Критерий Пирсона. 
Основные шкалы измерений. 
Критерии оценивания педагогических экспериментов

Назначения критерия Критерий может применяться:

для сопоставления эмпирического распределения признака с теоретическим — равномерным, нормальным или каким-то иным,.

для сопоставления двух, трех или более эмпирических распределений одного и того же признака Описание критерия Критерий отвечает на вопрос о том, с одинаковой ли частотой встречаются разные значения признака в эмпирическом и теоретическом распределениях или в двух и более эмпирических распределениях Преимущество метода состоит в том, что он позволяет сопоставлять распределения признаков, представленных в любой шкале, начиная от шкалы наименований. В самом простом случае альтернативного распределения «да — нет», «допустил брак — не допустил брака», «решил задачу — не решил задачу» и т. п. мы уже можем применить критерий .

Допустим, некий наблюдатель фиксирует количество пешеходов, выбравших правую или левую из двух симметричных дорожек на пути из точки, А в точку Б (см рис 1).

Рис. 1 Иллюстрация к примеру о теоретически равновероятном выборе из двух альтернатив — правой и левой дорожек, ведущих из точки, А в точку Б

Пусть, в результате 70 наблюдении установлено, что 51 человек выбрали правую дорожку, и лишь 19 — левую С помощью критерия мы можем определить, отличается ли данное распределение выборов от равномерного распределения, при котором обе дорожки выбирались бы с одинаковой частотой. Это вариант сопоставления полученного эмпирического распределения с теоретическим. Такая задача может стоять, например, в прикладных психологических исследованиях, связанных с проектированием в архитектуре, системах сообщения и др.

Но представим себе, что наблюдатель решает совершенно другую задачу: Совпадение полученного распределения с равномерным его интересует гораздо в меньшей степени, чем совпадение или несовпадение его данных с данными других исследователей. Ему известно, что люди с преобладанием правой ноги склонны делать круг против часовой стрелки, а люди с преобладанием левой ноги — круг по ходу часовой стрелки, и что в исследовании коллег преобладание левой ноги было обнаружено у 26 человек из 100 обследованных.

С помощью метода он может сопоставить два эмпирических распределения: соотношение 51: 19 в собственной выборке и соотношение 74: 26 в выборке других исследователей.

Это вариант сопоставления двух эмпирических распределений по простейшему альтернативному признаку (конечно, простейшему с математической точки зрения, а отнюдь не психологической).

Аналогичным образом мы можем сопоставлять распределения выборов из трех и более альтернатив. Например, если в выборке из 50 человек 30 выбрали ответ (а), 15 человек — ответ (б) и 5 человек — ответ (в), то мы можем с помощью метода проверить, отличается ли это распределение от равномерного распределения или от распределения ответов в другой выборке, где ответ (а) выбрали 10 человек, ответ (б) — 25 человек, ответ (в) — 15 человек.

В тех случаях, если признак измеряется количественно, скажем, в баллах, секундах или миллиметрах, нам, быть может, придется объединить все обилие значений признака в несколько разрядов. Например, если время решения задачи варьирует от 10 до 300 секунд, то мы можем ввести 10 или 5 разрядов, в зависимости от объема выборки. Например, это будут разряды: 0−50 секунд; 51−100 секунд; 101−150 секунд и т. д. Затем мы с помощью метода будет сопоставлять частоты встречаемости разных разрядов признака, но в остальном принципиальная схема не меняется.

При сопоставлении эмпирического распределения с теоретическим мы определяем степень расхождения между эмпирическими и теоретическими частотами.

При сопоставлении двух эмпирических распределений мы определяем степень расхождения между эмпирическими частотами и теоретическими частотами, которые наблюдались бы в случае совпадения двух этих эмпирических распределений. Формулы расчета теоретических частот будут специально даны для каждого варианта сопоставлений.

Чем больше расхождение между двумя сопоставляемыми распределениями, тем больше эмпирическое значение.

Гипотезы

Возможны несколько вариантов гипотез, в зависимости от задач, которые мы перед собой ставим.

