих, если говорить о месте факультативов в сетке расписания, то следует отметить, что факультативные курсы проводились за счёт регионального и школьного компонента базисного учебного плана. В-четвёртых, посещение факультативных курсов учащимися строилось на их свободном выборе. Что же элективные курсы? У них, действительно, есть общие черты с факультативами. По своему содержанию, они также сориентированы на углубление или дополнение материала систематических курсов, т. е. на реализацию принципа дополнительности материала. По месту в сетке часов, они также схожи. Но парадигмальная ориентация элективных курсов во многом иная. Элективные курсы в основной школе должны помочь учащимся сформировать культуру выбора образовательного профиля. Элективные курсы для учащегося — «обязательные по выбору».

В концепции профильного обучения на старшей ступени общего образования, утвержденной приказом Минобразования России от 18.07.02 № 2783 обозначены цели перехода к профильному обучению, среди которых выделим цель создания условий для существенной дифференциации содержания обучения старшеклассников с широкими и гибкими возможностями построения школьниками индивидуальных образовательных программ. С этой целью помимо профильных общеобразовательных предметов вводятся элективные курсы — обязательные для посещения по выбору учащихся.

Цель профильного образования: самоопределение личностное и профессиональное. Большое значение в предпрофильной подготовке имеют элективные курсы, избранные учащимися и обязательные для посещения. Данные курсы входят в состав профиля обучения на старшей ступени школы, реализуются за счет школьного компонента и занимают 20% учебного времени.

Элективные курсы решают следующие задачи:

реализуют индивидуализацию обучения;

удовлетворяют образовательные потребности школьников;

создают условия для того, чтобы ученик утвердился в сделанном им выборе направления дальнейшего обучения, связанного с определенным видом профессиональной деятельности, или отказался от него;

помогают старшекласснику, совершившему первоначальный выбор образовательной области для более тщательного изучения, увидеть многообразие видов деятельности, связанных с ней.

Набор профильных и элективных курсов на основе базовых общеобразовательных предметов составит индивидуальную образовательную траекторию для каждого школьника. Элективные курсы реализуются за счет школьного компонента и могут выполнять несколько функций:

Ш дополнять содержание профильного курса;

Ш развивать содержание одного из базовых курсов;

Ш удовлетворять разнообразные познавательные интересы школьников, выходящих за рамки выбранного им профиля.

Важно отметить, что в любом случае по элективным курсам единый государственный экзамен не проводится.

Элективные курсы могут выполнить еще одну важную функцию — явиться полигоном для создания и экспериментальной проверки нового поколения учебных материалов.

Опыт проведения факультативных курсов (элективных курсов с необязательным посещением) показал, что аналогичную функцию факультативные курсы успешно выполнили.

Можно условно выделить следующие типы элективных курсов.

1. Предметные курсы, задача которых — углубление и расширение знаний по предметам, входящих в базисный учебный школы. В свою очередь, предметные элективные курсы можно разделить на несколько групп.

Элективные курсы повышенного уровня, направленные на углубление того или иного учебного предмета, имеющие как тематическое, так и временное согласование с этим учебным предметом. Выбор такого элективного курса позволит изучить выбранный предмет не на профильном, а на углубленном уровне. В этом случае все разделы углубляются курса более или менее равномерно.

Элективные спецкурсы, в которых углубленно изучаются отдельные разделы основного курса, входящие в обязательную программу данного предмета. Примерами из области математики могут служить: «Комбинаторика», «Элементы теории вероятностей», «Элементы математической логики», «Элементы теории множеств» и др.

Прикладные элективные курсы, цель которых — знакомство учащихся с важнейшими путями и методами применения знаний на практике, развитие интереса учащихся к современной технике и производству. Приведем возможные примеры таких курсов: «Измерения физических величин», «Фундаментальные эксперименты в физической науке», «Учимся проектировать на компьютере», «Компьютерное моделирование», «Компьютерная графика», «Дифференциальные уравнения как математические модели реальных процессов», «Математические модели и методы в естествознании и технике», «Основы методологии и методики биоэкологических исследований» и др.

Элективные курсы, посвященные истории предмета, как входящего в учебный план школы (история физики, биологии, химии, географических открытий), так и не входящего в него (история астрономии, техники, религии и др.).

Элективные курсы, посвященные изучению методов решения задач (математических, физических, химических, биологических и т. д.), составлению и решению задач на основе физического, химического, биологического эксперимента.

2. Межпредметные элективные курсы, цель которых — интеграция знаний учащихся о природе и обществе. Примерами таких курсов естественнонаучного профиля могут быть: «Основы космонавтики», «Физика Космоса», «Элементы астрофизики», «Естествознание», «Элементы биофизики», «Элементы химической физики», «Биохимическая физика» и др. Межпредметные курсы типа «Естествознание» могут проводиться в основной школе, с целью предпрофильной подготовки — оказание помощи учащимся в выборе профиля обучения в профильных классах. В профильной школе такие курсы могут выполнять двоякую функцию: быть компенсирующим курсом для классов гуманитарного и социально-экономического профилей; быть обобщающим курсом для классов естественнонаучного профиля. Примером такого обобщающего элективного курса может быть: «Эволюция естественнонаучной картины мира».

3. Элективные курсы по предметам, не входящим в базисный учебный план. Это курсы, посвященные психологическим, социальным, психологическим культурологическим, искусствоведческим проблемам. Примерами таких курсов могут служить: «Введение в современные социальные проблемы», «Эффективное поведение в конфликте», «География человеческих перспектив», «Условия успешной коммуникации», «Искусство анализа художественного текста», «Русский язык в диалоге культур», «Информационная культура и сетевой этикет школьника», «Основы журналистского мастерства», «Основы дизайна», «Проблемы экологии», «Вопросы менеджмента и маркетинга» и др.

При проведении конкурса задаются новые требования к учебным пособиям нового поколения. Их выполнение в рамках элективных курсов облегчается тем, что эти курсы не связаны рамками образовательных стандартов и какими-либо экзаменационными материалами. Элективные курсы, хотя и различаются целями и содержанием, но во всех случаях они должны соответствовать запросам учащихся, которые их выбирают. В связи с этим появляется возможность на примере учебных пособий по элективным курсам отработать условия реализации мотивационной функции учебника.

