Построение графика функции плотности вероятности и сравнение его с гистограммой

Данные для построения графика функции плотности вероятности нужно взять из столбца «Вероятность», найденные в параграфе 2.3. Также в начало нужно добавить 0. По этим данным строится гистограмма (рисунок 23). [см. 2].

Рисунок 23 График функции плотности вероятности Если сравнить с гистограммой, можно заметить, что график повторяет её черты (рисунок 24).

Рисунок 24 Сравнение гистограммы и графика.

Проверка гипотезы о равенстве математических ожиданий СВ полученных разделением исходных данных на две равные выборки

В теории вероятностей проверка статистических гипотез используется для оценки эффективности нового метода ведения деятельности, метода выполнения какой-либо работы, использования новых видов ресурсов или применения новой технологии и т. д. Статистической гипотезой называется предположение о числовом значении параметра или о виде неизвестного закона распределения статистических данных. Для того, чтобы обосновать применение новой технологии или использование новых видов ресурсов, необходимо рассчитать параметры статистики, используя числовые характеристики генеральной и выборочной совокупности. Затем сделать вывод о том, что выдвигаемая изначально гипотеза не противоречит (или противоречит) имеющимся наблюдениям, путем сравнения полученных результатов с критическими.

Проверка статистической гипотезы делится на два этапа.

На первом этапе выдвигается гипотеза, например, об эффективности новой технологии Н0. Затем по выборочной совокупности рассчитывается значение параметра ив и сверяется с критическим значением икр, которое рассчитывается на основе точного или приближенного значения. Если гипотеза Н0 верна, то ив икр) = б мала. Согласно принципу практической уверенности данное событие можно считать практически невозможным. (В основе принципа практической уверенности лежит такой факт, что если вероятность события, А мала, то при однократном испытании его можно считать практически невозможным.) Если ив > икр, то гипотеза Н0 отвергается.

При проверке статистической гипотезы Н0 можно допустить ошибку 1-го или 2-го рода.

Если гипотеза Н0 верна, но отвергается, то совершается ошибка 1-го рода. Если же неверна, но принимается — ошибка 2-го рода.

Вероятность допустить ошибку 1-го рода называется уровнем значимости критерия. Вероятность допустить ошибку 2-го рода называется мощностью критерия.

Для проверки гипотезы о равенстве математических ожиданий, нужно сначала разделить исходные данные на две выборки. Объём выборки — 57. Первая выборка получилась объёмом 29, вторая — 28 и обозначаются n1 и n2.

Так как генеральная выборка распределена нормально, её дисперсия неизвестна, а объём выборок n1 и n2 мал, то проверка проводится следующим образом.

Предположим, что генеральные дисперсии равны. В качестве критерия для проверки нулевой гипотезы ₀: () = () служит случайная величина имеющая при справедливости нулевой гипотезы распределение Стьюдента с k = n + m — 2 степенями свободы. Наблюдаемое значение критерия вычисляется по формуле Конкурирующая гипотеза ₁: ()? (). Это означает, что критическая область двусторонняя и задаётся неравенством |t| > tдвуст.кр., где tдвуст.кр.(б, k) находится из таблицы критических точек распределения Стьюдента или с помощью функции на листе Excel =СТЬЮДРАСПОБР (вероятность; степени_свободы).

Средние значения выборок и исправленные дисперсии находятся на листе Excel следующим образом:

Рисунок 25 Нахождение характеристик двух выборок Далее находим tнабл. и tдвуст.кр.. За уровень значимости б принимаем значение 0,05.

Рисунок 26 Нахождение наблюдаемого значения и критической области Получаем следующие значения.

Рисунок 27 Найденные значения для проверки гипотезы о равенстве МО Подставляя найденные значения в неравенство, описанное выше, получаем: |-0,98 215| < 2,404, что означает, что наблюдаемое значение не входит в критическую область, нулевая гипотеза о равенстве математических ожиданий принимается, альтернативная — отвергается. При этом мы совершаем ошибку второго рода с вероятностью 5%. [см. 1].