Упруго-пластический изгиб тонких пологих оболочек положительной гауссовой кривизны из разносопротивляющихся материалов при больших прогибах

В последние годы происходит широкое внедрение композитных и полимерных материалов в строительстве, в машиностроении, а также во многих других отраслях народного хозяйства. Однако полноценное их применение осложнено отсутствием единой расчетной базы.

Анализ экспериментальных данных по деформированию и предельным состояниям таких материалов как чугунов, графитов, бетонов указывает на не применимость к ним обобщенного закона Гука. Гораздо более эффективным оказывается аналитическое представление опытных данных при одноосном растяжении и при одноосном сжатии различными линейными функциями с вычислением модулей деформации, соответствующих одноосному растяжению и одноосному сжатию. Этот подход можно считать основным для представления свойств изотропного разносопротивляющегося материала.

При выходе за пределы упругости, линейные аппроксимации оказываются недостаточно точны, и в этом случае необходимо использовать более точные нелинейные аппроксимации. Следует также заметить, что, выше упомянутые, нелинейные аппроксимации должны учитывать характерную особенность деформирования разносопротивляющихся материаловзависимость характеристик деформирования от вида напряженного состояния и склонность к дилатации. Причем последнее замечание в большей степени относится к области пластических деформаций материалов, поскольку экспериментальные данные указывают на то, что зависимость деформационных характеристик материалов от вида напряженного состояния проявляется при высоком уровне напряжений.

До недавнего времени ставилось под сомнение влияние вида напряженного состояния на деформационные характеристики материалов, а результаты экспериментов, подтверждающих это явление, связывались с низким качеством постановки самих экспериментов. Прогресс в этом направлении был, достигнут за последние десятилетия советскими и российскими учеными. По мере накопления экспериментальных данных явление разносопротивляемости отмечалось уже у широкого класса материалов и стало вызывать заметный интерес среди ученых. Естественно, что развитие исследований в этой области привело к появлению фундаментальных результатов в области построения определяющих соотношений разносопротивляющихся сред.

Дальнейшее изучение свойств и поведения, разно сопротивляющихся материалов обнаружило, что ощутимые эффекты, возникающие в работе конструкций, связанные с явлением разно сопротивляемости, обнаруживаются лишь при сложном напряженно-деформированном состоянии. К числу таких состояний, несомненно, относится плоское напряженное состояние. Диаграммы предельных состояний некоторых материалов приводятся ниже. На рис. 0.1 приведены диаграммы предельных состояний бетонов с пределом прочности на сжатие И=30.9 МПа (сплошная линия) и К=18.б4 МПа (штриховая линия) [107]- на рис. 0.2 — мелкозернистого графита марки МПГ — б (сплошная линия) и среднезернистого марки ВПП (штриховая линия), полученные при испытании трубчатых образцов под действием внутреннего давления и осевой силы [86]- на рис. 0.3 — чугунов СЧ 18 — 36 (сплошная линия) [16] и СЧ 400 (штриховая линия) [44]- на рис. 0.4 полиметилметакрилата [24]- на рис. 0.5 — фторопласта [18] и на рис. 0.6 — фенопласта К-18−2 [36].

Рис. 0.1.

— 1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4.

РИС. 0.2.

Рис. 0.3 Рис. 0.4.

На основе анализа приведенных диаграмм предельных состояний можно заключить, что вид напряженного состояния существенно влияет на величину предельных напряжений. Причем следует отметить, что эта величина зависит не только от вида напряженного состояния, но и от количественного соотношения возникающих напряжений.

Как уже ранее отмечалось, явление разносопротивляемо-сти материалов вносит существенные эффекты в работу конструкций лишь при сложном напряженно-деформированном состоянии. Ярким примером которого является изгиб. Поэтому плиты, пластины, оболочки представляют большой интерес с позиции теории разносопротивляющихся сред, а учет свойств разносопротивляемости может привести к глобальному пересмотру механики пластин и оболочек.

Изучению пластического изгиба тонких пологих оболочек посвящен ряд работ. Причем для материалов с классическими свойствами исследования в этой области, в основном сводятся к определению предельных нагрузок, а что касается разносопротивляющихся материалов, то работы носят теоретический характер без проведения расчетов.

С учетом выше сказанного целью данной работы является решение задачи пластического изгиба тонких пологих оболочек положительной гауссовой кривизны из дилатирующих разносопротивляющихся материалов, получение значений предельных нагрузок и изучение развития пластических зон по толщине оболочки с ростом нагрузки.

Для этой цели необходимо:

— Рассмотреть пространство нормированных напряжений, связанное с октаэдрическими площадками.

— Проанализировать условия пластичности разносопротивляющихся материалов.

Получить дифференциальные уравнения, описывающие упруго-пластический изгиб тонких пологих оболочек из раз-носопротивляющихся материалов при больших прогибах.

— Решить ряд прикладных задач пластического изгиба тонких пологих оболочек положительной гауссовой кривизны выполненных из разносопротивляющихся материалов при больших прогибах, с учетом различных закреплений по контуру.

— Провести сравнительный анализ полученных результатов расчета тонких пологих оболочек с учетом классической теории пластичности и условий пластичности, учитывающих зависимость пределов текучести от вида напряженного состояния .