Поиски путей оптимизации содержания учебных предметов, обеспечения его соответствия меняющимся целям образования могут привести к новым подходам к структурированию содержания учебных предметов. Традиционный подход основывается на логике базовой науки. Другой подход может заключаться в отборе проблем, явлений, процессов, ситуаций, изучение которых соответствовало бы познавательным запросам учащихся. Такой подход может способствовать формированию учащихся как субъектов образовательной деятельности. С другой стороны, нельзя забывать о главной задаче российской образовательной политики — обеспечения современного качества образования на основе сохранения его фундаментальности и соответствия актуальным и перспективным потребностям личности, общества и государства. Таким образом, современная школа должна считать приоритетным направлением деятельности — способствование развитию школьников, научить его решать учебные и жизненные проблемы, научить учиться.

Как отмечает О. Е. Лебедев в статье «Роль элективных курсов в создании нового поколения учебных материалов» ожидания учащихся в большинстве случаев будут связаны с достижением некоторых метапредметных результатов (например, с освоением способов анализа информации, способов конструирования сообщения, способов совместной деятельности, навыков решения проблем и т. д.).

Важным направлением развития системы элективных курсов является адаптация наиболее удачных существующих курсов по выбору в различных странах мира к условиям России. С этой целью необходимо изучить опыт проведения элективных курсов в развитых странах и отобрать курсы, получившие широкое распространение. Полезно опираться на последний 30-летний опыт существования системы факультативных занятий в России. Было создано более 100 программ разных факультативных курсов и, хотя не все из них получили широкое распространение в школах страны, среди них было много достойных курсов, обеспеченных учебными пособиями для учащихся и методическими пособиями для учителей.

Определим требования к содержанию элективных курсов. Построение курса должно позволять в полной мере использовать активные формы организации занятий, информационные, проектные формы работы. В противном случае и «ликвидация пробелов» и «углубленная подготовка» переродятся во вполне традиционное натаскивание. Содержание курса, форма его организации должны помогать ученику через успешную практику оценить свой потенциал сточки зрения образовательной перспективная учусь в социально-гуманитарном классе не потому, что не нашел в себе силы выучить таблицу умножения, а потому, что намерен стать юристом или журналистом, а для этого буду поступать в университет.) Элективные курсы должны способствовать созданию положительной мотивации, иметь социальную и личную значимость, актуальность как с точки зрения подготовки квалифицированных кадров, так и для личностного развития учащихся. По возможности курсы должны опираться на какое-либо пособие, это позволит исключить «монополию учителя на информацию». Содержание курсов не должно дублировать содержание предметов, обязательных для изучения, Программа курса может состоять из ряда законченных модулей. Это позволит ученику, в том случае, если он понял, что его выбор ошибочен, пойти, в следующей четверти (полугодии) на занятия по другому элективному курсу.

Таким образом, отобранное содержание должно, с одной стороны, соответствовать познавательным возможностям старшеклассников, а с другой — предоставляя ученику возможный опыт работы на уровне повышенных требований, развивать его учебную мотивацию.

Методы и формы обучения на элективных курсах определяются требованиями профилизации обучения, учетом индивидуальных способностей, развитием и саморазвитием личности. В связи с этим можно выделить основные приоритеты методики преподавания элективных курсов: междисциплинарная интеграция, содействующая становлению целостного мировоззрения; обучение через опыт и сотрудничество; интерактивность (работа в малых группах, имитационное моделирование, метод проектов); личностно-деятельностный подход в обучении; лидерство, основанное на совместной деятельности, направленное на достижение общей образовательной цели.

При разработке программы элективного курса необходимо:

проанализировать содержание учебного предмета в рамках выбранного профиля;

определить, чем содержание элективного курса будет отличаться от базового или профильного курса;

определить тему, содержание, основные цели курса, его функцию в рамках данного профиля;

разделить содержание программы курса на модули, разделы, темы, отвести необходимое количество часов на каждый из них;

продумать, какие образовательные продукты будут созданы;

выяснить возможность обеспечения данного курса учебными и вспомогательными материалами: учебниками, хрестоматиями, дидактическим материалом, лабораторным оборудованием и т. д. [14];

составить список литературы для учителя и учащихся;

выделить основные виды деятельности учащихся, определить долю самостоятельности, творчества ученика при изучении курса. Если программа курса предполагает выполнение практических работ, лабораторных опытов, проведение экскурсий, выполнение проектов, то их описание должно быть представлено в программе;

продумать, какие образовательные продукты будут созданы учащимися в процессе освоения программы курса;

определить критерии, позволяющие оценить успешность освоения курса;

продумать форму отчетности учащихся по итогам освоения программы кура: проект, реферат, выступление и т. д.

Выделим основные требования к разработке элективных курсов, что поможет нам детально разработать содержание и методический инструментарий нашего геометрического курса «Элементы наглядной топологии»:

Элективный курс должен развивать содержание одного из базовых курсов, изучение которого осуществляется на минимальном общеобразовательном уровне, что позволяет поддерживать изучение смежных предметов на предпрофильном уровне.

Элективный курс способствует удовлетворению познавательных интересов в различных областях деятельности человека.

Элективные курсы должны знакомить учащихся с комплексными проблемами, выходящими за рамки традиционных учебных предметов.

Элективный курс должен планироваться на одну четверть или на одно полугодие (от 4 часов до 72 часов максимально).

Программа элективных курсов должна содержать:

Пояснительную записку;

Раздел 1: «Требования к математической подготовке учащихся» (объем знаний, умений и навыков);

Раздел 2: «Содержание курса» (содержание разделов данного элективного курса);

Раздел 3: «Тематическое планирование»;

Раздел 4: «Методические рекомендации».

Итак, создание элективных курсов — важнейшая часть обеспечения введения профильного обучения. Перспективы введения профильного обучения в старшей школе вызвали интерес к этой форме образовательной деятельности. Элективные курсы, согласно проекту стандарта общего образования, должны обеспечить как подготовку к выбору профиля в основной школе, так и сам процесс профильного обучения в старшей школе основанный на принципах дифференциации обучения.

Глава II. Методическое обеспечение элективного курса

§ 1. Программа элективного курса «Элементы наглядной топологии»

Пояснительная записка

Предлагаемый элективный курс предназначен для учащихся 10-х классов математического профиля. Курс рассчитан на 16 часов, на второе полугодие. Программа элективного курса включает материал об элементах наглядной топологии, которая нашла себе ряд блестящих применений для описания качественных, устойчивых свойств различных физических объектов: кристаллов, сверхтекучих жидкостей, ферромагнетиков, плазмы.