Первый вариант:

Н₀: Полученное эмпирическое распределение признака не отличается от теоретического (например, равномерного) распределения.

Н₁: Полученное эмпирическое распределение признака отличается от теоретического распределения.

Второй вариант:

Н₀: Эмпирическое распределение 1 не отличается от эмпирического распределения 2.

Н₁: Эмпирическое распределение 1 отличается от эмпирического распределения 2.

Третий вариант:

Н₀: Эмпирические распределения 1, 2, 3,. не различаются между собой.

Н₁: Эмпирические распределения 1, 2, 3,. различаются между собой.

Критерий позволяет проверить все три варианта гипотез.

Графическое представление критерия [2].

Проиллюстрируем пример с выбором правой или левой дорожек на пути из точки, А в точку Б. На Рис. 2 частота выбора левой дорожки представлена левым столбиком, а частота выбора правой дорожки — правым столбиком гистограммы. На оси ординат отмеряются относительные частоты выбора, то есть частоты выбора той или иной дорожки, отнесенные к общему количеству наблюдений. Для левой дорожки относительная частота, которая называется также частостью, составляет 19/70, то есть 0,27, а для правой дорожки 51/70, то есть 0,73.

Левая Правая.

Рис. 2 Частоты выбора левой и правой дорожек, теоретическая частота представлена в виде горизонтальной планки, стрелками обозначены области расхождения между эмпирическими и теоретическими частотами

Если бы обе дорожки выбирались равновероятно, то половина испытуемых выбрала бы правую дорожку, а половина — левую. Вероятность выбора каждой из дорожек составляла бы 0,50.

Мы видим, что отклонения эмпирических частот от этой величины довольно значительны. Возможно, различия между эмпирическим и теоретическим распределением окажутся достоверными.

На Рис. 3 фактически представлены две гистограммы, но столбики сгруппированы так, что слева сопоставляются частоты предпочтения левой дорожки в выборе нашего наблюдателя и в выборке Т. А. Доброхотовой и Н. Н. Брагиной, а справа — частоты предпочтения правой дорожки в этих же двух выборках.

Левая Правая.

Рис. 3 Частоты выбора левой и правой дорожек в двух выборках испытуемых

Выборка наблюдателя, Выборка других исследователей Мы видим, что расхождения между выборками очень незначительны. Критерий скорее всего, подтвердит совпадение двух распределений.

Ограничения критерия.

1. Объем выборки должен быть достаточно большим n?30. При n<30.

критерий дает весьма приближенные значения. Точность критерия повышается при больших n.

2. Теоретическая частота для каждой ячейки таблицы не должна быть меньше 5: f?5. Это означает, что если число разрядов задано заранее и не может быть изменено, то мы не можем применять метод, не накопив определенного минимального числа наблюдений. Если, например, мы хотим проверить наши предположения о том, что частота обращений в телефонную службу Доверия неравномерно распределяются по 7 дням недели, то нам потребуется 5*7=35 обращений. Таким образом, если количество разрядов (k) задано заранее, как в данном случае, минимальное число наблюдений (nmin) определяется по формуле: nmin=k*5.

Выбранные разряды должны «вычерпывать» все распределение, то есть охватывать весь диапазон вариативности признаков. При этом группировка на разряды должна быть одинаковой во всех сопоставляемых распределениях.

Необходимо вносить «поправку на непрерывность» при сопоставлении распределений признаков, которые принимают всего 2 значения. При внесении поправки значение уменьшается.

Разряды должны быть неперекрещивающимися: если наблюдение отнесено к одному разряду, то оно уже не может быть отнесено ни к какому другому разряду.

Сумма наблюдений по разрядам всегда должна быть равна общему количеству наблюдений.

Главное же «ограничение» критерия — то, что он кажется большинству исследователей пугающе сложным.

Попытаемся преодолеть миф о непостижимой трудности критерия. Рассмотрим пример, который приведён в книге Е. В. Сидоренко.

Шутливый пример [2].

