Экономическое моделирование

Содержание Введение

1. Моделирование сезонных колебаний

2. Моделирование циклических колебаний Заключение Список использованной литературы

Введение

Наука эконометрика является на данный момент времени быстроразвивающейся отраслью. Это наука об измерении и анализе экономических явлений, цель которой состоит в том, чтобы придать количественные меры экономическим отношениям.

Эконометрика — это количественное выражение тех связей и соотношений, которые раскрыты и обоснованы экономической теорией. Эконометрика располагает огромным разнообразием типов моделей — от больших макроэкономических, включающих несколько сот и тысяч уравнений, до малых коинтеграционных моделей, предназначенных для решения специфических проблем.

Моделирование сезонных и циклических колебаний — цель моей работы.

1. Моделирование сезонных колебаний Существует несколько подходов к анализу структуры временных рядов, содержащих сезонные колебания. Рассмотрим подход методом скользящей средней и построение аддитивной (или мультипликативной) модели временного ряда. Модели, построенные на основе второго типа данных, называют моделями временных рядов.

Общий вид аддитивной модели:

Y = T + S + E (1)

Эта модель предполагает, что каждый уровень временного ряда может быть представлен как сумма трендовой (T), сезонной (S) и случайной (E) компонент.

Общий вид мультипликативной модели выглядит так:

Y = T * S * E (2)

Эта модель предполагает, что каждый уровень временного ряда может быть представлен как произведение трендовой (T), сезонной (S) и случайной (E) компонент. Выбор одной из двух моделей осуществляется на основе анализа структуры сезонных колебаний. Если амплитуда колебаний приблизительно постоянна, строят аддитивную модель временного ряда, в которой значения сезонной компоненты предполагают постоянными для различных циклов. Если амплитуда сезонных колебаний возрастает или уменьшается, строят мультипликативную модель временного ряда, которая ставит уровни ряда в зависимость от значений сезонной компоненты.

Построение аддитивной и мультипликативной моделей сводится к расчету значений T, S и E для каждого уровня ряда.

Основные шаги при процессе построения модели:

1. Выравнивание исходного ряда методом скользящей средней.

2. Расчет значений сезонной компоненты S.

3. Устранение сезонной компоненты из исходных уровней ряда и получение выравненных данных (Т + Е) в аддитивной или (Т * Е) в мультипликативной модели.

4. Аналитическое выравнивание уровней (Т + Е) или (Т * Е) и расчет значений Т с использованием полученного уравнения тренда.

5. Расчет полученных по модели значений (Т + Е) или (Т * Е).

6. Расчет абсолютных или относительных ошибок.

Если полученные значения ошибок не содержат автокорреляции, то ими можно заменить исходные уровни ряда и в дальнейшем использовать временной ряд ошибок Е для анализа взаимосвязи исходного ряда и других временных рядов.

Пример. Построение мультипликативной модели временного ряда.

Пусть имеются поквартальные данные о прибыли компании за последние четыре года (табл. 1).

Таблица 1 Прибыль компании, тыс. долл. США

Рис. 1 Прибыль компании.

График данного временного ряда (рис. 1) свидетельствует о наличии сезонных колебаний (период колебании равен 4) и общей убывающей тенденции уровней ряда. Прибыль компании в весенне-летний период выше, чем в осенне-зимний период. Т.к. амплитуда сезонных колебаний уменьшается, то можно предположить о существование мультипликативной модели. Определим ее компоненты.

1 шаг. Проведем выравнивание исходных уровней ряда методом скользящей средней. Методика, применяемая на этом шаге, полностью совпадает с методикой аддитивной модели. В таблице 2 представлены результаты расчетов оценок сезонной компоненты.

аддитивный мультипликативный временной ряд Таблица 2 Расчет оценок сезонной компоненты в мультипликативной модели

2 шаг. Найдем оценки сезонной компоненты как частное о деления фактических уровней ряда на центрированные скользящие средние (табл. 2). Используем эти оценки для расчета значений сезонной компоненты S (табл. 3).

