Эластичность линейной и лог-линейной функции спроса

Выше мы предполагали, что эластичный спрос характеризуется пологой функцией спроса, а неэластичный — крутой функцией спроса. Однако если функция спроса является линейной, то эластичность не остается постоянной. Ценовая эластичность спроса изменяется вдоль линии спроса. Применим немного математики и здесь.

Предположим, функция спроса представлена в таком виде: Q (P) = a-b-P, где Q — объем продаж, Р — цена единицы товара. Найдем ценовую эластичность данного спроса.

Из формулы ценовой эластичности получаем:

Рассмотрим ситуацию графически (рис. 2.7).

Рис. 2.7. Ценовая эластичность спроса вдоль линейной функции.

Па линейной функции спроса есть ключевая точка, которая определяет диапазоны значений эластичности. Когда объем продаж составляет ровно.

— ~ а

половину от максимальной емкости рынка: Q = —, а цена, соответственно,.

г> ^а

равна половине резервной цены рынка: Р = —, ценовая эластичность.

2Ь

а

/-Л С1

— г ^a~Q 2 <

по модулю оказывается равной единице: Ь =-— =-— = 1.

Q о 2.

Выше и левее данной ключевой точки, там, где цена изменяется в диапазоне Ре, ценовая эластичность будет больше единицы, спрос пред;

2Ь о _

ставлен эластичным участком. Ниже и правее данной ключевой точки, там, где цена изменяется в диапазоне Ре 0;-^-, ценовая эластичность будет меньше единицы, спрос представлен неэластичным участком. Таким образом, разрабатывая ценовую стратегию, компания должна иметь в виду, что по мере повышения (снижения) цены единицы товара ценовая эластичность спроса будет изменяться.

А теперь обратимся к полной версии функции спроса, включающей все (или многие) параметры рынка.

Пусть функция спроса является линейной и задается таким выражением:

где — величина спроса (объем продаж); Р_х — цена единицы данного товара; Р_у — цена единицы других товаров, имеющих отношение к рассматриваемому товару (комплементарных или конкурирующих товаров); I — доход потребителей; А — расходы на рекламу; а — коэффициенты спроса.

Мы можем найти все необходимые показатели эластичности, дифференцируя функцию спроса по соответствующей переменной:

_гр Р_х

• ценовая эластичность спроса: EJ =a_v^^;

^Ux Qx

r-Рц Р_У

• перекрестная ценовая эластичность спроса: Ь ^у =а —.

Qx

• эластичность спроса по доходу: EL = а₇ —;

^Ux Q_x

• • эластичность спроса по расходам на рекламу: Е^ =а_л—.
• 1 Qx

Однако в таком виде не всегда удобно (и возможно) анализировать рыночную ситуацию и стратегию фирмы. Эмпирические и эконометрические исследования показывают, что наилучшей формой для анализа является логарифмически линейная (или лог-линейная) функция спроса следующего вида:

Современные статистические компьютерные программы позволяют достаточно легко составлять базы данных и получать значения коэффициентов бета. Нас же сейчас интересует экономическая интерпретация этих параметров. Что же такое коэффициенты бета?

Возьмем для начала более простой вид лог-линейной функции, только от одной переменной, цены товара: InQ= plnP. Рассмотрим полный дифференциал этой функции.

Таким образом, мы получаем еще одно выражение для эластичности. Оказывается, коэффициент бета соответствует эластичности спроса.

Теперь вернемся к полной версии функции спроса. Мы видим, что коэффициенты лог-линейной функции спроса соответствуют эластичностям спроса по соответствующим переменным. Продиффиренцируем функцию спроса, но соответствующим логарифмическим переменным. Получаем итоговый результат:

• ценовая эластичность спроса: Е'!* = р *.

>?*?

р

• перекрестная эластичность спроса: EJ = Р ;

Уд' •'

• • эластичность спроса по доходу: Е^!_п = р,;
• • эластичность спроса по расходам на рекламу: Е^ =р_л.