Доверительные интервалы для оценки математического ожидания нормального распределения при известном у

Пусть количественный признак X генеральной совокупности распределен нормально, причем среднее квадратическое отклонение у этого распределения известно. Требуется оценить неизвестное математическое ожидание а по выборочной средней. Поставим своей задачей найти доверительные интервалы, покрывающие параметр, а с надежностью г.

Будем рассматривать выборочную среднюю как случайную величину (изменяется от выборки к выборке) и выборочные значения признака х₁, х₂, …, х_т - как одинаково распределенные независимые случайные величины Х₁, Х₂, …, Х_т (эти числа также изменяются от выборки к выборке). Другими словами, математическое ожидание каждой из этих величин равно а и среднее квадратическое отклонение — у.

Примем без доказательства, что если случайная величина X распределена нормально, то выборочная средняя, найденная по независимым наблюдениям, также распределена нормально. Параметры распределения таковы:

M ()=a, у () = у /vn

Потребуем, чтобы выполнялось соотношение.

Р (|— а| < у) = г.

где г — заданная надежность.

Пользуясь формулой P (|X — a| < у) = 2?(д/у)

заменив X на и у на у () = у/vn, получим.

Р (| — а |< у) = 2Ф (дvn/у) = 2Ф (t),

где t = дvn/у.

Найдя из последнего равенства д = tу/vn, можем написать.

Р (|—а | < tу/vn) = 2Ф (t).

Приняв во внимание, что вероятность Р задана и равна г, окончательно имеем (чтобы получить рабочую формулу, выборочную среднюю вновь обозначим через).

P (- tу/vn < a < + tу/vn) = 2?(t) = г

Смысл полученного соотношения таков: с надежностью г можно утверждать, что доверительный интервал (— tу/vn, + tу/vn) покрывает неизвестный параметр а; точность оценки д = tу/vn.

Итак, поставленная выше задача полностью решена. Укажем еще, что число t определяется из равенства 2Ф (t) = г > или Ф (t) = г/2; по таблице функции Лапласа находят аргумент t, которому соответствует значение функции Лапласа, равное г/2. Гмурман, В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика: Учеб. пособие для вузов/В. Е. Гмурман. — 9-е изд., стер. — М.: Высш. шк., 2003. — 479 с.