Топология является примитивной, элементарной формой, лежащей в основе всякой геометрии, идеи топологии проникают почти во все области математики. Были найдены приложения топологии и к другим наукам за пределами математики, но почти все они осуществляются через посредство какой-либо промежуточной математической дисциплины. Топология превратилась в один из основных объектов математики и фактически стала необходимостью для многих ее областей и объединяющей силой для почти всей математики. Топология все более проникает в физику, химию и биологию.

С изучением топологии мы сталкиваемся только в высших учебных заведениях, в школьном курсе математики с этим разделом мы знакомимся лишь частично, поэтому актуальность разработки элективного курса, посвященного вопросам топологии несомненна.

Одни из основных задач курса:

· расширить кругозор учащихся;

· дать представления о первых понятиях топологии и ее простейших приложениях;

· сформировать у учащихся знания, умения и навыки использования простых и эффективных методов решения более широкого круга задач, по сравнению с общеобразовательной школой.

Этот курс содержит теоретическую часть, разбитую на семь тем: 1. Знакомство с топологией. Деформация эластичных тел; 2. Узлы и зацепления; 3. Заклеивание узлов и зацеплений; 4. Инвариант узла; 5. Гомеоморфизмы; 6. Векторные поля на плоскости; 7. Двумерные поверхности (сюда входят основные определения, понятия, формулировки свойств, теорем) и практическую часть в конце каждого раздела. В практической части представлены задачи и рекомендации по их решению для работы на занятиях и для самостоятельного решения учащимися. Приведенные задачи расклассифицированы по соответствующим темам, а также по уровням сложности. При этом, уровень, А — простейшие задачи, уровень В — задачи средней сложности.

Материал курса структурирован таким образом, что не требует адаптации для учащихся 10-х классов школ математического профиля. Изложение материала построено так, что четко выражается взаимосвязь между отдельными темами.

Требования к математической подготовке учащихся

Тема 1. Знакомство с топологией. Деформация эластичных тел.

Ученик должен иметь представление:

— о истории развития геометрии, в частности, топологии;

— о применении топологии в повседневной жизни;

— о деформации эластичных тел.

Ученик должен знать:

— определение топологии;

— определение непрерывной деформации.

Ученик должен уметь:

— деформировать эластичные тела на плоскости;

— доказывать задачи на деформацию одного эластичного тела в другое.

Тема 2. Узлы и зацепления.

Ученик должен иметь представление:

— о понятии узла и зацепления.

Ученик должен знать:

— определение узла;

— определение зацепления;

— определение изотопных узлов и зацеплений;

— определение эквивалентных узлов;

— определение ориентации;

— определение обратимых узлов;

— узел трилистник;

— узел восьмерка;

— зацепление Хопфа;

— зацепление Уайтхеда;

— кольца Борромео;

— свойства колец Борромео.

Ученик должен уметь:

— различать узлы;

— изображать узел трилистник;

— изображать узел восьмерка;

— изображать зацепление Хопфа;

— изображать зацепление Уайтхеда.

Тема 3. Заклеивание узлов и зацеплений.

Ученик должен иметь представление:

— о понятии заклеивания узлов и зацеплений;

— о понятиях ориентируемости и неориентируемости;

— о понятиях ориентируемой и неориентируемой поверхности;

— о бутылке Клейна;

— о поверхности с краем;

— о поверхности без края;

— о листе Мёбиуса;

— об алгоритме Зейферта;

— о поверхности Зейферта.

Ученик должен знать:

— определение ориентируемости;

— определение неориентируемости;

— определение поверхности;

— определение ориентируемой поверхности;

— определение неориентируемой поверхности;

— определение поверхности с краем;

— определение поверхности без края;

— определение листа Мёбиуса;

— алгоритм Зейферта;

— определение поверхности Зейферта.

Ученик должен уметь:

— изображать лист Мёбиуса на плоскости;

— различать ориентируемые поверхности и неориентируемые поверхности;

— различать поверхности с краем и поверхности без края.

Тема 4. Инвариант узла.

Ученик должен иметь представление:

— о понятии инвариантности узла;

— о понятии правильной раскраски;

Ученик должен знать:

— определение инварианта узла;

— определение правильной раскраски;

— теорему об инварианте узла.

Тема 5. Гомеоморфизмы.

Ученик должен иметь представление:

— об изотопных фигурах;

— о понятии гомеоморфных фигур.

Ученик должен знать:

— определение изотопных фигур;

— определение гомеоморфных фигур.

Ученик должен уметь:

— различать гомеоморфные и не гомеоморфные фигуры;

— различать изотопные фигуры.

Тема 6. Векторные поля на плоскости.

Ученик должен иметь представление:

— о понятии непрерывного векторного поля;

Ученик должен знать:

— определение непрерывного векторного поля;

— определение особой точки векторного поля;

— определение индекса особой точки;

— определение индекса кривой;

— теорему об индексе кривой.

Тема 7. Двумерные поверхности.

Ученик должен иметь представление:

— о понятии двумерных поверхностей;

— о видах двумерных плоскостей.

Ученик должен знать:

— определение двумерной поверхности;

— виды двумерных поверхностей;

Ученик должен уметь:

— изображать ручку на плоскости;

— изображать тор на плоскости;

— изображать бутылку Клейна на плоскости;

— различать двумерные поверхности без края;

— различать двумерные поверхности с краем.

Содержание курса

Тема 1. Знакомство с топологией. Деформация эластичных тел.

Цели и задачи электива. История развития геометрии, в топологии. Применение топологии. Определение топологии. Деформация эластичных тел. Непрерывная деформация.

Тема 2. Узлы и зацепления.

Определение узла. Определение зацепления. Изотопные узлы и зацепления. Эквивалентные узлы. Ориентация. Обратимые узлы. Узел трилистник. Узел восьмерка. Зацепление Хопфа. Зацепление Уайтхеда. Кольца Борромео. Свойства колец Борромео.

Тема 3. Заклеивание узлов и зацеплений.

Ориентируемость. Неориентируемость. Определение поверхности. Ориентируемая поверхность. Неориентируемая поверхность. Поверхность с краем. Поверхность без края. Лист Мёбиуса. Алгоритм Зейферта. Поверхность Зейферта.

Тема 4. Инвариант узла.

Инварианта узла. Правильная раскраска. Теорема об инварианте узла.

Тема 5. Гомеоморфизмы.

