Экономическая статистика

Вариант 4

выработка мода медиана индекс цена дисперсия

1. На основе данных о выработке продукции по четырем цехам механического завода и производительности труда 1 рабочего определите среднюю выработку 1 рабочего в целом по заводу:

Решение

Среднюю выработку 1 рабочего в целом по заводу найдем по формуле средней взвешенной гармонической:

где w_i — выработка продукции за месяц в I-м цехе;

x_i — выработка продукции на 1 рабочего в i-м цехе.

Тогда 34 936 / (9 504 / 16 + 12 672 / 18 + 6 160 / 14 + 6 600 / 20) = 34 936 / 2 068 = 16,89 ед.

Таким образом, в отчетном периоде средняя выработка 1 рабочего в целом по заводу составила 16,89 ед.

2. Определите моду и медиану на основе следующих данных о себестоимости единицы аналогичной продукции по машиностроительным заводам отрасли:

Решение

1. Обозначим себестоимость единицы продукции x_i, а число заводов через f_i.

а) Для начала найдем среднюю себестоимость единицы продукции с помощью средней арифметической взвешенной:

(990 * 4 + 1 010 * 11 + 1 030 * 26 + 1 050 * 24 + 1 070 * 14 + 1 090 * 5) / (4 + 11 + 26 + 24 + 14 + 5) = 87 480 / 84 = 1 041,43 (руб.).

б) Определим моду и медиану.

Модой называют значение признака, которое наиболее часто встречается в данной совокупности. Мода рассчитывается по формуле:

Мо = х₀ + h * ,

где х₀ — нижняя граница интервала;

h — величина интервала;

f_m — частота модального интервала;

f_m-1 — частота интервала, предшествующего модальному;

f_m+1 — частота интервала, следующего за модальным.

В нашем случае модальным интервалом является интервал 102 -1040.

Тогда Мо = 1 020 + 20 * (26 — 11) / ((26 — 11) + (26 — 24)) = 1037,65 руб.

По определению, медиана — это значение варьирующего признака, которое делит исследуемый ряд на две равные части.

Медиана вычисляется по формуле:

Ме = х₀ + h * ,

где х₀ — нижняя граница медианного интервала;

h — величина интервала;

S_Me-1 — сумма частот интервалов, предшествующих медианному;

f_Me — частота медианного интервала.

Накопленная частота S_i получается суммированием частот ряда распределения, от первого до i-го элемента. Значения накопленных частот представим в таблице:

Медианный интервал: 1040−1060.

Тогда Ме = 1040 + 20 * ((0,5 * 84 — 41) / 24) = 1040,83 руб.

Вывод: большее число заводов имеет среднюю себестоимость единицы продукции в размере 1 041,43 руб. При этом максимальное число заводов имеют себестоимость единицы продукции 1 037,65 руб., что соответствует модальному значению. Медианное значение размера себестоимости единицы продукции равно 1 040,83 руб., т. е. половина числа заводов имеет размер себестоимости единицы продукции от значения до 1 000 руб. до 1 040,83 руб., а другая половина — от 1 040,83 руб. до 1 100 руб.

3. Определить сводный индекс цен и общую экономию от изменения цен

Решение

Сводный индекс цен рассчитывается по формуле:

(3,1*37 000 + 2,8*12 500 + 15*3 300) / (3,2*37 000 + 2,5*12 500 + 12 * 3 300) = 199 200 / 189 250 = 1,053.

Этот индекс показывает, каким было бы изменение цен, если бы величины продаж в базисном периоде были такими же, как в отчетном. Данный индекс равен 1,053, т. е. изменение цен составляет 5,3%.

Общая экономия или перерасход от изменения цен рассчитывается как разность между числителем и знаменателем:

Э = = 199 200 — 189 250 = 9 950 руб.

Т.е. в нашем случае был получен перерасход в размере 9 950 руб.