В диссертации решается актуальная задача описания пластического изгиба тонких пологих оболочек из дилати— рующих разносопротивляющихся материалов. Причем полученные результаты указывают на то, что поведение оболочек из рассмотренных материалов при изгибе за пределом упругости не укладывается в рамки классической теории изгиба оболочек. Следует также заметить, что данная работа не претендует на точное описание пластического изгиба тонких пологих оболочек из любого, разносопротивляющегося материала. В дальнейшем следует развивать теорию изгиба тонких оболочек для подобных материалов, предлагать новые варианты условий предельных состояний, развивать специальные численные методы. При последующем накоплении определенного запаса знаний в этой области можно будет говорить о применимости какого-то определенного подхода к описанию свойств того или иного класса материалов. И чем богаче будет этот запас, тем с большей степенью уверенности можно будет прогнозировать работу рассматриваемых, в рамках данной диссертационной работы, конструкций.

Новыми научными результатами, которые выносятся на защиту, являются:

Разработана математическая модель упруго-пластического изгиба тонких пологих оболочек из разносо-противляющихся материалов при конечных прогибах на основе нового условия пластичности, предложенного Трещевым A.A.

— Разработан пакет прикладных программ для решения задачи упруго-пластического изгиба тонких пологих оболочек положительной гауссовой кривизны из разносопротивляю-щихся материалов при больших прогибах.

— Получены новые численные конкретные результаты расчета тонких пологих оболочек из разносопротивляющихся материалов при больших прогибах за пределами упругости.

— Обнаружен ряд новых количественных и качественных эффектов деформирования тонких пологих оболочек из разносопротивляющихся материалов за пределом упругости при больших прогибах.

— Обосновано применение нового условия предельного состояния разносопротивляющихся материалов при упруго-пластическом изгибе тонких пологих оболочек в области больших прогибов.

— Проведено сравнение результатов расчета тонких пологих оболочек из разносопротивляющихся материалов при больших прогибах с учетом условий пластичности, предложенных Ломакиным Е. В. и Трещевым A.A.

Диссертационная работа состоит из четырех разделов, заключения, списка цитируемой литературы и приложений.

В первом разделе приводится обзор основных условий предельного состояния разносопротивляющихся материалов.

Во втором разделе рассматривается вариант нормированного пространства напряжений связанного с октаэдрическими площадками, показывается вывод условия пластичности для дилатирующих разносопротивляющихся материалов. Для вывода зависимостей между пластическими составляющими приращений деформации и напряжениями принимается ассоциированный с введенным условием пластичности закон течения. Из общих соотношений выводятся уравнения для описания пластического деформирования в условиях плоской деформации. Проверяется выпуклость предельной поверхности в соответствии с постулатом Друккера.

В третьей главе происходит постановка задачи изгиба пологих оболочек из дилатирующих разносопротивлющихся материалов за пределом упругости. Приводятся основные принятые в работе предпосылки и гипотезы для описания работы тонкой пологой оболочки. Выводятся дифференциальные уравнения равновесия тонких пологих оболочек из указанных выше материалов, распространяется метод конечных разностей, на случай разносопротивляющихся дилатирующих материалов.

В четвертой главе проводится расчет прямоугольных жестко заделанных и шарнирно опертых оболочек. Производится анализ полученных результатов.

Заключение

содержит основные и общие выводы по проведенным исследованиям напряженно — деформированного состояния пологих оболочек из разносопротивляющихся дилатирующих материалов. В приложениях представлен обширный графический и табличный материал, как результат о выполненных расчетах и практической применимости полученных в диссертации результатов.

Основные материалы диссертации опубликованы в авторских работах [25−39].

— 12.

1 ОБЗОР ИЗВЕСТНЫХ МОДЕЛЕЙ ПЛАСТИЧЕСКИХ ИЗОТРОПНЫХ РАЗНОСОПРОТИВЛЯЮЩИХСЯ МАТЕ РИАЛОВ.

Исследования по изучению и определению критериев прочности и пластичности материалов имеет богатую историю. Первые предположения в этой области были сделаны Галилеем и Лейбницем. В последующем, развитием теорий прочности были посвящены работы Мизеса, Генки, Сен-Венана, Мариотта, Ляме, Клебша, Баушингера, Бельтрами и других выдающихся механиков. Спустя столетия работы этих исследователей были признаны классическими, а их результаты были объединены в виде теорий прочности. Все теории и гипотезы, сделанные различными исследователями, охватить в данной главе не представляется возможным. К тому же многие из этих предположений, с дальнейшим развитием науки, стали представлять разве что историческую ценность. Далее постараемся изложить теории, заслуживающие на наш взгляд рассмотрения и представляющие научную ценность, в хронологической последовательности их возникновения.

В 1773 г. Кулоном была предложена теория прочности, в которой в качестве критерия прочности фигурирует наибольшее касательное напряжение [70]. Позже эта теория получила название теории максимальных касательных напряжений. В соответствии с этой теорией наступление предельного состояния формулируется в виде с (1−1) где стс, сур — предельные напряжения при сжатии и растяжении- <�з1г а2, Сз — главные напряжения, причем су1>ст2>С7з .

