Арифметика р-адических чисел

е наибольшую цифру)).Пример 4. В 5-ричной системе счисления √−1 = …412 013 233 и …32 431 212 (при возведении в квадрат они дают …444 444 444, т. е. −1; определить, какое из этих двух чисел равно i, а какое −i, невозможно).Пример 5. В 7-ричной системе счисления нельзя записать √−1, поскольку никакое целое число при возведении в квадрат по модулю 7 не даёт 6 (т. е. нельзя подобрать последнюю цифру).Пример 6. В 7-ричной системе счисления √−3 = …20 155 410 615 и …46 511 256 052 (при возведении в квадрат они дают …66 666 666 664, т. е. −3).Пример 7. В 13-ричной системе счисления √−1 = …101 550 155 и… BCB77CB78 (при возведении в квадрат они дают… CCCCCCCCC, т. е. −1).Складывая и умножая мнимую единицу с другими числами, можно получать различные комплексные числа.

3.Решение Задач1.

4 Докажите, что следующие метрические пространства не являются полными, и постройте их пополнения:

1) Rс расстоянием 2) Rс расстоянием Решение. Рассмотрим метрическое пространство Rс расстоянием.

Рассмотрим в этом метрическом пространстве последовательность точек. Тогда (Используем формулу) Так как, то получим, что Следовательно, последовательность точек является последовательностью Коши. Поэтому к метрическому пространству Rнеобходимо добавить точку. Аналогичным образом, рассматривая последовательность точек, получим, что к метрическому пространству R необходимо добавить точку. Будем считать, что. Пусть. Покажем, пространство является полным. Пусть является последовательностью Коши. Тогда.

Если и, то Следовательно, является последовательностью Коши в Rс расстоянием. Поэтому найдется, к которой сходится последовательность по метрике .Но тогда последовательность сходится к по метрике, так как в этом случае.

Пусть теперь последовательность не является ограниченной. Предположим, что Тогда, т. е. последовательность имеет предел в. Аналогичным образом иожно рассмотреть случай, когда Рассмотрим метрическое пространство Rс расстоянием.

Рассмотрим в этом метрическом пространстве последовательность точек. Тогда.

Так как, то последовательность точек является последовательностью Коши. Поэтому добавим к метрическому пространству R точку. Будем считать, что. Покажем, что полученное пространство является полным. Пусть является последовательностью Коши. Тогда.

Если и, то Следовательно, является последовательностью Коши в Rс расстоянием. Поэтому найдется, к которой сходится последовательность по метрике .Но тогда последовательность сходится к по метрике. Действительно, Пусть теперь последовательность не является ограниченной. Если и, то.

Но последнее неравенство означает, что последовательность является последовательностью Коши по метрике. Но тогда эта последовательность должна быть ограниченной. Противоречие. Следовательно, выполняется условие. Но тогда .

2.11. Докажите, что норма архимедова тогда и только тогда, когда Решение. Пусть норма архимедова. Тогда для 1можно указать такое, что.Поэтому. Следовательно, .Пусть теперь. Следовательно, можно указать такую последовательность чисел, что .Но тогда для любого получим. Поэтому для заданного yможно найти к такое, что будет выполняться неравенство. Следовательно, норма является архимедовой.

2.12 Докажите, что если норма на поле неархимедова, то любая точка замкнутого шара в является его центром (и то же самое для открытого шара) Решение. Пусть является произвольной точкой шара. Докажем, что. Действительно, если, то, т. е. Аналогично доказывается обратная импликация: 2.13 Докажите, что если норма неархимедова, то также неархимедова норма для любого. (Сравните с предложением 2.7 для евклидова абсолютного значения на Q.Решение.Пусть. Докажем, что является неархимедовой нормой.

Заключение

.

В работе рассмотрено понятие p-адических чисел, рассмотрен способ введения p-адических чисел через эквивалентные последовательности Коши. Рассмотрены правила выполнения арифметических действий с этими числами. Решены задачи, содержащиеся в книге Каток С. Б. «p-адический анализ в сравнении с вещественным"Литература.

Каток С.Б.p-адический анализ в сравнении с вещественным.М.:МЦНМО, 2004 г., 108 с. Коблиц Н. p-адические числа, p-адический анализ и дзета-функции. М.: Мир, 1981, 192 с.