4. Определить общий индекс физического объема продукции на основе следующих данных по заводу:

Решение

Индекс физического объема продукции рассчитывается по формуле:

(1,064 * 140 + 0,972 * 250 + 1,032 * 340) / (140 + 250 + 340) = 742,84 / 730 = 1,018.

Таким образом, можно сделать вывод о том, что стоимость продукции в отчетном периоде по сравнению с базисным периодом возросла на 1,8% за счет увеличения физического объема продукции.

5. Определить тенденцию динамического ряда, применив сглаживание способом скользящей средней на основе данных о валовом сборе зерна, млн. т.

Решение

1) Выравнивание динамического ряда методом скользящей средней:

Таким образом, мы взяли в качестве укрупненного интервала период в 3 месяца. Тогда трехлетняя скользящая средняя рассчитывается по следующей формуле: c_i = y_i / 3. Таким образом, в данном случае имеется тенденция увеличения сбора зерна по годам.

6. По приведенным ниже данным определите внутригрупповую, межгрупповую, общую дисперсию основных производственных фондов предприятий двух управлений, эмпирическое корреляционное отношение

Решение

Для начала найдем значения средней стоимости основных фондов по всей рассматриваемой совокупности (), а также внутригрупповые средние значения стоимости основных фондов соответственно по первому и второму управлениям (и).

Общую среднюю ищем по формуле взвешенной средней арифметической:

причем при вычислении используем значения, соответствующие серединам интервалов распределения основных фондов, а в качестве весов берем количество предприятий, указанное в колонке «Итого»:

= (4*9 + 6*10 + 8*12 + 10*6) / (9 + 10 + 12 + 6) = 252 / 37 = 6,81 млн руб.

При вычислении внутригрупповых средних в качестве весов берем количество предприятий, соответствующее нужной группе:

= (4*5 + 6*4 + 8*7 + 10*2) / (5 + 4 + 7 + 2) = 120 / 18 = 6,67 (млн. руб.).

= (4*4 + 6*6 + 8*5 + 10*4) / (4 + 6 + 5 + 4) = 132 / 19 = 6,95 (млн. руб.).

Внутригрупповая дисперсия характеризует вариацию, обусловленную влиянием факторов, не имеющих отношения к подразделению предприятий на группы по управлениям. Ее значение в каждой группе рассчитывается по формуле:

где xⁱ — середина i-го интервала в группировке по стоимости основных фондов;

— внутригрупповая средняя величина стоимости основных фондов в j-й группе;

n_ij — число предприятий, относящихся к j-й группе и одновременно попадающих в i-й интервал по стоимости основных фондов;

n_j — общее число предприятий в j-й группе.

Получим следующие значения для внутригрупповых дисперсий:

= ((4 — 6,67)²*5 + (6 — 6,67)²*4 + (8 — 6,67)²*7 + (10 — 6,67)²*2) / (5 + 4 + 7 + 2) = 72 / 18 = 4 млн руб.

= ((4 — 6,95)²*4 + (6 — 6,95)²*6 + (8 — 6,95)²*5 + (10 — 6,95)²*4) / (4 + 6 + 5 + 4) = 83 / 19 = 4,37 млн руб.

По совокупности в целом вариация стоимости основных фондов под влиянием прочих факторов (кроме группировки по управлениям) характеризуется средней из внутригрупповых дисперсий (k = 2 — число групп (управлений)):

= (4 * 18 + 4,37 * 19) / (18 + 19) = 4,19.

Межгрупповая дисперсия характеризует вариацию, обусловленную влиянием фактора, положенного в основу группировки предприятий по управлениям и находится по формуле:

где k — число управлений (k = 2);

n_j — число предприятий в j-й группе;

— частная средняя по j-й группе;

— общая средняя по всей совокупности предприятий.

Получим межгрупповую дисперсию: = ((6,67 — 6,81)²*18 + (6,95 — 6,81)²*19) / (18 + 19) = 0,0196.