Геометрической интерпретацией теории максимальных касательных напряжений в пространстве главных напряже.

— 13 ний является шесть плоскостей при пересечении образующих правильную шестигранную призму (рис. 1.1.а). В случае плоского напряженного состояния предельная кривая будет соответствовать шестиугольнику (рис. 1.1.6).

Рис. 1.1.

Теорию максимальных касательных напряжений Кулон распространил также и на материалы, неодинаково сопротивляющиеся растяжению — сжатию. Для этого он выдвинул гипотезу, предполагающую, что в случае сжатия (среднее напряжение с отрицательным знаком), максимальное касательное напряжение является линейной функцией среднего нормального напряжения в плоскости расположения гтах: тах = а. а* + Ъ (1.2).

Для случая одноосного растяжения и одноосного сжатия уравнение (1.2) запишется в виде:

2 2 2 2.

Решая уравнения (1.3) совместно относительно, а и Ь.

У, — 0~2 * О", + 0″ 3 с учетом зависимостей гтах =-, а =- получим.

2 2 условие предельного состояния в форме.

С73<0-р (1.4).

Условию (1.4) в пространстве главных напряжений соответствует предельная поверхность в виде шестигранной равно наклонной к осям пирамиды (рис. 1.2.а). В случае плоского напряженного состояния предельная кривая будет соответствовать шестиугольнику (рис. 1.2.6).

Рис. 1.2.

Уравнение (1.4) можно получить воспользовавшись теорией Мора [17]. Физический смысл данной теории можно сформулировать в следующем виде: нарушение прочности материала наступает либо при достижении касательными напряжениями т некоторой критической величины, зависящей от нормальных напряжений ст, действующих по тем же плоскостям скольжения, либо при достижении наибольшим нормальным напряжением ах предельного для данного материала значения. Следуя приведенной выше формулировке,.

— 15 можно сделать вывод, что данный критерий прочности основан на предположении, что среднее главное напряжение су2 оказывает достаточно небольшое влияние на наступление предельного состояния и может не учитываться.

Как критерий пластичности (условие возникновения пластических деформаций) критерий разрушения Кулона был установлен в 18 64 г. инженером Треска, который, начиная с 18 63 г. в течение восьми лет занимался исследованием пробивания и прессования металлов. Краткое содержание результатов его исследований было опубликовано в 18 64 г., а более подробное изложение представлено в 18 68 г. Треска установил, что при неодноосном напряженном состоянии пластические деформации возникают когда наибольшее касательное напряжение достигает половины предела текучести при одноосном растяжении. Полученный результат был высоко оценен Сен-Венаном, который в 1871 г. использовал его при построении теории пластичности [17]. В теории пластичности данный критерий называется критерием Треска — Сен-Венана.

Треска на основе своих экспериментальных исследований установил, что пла’стические деформации происходят без изменения объема, и вывел ряд формул, связавших длину выбиваемой части стержня, силу, необходимую для создания течения, с радиусом образца и радиусом штампа.

Если пределы текучести материала при растяжении и сжатии различны, то тогда в качестве критерия пластичности может быть использован критерий, предложенный Мором в 1900 г. [17] и основанный на том, что нарушение прочности материала наступает при достижении касательными напряжениями т некоторой критической величины, ко.

— 16 торая зависит от нормальных напряжений а, действующих по тем же плоскостям скольжения, либо при достижении наибольшим нормальным напряжением а1 предельного значения для данного материала. Исходя из этого, нетрудно сделать вывод, что данный критерий прочности основан на предположении, что среднее главное напряжение <т2 оказывает небольшое влияние на наступление предельного состояния и может не учитываться.

Построив в координатах а, т (где <т — нормальное напряжение, действующее на рассматриваемой площадке, хвеличина касательного напряжения) семейство кругов Мора, соответствующих различным предельным напряженным состояниям, можно провести огибающие этого семейства. В таком случае любой круг Мора, касающийся предельных огибающих, определяет некоторое множество предельных напряженных состояний. Поэтому, если задано некоторое напряженное состояние, то можно построить для него круг Мора и увеличивать его размеры до тех пор, пока он не коснется предельных огибающихотношение радиусов полученных таким образом предельного и начального кругов Мора определит коэффициент запаса для данного напряженного состояния.

Можно приближенно получить предельную огибающую, построив только три предельных круга Мора и проведя к ним касательные (предельные огибающие) (рис. 1.3). Здесь первый и второй круги изображают предельные состояния одноосного растяжения и сжатия соответственно (отрезок ОА — предел прочности при чистом растяжении стр, отрезок ОВ — предел прочности при чистом сжатии стс). Третий круг отвечает некоторому предельному напряженному состоянию с главными напряжениями а! и ст3. Из рисунка видно, что.

С03: Е02 = О1О3: или.

ЕОз-ООх): (С02−001) = (001−003): (ОО1+ОО2). О В.

ГЗГ о^.

А ст.

Рис. 1.3.

Заменяя в последнем выражении длины линий соответствующими значениями напряжений, получим ег, — <т3 — а р сгр -(о*! +сг3) ас ~<Тр или.