Изотопные фигуры. Гомеоморфные фигуры.

Тема 6. Векторные поля на плоскости.

Непрерывное векторное поле. Особая точка векторного поля. Индекс особой точки. Индекс кривой. Теорема об индексе кривой.

Тема 7. Двумерные поверхности.

Двумерная поверхность. Виды двумерных поверхностей. Лист Мёбиуса. Бутылка Клейна. Ручка. Тор. Проективная плоскость.

Тематическое планирование

Курс рассчитан на полгода год. Всего 16 уроков, по 1 часу в неделю.

Методические рекомендации по проведению элективного курса «Элементы наглядной топологии»

Тема 2. Узлы и зацепления.

Знания и умения.

Учащиеся должны знать понятие узла и зацепления. Уметь распознавать и изображать такие узлы, как трилистник, восьмерка. Знать и уметь изображать зацепление Хопфа и Уайтхеда. Изображать кольца Борромео. Знать свойства колец Борромео.

Методические рекомендации.

Дать определение узла. Наглядно показать ученикам изображения узлов: трилистник (выделить существование левого и правого трилистника), узел восьмерка. Доказать, что левый и правый трилистники — разные узлы. Рассказать, что узлы можно рассматривать с ориентацией, дать определение ориентации. Дать определение эквивалентности узлов. Определить какие элементарные операции можно производить с узлами. Ввести понятия: изотопности и обратимости узлов. Привести примеры обратимых и необратимых узлов.

Ввести понятие зацепления. Наглядно показать ученикам изображения зацеплений: зацепление Хопфа, зацепление Уайтхеда. Рассказать, что для зацепления Хопфа существует симметрия относительно прямой, меняющая местами компоненты зацепления.

Показать учащимся кольца Борромео. Рассказать об их свойствах.

Рассказать о классификации узлов и зацеплений. Показать иллюстрацию таблицы узлов.

Тема 7. Двумерные поверхности.

Знания и умения.

Определение двумерной поверхности. Виды двумерных поверхностей. Изображение ручки, тора, листа Мёбиуса, бутылки Клейна. Различать двумерные поверхности без края. Различать двумерные поверхности с краем.

Методические рекомендации.

Дать определение двумерной поверхности. Ввести понятия поверхности с краем и без края. Привести примеры поверхностей с краем и без края.

Рассмотреть виды двумерных поверхностей. Лента Мёбиуса и ее свойства. Ручка. Тор. Бутылка Клейна. Проективная плоскость. Указать какие двумерные поверхности являются поверхностями с краем и без края.

В качестве наглядного пособия можно воспользоваться иллюстрациями, где изображены: лента Мёбиуса, тор, ручка, бутылка Клейна и проективная плоскость.

учащийся пространственный преобразование мышление

§ 2. Методика проведения занятия по теме «Узлы и зацепления»

Тема: Узлы и зацепления.

Тип урока: Урок введения нового материала; урок-практикум.

Цели урока:

1) Обучающая: Обеспечить формирование на наглядном уровне целостной системы ведущих знаний о предмете топология.

2) Ознакомить с понятием узлов и зацеплений на наглядном уровне для дальнейшего изучения данного раздела математики.

3) Развивающая: Обеспечить у школьников развитие пространственного мышления.

Оборудование:

1) Литература;

2) Доска;

3) Приложения (иллюстрации Иллюстрации представлены в Приложениях) у каждого ученика.

Этапы урока:

1. Организационный момент.

2. Проверка домашнего задания.

3. Актуализация знаний.

4.

Введение

нового материала.

5. Закрепление изученного материала:

— Решение задач практического содержания.

6. Итог урока, постановка домашнего задания:

— Подведение итогов урока;

— Информация о домашнем задании для учащихся.

Ход урока.

Узлы.

— Ребята, сегодня на уроке мы поговорим о таких важных понятиях в топологии, как узлы и зацепления. Сначала, определим понятие узла.

Узлы — предметы простые и наглядные. Вы, конечно, встречались с ними в повседневной жизни, но, может быть, не подозревали, что это объекты еще и математические. Чем отличается математический узел от узлов, которые завязывают на галстуках или шнурках ботинок? Естественно, в математике узел — это некая абстракция, рассматривается не веревка и не шнур, а бесконечно тонкая, гибкая и растяжимая нить. Кроме того, рассматривая математический узел, нужно как-то зафиксировать его концы (обычно говорят, что один конец уходит в бесконечность «вверх», а другой — в бесконечность «вниз» рис. 1), либо просто соединить их. В этом случае модель узла — замкнутая несамопересекающаяся кривая в пространстве. Будем предполагать, что эта кривая является ломаной, т. е. состоит из отрезков.

Представим узел в виде гибкой, растяжимой нити, концы которой соединены.

Самый простой узел — тривиальный. Узел называется нетривиальным, если он не эквивалентен тривиальному, т. е. его нельзя «пошевелить» (возможно растягивая, но не разрывая нить) так чтобы он превратился в тривиальный.

Рассмотрим несколько примеров нетривиальных узлов:

Наиболее простой узел:

Правый трилистник

Он называется трилистник, или точнее, — правый трилистник. Потому что существует ещё левый трилистник:

Левый и правый трилистники, — разные узлы, их нельзя продеформировать друг в друга. Под деформацией узла понимается деформация его как эластичного тела.

Вслед за трилистником по сложности идёт узел восьмёрка, своей формой напоминающей цифру 8:

Узел восьмерка

Обычно узлы рассматривают с ориентацией, т. е. считают, что задано направление обхода кривой, это направление изображается стрелкой.

Дадим математически строгое определение эквивалентности узлов. Напомним, что узел — это ломаная. С этой ломаной можно производить следующие элементарные операции

B

два последовательных звена AS и ВС ломаной заменить звеном АС;

звено АС заменить двузвенной ломаной АВ U ВС.

Обе операции разрешены, только если треугольник ABC не пересекается (в пространстве) ни с какими другими кусками нашего узла. Например, в ситуациях, показанных на рис. 8 (а), (б) эти операции производить можно, а в ситуации, показанной на рис. 8 (в), — нельзя.

(а) (б) (в)

Рисунок 8

Определение 1. Теперь назовём два узла эквивалентными, если их можно элементарными операциями превратить в совершенно одинаковые (совмещаемые сдвигом) узлы.

Например, тривиальный узел эквивалентен плоскости окружности.

Введем еще два понятия.

