Элементы матричной алгебры

ОПЕРАЦИИ НАЛ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯМИ И ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА

Понятие определителя

Любой квадратной матрице А порядка п ставится в соответствие по определенному закону некоторое число, называемое определителем или детерминантом п-го порядка этой матрицы. Начнем с определителей второго и третьего порядков. Пусть дана матрица.

тогда ее определитель второго порядка вычисляется по формуле.

Правило вычисления определителя второго порядка очевидно: из произведения элементов на главной диагонали матрицы А вычитается произведение элементов на второй диагонали этой матрицы. Нетрудно видеть, что формула (3.1) представляет собой алгебраическую сумму двух попарных произведений элементов матрицы А, находящихся в разных строках и разных столбцах.

В дальнейшем мы не будем приводить матрицу, для которой вычисляется определитель, так как в записи определителя содержатся все элементы соответствующей матрицы.

Определитель третьего порядка вычисляется по формуле.

~°}^а22^а} ~^аа2)^а}2 ~°2^а2^а1У.

Правило вычисления определителя третьего порядка следующее. Это алгебраическая сумма шести тройных произведений элементов, стоящих в разных строках и разных столбцах; со знаком плюс берутся произведения, сомножители которых находятся на главней диагонали и в вершинах треугольников, чьи основания параллельны главной диагонали; со знаком минус — произведения, сомножители которых стоят на не главной диагонали и в вершинах треугольников с основаниями, параллельными этой диагонали (рис. 3.1). Заметим, что каждое слагаемое в формуле (3.2) содержит по одному элемен ту из каждой строки и каждого столбца соответствующей матрицы.

Рис. 3.1.

В дальнейшем будем оперировать элементами, строками и столбцами определителей, нс оговаривая специально, что это элементы, строки и столбцы соответствующих матриц. Порядок определителя полагается равным порядку соответствующей матрицы. Таким образом определители выступают как самостоятельный объект изучения.

Итак, рассмотрим определитель я-го порядка.

Теперь с учетом подмеченных закономерностей перейдем к определению для общего случая.

Определение I. Определителем матрицы, А п-го порядка называется алгебраическая сумма я! произведений я-го порядка элементов этой матрицы, причем в каждое произведение входит по одному элементу из каждой строки и каждого столбца данной матрицы.

Определитель матрицы А я-го порядка часто обозначают как А для того, чтобы подчеркнуть его связь с матрицей.