•1 аз =сг .

Последнее выражение совпадает с выражением (1.4). Поэтому две рассмотренные выше теории были объединены в одну, получившую название теории Кулона — Мора. Представленная теория получила широкое распространение в механике и до сих пор используется для определения предельного напряженного состояния некоторых дилатирующих.

— 18 материалов. Однако для случая разносопротивляющихся материалов на данный момент имеется недостаточное количество экспериментов, чтобы можно было точно указать границы и область ее применимости. Более того, в последнее время, благодаря бурному развитию материаловедения, появляются все новые, зачастую композитные материалы, пластические свойства которых, в той или иной мере, зависят от вида напряженного состояния.

Наряду с теорией постоянства максимальных касательных напряжений важное место в механике занимает теория Губера — Мизеса — Генки [70]. Эта теория относится к так называемым энергетическим концепциям. Основоположником данной теории можно считать Бельтрами, предположившему в 18 8 5 году, что опасное состояние материалов I наступает при достижении удельной потенциальной энергией некоторого предела. В 1904 году, Губер сделал попытку согласования этой теории с тем фактом, что материалы могут выдерживать значительные гидростатические давления, не приходя в состояние пластичности. Он предложил на случай отрицательного шарового тензора, за критерий прочности принимать не полную величину потенциальной энергии, а только ту ее часть, которая отвечает за изменение формы. Математическая форма записи этого условия имеет вид: ах-стг) 2+ (а2-а3) 2+ (Стз" ^) 2=2ат2 (1.5).

Позднее в 1913 году Мизес и в 1914 году Генки, независимо друг от друга, доказали, что условие (1.5) справедливо и для положительного шарового тензора.

Геометрической интерпретацией условия (1.5) в пространстве главных напряжений является равнонаклонный к главным осям круговой цилиндр (рис. 1.4.а), описанный вокруг призмы Кулона. Для плоского напряженного состояния предельная кривая приобретает форму эллипса (рис. 1.4.6).

Дальнейшее развитие и изучение вопросов об установлении критериев прочности и пластичности разносопротив-ляющихся материалов происходило, в большей степени, по пути модификации гипотезы Мизеса-Генки с применением различных форм учета влияния шарового тензора. Были предложены соотношения, предполагающие зависимость предельного состояния от величины гидростатического давления. К работам, базирующимся на этой гипотезе, относятся работы П. П. Баландина, Шлейхера, И. Н. Миролюбова, Ю. И. Ягна, и некоторых других ученых.

По-видимому, первой гипотезой, выдвинутой в этом направлении, была гипотеза Шлейхера [17], сформулированная в 1925 году. По его теории в качестве критерия прочности материалов, неодинаково сопротивляющихся растяжению — сжатию, следует принимать величину полной а) б) *.

Рис. 1.4.

— 20 удельной энергии деформации. Предельное ее значение должно быть не постоянной величиной, а ' некоторой функцией среднего (гидростатического) напряжения сг = 8- (Ту /3 .

Предполагая зависимость удельной потенциальной энергии от, а линейной, Шлейхер сформулировал условие прочности в следующем виде:

2 2 2.

1 +СГ22 + сг33 ~ 2К°*1 1°22 + а 1°33 + <*22<*33) +.

1−6).

2(1 + V) • (<712 + СГ13 + <Т23) + (СГС — (7р) • ((Гц + С722 + 0″ 33) = СГ^,, где V — коэффициент Пуассона.

В критерий (1.6) входят две независимые константыпределы прочности на растяжение стр и на сжатие ас. Предел прочности на сдвиг выражается через них по формуле.

2(1 + v).

В пространстве главных напряжений условию (1.6) соответствует замкнутая поверхность вращения — эллипсоид со смещенным относительно начала координат центром (рис. 1.5). ось эллипсоида.

Рис. 1.5.

Критерий Шлейхера почти не используется для практических расчетов, так как он недостаточно подтверждается опытами.

— 21.

П.П. Баландин [5] предложил за условие прочности в пределах упругости для изотропного, однородного упругого материала принять величину потенциальной энергии связанной с изменением формы тела. Её предельное значение считать не постоянной величиной, а зависящей от напряженного состояния, а именно, линейно, от гидростатического давления, Входящие же в условие прочности два параметра ар и стс он рекомендует определять из простейших опытов.

Это условие можно записать в следующем виде:

ЛГ=А}, (1.7) где.

А/ + + - - + + 3(^ху + ТХ2 + V)] '.

А*г=асг + Ъ = ^(стх + (Т22 +сг33) + Ь 3.

Рассматривая случаи одноосного растяжения и одноосного сжатия, из условия (1.7) будем иметь:

1 + 1/ <т (стр)2=а-^ + Ь. (1.8).

3 Е р 3.

Аналогично для случая одноосного сжатия получим.

1 + V 7 0.

-— (сг) = —а —^ + Ъ. (1.9).

3 Е с 3.

Решая совместно систему уравнений (1.8) и (1.9) получим.

1 + у и 1+у/ ч.

Таким образом, в развернутом виде критерий прочности Баландина по условию (1.7) запишется в форме:

2 2 2 аи +а22 +о-33 ~{(ти (т22+<�тист33+а22ст33) +.