Определение 2. Узлы и зацепления, которые можно продеформировать друг в друга, называют изотопными.

Определение 3. Узел называется обратимым, если он эквивалентен своему обратному, т. е. тому же узлу, проходимому в обратном направлении.

Пример. Трилистник обратим, так как направление обхода можно заменить на обратное плавным поворотом на 180° вокруг оси l.

Среди узлов, имеющих не более 8 пересечений, есть только один необратимый: это узел 817 (см. таблицу узлов в иллюстрации 3).

Распознать, обратим ли данный узел, непросто. Первое строгое доказательство необратимости было проведено только в 1962 году. Общего алгоритма для решения этой проблемы не найдено до сих пор.

Деформируя узел, его можно сильно запутать. А если даже такой простой узел как трилистник или восьмёрка, запутан не очень сильно, то распознать его бывает нелегко. Посмотрите, пожалуйста, на вторую иллюстрацию:

Не сразу заметно, что в верхнем углу изображён один и тот же узел (трилистник) и на нижнем ряду тоже (восьмёрка). Более того, некоторые изображения трилистника очень похожи на изображения восьмёрки.

Зацепления.

Если взять не одну нить, а несколько, и у каждой из них соединить концы, то получим зацепление.

На доске изображены три зацепления, они имеют определённые названия:

Для зацепления Хопфа существует симметрия относительно прямой, которая меняет местами нити (меняются местами компоненты зацепления). Симметрия относительно прямой в пространстве является поворотом на 180° относительно этой прямой. Поэтому существует деформация, которая меняет местами компоненты зацепления Хопфа.

Рассмотрим зацепление Уайтхеда. Перережем компоненту (нить) 1 в верхней части на нашем рисунке, затем проведём через этот разрез ту же самую нить ровно один раз и вновь соединим концы перерезанной нити. После этого, нити, из которых состоит зацепление, можно будет расцепить. Как проделать эту операцию для нити 1, — очевидно. Как сделать ту же самую операцию для нити 2 мы рассмотрим чуть позже, когда будем решать задачи.

Зацепление Борромео (такие кольца нарисованы на гербе знаменитого рода Борромео):

Зацепление Борромео имеет интересные свойства:

Ш Эти кольца попарно не зацеплены, то есть после удаления любого кольца, остаётся пара незацеплённых колец;

Ш Если любые два из колец Борромео зацепить простейшим образом (то есть так, чтобы они образовали зацепление Хопфа), то после этого третье кольцо можно будет снять с этого зацепления.

Существует бесконечное множество разных типов узлов и зацеплений. Типы узлов (зацеплений) принято классифицировать следующим образом. Для их классификации составляют таблицы узлов (иллюстрация 3) — перечень всех простых узлов, допускающих проекции на плоскость.

Для облегчения поиска узлы имеют стандартное обозначение: первая цифра указывает число пересечений, а вторая (расположенная в индексе) — порядковый номер узла.

Решение задач.

Уровень А.

Задача 1. Доказать, что все узлы, изображённые на иллюстрации 2 (см. Приложение I) в нижнем ряду, можно продеформировать друг в друга.

Решение: Проще всего изготовить восьмёрку из верёвки или шнурка, а затем попытаться получить из этого узла все узлы, изображенные на иллюстрации в нижнем ряду. Выполнить некоторые преобразования узла восьмёрка поможет данный рисунок (на доске) [26]:

Задача 2. Доказать, что все узлы, изображённые на иллюстрации 2 в верхнем ряду, можно продеформировать друг в друга.

Решение: Можно изготовить трилистник из верёвки или нити, а затем попытаться получить из этих узлов все узлы, изображённые на данной иллюстрации.

Задача 3. Расположите зацепление Уайтхеда так, чтобы его компоненты были симметричны относительно некоторой прямой.

Решение [26]:

Задача 4. Узел называют зеркальным, если он эквивалентен своему зеркальному отражению (т.е образу при симметрии относительно плоскости). Докажите, что узел восьмерка зеркален.

Решение [27]:

Задача5. Докажите, что узел восьмерка обратим.

Решение: Узел восьмерка обратим, так как направление обхода можно заменить на обратное плавным поворотом на 180° вокруг оси.

Задача 6. Проделать для компоненты 2 зацепления Уайтхеда операцию перерезания и соединения концов перерезанной нити.

Решение: Проведём нить через разрез, как показано на рисунке 1 в иллюстрации 4. Процесс расцепления верёвок можно изобразить так, как это изображено на рисунках 2−6 в данной иллюстрации.

Задача 7. Докажите, что все зацепления, изображенные на рисунке, попарно изотопны (т.е. все эти диаграммы изображают зацепление Уайтхеда).

Решение: Можно сделать из одной или нескольких веревок данный узел или зацепление, расположить его на столе в виде данной диаграммы, а затем попытаться получить из него другую диаграмму.

Задача 8. Доказать второе свойство зацеплений Борромео.

Решение: Кольца Борромео попарно не зацеплены, поэтому два кольца можно развести в разные стороны. Третье при этом как-то обовьётся вокруг них. Нарисуем, как именно оно будет расположено. Для этого, выясним сначала, что происходит с верёвкой, проходящей между двумя прутами, при перестановке этих прутов, в процессе которой прут 2 проходит над прутом 1:

Теперь легко понять, что происходит с третьим кольцом Борромео при разведении двух колец в разные стороны:

Будем считать, что те два кольца, которые мы раздвинули, представляют собой жёсткие обручи с какими-либо устройствами, позволяющие при желании сцеплять и расцеплять их (например, с развинчивающимися цилиндрами), а третье кольцо представляет собой верёвку. При этом верёвку снять с обручей нельзя:

Но если мы зацепим обручи, то верёвку можно будет снять:

В самом деле, на данном рисунке (на доске) изображено то же самое зацепление, что и на рисунке с зацеплением Борромео.

Уровень В.

Задача 9. Что получится после разрезания по средней линии ленты с тремя полуоборотами? Что получится после повторения этой процедуры?

Решение: Прежде всего, отметим, что краем скрученной ленты служит трилистник. После первого разреза получим двустороннюю поверхность, ограниченную двумя трилистниками (которые зацеплены друг с другом). После второго разреза получим две двусторонние ленты в виде трилистника, которые будут зацеплены друг с другом. Разрезав обе эти ленты, получим 4 двусторонние ленты в виде трилистника, зацепленные друг с другом. На п-м шаге получим 2n-1 зацепленных лент в виде трилистника.