Общую дисперсию найдем по формуле:

= ((4 — 6,81)²*9 + (6 — 6,81)²*10 + (8 — 6,81)²*12 + (10 — 6,81)²*6) / (9 + 10 + 12 + 6) = 155,68 / 37 = 4,21.

Проверим по правилу сложения дисперсий: общая дисперсия равна сумме средней из внутригрупповых и межгрупповой дисперсий:

.

= 4,21 = = 4,19 +0,02 = 4,21.

Эмпирическое корреляционное отношение:

з = = = 0,07.

Вывод: дисперсия стоимости основных фондов лишь на 0,5% ((0,02 / 4,21) ^. 100%) объясняется принадлежностью предприятия к первому или второму управлению, а на 99,5% - влиянием остальных факторов. Величина эмпирического корреляционного отношения положительна и близка к 0. Поэтому в подразделении предприятий по управлениям практически нет никакой необходимости.

7. Имеются следующие данные о распределении школ города по типам и оценке сложности учебного предмета «Основы информатики» (тыс. чел.):

Рассчитайте коэффициенты взаимной сопряженности Пирсона и Чупрова. Сформулируйте выводы.

Решение

1) Рассчитаем теоретические частоты внутри таблицы пропорционально распределению частот в итоговой строке:

f₁₁' = (91 * 207) / 291 = 64,73

f₁₂' = (91 * 44) / 291 = 13,76

f₁₃' = (91 * 40) / 291 = 12,51

f₂₁' = (94 * 207) / 291 = 66,87

f₂₂' = (94 * 44) / 291 = 14,21

f₂₃' = (94 * 40) / 291 = 12,92

f₃₁' = (106 * 207) / 291 = 75,40

f₃₂' = (106 * 44) / 291 = 16,03

f₃₃' = (106 * 40) / 291 = 14,57

2) Расчетное значение критерия хи-квадрат определится по формуле:

ч² = ,

где f_ij и f_ij' - соответственно эмпирические и теоретические частоты в i-той строке j-го столбца;

k₁ и k₂ — соответственно число групп в строках и столбцах таблицы.

Расчетное значение критерия составит:

ч² = (74 — 64,73)² / 64,73 + (12 — 13,76)² / 13,76 + (5 — 12,51)² / 12,51 + (71 — 66,87)² / 66,87 + (11 — 14,21)² / 14,21 + (12 — 12,92)² / 12,92 + (62 — 75,4)² / 75,4 + (21 — 16,03)² / 16,03 + (23 — 14,57)² / 14,57 = 15,9066.

3) Коэффициент сопряженности Пирсона рассчитывается по формуле:

Р = ,

где n — общее число наблюдений.

Тогда Р = = 0,4805.

Коэффициент взаимной сопряженности Чупрова позволяет учесть число групп по каждому признаку и определяется следующим образом:

С = = = 0,0273.

Таким образом, между типом школы и освоением курса отмечается некоторая зависимость, но степень тесноты связи невелика.

8. С целью определения средней месячной заработной платы персонала гостиниц города было проведено 15%-ное выборочное обследование с отбором единиц пропорционально численности типических групп. Для отбора сотрудников внутри каждого типа гостиниц использовался механический отбор.

С вероятностью 0,954 определите пределы средней месячной заработной платы всех сотрудников гостиниц.

Решение

Уточним исходные данные. Объем выборки n = 320, объем генеральной совокупности N = 2 133. Отношение .

Необходимые данные представим в таблице.

По условию выборка механическая. Ее суть заключается в том, что составляется список единиц генеральной совокупности (сотрудников гостиниц) и в зависимости от числа отбираемых единиц устанавливается шаг отбора (интервал, через который следует отбирать студентов). Очевидно, что такая выборка является бесповторной, поэтому будем использовать формулы для случайной бесповторной выборки.

