Границы выпуклости и звездообразности

Граница выпуклости.

Обратимся к геометрическому истолкованию¹ неравенства (7″, установленного в § 1, п. 5 для однолистных, голоморфных ь единичном круге нормированных функций:

Мы достигнем этой геометрической интерпретации, если рассмотрим отображение окружности |г|=г. Угол положительного направления касательной к окружности | z 1 = г в точке z = reh естьf- ?• В отображённой точке.

J{z) касательная к отображённой кривой имеет направление т = -ftp -(;

dx

— f- argf (z). Заметив, что кривизна линии есть^=^-, продифференцирует©.

ем т относительно С другой стороны,

9

и, значит,

потому что in/'(*)== In |/'(z)|-f iargfiz). Таким образом, имеем:

Знак совпадает со знаком кривизны линии отображения, потому что ^.

^{d ds df}

отличается от кривизны лишь положительным множителем^. Следовательно выражение —R ^имеет знак, совпадающий со знаком кривизны линии отображения.

С другой стороны, вследствие неравенства (7) имеем:

Если теперь выражение, стоящее в левой части последнего неравенства, положительно для |z|=r, то это по предыдущему означает, что отображение окружности г =г есть выпуклая кривая.

Простым вычислением мы убеждаемся, что для | z | < 2 —У~Ъ =0,26… выражение правой части нашего неравенства всё время положительно, в то время как при z | > 2 — У~Ъ отрицательно. Поэтому при каждом однолистном отображении f{z) круга z < 1 круг z <2 — У Ъ отображается на выпуклую область. Существует случай, когда именно круг | z | < 2 — У 3 отображается выпукло и никакой больший с ним концентрический уже не отображается выпукло. Это будет в случае функции _t что легко можно проверить вычислением. Найденное число 2 — У 3 представляет, таким образом, иаилучшую границу выпуклости для всего семейства однолистных в единично." круге и нормированных функций.