Задача 10. Линяя, А (рисунок) не разрезает тор Т на две части, а линия С разрезает. Изотопны ли, А и С в фигуре Т? Изотопны ли, А и С в трехмерном пространстве?

Задача 11. Докажите, что меридиан, А и параллель В тора Т (см. рис. Задачи 10) изотопны в Т.

Задача 13. Докажите, что трижды перекрученная лента (рисунок) гомеоморфна ленте Мёбиуса, а ее край изотопен простому узлу.

Домашнее задание.

Задачи: 2, 5, 6, 11, 13.

§ 3. Методика проведения занятия по теме «Двумерные поверхности»

Тема: Двумерные поверхности.

Тип урока: Урок введения нового материала, урок-практикум.

Цели урока:

1) Обучающая: Обеспечить формирование целостной системы ведущих знаний о предмете топология.

2) Ознакомить с понятием двумерных поверхностей.

3) Развивающая: Обеспечить у школьников развитие пространственного мышления.

Оборудование:

1) Литература;

2) Доска.

3) Приложения (иллюстрации) у каждого ученика.

Этапы урока:

1. Организационный момент.

2. Проверка домашнего задания.

3. Актуализация знаний.

4.

Введение

нового материала.

5. Закрепление изученного материала:

6. — Решение задач практического содержания.

7. Итог урока:

— Подведение итогов урока;

— Подведение итогов элективного курса.

Ход урока.

Двумерные поверхности.

Сегодня на уроке мы познакомимся с понятием двумерных поверхностей, а также рассмотрим их виды. Для начала разберемся, что же такое поверхность?

Определение 1. Фигура, у которой каждая точка х имеет окрестность, гомеоморфную кругу (внутри которого лежит точка х), называется двумерной поверхностью. Примером таких поверхностей является сфера (рис.1) и тор (рис.2).

Рисунок 1

Рисунок 2

Рассматривают также поверхности с краем. Круг — поверхность с краем. Сфера, в которой вырезаны несколько круглых отверстий (рис.3), также является поверхностью с краем.

Рисунок 3

Рассмотрим другие примеры двумерных поверхностей на наглядных примерах: следующие поверхности можно получить, склеивая противоположные стороны прямоугольника. Склеиваемые стороны обозначаются одинаковыми буквами и стрелками в зависимости от направления склеивания.

Лента Мёбиуса.

Интересный пример двумерной поверхности с краем был описан в 1862—1865 годах в работах немецких математиков Мёбиуса и Листинга. Она получается следующим образом: прямоугольник один раз перекручивается, и затем ее концы склеиваются (рис.4). Полученная поверхность с краем называется лентой Мёбиуса:

Рисунок 4

Рисунок 5

Эта поверхность имеет лишь одну сторону. Посмотрите, пожалуйста, на иллюстрацию 1 (см. Приложение II). Например, перемещая кисточку по листу Мёбиуса

мы придем к тому же месту, с которого начинали закрашивание, но с обратной стороны. Перемещая кисточку дальше, мы закрасим весь лист Мёбиуса и убедимся, что у него нет «второй стороны».

Лента Мёбиуса обладает любопытными свойствами. Если попробовать разрезать ленту вдоль по линии, равноудалённой от краёв, вместо двух лент Мёбиуса получится одна длинная двухсторонняя (вдвое больше закрученная, чем лента Мёбиуса) лента, которую фокусники называют «афганская лента». Если теперь эту ленту разрезать вдоль посередине, получаются две ленты намотанные друг на друга. Если же разрезать ленту Мёбиуса, отступая от края приблизительно на треть её ширины, то получаются две ленты, одна — более тонкая лента Мёбиуса, другая — длинная лента с двумя полуоборотами (Афганская лента). Другие интересные комбинации лент могут быть получены из лент Мёбиуса с двумя или более полуоборотами в них. Например, если разрезать ленту с тремя полуоборотами, то получится лента, завитая в узел трилистника.

Лист Мёбиуса служил вдохновением для скульптур и для графического искусства. Эшер был одним из художников, кто особенно любил его и посвятил несколько своих литографий этому математическому объекту. Одна из известных — лист Мёбиуса, показывает муравьёв, ползающих по поверхности ленты Мёбиуса (иллюстрация 1).

Существуют технические применения ленты Мёбиуса. Полоса ленточного конвейера выполняется в виде ленты Мёбиуса, что позволяет ему работать дольше, потому что вся поверхность ленты изнашивается равномерно. Также в системах записи на непрерывную плёнку применяются ленты Мёбиуса (чтобы удвоить время записи). Во многих матричных принтерах красящая лента также имеет вид листа Мёбиуса для увеличения её ресурса.

Ручка.

Ручка является поверхность с краем.

Рисунок 5

Тор.

Тор является поверхность без краем.

Рисунок 6

Бутылка Клейна.

Бутылка Клейна — это определённая неориентируемая поверхность. Бутылка Клейна впервые была описана в 1882 г. немецким математиком Ф. Клейном. Она тесно связана с лентой Мёбиуса. Название, по-видимому, происходит от неправильного перевода немецкого слова Flдche (поверхность), которое в немецком языке близко по написанию к слову Flasche (бутылка).

Чтобы построить модель бутылки Клейна, необходимо взять бутылку с двумя отверстиями: в донышке и в стенке, вытянуть горлышко, изогнуть его вниз, и продев его через отверстие в стенке бутылки, присоединить к отверстию на дне бутылки.

Бутылка Клейна является поверхностью без края. В отличие от сферы можно пройти путь изнутри наружу не пересекая поверхность (т. е. на самом деле у этого объекта нет «внутри» и нет «снаружи»).

Бутылка Клейна может быть получена склеиванием двух лент Мёбиуса по краю.

Рисунок 7

Проективная плоскость.

Проективная плоскость является поверхность без краем.

Рисунок 8

Широкий класс двумерных поверхностей можно получить, заклеивая отверстия на сфере листами Мёбиуса или ручками.

Решение задач.

Уровень А.

Задача 1. Укажите способы вложения окружности в тор.

Решение: Окружность в тор можно вложить тремя способами: либо так, что окружность уместится в маленьком круге (как на сфере), либо так, что она станет меридианом тора или её параллелью:

Задача 2. Докажите, что если из проективной плоскости вырезать круг, то в результате получится фигура, гомеоморфная листу Мёбиуса.

