Примеры задач на тему приводимые и неприводимые многочлены

Задача 1. Над каким из полей Q, R или C приводимы многочлены:

а) ;б);

в);в)?

Решение. Многочлен степени n > 0 называется приведенным над полем P, если он разлагается над этим полем в произведение двух многочленов меньшей степени, и неприводимым (простым) над полем P в противном случае.

Многочлен первой степени неприводим над любым полем. Многочлен 2-й или 3-й степени приводим над P тогда и только тогда, когда он имеет хотя бы один корень в P. Если приводим над P, то он приводим над любым решением поля P, поэтому при исследовании на приводимость мы начинаем с возможно более узкого поля, над которым определен. Если многочлен неприводим над некоторым полем, то он неприводим над любым его подпольем.

• а) приводим над R;
• б) ,

приводим над Q;

в).

Приводим над C.

Ответ. а) приводим над полем R; б) приводим над полем Q; в) приводим над полем C; г) неприводим над полем C (R, Q).

Задача 2. В кольце найти нормированные D (x) (НОД) и m (x) (НОК) многочленов, используя их канонические разложения:

.

Решение. Многочлены и уже разложены на множители, неприводимые над полем Q. Наибольший общий делитель D (x)многочленов и равен произведению общих различных между собой неприводимых множителей (делителей) многочленов; при этом множитель берется в степени, равной наименьшей из двух степеней, в которых он входит в разложение и. В данном случае .

Наименьшее общее кратное m (x) многочленов, должно в каноническом виде содержать все множители, которые входит в или в, в наибольшей степени:

.

Оба найденных многочлена являются нормированными.

Ответ. .

Напомним следующее определение.

Если.

— некоторый многочлен над полем P, то многочлен.

называется производной многочлена и обозначается. Если поле P нулевой характеристики (в частности, если Pчисловое поле) и ст., то ст.; если, то .

В дальнейшем мы будем рассматривать многочлены только над числовыми полями.

Задача 6. Разложить по степеням x многочлен, где.

.

Решение. Задачу можно решить двумя способами.

Способ I. Поставим вместо x в многочлен.

.

Используем формулу бинома Ньютона:

.

После раскрытия скобок и приведения подобных членов получим ответ: .

Способ II. Разложим многочлен по степеням по формуле Тейлора, используя 6 раз схему Горнера:

Подставив вместо x, получим тот же ответ:

.

Способ II быстрее приводит к результату.

• 1. Над каким из полей Q, R или C приводимы многочлены:
  • а)

• в)
• б)
• г)

• 2. Приводимы ли над полем Q данные многочлены? В случае приводимости разложить их на множители, неприводимые над Q:
  • а)

• б)
• в)
• г)

3. Разложить многочлен по степеням :

а).

• б)
• в)
• г)

4. Пользуясь схемой Горнера, найти значение многочлена и его производных при :

• а)
• б)
• в)
• г)

5. Вычислить значение многочлена:

При.