Ъ (а2 + <�тъ + 0−23) + (страс)-(ап+ ст22 + сг33) = ара р^ с ¦

1.10).

В критерий (1.10), так же как и в критерий (1.6), входят две константы прочности материала: сгр и <тс. Предел же прочности на сдвиг х3 выражается через стр и <тс следующим образом:

При ар=ас критерий Баландина принимает вид критерия Губера-Мизеса-Генки (1.5).

В пространстве главных напряжений, предельной поверхностью, соответствующей условию (1.10) является параболоид вращения (рис. 1.6), пересекающий свою ось ст в единственной точке, соответствующей предельному значению напряжения при всестороннем равномерном растяжении. С другой стороны поверхность разомкнута, т. е. при всестороннем сжатии прочность не ограничена.

Рис. 1.6.

В результате экспериментов над рядом материалов, в частности, над закаленной сталью, некоторыми марками бетона и др. было установлено, что критерий Баландина дает хорошие результаты. В частности это подтверждают, результаты экспериментов, проведенные над твердозака-ленной инструментальной сталью марок У12А, Р18, 9ХС и др., для которых пределы прочности на растяжение и сжатие разнятся приблизительно вдвое.

Для некоторых марок бетона и некоторых видов напряженного состояния критерий Баландина также может быть рекомендован для расчетов. Однако сравнительно небольшое число опытов на плоское напряженное состояние не позволяют, на данный момент, оценить границы применимости этого критерия.

И.Н. Миролюбов [60] предложил записывать критерий прочности в виде полинома:

Как видно из выражения (1.11) этот критерий представляет собой квадратичную функцию гидростатического напряжения исодержит две независимые константы прочности материала стр и стс. Условие предела прочности на сдвиг т3 выражается через пределы прочности на растяжение и сжатие следующим образом.

В пространстве главных напряжений критерию (1.11) соответствует поверхность вращения — однополостный гиперболоид с осью, равнонаклонной к осям принятой системы координат (рис. 1.7).

Описанные выше критерий имеет два серьезных недоси + 022 + °33) + (°" с — <Гр)(crl 1 +²² + °" 33) = <*р

33 1.

2 +6(сг12 +а-, 2з +0−23)].

Р^ С •.

1−11) татка. Во-первых, предельная поверхность не имеет точек пересечения со своей осью и, следовательно, согласно рассматриваемому критерию прочность не ограничена и при всестороннем растяжении и при всестороннем сжатии, что для ряда материалов не соответствует действительности. Во-вторых, предельная поверхность Миролюбова обладает отрицательной Гауссовой кривизной и, следовательно, находится в противоречии с постулатом Друккера. Обращая внимание на изложенное выше, трудно ожидать широкого применения описанного критерия в практических расчетах. Вместе с тем, применительно к чугуну, при отдельных видах напряженного состояния, критерий Миролюбова дает лучшие результаты, чем критерий Баландина.

Рассмотренные критерии Кулона — Мора, Баландина, Шлейхера, Миролюбова содержат в себе две независимые константы материала ар и стс. Поэтому в пространстве напряжений каждому условию соответствует конкретная предельная поверхность. Вместе с тем, наряду с подобными взглядами, существует и другой подход, предполагающий, что предельное условие должно содержать три независимые ось гиперболоида.

РИС. 1.7. константы материала ср, стс и xs. В таком случае критерии прочности будут иметь обобщенный характер, а при определенных соотношениях, между константами прочности, можно получить некоторые, рассмотренные ранее, предельные условия. Ниже приведем некоторые условия предельного состояния, использующие такой подход.

Ю. И. Ягн [91] предложил предельное условие записывать в виде полинома второй степени, симметричного относительно всех трех главных напряжений (последнее условие вытекает из условия изотропности материала):

ТХ ~СГ2)2 +(ст2 -С73)2 +(<7! -СГ3)2 + а{с7х + СТ2 + C73f + b{crj + сг2 + <т3) = с .

Предполагается что константы <з, Ь, с находятся из опытов на одноосное растяжение, одноосное сжатие и чистый сдвиг. Выражение (1.12) для каждого из этих простейших напряженных состояний в отдельности, примет форму.

2 2.

2<т р + астр + b<7 р-с (растяжение).

0 О сгс + 2асгсЬ<7С — с (сжатие).

6ts=c (сдвиг).

Совместное решение этих трёх уравнений, относительно постоянных а, Ь, с, с последующей их подстановкой в уравнение (1.12) представит критерий предельного состояния Ягна в развернутом виде: с722 +сгзз +2of2 +2О-12з + 2о" 2з) + (1 ~ i +^22 +^з)2 +.

2 г, 2 т, (1.13) К — X°" l 1 + °22 + °33) ='<*р°с.

При = о-рсгс условие (1.13) сводится к критерию.

V з.

Баландина.

При т5 о-р<�ус условие (1.13) сводится к крите щ рию Миролюбова.

7 т.

При ар-ас-ат и выражение (1.13) приводится л/3 к критерию удельной энергии формоизменения (1.5).

