Влияние ошибок при определении корреляции цен базовых активов на стоимость кредитования

Предположим теперь, что при определении ставки кредитования мы используем приближенное значение коэффициента корреляции между управляющими винеровскими процессами W_{ и W₂ из уравнений (4.79) и (4.80), т. е. dW_{dW₂ =рdt. В таком случае стоимость платежного обязательства (ps (*i®,х₂(Т)), гарантирующего его держателю определенную выплату на момент времени Т исходя из заранее оговоренной платежной функции ф§, считается равной /(0,Xj (0), x₂(0)), где / является решением задачи.

Как и прежде, величина 8 выбрана таким образом, чтобы верным было тождество /₁+/₂= /(0, I_x +V_{0, 1₂ + V₂₀). Безусловно, определяемая таким образом стоимость платежного обязательства является приближенной, а следовательно, приближенными являются и найденные значения величины начисленных процентов 8 и соответствующей ей ставки кредитования к. Цель данного подпараграфа заключается в том, чтобы оценить величину потерь кредитора, в случае если коэффициент корреляции при расчете ставки кредитования был выбран отличным от фактического.

Введем обозначение ф₀(х₁, х₂) = /(0,х_х, х₂) для начальной стоимости платежного обязательства в соответствии с моделью, использующей приближенное значение коэффициента корреляции р. Стоимость платежного обязательства с такой начальной стоимостью, очевидно, будет равняться /(t, Xy (t), x₂(t)), t е [0; 7], где функция / должна удовлетворять соотношениям.

Таким образом, мы приходим к задаче (4.88), аналогичной задаче (4.62) параграфа 4.7. Соответственно, ошибку в определении стоимости платежного обязательства будем обозначать как

При этом G (t, x_v x₂) отвечает зависимостям, идентичным (4.63):

Соответственно, платежная функция, отвечающая начальной стоимости ф₀(л*1, s₂), будет равна (p^(x_v x₂) = G (T, x_lfx₂) + (ps (x_t, x₂). Для решения задачи (4.89) проделаем замены, аналогичные заменам, сделанным в параграфе 4.7:

в результате чего придем к следующей некорректной задаче, идентичной задаче (4.64):

Для решаемой нами задачи необходимо определить значение G (T, х_х, х₂) = п (0, пх_х, lmr₂) при различных х_{ и х₂. Полагая т = Г и исходя из следствия 3.1 к теореме 3.6, задачу нахождения /2(0, у_х, у₂) = z (y_x, у₂) сводим, как и в параграфе 4.7, к интегральному уравнению первого рода относительно неизвестной функции z (y_b у₂)

где.

и.

Заметим, что благодаря экспоненциально быстрому убыванию ядра в уравнении (4.91) при стремлении У, у₂к бесконечности мы имеем возможность осуществить в уравнении (4.91) процедуру замены области интегрирования. Таким образом, область интегрирования может быть заменена возрастающей последовательностью ограниченных множеств. Процедура решения подобных интегральных уравнений с непрерывным ядром, ограниченной областью интегрирования и правой частью из пространства L₂ достаточно просто может быть реализована численно, обеспечивая кусочноравномерную сходимость приближений к точному решению. Однако заметим, что вопрос тщательного анализа сходимости решений при предельном переходе к исходной неограниченной области интегрирования остается открытым. После того как решение уравнения (4.91) найдено, величина г (1пд:₁(Т), 1пх₂(7*)) показывает, на сколько должна отличаться функция выплат по кредиту при наличии корреляции между стоимостью проектов от функции выплат без учета этой корреляции.