Решение: На рисунке показано, как можно представить проективную плоскость с вырезанным диском. Сделаем разрезы b и c. Затем склеим стрелки а. В результате получим лист Мёбиуса.

Задача 3. Докажите, что проективная плоскость гомеоморфна сфере с одним листом Мёбиуса.

Решение: Изобразим проективную плоскость, затем преобразуем её. Сначала вырежем круг, затем распрямим стрелки для получения развёртки листа Мёбиуса. В результате получим сферу с отверстием, в которое можно «поместить» лист Мёбиуса [32]:

Задача 4. Докажите, что бутылку Клейна можно разрезать на 2 листа Мёбиуса.

Решение: Два способа склейки бутылки Клейна из квадрата изображены на рис. 9. На рис. 10 пунктиром изображены требуемые разрезы для обоих способов склейки.

Рисунок 9

Рисунок 10

Задача 5. Докажите, что если из проективной плоскости вырезать диск, то получится лист Мёбиуса.

Задача 6. Докажите, что кольцо гомеоморфно цилиндру.

Задача 7. Проверьте, что цилиндр, тор, сфера — ориентируемые поверхности, а проективная плоскость неориентируема.

Задача 8. Докажите, что фигура, являющаяся объединением боковой поверхности цилиндра и его нижнего основания («стакан»), гомеоморфна кругу.

Задача 9. Докажите, что фигуры, изображенные на рисунке (лента, гомеоморфная боковой поверхности цилиндра, и дважды перекрученная лента) гомеоморфны между собой.

Уровень В.

Задача 10. Докажите, что сфера, к которой приклеены 3 листа Мёбиуса, гомеоморфна сфере, к которой приклеена одна ручка и один лист Мёбиуса.

Решение: Сфера, к которой приклеены два листа Мёбиуса, гомеоморфна бутылке Клейна. Поэтому сфера, к которой приклеены три листа Мёбиуса, гомеоморфна бутылке Клейна к которой приклеен один лист Мёбиуса. Такая фигура изображена на рис. 11 (а). Сделаем разрез с, а затем склеим стрелки b (рис. 11 (б)). В результате получим сферу к которой приклеены ручка, а и лист Мёбиуса с.

(а) (б) Рисунок 11

Задача 11. Доказать, что сфера, к которой приклеены два листа Мёбиуса, гомеоморфна бутылке Клейна.

Решение:

Очевидно, что склейка двух листов Мёбиуса по их общему краю эквивалентна вклеиванию этих листов в сферу с двумя дырками.

Задача 12. Докажите, что замкнутая ориентируемая двумерная поверхность не может быть гомеоморфна замкнутой неориентируемой двумерной поверхности.

Задача 13. К сфере с двумя дырами приклейте цилиндр по его краям. Докажите, что полученная поверхность гомеоморфна сфере с приклеенной ручкой, т. е. тору.

Задача 14. Покажите, что кольцо и лист Мёбиуса можно получить из круга приклеивание к его границе прямоугольника по двум сторонам.

Задача 15. В шаре высверлены три сквозных цилиндрических отверстия, не соединяющихся между собой. Докажите, что поверхность получившегося тела гомеоморфна сфере с тремя ручками.

Задача 16. В шаре высверлены три сквозных цилиндрических отверстия, оси которых проходят через центр шара. Докажите, что поверхность получившегося тела гомеоморфна сфере с пятью ручками.

Задача 17. Если попарно склеить противоположные стороны квадрата с учетом указанных на рисунке, а направлений, то получится тор (рисунок б, в, г). Какая поверхность получится, если склеивание произвести с учетом направлений на рисунке (сторона с остается не склеенной)?

Домашнее задание.

Задачи: 4, 5, 7, 8, 10, 15.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Данная дипломная работа посвящена проблеме разработки методического инструментария для реализации принципов дифференцированного обучения математики в классах математического профиля.

Основная задача элективных занятий: учитывая интересы и склонности учащихся, расширить и углубить знания по предмету, обеспечить усвоение ими программного материала, ознакомить школьников с некоторыми общими идеями современной математики, раскрыть приложения математики на практике.

На сегодняшний день, топология является крупным разделом современной математики и знакомство с ней необходимо для общего образования школьного учителя, а также для разработки элективных занятий по данной теме.

В результате нашего исследования разработан элективный курс для десятого класса профильной школы — «Элементы наглядной топологии», состоящий из 16 занятий и методика проведения занятий по темам: «Узлы и зацепления» и «Двумерные поверхности».

Элективный курс по топологии формирует у учащихся устойчивый интерес к предмету, развивает творческие способности, формирует мировоззрение, показывает содержательную связь с историей развития науки. Совмещение математической строгости изложения материала с математической красотой и занимательностью способствует формированию культуры мышления учеников.

Задачи с элементами топологии представляют для учащихся сложность в логическом, мыслительном и психологическом плане. Однако решение именно таких задач открывает перед учащимися большое число эвристических приемов общего характера, применяемых в исследованиях на любом математическом материале, а также позволяет развивать пространственное и логическое мышление, геометрическую интуицию, формировать математический склад ума.

В процессе исследования были решены следующие задачи:

— Изучена и проанализирована психолого-педагогическая и методическая литература.

— Выяснены психологические и социальные особенностей контингента учащихся старших классов. В психологической части основной акцент сделан на выявление психологических особенностей пространственного мышления старших школьников. Выявлено, оперирование пространственными изображениями с выходом за пределы плоскости в пространстве, сформированный у детей стереотип (использования в планиметрии только плоских изображений в пределах только одной плоскости) мешает свободному оперированию, что в старших классах, при переходе от планиметрии к стереометрии.

— Изучено состояние и перспективы развития дифференциации в обучении (как прошлых периодов, так и современного этапа).

— Изучены психолого-педагогические аспекты профильной дифференциации.

— Изучена классификация и типы элективных курсов и курсов по выбору учащихся в профильном обучении и их методическое обеспечение.

— Разработано содержание элективного курса по теме «Элементы наглядной топологии», ориентированного на учащихся классов математического профиля.

— Разработана методика проведения занятий по темам «Узлы и зацепления» и «Двумерные поверхности».

— Представлены задачи с подробным решением по двум из основных тем «Узлы и зацепления» и «Двумерные поверхности» (расклассифицированный список задач по уровням сложности).

Таким образом, можно сделать вывод о том, что цель исследования — разработка элективного курса по теме «Элементы наглядной топологии», была достигнута, задачи исследования решены.