В пространстве главных напряжений критерию Ягна соответствует не какая-либо определенная предельная поверхность второго порядка, а, в зависимости от соотношения констант прочности, либо параболоид, либо гиперболоид, либо цилиндр и т. д.

Границы применимости критерия Ягна, вследствие его недостаточной экспериментальной проверки, до конца не исследованы.

При формулировке различных условий пластичности, несмотря на различие исходных предпосылок, проявлялось стремление описать одно и то же явление, а именно, зависимость характеристик пластичности и прочности материалов от вида напряженного состояния. Причем рассмотренные критерии, как было ранее замечено, учитывали преимущественно влияние гидростатического давления на наступление предельного состояния.

— 27 -о, МПа.

300 4.

200 ;

100 ~Г—.

0 10 20 8,% Рис. 1.8.

На рис. 1.8. показана характерная диаграмма деформирования фенопласта К-17−2 на основе фенолформальде-гидной смолы и древесных опилок в условиях одноосного сжатия при одновременном действии всестороннего давления рабочей среды р [3] (1-р=0,1 МПа- 2-р=30 МПа- 3-р=50 МПа- 4-р=10 0 МПа- 1-р=18 0 МПа- 1-р=200 МПа). Здесь по осям направлены осевое напряжение и осевая деформация. о,.

300 200 100.

Рис. 1.9.

На рис. 1.9 показаны диаграммы деформирования, построенные в координатах интенсивности деформаций.

4 2 г/<�Г.

— 28 е0 = ^2/3?у?у и интенсивности напряжений ег0 = / 25,-у5'(у ву- 3^(c)/3 — девиатор тензора деформации, буСг/З — девиатор тензора напряжений) трубчатых образцов из чугуна СЧ 15−32 [16], полученные при пропорциональном нагружении осевой силой и крутящим моментом. Кривая 1 соответствует одноосному растяжению, кривая б — одноосному сжатию, кривая 2 — чистому кручению, кривые 3, 4, 5 получены при отношении главных напряжений СТ3/СТ1 = -2, -1.4, 0.217.

Рис. 1.10.

На рис. 1.10 представлены диаграммы деформирования фторопласта-4 [19,22,23]. Испытания проводились при пропорциональных нагружениях. Кривая 1 получена при одноосном сжатии, кривая 5 — при одноосном растяжении. Кривые 2, 3, 4 соответствуют плоским напряженным состояниям с соотношением средних напряжений к интенсивности напряжений а/<�т0 = -0,2- -0,01- 0,17.

В монографии [57] Н. М. Матченко, A.A. Трещева показано, что учет влияния одного гидростатического давления на наступление предельного состояния разносопротив-ляющихся дилатирующих материалов не может считаться в.

— 29 общем случае удовлетворительным, а рассмотренные диаграммы (1.2, 1.3, 1.4) отчетливо подтверждают это заключение. В соответствии с тем что сказано выше, нельзя ожидать от критериев предельного состояния, предполагающих подобный подход, их универсального использования в практических расчетах. Хотя для отдельных материалов при частных напряженных состояниях они могут быть рекомендованы к применению. В общем же случае предельные зависимости должны учитывать влияние, как гидростатического давления, так и вида напряженного состояния на наступление предельного состояния.

Произвольное напряженное состояние можно определить несколькими параметрами, зависящими от вида напряженного состояния. Однако введение в условия прочности или пластичности всех качественных параметров не всегда оправдано, так как существенно усложняет расчеты. Часто достаточно точные результаты можно получить, характеризуя вид напряженного состояния в среднем, применяя только один параметр. Некоторые исследователи указывают на целесообразность учета влияния вида девиатора напряжений путем введения в условие прочности фазового инварианта .

Гениев Г. А. и Киссюк В. Н. [14] при исследовании возможности применения к расчету бетонных и железобетонных конструкций различных критериев прочности предложили критерий предельного состояния с поверхностью более общего вида, чем поверхность вращения второго порядка. Предложенное уравнение поверхности имеет следующий общий вид:

Е (11г Э2, —0, (1.14).

— 30 где 11=СТ1+<�Т2+С1з — первый инвариант тензора напряжений- 52= (ст12+ст22+аз2-ст1ст2-ст1стз-ст2стз) /3-второй инвариант девиатора напряжений- = - третий инвариант девиатора напряжений 5″. = сг^ — 8усг .

Авторами получен следующий конкретный вид предельной поверхности по уравнению (1.14) г,. (о Г с Л" 3.

2=[сграс+{ас-стс)1×1 v ^ у.

V ;

1.15) где А, В, С — постоянные коэффициенты, выражающиеся через пределы прочности на простое растяжение, сжатие и сдвиг.

После выражения коэффициентов А, В, С через стр, ас и т3 критерий (1.15) принимает следующий вид: з.

3 52=[^<7с+(«7с-^с)/1]1v ^ у 2 чЗу ¦ (1.16).

В пространстве главных напряжений предельная поверхность (кривая I, рис 1.11), соответствующая критерию (1.16), вписана в поверхность параболоида Баландина арас кривая II, рис. 1.11). При соотношении — обе поверхности совпадают. Используя постулат Друккера о выпуклости предельной поверхности, получаются следующие ограничения на константы прочности материала.

