Основные положения корреляционного анализа. 
Двумерная модель

Корреляционный анализ (корреляционная модель) — метод, применяемый тогда, когда данные наблюдений или эксперимента можно считать случайными и выбранными из совокупности, распределенной по многомерному нормальному закону.

Основная задача корреляционного анализа, как отмечено выше, состоит в выявлении связи между случайными переменными путем точечной и интервальной оценок различных (парных, множественных, частных) коэффициентов корреляции. Дополнительная задача корреляционного анализа (являющаяся основной в регрессионном анализе) заключается в оценке уравнений регрессии одной переменной по другой.

Рассмотрим простейшую модель корреляционного анализа — двумерную. Плотность совместного нормального распределения двух переменных X и У имеет вид:

(1.38).

— математические ожидания переменных X и Y;

— дисперсии переменных X и Y;

— коэффициент корреляции между переменными X и Y, определяемый через корреляционный момент (ковариацию) :

(1.39).

или с учетом свойства:

(1.40).

Величина характеризует тесноту связи между случайными переменными X и Y. Указанные пять параметров дают исчерпывающие сведения о корреляционной зависимости между переменными.

При совместном нормальном законе распределения случайных величин X и Y (1.38) выражения для условных математических ожиданий, т. е. модельные уравнения регрессии (1.1) и (1.2), выражаются линейными функциями:

(1.42).

Из свойств коэффициента корреляции следует, что является показателем тесноты связи лишь в случае линейной зависимости (линейной регрессии) между двумя переменными, получаемой, в частности, в соответствии с равенствами (1.41), (1.42) при их совместном нормальном распределении.

Условные дисперсии равны:

(, (.

т.е. степень рассеяния значений Y (или X) относительно линии регрессии Y по X (или X по У) определяется двумя факторами: дисперсией переменной Y (X) и коэффициентом корреляции и не зависит от значений независимой переменной х (у). По мере приближения | | к единице условная дисперсия >0, и значения переменных все менее рассеяны относительно соответствующих линий регрессии, т. е. очевиден смысл коэффициента корреляции как показателя тесноты линейной корреляционной зависимости.

Генеральная совокупность в определенном смысле аналогична понятию случайной величины и ее закону распределения, поэтому для вышеназванных параметров используется и другая терминология:, (или) — генеральные средние; , — генеральные дисперсии, и — генеральные ковариация и коэффициент корреляции.

Для оценки генерального коэффициента корреляции и модельных уравнений регрессии по выборке в формулах (1.40) — (1.42) необходимо заменить параметры их состоятельными выборочными оценками — соответственно (1.12), (1.18), (1.22), (1.19). В этом случае получим знакомые нам формулы для определения выборочного коэффициента корреляции r (1.30) и выборочных уравнений регрессии (1.16), (1.20). Выше (§ 2 и 3) те же формулы получены иначе — на основе применения метода наименьших квадратов. Совпадение результатов объясняется некоторыми ценными свойствами оценок метода наименьших квадратов.

В § 3 мы ввели выборочный коэффициент корреляции г и рассмотрели его свойства, исходя из оценки близости точек корреляционного поля к прямой регрессии без учета предпосылок корреляционного анализа. Однако если эти предпосылки нарушаются (совместный закон распределения переменных не является нормальным, одна из исследуемых переменных не является случайной и т. п.), то r не следует рассматривать как строгую меру взаимосвязи переменных.