Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси. 
Основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела

На рис. 6.8 твердое тело (система частиц или материальных точек) закреплено в двух неподвижных точках О и СУ так, что оно может вращаться вокруг неподвижной оси 00' (Oz). Все силы, действующие на тело, заменяем одной, лежащей в плоскости, перпендикулярной к плоскости ссчсния тела, проходящей через ось и точку А приложения силы, и способной вращать тело относительно оси Oz (F перпендикулярна оси Oz).

Рис. 6.8.

Поставим задачу записать уравнение движения твердого тела при вращении его вокруг неподвижной оси, т. е. необходимо получить такое уравнение, которое описывает движение всех его точек.

Разобьём твёрдое тело на частицы так, чтобы вектор ^ для каждой частицы можно было считать постоянным. Этот вектор ij задаёт положение частицы массой m_j относительно оси Oz и соответствует перпендикуляру, опущенному из материальной точки /н на ось Oz.

Используем уравнение моментов (6.2.7), записанное для твёрдого тела (для системы частиц) —— = ]У1®^неш-.

d/.

При вращении все частицы твердого тела имеют одинаковую угловую скорость со. Постараемся выразить момент импульса тела относительно оси Oz L_z через угловую скорость вращения тела со.

Каждая точка т₍ твердого тела при его вращении относительно оси Oz описывает окружность (с центром на оси Oz), лежащую в плоскости, перпендикулярной оси Oz. Линейная скорость движения каждой частицы о, — касательная к этой окружности в любой точке. Следовательно, импульс частицы р, = m_iv_j перпендикулярен оси Oz.

Получаем, что вектор импульса частицы и её радиус-вектор (р, и г), определяемые для какой — либо материальной точки тела, лежат в плоскости перпендикулярной плоскости, проходящей через ось Oz и данную материальную точку.

Следовательно, согласно (6.1.3), для каждой частицы [ij, р, ] = L_iz.

Преобразуем записанное выражение для момента импульса частицы относительно оси Oz, используя угловую скорость вращения твердого тела со,.

Для системы материальных точек и твердого тела.

Здесь J — момент инерции тела.

Дадим характеристику этой физической величины.

Величина J, равная сумме произведений элементарных масс тела на квадраты их расстояний от некоторой оси, называется моментом инерции тела относительно данной оси.

Момент инерции — это величина, характеризующая распределение масс в теле и являющаяся мерой инертности тела при непоступателыюм движении. При этом важно понимать формализм понятия момента инерции материальной точки (m_:ff).

Рис. 6.9.

Относительно разных осей вращения момент инерции меняется (рис. 6.9, J*J₂). Момент инерции тела зависит от формы, объема и массы тела. Для определения момента инерции тела произвольной формы его мысленно разбивают на большое число бесконечно малых элементов с массами dm . А затем при вычислении момента инерции тела в формуле (6.3.2) суммирование заменяется интегрированием.

В общем случае для момента инерции тела относительно некоторой оси Z можно записать:

С использованием (6.3.3) задача решается относительно легко для однородных тел простых форм, вращающихся вокруг оси, проходящей через их центр масс (центр инерции).