Ья.

Таким образом, в критерий (1.16) входят три независимые константы прочности материала стр, стс и т3, а последний член в этом выражении связан с углом вида де-виатора напряжений выражением.

9 Яз сояЗс? =—- ,.

2ст03 где собЗ^? — фазовый инвариант. а3.

С другой стороны, угол вида девиатора напряжений непосредственно связан с параметром Лоде-Надаи.

Из последнего выражения ясно, что для различных видов напряженного состояния параметр может принимать одно и то же значение. Рассмотрим более подробно случай когда сг,=сг2, при этом /ла =1 независимо от того чему равно (Т3, т. е. данное значение будет сохраняться в случаях трехосного растяжения, двухосного растяжения сжатия и т. д.

Таким образом, фазовый инвариант не позволяет различить качественную картину напряженно деформированного состояния материала. К тому же использование параметра.

Рис. 1.11.

Лоде-Надаи или фазового инварианта в условиях пластичности существенно усложняет расчеты элементов конструкций. С другой стороны поправка, которую вносит учет этих параметров, часто имеет тот же порядок, что и. разброс экспериментальных данных. Хотя при формулировке условий прочности применение параметра Лоде-Надаи или фазового инварианта в некоторых случаях может быть целесообразно. Так проведенная экспериментальная проверка на образцах из бетона показала хорошее соответствие экспериментальных данных и расчетных результатов, полученных при использовании критерия Гениева-Киссюка.

В работе [76] Л. А. Толоконников предлагает определить предельную поверхность в форме.

В выражении (1.17) аргументами функции, представляющей предельную поверхность, приняты величины нормального сг и касательного т напряжений на октаэдриче.

1.17).

Рис. 1.12.

— 33 ских площадках, а также угол вида напряжённого состояния (р (рис. 1.12). Уравнение оси сг определяется выражением а, — <у2 = с3, а полуось изменения т лежит в плоскости, перпендикулярной оси сг .

Аналитически предельную поверхность предлагается представлять полиномами по ст, т с коэффициентами, зависящими от ф. Простейшей в этом классе является поверхность деформированного параболоида вращения:

Ат2+Вт + Ссг = 1. (1.18) где А, В считаются экспериментально определенными функциями ср. Коэффициент С не может зависеть от (р из-за единственности точки предельной поверхности на оси <т.

Если считать коэффициенты А, В постоянными то условие (1.18) может быть сведено к критерию Баландина. При учете зависимости, А и В получим поверхность «деформированного параболоида». Простейшей из поверхностей такого класса будет поверхность, любое из меридиональных сечений которой можно получить преобразованием подобия одного из меридиональных сечений. Например, возьмем выражение (1.18) в виде а (+ тсоъЪ (р)2т2 + /?(1 + + — = 1, (1.19) о" / где а, Р, т, <у (- константы.

Для определения констант а, р, т, сг (в работе [43] рекомендуется использовать опыты по одноосному растяжению или одноосному сжатию, опыты по двухосному равномерному сжатию круглого диска и опыты по кручению цилиндрической трубки.

В расчетах технологических процессов порошковой металлургии широкое распространение получило условие пла.

— 34 стичности, выдвинутое Грином [95],. которое может быть представлено в следующей форме:' (1.20, а2 Ъ2.

1 Г 2 2 21 где Т = —=[(сг1 -сг2) +(сг2-сг3) + (сг3 -<т,) ] - интенсивность л/ 6 касательных напряженийа, Ь, с — константы материала, определяемые из опытов на одноосное растяжение, одноосное сжатие и чистый сдвиг.

В ряде работ в качестве параметра вида напряженного состояния принимаются отношение среднего напряжения ст к интенсивности напряжений а0- Так в работе [51] Ломакиным Е. В. рекомендуется использовать параметр ?*=о*/сг0, который в среднем характеризует соотношение между нор-, мальными и касательными напряжениями. Условие предельного состояния в этой работе представлено в следующем, достаточно общем, виде: а0=к, (1.21) где /(?*) — функция, зависящая от вида напряженного состоянияк = 4Ът3- т5 — предел текучести при чистом сдвиге .

Вид функции /(?*) определяется для каждого материала в отдельности, обработкой экспериментальных диаграмм предельных состояний этого материала при различных видах напряженного состояния. При некоторых конкретных видах этой функции условие (1.21) может быть приведено к ранее рассмотренным критериям прочности и пластичности. *.

При линейной аппроксимации функции /(?)=1+А£ при.

— 35 ходим к условию Кулона-Мора в форме (1.4) .

При /(?*) = const получаем условие Губера-Мизеса-Генки.

Т0 = к .

Если функцию /(¿-Г) принять в виде) = ¦

К К ' то условие (1.21) приводится к критерию Баланди-на (1.10).

Если функцию /(?*) принять в виде = а сг0 +Ъ'?<�т + с то условие (1.21) приводится к критерию Ягна (1.13).

На рис. 1.13 приведены графики функции, зависящей от вида напряженного состояния, построенные на основании экспериментальных данных для полиэтилена высокого давления (кривая 1) — для полиметилметакрилата (кривая 2) — для фенопласта АГ-4 В (кривая 3). Значения констант к для этих материалов равны 14, 125 и 67 МПа соответственно .

