Предельные теоремы для статистик, связанных с большим числом редких событий

Во многих задачах математической статистики вакную роль играют разделимые статистики (см., например,): где (j^Qoc), Н~ 1,2,. — последовательность измеримых функций, определенных для значений ое О, а, • • ¦ > «и.

О, — случайные величины (сл.в.)" имеющие мультиномиальное.

N Уь распределение с вероятностями .,. , р и числом испытаний ru. В случае, котаа функция cj^ имеет вид Я^ОД,.} Т {* } - индикаторная функция), статистика (I) представляет собой ^^{-статистику,} статистику максимального правдоподобия и так называемую статистику спектра, соответственно.

В диссертации рассматривается более общий объектпроцесс, значения которого представляют собой нормированные частичные суммы вида (I). Более точно: пусть Х^ > .jX^ независимые одинаково распределенные сл.в. с функцией распределения (ф.р.) Р — согласно гипотезе и с ф.р. — согласно альтернативе. Без ограничения общности рассматриваемой нике задачи монно предполагать, что ф.р. F и Р заданы на интервале [o, ll. Обозначим через и > соответственно, плотности вероятности (пл.в.) сл.в. X^. Введем биномиальный процесс zc*) =С х. .

К.. , UV. J ish.

Разделим интервал [0,lQ на N подинтервалов (t./N,(t+i)/M j, 1=0¹,. ., N -1. в этом случае wCh) = ^vxC^r) > а p.=&P («-/Nl) или в зависимости от того рассматривается гипотеза или альтернатива. Рассмотрим процессы вида где a N = к •••.

— последовательность измеримых функций, определенных для значений ос > О и zf^ Г^Д! «причём? — наименьшее целое положительное число такое, что при всех N и -6 выполняются следующие соотношения:

Заметим здесь, что, во-первых, рассматривать процессы X ' в вышеприведённой конструкции, т. е. связывать значения процесса Xм с приращениями биномиального процесса Е^ удобно с точки зрения применения мартингального подхода при нахождении предельных теорем для Х" «'^ • Во-вторых, поскольку кавдому набору вероятностей, ... } р^ мывсегда мокем поставить в соответствие пл. в. ^ по следующему правилу: и наоборот, для заданной пл. в.? мощно положить ri/M. д ci+lVM то, приведенная выше конструкция нисколько не умаляет общности рассматриваемой задачи.

Существует большое количество работ, посвященных нахождению предельного распределения для статистик (I) в случае, когда с ростом п. вероятности plrv стремятся к нулю, а N возрастаетНапример, в работах [i — 9 J были получены предельные распределения статистик и доказывались теоремы о сходимости конечномерных распределений процессов, аналогичных процессам. Но при этом не была приведена конструкция предельного процесса У.. В работе [ю] при асимптотике ъ/Ы ск, 0 < oL < оо была сформулирована теорема о сходимости по распределению процессов X*'** «траектории которых линейно сглаживались, т. е» рассматривались как элементы пространства непрерывных функций.

Во всех этих работах вывод предельного распределения статистик (i) основывался на следующем факте: где, i= 1? N — независимые пуассоновские сл. в, с интенсивностями ^p^r". — Таким образом сл.в.

• ••" заменялись независимыми сл.в., после IN IX. Я ' 7 14 чего находили предельное распределение статистики при условии I^гр ги. В работе [И] было предложено рассмат.

N ., как семимартингал относительно «удобного» потока ег-алгебр, ¦?> ^ ?), порошденного биномиальным процессом 2: п. Легко можно увидеть, что условное распределение приращений = субмартингала {zKU>,.

Cr’Z ^ при условии J-^ имеет очень простой вид, а именно р [л^) = * } = € (сс, К- ^U),), гдебиномиальное распределение с числом испытаний шгъ и вероятностью успеха р. Поскольку необходимые и достаточные условия сходимости по распределению семимартингалов выражаются в терминах условных распределений приращений семимартинга-ла, то удобно рассматривать процесс хПо [ь^Ы) как семимартингал относительно потока ^-алгебр

В работе [12] была доказана сходимость по распределению процессов к процессу Ито X в следующем случае.

N, т. е. когда rt/Nl 1 при п,—> оо .

Там нее приведено конструктивное описание процесса X .

Нике (см. §§ 2- 4 гл. П) будет рассматриваться случай 2) п-о (Ы), т. е. тъ/Ы 0 при rtЫ —> .

Поскольку среди интервалов (l/NJ, + /^, i~ 0}.. ^ N — 1 в случае I) найдётся «очень мало» интервалов, в которые попало «большое» число сл.в. Ху^, а в случае 2) найдётся «очень мало» интервалов, в которые попало больше одной из сл.в., .. .} Х^, то случаи I) и 2) будут называться случаями редких и очень редких событий, соответственно.