В гениальной комедии Н. В. Гоголя «Женитьба» у купеческой дочери Агафьи Тихоновны было пятеро женихов. Одного она сразу исключила из рассмотрения, потому что он был купеческого звания, как и она сама. А из остальных она не знала, кого выбрать: «Уж как трудно решиться, так просто рассказать нельзя, как трудно. Если бы губы Никанора Ивановича да приставить к носу Ивана Кузьмича, да взять сколько-нибудь развязности, какая у Балтазара Балтазарыча, да, пожалуй, прибавить к этому еще дородности Ивана Павловича, я бы тогда тотчас решилась. А теперь поди подумай! просто голова даже стала болеть. Я думаю, лучше всего кинуть жребий» (Гоголь Н.В., 1959, с.487). И вот Агафья Тихоновна положила бумажки с четырьмя именами в ридикюль, пошарила рукою в ридикюле и вынула вместо одного — всех!

Ей хотелось, чтобы жених совмещал в себе достоинства всех четверых, и, вынимая все бумажки вместо одной, она бессознательно совершала процедуру выведения средней величины. Но вывести среднюю величину из четверых людей невозможно, и Агафья Тихоновна в смятении. Она влюблена, но не знает, в кого. «Такое несчастное положение девицы, особливо еще влюбленной» (там же, с.487).

Вся беда в том, что ни Агафья Тихоновна, ни ее тетушка, ни сваха Фекла Ивановна не были знакомы с критерием ! Именно он мог бы им помочь в решении их проблемы. С его помощью можно было бы попробовать установить, в кого больше влюблена Агафья Тихоновна. Но для этого нам не нужно измерять губы Никанора Ивановича или нос Ивана Кузьмича, или объем талии дородного экзекутора Ивана Павловича; не нужно нам и пускаться на какие-нибудь опасные эксперименты, чтобы определить, насколько далеко простирается развязность Балтазара Балтазарыча. Мы эти их достоинства принимаем как данность потому лишь, что они нравятся Агафье Тихоновне. Мы принимаем их за разряды одного и того же признака, например, направленности взгляда Агафьи Тихоновны: сколько раз она взглянула на губы Никанора Ивановича? На нос Ивана Кузьмича? Благосклонно взирала на дородного Ивана Павловича или развязного Балтазара Балтазаровича? Внимательная сваха или тетушка вполне могла бы этот признак наблюдать. Допустим, за полчаса смотрин ею зафиксированы следующие наблюдения.

Агафья Тихоновна:

сидела с опущенными глазами 25 минут благосклонно смотрела на Никанора Ивановича 14 раз благосклонно смотрела на Ивана Кузьмича 5 раз благосклонно смотрела на Ивана Павловича 8 раз благосклонно смотрела на Балтазара Балтазарыча 5 раз.

Представим это в виде таблицы.

Таблица 4 Распределение взгляда Агафьи Тихоновны между 4 женихами.

Теперь нам нужно сопоставить полученные эмпирические частоты с теоретическими. Если Агафья Тихоновна никому не отдает предпочтения, то данное распределение показателя направленности ее взгляда не будет отличаться от равномерного распределения: она на всех смотрит примерно с одинаковой частотой. Но если достоинства одного из женихов чаще притягивают ее взор, то это может быть основанием для матримониального решения.

Гипотезы Н₀: Распределение взглядов Агафьи Тихоновны между женихами не отличается от равномерного распределения.

Н₁: Распределение взглядов Агафьи Тихоновны между женихами отличается от равномерного распределения. Теперь нам нужно определить теоретическую частоту взгляда при равномерном распределении. Если бы все взгляды невесты распределялись равномерно между 4-мя женихами, то, по-видимому, каждый из них получил бы по ј всех взглядов.

Переведем эти рассуждения на более формализованный язык. Теоретическая частота при сопоставлении эмпирического распределения с равномерным определяется по формуле:

f_теор=n/k.

где n — количество наблюдений;

k — количество разрядов признака.

