Асимптотическая несмещенность оценки параметра а

Приведем пример, когда второе условие (7) не выполнено. Измерять время будем в месяцах. Пусть данные берутся на середину квартала. Тогда последовательность моментов времени такова: 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, … Задан период — год. Периодическая составляющая задается четырьмя числами: g₁ = - 1, g₂ = -2, g₃ = -3, g₄ = 6. Для таких данных выполнено равенство (20), т. е.. Следовательно, выполнено первое условие (7). Используя это условие, можно упростить второе условие (7):

.

Для простоты расчетов ограничимся двумя годами. Тогда.

.

Второе условие (7) не выполнено. Оно не будет выполнено и для любого иного числа лет. Действительно, если х — начало года (для первого года х = 0, для второго х = 12, и т. д.), то вклад этого года в рассматриваемую сумму будет равен.

.

Причина нарушения второго условия (7) ясна — периодическая составляющая не симметрична в течение года. Такое поведение периодической составляющей естественно для сельскохозяйственных предприятий. Противоположную ситуацию демонстрирует периодическая составляющая для временного ряда цен на лом черных металлов (по данным Магнитогорского металлургического комбината), проанализированного выше.

Смещение оценки параметра а равно.

. (25).

В рассматриваемом примере числитель за m лет равен 30m. А знаменатель, очевидно, имеет порядок m³. Смещение имеет порядок m^-2, т. е. быстро убывает с ростом числа периодов. Оценка а* параметра, а является асимптотически несмещенной.

Нетрудно показать, что для модели с целым числом периодов всегда имеет асимптотическая несмещенность оценки а* параметра а. Если второе условие (7) выполнено — эта оценка является несмещенной, если не выполнено — смещенной, но смещение стремится к 0 при росте числа периодов. Таким образом, выполнение второго условия (7) не является необходимым для применения рассматриваемых методов. Тем не менее проверка второго условия (7) по экспериментальным данным является полезным для решения о том, можно ли пользоваться асимптотической несмещенностью оценки при имеющемся объеме данных.