Для этого найдем средние за каждый квартал оценки сезонной компоненты S. Взаимопогашаемость сезонных воздействий в мультипликативной модели выражается в том, что сумма значений сезонной компоненты по всем кварталам должна быть равна числу периодов цикле. В данном случае число периодов одного сезона (год) равен 4 (четыре квартала).

Таблица 3 Расчет сезонной компоненты в мультипликативной модели

Имеем:

0,918 + 1,209 + 1,088 + 0,808 = 4,023

Определим корректирующий коэффициент:

k = 4/4,023 = 0,9943

Определим скорректированные значения сезонной компоненты, умножив ее средние оценки на корректирующий коэффициент k.

S_i = S_i * k, где i = ¼ (3)

Проверим условие равенства 4 суммы значений сезонной компоненты: 0,913 + 1,202 + 1,082 + 0,803 = 4

Получим следующие значения сезонной компоненты:

I квартал: S₁ = 0,913;

II квартал: S₂ = 1,202;

III квартал: S₃ = 1,082;

IV квартал: S₄ = 0,803.

Занесем полученные значения в таблицу 4 для соответствующих кварталов каждого года.

Таблица 4 Расчет выравненных значений Т и ошибок Е в мультипликативной модели

3 шаг. Разделим каждый уровень исходного ряда на соответствующие значения сезонной компоненты. Получим величины Т * Е = Y/S (табл. 4), которые содержат только тенденцию и случайную компоненту.

4 шаг. Определим компоненту Т в мультипликативной модели. Для этого рассчитаем параметры линейного тренда, используя уровни (Т * Е). Результаты аналитического выравнивания этого ряда следующие:

Константа 90,585 150

Коэффициент регрессии -2,773 250

Стандартная ошибка коэффициента регрессии 0,225 556

R-квадрат 0,915 239

Число наблюдений 16

Число степеней свободы 14

Уравнение тренда имеет следующий вид: Т = 90,59 — 2,773 * t

Подставляя в это уравнение значения t = 1, …, 16, найдем уровни Т для каждого момента времени (табл. 4). График уравнения тренда показан на рис. 2.

Рис. 2 Прибыль компании (фактические и выравненные по мультипликативной модели значения уровней ряда).

5 шаг. Найдем уровни ряда по мультипликативной модели, умножив уровни Т на значения сезонной компоненты для соответствующих кварталов. Значения (Т * S) графически представлены на рис. 2.

6 шаг. Расчет ошибки в мультипликативной модели производится по формуле:

Е = Y/(T * S) (4)

Численные значения ошибки приведены в табл. 4 в графе 7. Если временной ряд ошибок не содержит автокорреляции, его можно использовать вместо исходного ряда для изучения его взаимосвязи с другими временными рядами. Для того чтобы сравнить мультипликативную модель и другие модели временного ряда, необходимо использовать сумму квадратов абсолютных ошибок. Абсолютные ошибки в мультипликативной модели определяются как:

Е = у_t — (Т * S) (5)

В данной модели сумма квадратов абсолютных ошибок составляет 207,40. Общая сумма квадратов отклонений фактических уровней этого ряда от среднего значения равна 5023. Для дисперсии уровней ряда равна:

(1 — 207,40/5023) = 0,959, или 95,9%.

Выявление и устранение сезонного эффекта используются в двух направлениях. Во-первых, воздействие сезонных колебаний следует устранять на этапе предварительной обработки исходных данных при изучении взаимосвязи нескольких временных рядов. Во-вторых, это анализ структуры одномерных временных рядов с целью прогнозирования уровней ряда в будущие моменты времени.

2. Моделирование циклических колебаний Моделирование циклических колебаний в целом осуществляется аналогично моделированию сезонных колебаний. Рассмотрим подход метода моделирования временного ряда, содержащего циклические колебания — построение модели регрессии с включением фактора времени и фиктивных переменных.