Если разделить интервал [0,l] на подинтервалы J.= = - i, где [аЗ обозначает целую.

часть числа, а, и рассматривать гистограмму.

Leo =^. * е.

Ih. ^ ^.

14 ^'rv.

Vv^v. здесь >iYb — приращения биномиального процесса zn в точках it, I =0Д,.,|Ч/У-1), то 'нетрудно обнаружить, что суммы вида (i) выракаются через интегральную статистику вида о. ^.

Так, например, при и |получаем равенство: i+l)/N Л =? 5? Ht Leo) At = Ны.

Поскольку при асимптотике tv-fw/^o? оценка пл. в. ^ не является состоятельной, то полагая и i-J N заключаем, что в случаях I) и 2) мы сталкиваемся с несостоятельны.

Гч/ ми оценками пл. в.

Хотя не существует традиции изучать интегральные статистики или процессы вида 0.

5, о основанные на оценках пл. в. общего вида.

•V 1.

V.

Uvv изучение условий, при которых оценки пл. в. общего вида (2) являются состоятельными или несостоятельными представляет самостоятельный интерес.

Перейдем теперь к изложению содержания диссертации по главам.

1. Медведев Ю. И. Некоторые теоремы об асимптотическом распределении статистики², — ДАН СССР, 192, 5 (1970), 987−989.

2. Медведев Ю. И. Разделимые статистики в полиномиальной схеме I,-Теория вероятн. и её примен., 22, I (1977), 3−17.

3. Медведев Ю. И. Разделимые статистики в полиномиальной схеме, П,-Теория вероятн. и ее примен., 22, 3 (1977), 623−630.

4. Hoist L., Asymptotic normality and efficiency for certaingoodness of fit tests .-Biometrika, 59, 1 (1972), 137 145.

5. Ивченко Г. И., Лёвин В. В. Асимптотическая нормальность одного класса статистик в полиномиальной схеме.- Теория вероятн. и её примен., 21, I (1976), 190−195.

6. Morris С., Central limit theorems for multinomial sums «-Ann. Statist., 3, 1 (1975), 165−188.

7. Steck G.P., Limit theorems for conditional distributions.-Univ. California Publ. Statist., 2, 12 (1957), 237 284.

8. Кодчин В. Ф., Севастьянов Б. А., Чистяков В. П. Случайные размещения .- Наука, М.: 1976.

9. Колчин В. Ф. 0 распределении одной статистики в полиномиальной схеме"* Труды МИЭМ, вып.32 (1973), 73−91.

10. Ивченко Г. И., Лёвин В"В. Нормальная аппроксимация для повторных выборок из конечной совокупности.- Третья мевдународ-ная Вильнюсская конференция по теории вероятностей и математической статистике. Тезисы докладов, т.1, Вильнюс, 1981, 217−218.

11. Хмаладзе 9.В. Некоторые применения теории мартингалов в статистике УМН 37, 6 (1982), 193−212.

12. Хмаладзе Э. В. Мартингальные предельные теоремы для разделимых статистик.- Теория вероятн. и её примен., 28, 3 (1983), 504−520.

13. Abou-Jaoude S., Conditions necessaires et suffisantes de convergence L^ en probabilite de 1'histogramme pour une desite.-Ann. Inst. H. Poincare, 12 (1976), 213−231.

14. Abou-Jaoude S., Sur la convergence L^ et Lj de l’estima-teur de la partition aleatore pour une densite.-Ann. Inst. H. Poincare, 12 (1976), 299−317.

15. Rosenblatt M., Remarks on some nonparametric estimates of a density function.-Ann. Math. Statist., 27 (1956), 832−837.

16. Parzen E., On the estimation of a probability density function and the mode.-Ann. Math. Statist., 33 (1962), 10 651 076.

17. Cacoullos T., Estimation of a multivariate density.-Ann. Inst. Statist. Math. 18 (1965), 179−190.18* Надарая Э. А. 0 непараметрических оценках плотности вероятности и регрессии.- Теория вероятн. и её примен., 10, I (1965), 199−203.

18. Van Ryzin J. On strong consistency of density estimates.-Ann. Math. Statist., 40 (1969), 1765−1772.

19. Deheuvels P. Conditions necessaires et suffisantes de convergence ponctuelle presque sure et uniforme presque sure des estimateurs de la densite.- C.R. Acad. Sci. Paris, Ser A278 (1974), 1217−1220.

