Зведення визначників до визначника Вандермонда

Реферат на тему:

Зведення визначників до визначника Вандермонда.

Визначником Вандермонда порядку n називається визначник вигляду.

.

Як відомо,.

.

Розглянемо приклади зведення визначників до визначника Вандермонда.

Приклад 19. Обчислити визначник.

.

Розв’язування. Зрозуміло, що порядок визначника дорівнює n (наприклад, у другому рядку n елементів). Додамо до другого рядка перший:

.

Далі, в одержаному визначнику до третього рядка додамо другий:

.

Аналогічно, до четвертого рядка додамо третій. В одержаному після цього визначнику до п’ятого рядка додамо четвертий і т.д. В результаті, після додавання до n-го рядка (n-1)-го одержуємо визначник.

.

Цей визначник є визначником Вандермонда порядку n, а тому.

Приклад 20. Обчислити визначник.

Розв’язування. Зрозуміло, що порядок визначника дорівнює n +1 (у першому рядку n +1 елементів). Якщо всі рядки визначника записати у зворотному порядку, одержимо визначник Вандермонда порядку n +1. Для обчислення даного визначника будемо переставляти рядки. Як відомо, кожна перестановка двох рядків змінює знак визначника, що означає помноження визначника на -1. Спочатку будемо переставляти останній рядок визначника так, щоб винести його на перше місце і при цьому не міняти взаємне розміщення інших рядків. Для цього переставимо (n +1)-й рядок з n-м, знак визначника змінюється:

.

Далі, у цьому визначнику n-й рядок переставляється з (n -1)-м и т. д. В результаті, після виконання n таких сусідніх перестановок рядків одержуємо.

.

Далі, в одержаному визначнику переставляємо останній рядок так, щоб винести його на друге місце, не змінюючи взаємне розміщення інших рядків. Для цього потрібно n -1 сусідніх перестановок рядків, тобто.

.

В одержаному визначнику, аналогічно, останній рядок переставляємо на 3 місце за допомогою n -2 сусідніх перестановок і т.д. Нарешті, на останньому кроці переставляємо два останніх рядки і одержуємо.

=.

=.

.

Одержаний визначник є визначником Вандермонда порядку n +1. Тому.

.

Дійсно,.

.

.

У кожному зі співмножників одержаного добутку міняємо знак, тобто помножаємо співмножник на -1. Остаточно одержуємо.

.

Приклад 21. Обчислити визначник.

.

.

=.

.

Далі, з другого стовпчика одержаного визначника віднімемо перший:

.

З третього стовпчика визначника віднімемо другий:

.

Далі, з четвертого стовпчика визначника віднімемо третій і т.д. Нарешті, з останнього n-го стовпчика віднімаємо (n-1)-й стовпчик. Одержуємо визначник Вандермонда:

.

Таким чином,.

.

Задачі для самостійного розв’язування.

Обчислити визначник методом зведення до визначника Вандермонда.

Список літератури Курош А. Г. Курс высшей алгебры. — М., 1965.

Проскуряков И. В. Сборник задач по линейной алгебре. — М., 1984.

Фаддеев Д.К., Соминский И. С. Сборник задач по высшей алгебре. — М., 1977.

PAGE.