Основные выводы, которые мы сделали в процессе исследования следующие:

— Вводить обучение по направлениям (профилям) следует после того, как школьники получат единое математическое образование.

— На старшей ступени обучения следует обеспечить возможно большее количество направлений (профилей) обучения.

— При составлении программ и учебников, выборе форм и методов обучения следует учитывать возрастные особенности учащихся, учитывать уровневый подход.

— Разработка элективных курсов является важной задачей современного образования, так как данный вид курсов позволяет учитывать различные интересы школьников, выбравших определенный профиль.

В процессе исследования были разработаны методические рекомендации, теоретическое обоснование электива и предложена классификация по уровням сложности и типу задач для аудиторного и самостоятельного решения.

В предложенном элективе учтены, выявленные в процессе исследования требования к разработке элективных курсов. Данный электив оформлен в соответствии с выявленными требованиями к оформлению элективных курсов. Элективный курс содержит: «Пояснительную записку», «Содержание», «Тематическое планирование», «Методические рекомендации».

Материалы дипломной работы могут быть использованы студентами — практикантами, учителями математики, методической службой школ для возможной доработки и внедрения данного курса в практику школ математического профиля.

БИБЛИОГРАФИЯ

1. Антология педагогической мысли России второй половины 19 века. М.: Педагогика, 1985. — 608 с.

2. Антология педагогической мысли России первой половины 19 века. М.: Педагогика, 1985. — 559 с.

3. Антология педагогической мысли России. 17 век. М.: Педагогика, 1985. 479 с.

4. Бабанский Ю. К. Оптимизация процесса обучения: Общедидактический аспект. — М., 1977.

5. Болтянский В. Г., Ефремович В. А. Наглядная топология [текст]. — М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1983. 160 с.

6. Борисович Ю. Г., Близняков Н. М., Израилевич Я. А., Фоменко Т. Н.

Введение

в топологию: Учеб. Пособие [текст]. — 2-е изд.- М.: Наука. Физматлит, 1995. 416 c.

7. Боярчук В. Ф. Межпредметные связи в процессе обучения.

8. Бутузов И. Г. Дифференцированное обучение — важное дидактическое средство эффективного обучения школьников. — М., 1968 г.

9. Бутузов И. Г. Дифференцированный подход к обучению учащихся на современном уроке. — Новгород: ЛГПИ, 1972. — 72. с.

10. Гильберт Давид, Кон-Фоссен Стефан: Наглядная геометрия [текст]: Пер. с нем. Изд. 4-е, стереотипное. — М.: Едиториал УРСС, 2004. — с 289−292.

11. Гусев В. А. Методические основы дифференцированного обучения математике в средней школе: Дисс. докт.пед.наук. М.: 1990. — 364 с.

12. Дорофеев Г. В., Кузнецова Л. В., Суворова С. Б., Фирсов В. В. дифференциация в обучении математике // Математика в школе. — 1990. — с. 15−21

13. Дужин С. В., Чмутов С. В. Узлы и их инварианты: Математическое просвещение, серия 3, выпуск 3, 1999 — 59−93с.

14. Зуев Д. Д. Проблемы школьного учебника: ХХ век: Итоги / Д. Д. Зуев. — М.: Просвещение, 2004. — 384 с.

15. Иванович К. А., Эпштейн Д. А. Дифференциация профессиональной подготовки учащихся средних общеобразовательных школ по научно-техническим направлениям. / В сб. основные направления производственного обучения в средней школе. — 2 -е изд., перер. и дополнен. М: АПН РСФСР, 1963, с. 5−19.

16. Калмыкова З. И. Психологические принципы развивающего обучения. — М.:Знание, 1997. — 49 с.

17. Кирсанов А. А. Индивидуальзация учебной деятельности школьников. — Казань: Тат.кн.изд-во, 1980. — 207 с.

18. Крутецкий В. А. Психология: Учебник для учащихся пед. училищ. — М.: Просвещение, 1980.

19. Ланков А. В. К истории развития передовых идей в русской методике математики. М.: Учпедгиз, 1951. — 152 с.

20. Мерлина М. А. Опыт дифференцированного обучения в советской школе. // Советская педагогика. — 1962. — № 9. — с. 98−109.

21. Министерство образования Российской Федерации Письмо № 14−51−277/13 от 13.11.2003 Элективные курсы (курсы по выбору).

22. Мухина В. С. Возрастная психология: феноменология развития, детство, отрочество: Учебник для студ. вузов. — М.: Издательский центр «Академия», 1999. — 456 с.

23. Оганесян В. А., Колягин Ю. М., Луканкин Г. Л., Саннинский В. Я. Методика преподавания математики в средней школе. — М.: просвещение, 1980.

24. Педагогическая энциклопедия: В 2 томах. / Под ред. И. А. Каирова, Ф. Н. Петрова. — М.: Советская энциклопедия. — Т.1. — 832 с.

25. Педагогическая энциклопедия: В 2 томах. / Под ред. И. А. Каирова, Ф. Н. Петрова. — М.: Советская энциклопедия. — Т.2. — 912 с.

26. Прасолов В. В. Наглядная топология. — М: МЦНМО, 2006 — 112 с.

27. Прасолов В. В., Сосинский А. Б. Узлы, зацепления, косы и трёхмерные многообразия. — М.: МЦНМО, 1997.

28. Саранцев Г. И. Методика обучения математике в средней школе: Учеб. пособие для студентом мат. спец. пед. вузов и ун-тов. — М.: Просвещение, 2002.

29. Смирнова И. М. Научно-методические основы преподавания геометрии в условиях профильной дифференциации: Монография. — М.: Прометей, 1994.

30. Сосинский А. Б. Узлы и косы. — М.: МЦНМО, 2001 — 24 с.

31. Унт Э. И. Индивидуализация и дифференциация обучения. — М.: Педагогика, 1990. — 192 с.

32. Элементы топологии. Методическое пособие для студентов 5 курса математического факультета [текст] / кафедра алгебры, геометрии и методики их преподавания. Сост. А. В. Ушаков. М.: МГПУ, 2005. 30 с.

33. Якиманская И. С. Развитие пространственного мышления школьников. — М.: Педагогика, 1980.

34. http://ru.wikipedia.org/wiki/Бутылка_Клейна

35. http://ru.wikipedia.org/wiki/Лист_Мёбиуса