20. Надарая Э. А. 0 непараметрической оценке байесовского риска в задаче классификации.- Сообщения АН ГССР, 82, 2 (1976), 278.280.

21. Надарая Э. А. Непараметрическое оценивание плотности вероятностей и кривой регрессии, — ТГУ, Тбилиси: 1983.

22. Devroye L., Wagner T.J. L, — convergence of kernel densityestimates.- Ann. Statist., 7, 5 (1979), 1136−1139.24. uevroye L., The equivalence of weak, strong and complete convergence in for kernel density estimates.- Ann.Statist., 11, 3 (1983), 896−904.

23. Walter G., Blun J. Probability density estimation usingdelta sequencesiAnn. Statist., 7, 2 (1979), 328−340.

24. Мнацаканов P.M., Хмаладзе Э. В. Об Ly* сходимости статистических ядерных оценок плотности распределения.- Х1У Всесоюзная школа-коллоквиум по теории вероятностей и математической статистике. Тезисы докладов, Мецниереба, Тбилиси, 1980, 17−18.

25. Мнацаканов P.M., Хмаладзе Э. В. Об Цсходимости статистических ядерных оценок плотностей распределений.- ДАН СССР, 258, 5 (1981), 1052−1055.

26. Орлов А. И., Непараметрические оценки плотности в топологических пространствах.- Сб. Прикладная статистика, Наука, М.: 1983, 12−40.

27. Мнацаканов P.M. Об одной предельной теореме для несостоятельных оценок плотности вероятности.- Предельные теоремы и стохастические уравнения.- Сборник статей, Мецниереба, Тбилиси: 1984, 72−82.

28. Ивченко Г .И., Медведев Ю. И" Разделимые статистики и про* верка гипотез для группированных данных.- Теория вероятна и её примен., 25, 3 (1980), 549−560.

29. Мнацаканов P.M. Функциональная предельная теорема для аддитивно разделимых статистик в случае очень редких событий.- Теория вероятн. и её примен. (в печати).

30. М’нацаканов P.M. О сходимости разделимых статистик к вине-ровскому процессу, — ХУ1 Всесоюзная школа-коллоквиум по теории вероятн. и мат. статистике. Тезисы докладов, ТГУ, Тбилиси: 1984, 34−35.

31. Мнацаканов P.M. О сходимости разделимых статистик к вине-ровскому процессуТеория вероятн. и её примен. (в печати).

32. Мнацаканов P.M. Мартингальные предельные теоремы: для статистик аддитивного типа.- Случайный анализ и асимптотические задачи теории вероятн. и мат. статистики, Мецниереба, Тбилиси: 1984, ЦЗ-П4.

33. Н5этансон И. П. Теория функций вещественной переменной.-М.: 1957.

34. Данфорд Н., Шварц Дк.Т. Линейные операторы. Общая теория.-Ш1, М.: 1962.

35. Stein Е.М. Singular integrals and differentiability properties of functions.- Princeton Univ. Press, Princeton, H-J: 1970.

36. Минусинский Я., Сикорский Р, Антосик П. Теория обобщенных^{функций.-} Секвециальный подход, Мир, М": 1976.

37. Феллер В.

Введение

в теорию вероятностей и её приложения, т.2, Мир, М.: 1967.

38. Леман Э. Проверка статистических гипотез.- Наука, М.: 1979.

39. Биляингсли П. Сходимость вероятностных мер.- Наука, М.: 1977.

40. Орлов Ю. К., Читашвили Р. Я. Некоторые проблемы статистического оценивания в относительно малых выборках.- Сообщения АН ГССР, 108, 3 (1982), 513−516.

41. Хмаладзе Э. В. Замечание о слабой сходимости линейных разделимых статистик.- Теория вероятн. и её примен., 25, 3(1980), 633−636.

42. Лоэв М. Теория вероятностей.- ИЛ, Mf: 1962.

43. Липцер Р. Ш., Ширяев А. Н. Функциональная центральная предельная теорема для семимартингалов.- Теория вероятн. и её примен., 25, 4(1980), 683−703.

44. Боровков А. А. Теория вероятностей.- Наука, М.: 1976.

45. Больиев-Л.Н., Смирнов Н. В. Таблицы математической статистики.- ВЦ, М.: 1968.

46. Гихман И. Н. Об асимптотических свойствах некоторых статистик, аналогичных величине % .- Теория вероятн. и её примен., I, 3(1956), 344−348.

47. Чибисов Д. М., Гванцеладзе Л. Г. О критериях согласия, основанных на группированных данных.- Ш Советско-Японский симп. по теор.вероятн., ФАНТашкент: 1975, 183−185.