Условие Коши-Римана. 
Функции комплексной переменной. 
Условия Коши-Римана

Пусть функции u (x, y) и v (x, y) дифференцируемы в точке (x, y) как функции действительных переменных и в этой точке выполнены условия Коши-Римана. Тогда функция комплексного переменного f (z)=u (x, y)+iv (x, y) дифференцируема в точке z=x+iy.

Аналитичность функции

Функция w=f (z) называется аналитической в точке z, если она дифференцируема как в точке z, так и в некоторой её окрестности. Функция w=f (z), дифференцируемая в каждой точке некоторой области D, называется аналитической функцией в этой области.

Гармоническая функция.

Функция ф (x, y) называется гармонической в области D, если она имеет в этой области непрерывные частные производные до второго порядка включительно и удовлетворяет в этой области уравнению Лапласа.

Конформное отображение.

Для того, чтобы отображение w=f (z) было конформно в области D, необходимо и достаточно, чтобы в этой области функция f (z) было однолистной и аналитической, причем для всех z из D.

Линейная функция

Линейной функцией комплексного переменного z называется функция вида w=az+b где a, bзаданные комплексные числа, причем а?0. Линейная функция определена для всех значений независимого переменного z, однозначна и т. к обратная функция z=w/a-b/a Также однозначна, однолистная во всей плоскости z.

Дробно-линейная функция

Называется функция вида.

a, b, c, dзаданные комплексные числа.

Причем.

Где n натуральное число, аналитична во всех комплексной плоскости; ее производная при n>1 j отлична от нуля во всех точках, кроме z=0.

Дробно-рациональная функция

Функция вида.

Где P, Q многочлены комплексного переменного z, Дробно-рациональная функция аналитична во всей плоскости, кроме тех точек, в которых знаменатель Q обращается в нуль.