1) Среднюю месячную заработную плату по выборке (выборочную среднюю) найдем по формуле средней арифметической взвешенной:

где x_i — средняя месячная заработная плата сотрудников i-й гостиницы;

f_i — число сотрудников i-й гостиницы).

Тогда = (2 270 * 35 + 2 410*56 + 3 420*125 + 3 840*104) / 320 = 1 041 270 / 320 = 3 253,97 (руб.).

2) Оценим генеральную дисперсию:

= 112 937 459,4 / 320 = 352 929,56 (руб.).

Средняя квадратическая ошибка случайной бесповторной выборки при нахождении среднего возраста студентов определяется по формуле:

= 30,62 (руб.).

Т.е. ошибка при определении средней месячной заработной платы персонала гостиниц исходя из выборки составляет 30,62 руб.

3) Определим предельную ошибку выборки:, где величина t определяется из условия (Ф — функция Лапласа).

Получим t = 2. Тогда предельная ошибка выборки = 2 * 30,62 = 61,24 руб. Это значит, что с вероятностью 0,954 средняя месячная заработная плата персонала всех гостиниц (генеральная средняя) находится в пределах:

или

3 253,97 — 61,24 3 253,67 + 61,24

3 192,73 3 315,21

Иначе — средняя месячная заработная плата персонала всех гостиниц колеблется в пределах от 3 192,73 до 3 315,21 руб.

9. Партия электроламп упакована в 400 коробок по 48 шт. в каждой. Средняя длительность горения электроламп составляет 1220 ч, а межсерийная дисперсия — 150. Качество электроламп проверяется на основе серийного 1,5%-ного случайного бесповторного отбора. Определите: а) предельную ошибку при установлении средней длительности горения электроламп: б) пределы контролируемого параметра в генеральной совокупности. Выводы сделайте с вероятностью 0,954.

Решение

Число обследованных серий (коробок по 48 электроламп) s = 6, число серий в генеральной совокупности S = 400.

Межсерийная дисперсия = 150,

Средняя длительность горения электроламп 1 220 ч.

Предельная ошибка выборки (t — уровень доверия при вероятности 0,954 = 2) для средней рассчитывается по формуле:

= = 2 * (150 / 400 * (1 — 6 / 400) = 1,23.

Отсюда с вероятностью 0,954 можно указать пределы контролируемого параметра в генеральной совокупности:

= х ± _х = 1 220 ± 1,23, т. е. от 1 218,77 до 1 221,23 ч.

10. Измерьте тесноту связи и силу связи между признаками. Сделайте выводы

Решение

Показатель тесноты связи — линейный коэффициент корреляции:

r =

= (1,5*14 + 4,5*16 + 7,5*14 + 10,5*8) / (14 + 16 + 14 + 8) = 5,42.

= (1 950*14 + 2 590*16 + 3 640*14 + 4 280*8) / (14 + 16 + 14 + 8) = 2 960,38.

= ((1,5 — 5,42)²*14 + (4,5 — 5,42)²*16 + (7,5 — 5,42)²*14 + (10,5 — 5,42)²*8) / (14 + 16 + 14 + 8) = 9,53

= v9,53 = 3,09.

= ((1 950 — 2 960,38)²*14 + (2 590 — 2 960,38)²*16 + (3 640 — 2 960,38)²*14 + (4 280 — 2 960,38)²*8) / (14 + 16 + 14 + 8) = 709 319,08.

= v709 319,08 = 842,21.

Тогда r = ((1,5 — 5,42) * (1 950 — 2 960,38) + (4,5 — 5,42) * (2 590 — 2 960,38) + (7,5 — 5,42) * (3 640 — 2 960,38) + (10,5 — 5,42) * (4 280 — 2 960,38)) / (52 * 3,09 * 842,21) = 12 418,72 / 135 326,30 = 0,09.

Парный коэффициент корреляции меньше 0,5 и больше нуля, что говорит о наличии между исследуемыми признаками (стажем рабочих и средней зарплатой) достаточно слабой прямой зависимости