Модели стационарных временных рядов

Большое внимание при исследовании случайных процессов уделяется стационарным временным рядам. Причиной того является тот факт, что в большинстве случаев временные ряды могут быть приведены к стационарному виду в результате выделения из них тренда и циклической составляющей. Рассматриваемые эконометрические модели так же представляют собой временные ряды, в которых поведенческую часть модели можно трактовать как функцию тренда, а случайное возмущение, в случае выполнения предпосылок теоремы Гаусса — Маркова, представляет собой стационарный ряд. Действительно, в этом случае выполнены все условия стационарности: математическое ожидание случайного возмущения равно нулевой константе, его дисперсия постоянна и ковариации между ними равны нулю. Спецификацию модели стационарного временного ряда с учетом определения стационарного ряда и (12.6) можно записать так:

(12.23).

График стационарного ряда выглядит как ломаная линия, которая случайным образом «вьется» вокруг горизонтальной прямой , оставаясь от нее в среднем на одинаковом расстоянии.

Простейшим примером стационарного ряда является так называемый «белый шум», у которого среднее значение уровней ряда равно нулю , они имеют постоянную дисперсию и попарно некоррелированы. Спецификацию такого ряда, его обозначают, как WN, можно записать в виде:

(12.24).

где  — символ Кронеккера.

Таким образом, предпосылки теоремы Гаусса — Маркова требуют, чтобы случайные возмущения были белым шумом. Именно в этом случае МНК-оценки параметров линейной модели будут обладать свойствами несмещенности и эффективности.

Если случайная переменная подчиняется нормальному закону распределения с нулевым средним значением и единичной дисперсией, то такой ряд называют стандартным гауссовским шумом.

Построим стационарный ряд, продолжив рассмотрение примера построения модели динамики роста ВВП России в период 2000—2006 гг. (гл. 10). Имея поквартальные данные табл. 10.1 была оценена модель (10.6), в которой присутствуют линейный тренд и циклическая (периодическая) составляющие. Функция циклической составляющей формализована с помощью фиктивных переменных. Анализ показал, что оцененная модель оказалась авторегрессионной, на что указал тест Дарбина — Уотсона. Попытаемся устранить автокорреляцию случайных возмущений путем подбора функции тренда. Оценим ту же модель, но с функцией тренда в виде полинома второй степени. Спецификация такой модели принимает вид:

(12.25).

Оценка модели (12.25) получила вид:

(12.26).

При этом автокорреляция соседних случайных возмущений оказалась устраненной (), что подтвердило предположение о ложном характере автокорреляции. Рассмотрим временной ряд, построенный из оценок случайных остатков (табл. 12.4).

Таблица 12.4

Временной ряд

Год/квартал.	ВВП.	Время.
2000/I.							98,15.	1,85.
2000/II.							104,50.	0,50.	— 1,35.
2000/III.							123,42.	— 1,42.	— 1,92.
2000/IV.							116,77.	— 1,77.	— 0,35.
2001/I.							102,83.	2,17.	3,94.
2001/II.							109,49.	0,51.	— 1,66.
2001/III.							128,72.	1,28.	0,77.
2001/IV.							122,39.	— 2,39.	— 3,66.
2002/I.							108,76.	— 0,76.	1,63.
2002/II.							115,73.	— 0,73.	0,03.
2002/III.							135,28.	— 0,28.	0,45.
2002/IV.							129,25.	— 4,25.	— 3,97.
2003/I.							115,93.	1,07.	5,32.
2003/II.							123,22.	0,78.	— 0,29.
2003/III.							143,08.	0,92.	0,14.
2003/IV.							137,36.	— 0,36.	— 1,29.
2004/I.							124,36.	0,64.	1,00.
2004/II.							131,95.	1,05.	0,40.
2004/III.							152,12.	0,88.	— 0,17.
2004/IV.							146,72.	2,28.	1,40.
2005/I.							134,03.	— 2,03.	— 4,31.
2005/II.							141,94.	1,06.	3,09.
2005/III.							162,42.	1,58.	0,52.
2005/IV.							157,33.	3,67.	2,09.
2006/I.							144,95.	— 2,95.	— 6,62.
2006/II.							153,17.	— 3,17.	— 0,22.
2006/III.							173,96.	— 2,96.	0,21.
2006/IV.							169,18.	2,82.	5,78.

На рис. 12.2 и рис. 12.3 показаны графики уровней ряда случайных возмущений для моделей с линейным и параболическим трендом соответственно.

Рис. 12.2. График ряда случайных возмущений при линейном тренде.

Ряд на рис. 12.2 нестационарный, так как для него не выполняется условие , хотя остальные условия выполнены. О наличии автокорреляции свидетельствует тот факт, что график уровней ряда плавно вьется относительно нулевого уровня, длительное время, сохраняя одинаковый знак.

Рис. 12.3. График уровней ряда случайных возмущений при параболическом тренде.

Ряд на рис. 12.3 стационарный и его характеристики равны: ,.

В моделях временных рядов третья предпосылка теоремы Гаусса — Маркова об отсутствии автокорреляции между соседними случайными возмущениями, как правило, не выполняется. Для исправления ситуации необходимы модели временных рядов, обладающие свойствами белого шума. Рассматриваются два вида моделей: авторегрессионные модели и модели скользящих средних.