Количество фиктивных переменных в такой модели должно быть на единицу меньше числа моментов (периодов) времени внутри одного цикла колебаний. Например, при моделировании поквартальных данных модель должна включать четыре независимые переменные — фактор времени и три фиктивные переменные. Каждая фиктивная переменная отражает циклическую компоненту временного ряда для какого-либо одного периода. Она равна единице для данного периода и нулю для всех остальных периодов.

Пусть имеется временной ряд, содержащий циклические колебания периодичностью k. Модель регрессии с фиктивными переменными для этого ряда будет иметь вид:

y_t = a + b * t + c₁x₁ + … + c_jx_j + … + c_k-1x_k-1 + _t (6)

1 для каждого j внутри каждого цикла, где х_j =

0 во всех остальных случаях.

Например, при моделировании циклических колебаний на основе поквартальных данных за несколько лет число кварталов внутри одного года k = 4, а общий вид модели следующий:

y_t = a + b * t + c₁x₁ + c₂x₂ + c₃x₃ + _t (7)

1 для первого квартала, где х₁ =

0 во всех остальных случаях.

1 для второго квартала, где х₂ =

0 во всех остальных случаях.

1 для третьего квартала, где х₃ =

0 во всех остальных случаях.

Уравнение тренда для каждого квартала имеет вид:

для I квартала: y_t = a + b * t + c₁ + _t; (8)

для II квартала: y_t = a + b * t + c₂ + _t; (9)

для III квартала: y_t = a + b * t + c₃ + _t; (10)

для IV квартала: y_t = a + b * t + _t. (11)

Т.о. фиктивные переменные позволяют дифференцировать величину свободного члена уравнения регрессии для каждого квартала. Она составит:

для I квартала (a + c₁);

для II квартала (a + c₂);

для III квартала (a + c₃);

для IV квартала a.

Параметр b в этой модели характеризует среднее абсолютное изменение уровней ряда под воздействием тенденций. Модель (7) есть аналог аддитивной модели временного ряда, т.к. фактический уровень временного ряда есть сумма трендовой (T), циклической © и случайной (E) компоненты (Y = T + C + E).

Недостаток модели с фиктивными переменными для описания циклических колебаний — это наличие большого количества переменных. Например, необходимо построить модель для описания помесячных периодических колебаний за несколько лет. Такая модель будет включать 12 независимых переменных (11 фиктивных переменных и фактор времени). В такой ситуации число степеней свободы невелико, что снижает вероятность получения статистических значимых оценок параметров уравнения регрессии.

Заключение

Эконометрика — наука, которая дает количественное выражение взаимосвязей экономических явлений и процессов.

Моделирование циклических колебаний осуществляется аналогично моделированию сезонных колебаний. Существует несколько подходов к анализу структуры временных рядов, содержащих сезонные и циклические колебания. В своей работе я рассмотрела подход методом скользящей средней и построение аддитивной (или мультипликативной) модели временного ряда, и подход метода моделирования временного ряда и построение модели регрессии с включением фактора времени и фиктивных переменных.

Построение аддитивной и мультипликативной моделей сводится к расчету значений T, S и E для каждого уровня ряда. Процессе построения модели включает в себя 6 шагов.

Количество фиктивных переменных во второй модели должно быть на единицу меньше числа моментов (периодов) времени внутри одного цикла колебаний. Недостаток модели с фиктивными переменными для описания циклических колебаний — это наличие большого количества переменных.

1. Ватник П. А. Эконометрика: Учебник для вузов. — М., 2001. — 280 с.

2. Кантрович Г. Г. Эконометрика. — М.: ГУ-ВШЭ, 2011.

3. Кремер Н. Ш., Путко Б. А. Эконометрика: Учебник для вузов. — М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2013. — 311 с.

4. Эконометрика/Под ред. Н. И. Елисеевой. — М.: Финансы и статистика, 2010. — 422 с.

5. Яновский Л. П.

Введение

в эконометрику: учебное пособие. — 2-е изд., доп. — М.: КНОРУС; 2007. — 256 с.