В нашем случае признак — взгляд невесты, направленный на кого-либо из женихов; количество разрядов признака — 4 направления взгляда, по количеству женихов; количество наблюдений — 32.

Итак, в нашем случае: f =32/4=8.

Теперь мы будем сравнивать с этой теоретической частотой все эмпирические частоты.

Рис. 4. Сопоставление эмпирических частот взгляда Агафьи Тихоновны на каждого из женихов (столбики гистограммы) с теоретической частотой (горизонтальная планка); темной штриховкой отмечены области расхождений между эмпирическими и теоретическими частотами.

На Рис. 4 сопоставления эмпирических частот с теоретической представлены графически. Похоже, что области расхождений достаточно значительны, и Никанор Иванович явно опережает других женихов. Иван Павлович еще может на что-то надеяться, но для Ивана Кузьмича и Балтазара Балтазарыча отставка, по-видимому, неизбежна.

Однако для того, чтобы доказать неравномерность полученного эмпирического распределения, нам необходимо произвести точные расчеты. В методе они производятся с точностью до сотых, а иногда и до тысячных долей единицы.

Расчеты будем производить в таблице по алгоритму.

Расчет критерия

• 1. Занести в таблицу наименования разрядов и соответствующие им эмпирические частоты (первый столбец).
• 2. Рядом с каждой эмпирической частотой записать теоретическую частоту (второй столбец).

Подсчитать разности между эмпирической и теоретической частотой по каждому разряду (строке) и записать их в третий столбец.

Определить число степеней свободы по формуле: v=k-l

где k — количество разрядов признака.

Если V=l, внести поправку на «непрерывность» .

5. Возвести в квадрат полученные разности и занести их в четвертый столбец.

Разделить полученные квадраты разностей на теоретическую частоту и записать результаты в пятый столбец.

Просуммировать значения пятого столбца. Полученную сумму обозначить как _эмп

Определить по таблице критические значения для данного числа степеней свободы v.

Если _эмп меньше критического значения, расхождения между распределениями статистически недостоверны.

Если _эмп равно критическому значению или превышает его, расхождения между распределениями статистически достоверны.

Все вычисления для данного случая отражены в Табл.5.

Таблица 5 Расчет критерия при сопоставлении эмпирического распределения взгляда Агафьи Тихоновны между женихами с равномерным распределением.

Может показаться, что удобнее суммировать все возведенные в квадрат разности между эмпирическими и теоретическими частотами, а затем уже эту сумму разделить на f_т. В данном случае это возможно, так как f_т для всех разрядов одинакова. Однако позже мы увидим, что так бывает далеко не всегда. Нужно быть внимательными или, экономя свое внимание, просто взять за правило всякий раз вычислять (f_зj — f_т) ²/ f_т до суммирования.

Необходимо также всякий раз убеждаться в том, что сумма разностей между эмпирическими и теоретической частотами (сумма по третьему столбцу) равна 0. Если это равенство не соблюдается, это означает, что в подсчете частот или разностей допущена ошибка. Необходимо найти и устранить ее прежде чем переходить к дальнейшим расчетам.

Алгоритм вычислений, таким образом, выражается формулой:

где.

f_зj — эмпирическая частота по j-тому разряду признака;

f_т — теоретическая частота;

j — порядковый номер разряда;

k — количество разрядов признака.

В данном случае:

Для того, чтобы установить критические значения, нам нужно определить число степеней свободы V по формуле: v=k-l.

где k — количество разрядов. В нашем случае V=4−1=3. По таблице определяем:

7,815 (p < 0,05).

_кр

11,345 (р < 0,01).

Построим «ось значимости». Ясно, что чем больше отклонения эмпирических частот от теоретической, тем больше будет величинаПоэтому зона значимости располагается справа, а зона незначимости — слева.

_эмп <_кр

К сожалению, на основании этих данных тетушка не сможет дать Агафье Тихоновне обоснованного ответа:

Ответ: Н₀ принимается. Распределение взгляда Агафьи Тихоновны между женихами не отличается от равномерного распределения.