На рис. 1.14 приведены графики указанной функции, построенные на основании экспериментальных данных для графита ВПП (кривая 1) — для графита МПГ-б (кривая 2) — для чугуна МСЧ38−60 (кривая 3). Значения констант к для этих материалов составляют 21, 4 6 и 290 МПа соответственно .

— 2 -1 0 0.33 -1 -0.67 -0.33 0 0.33 0.67.

Рис. 1.13 Рис. 1.14.

Для рассмотренных материалов, как рекомендовано в работе [51], могут быть использованы следующие аппроксимации функций вида напряженного состояния.

— для полиэтилена высокого давления.

4*) = 1 + 0.12^*- (1.22).

— для полиметилметакрилата — (1.23).

— для фенопласта АГ-4 В.

•.

— для графита ВПП.

Г) = 1 + 1.86Г.

— для графита МПГ-6 = 1 + 1.44^.

— для чугуна МСЧ38−60.

1−24).

1.25).

1.26).

1.27).

Представленные на рис. 1.13 и 1.14 графики функций обладают явно выраженной нелинейностью, что может значительно затруднить практические приложения критерия (1.21). С другой стороны, следует признать, что линейная аппроксимация функции типа /(?*) может быть использована только на конечном интервале изменения параметра, поскольку указанный параметр имеет неопределенности типа ±-<х>, а функция /(?*) необходимым образом должна быть положительно определенной. Необходимо также отме.

Е* тить, что свойственные параметру д неопределенности могут при отдельных напряженных состояниях создать непреодолимые сложности.

С течением времени задачи механики деформируемого твердого тела все более расширяются. К расчетам предъявляются требования получения полной информации о работе конструкции в большом диапазоне деформирования, включая и этап разрушения.

В последние десятилетий многие ученые работали в области изучения работы конструкций за пределом упругости. Так, например, работа «Изгиб прямоугольных пластин за пределом упругости» авторов А. И. Стрельбицкой, В. А. Колгадина и С. Н. Матошко [74] повещена разработке методов решения задач на основе деформационной теории пластичности и предпосылок технической теории изгиба пластин. Применены и развиты метод упругих решений в сочетании с методом конечных разностей и вариационный метод. Исследованы напряженное и деформированное состояние пластин в упругопластической области с учетом влияния ряда факторов (характер и величина нагрузки, соотношение размеров пластин, граничные условия, упрочнение и неоднородность материала). В работе определены зоны текучести на поверхности пластины и по ее толщине, найдены эпюры прогибов, изгибающих и крутящего моментов .

В монографии Л. В. Енджиевского «Нелинейные деформации ребристых оболочек» [21] представлен широкий.

— 38 класс задач, в том числе пологие оболочки, подкрепленные сеткой широких и узких ребер, произвольно ориентированной по отношению к координатным линиям, многослойные оболочки и другие. Все они объединены в единой формулировке за счет использования физических зависимостей в форме связи обобщенных усилий, собранных по высоте всего сечения. На основе метода Ньютона и его модификаций представлены для рассматриваемого класса задач вариационные формулировки в линеаризованной форме. Описана реализация численных алгоритмов, а также рассмотрены вопросы постановки и особенности численной реализации для ребристых оболочек при описании физической нелинейности теорией течения.

Также развитие теории расчета пластин и оболочек за пределами упругости представлено в работах Д. Друккера [20], Н. П. Абовского [1, 2], Л. М. Качанова [44], Б. Я. Кантора [43], X. М. Муштари [61], А. Р. Ржаницына [73], Ю. М. Лепика, Э. Йыгм [50], Г. С. Шапиро [89], В. Ольшака, А. Савчука [63], Ю. Н. Шевченко, И. В. Прохоренко [90], А. А. Фиртыча [87], Н. И. Безухова [6].

Таким образом, расчету пластин и оболочек за пределами упругости посвящено довольно значительное количество работ. Однако, для материалов с классическими свойствами исследования в этой области, в основном, сводятся к определению предельных нагрузок, а в случае разносопротивляющихся материалов работы носят теоретический характер без проведения расчетов.

Представленный в данной главе анализ существующих критериев прочности и пластичности позволяет сделать вывод, что на данном этапе развития механики деформируемого твердого тела не существует единого подхода для определения предельного состояния элементов конструкций из дилатирующих разносопротивляющихся материалов.

Поскольку явление разносопротивляемости не вносит существенных эффектов в работу конструкций при одноосных напряженных состояниях, то предложенные формулировки предельных критериев имеют практический смысл лишь при сложном напряженно — деформированном состоянии тел, ярким представителем которого является изгиб пластин и оболочек. С другой стороны, для многих конструкций главенствующими факторами, при описании их работы, являются переход в пластическое состояние и исчерпание ресурса пластичности.

Таким образом, диссертация посвящена актуальной задаче механики твердого тела — адаптации нового условия пластичности для дилатирующих разносопротивляющихся материалов и практическому их применению при расчете тонких пологих оболочек.

Основные результаты работы состоят в следующем:

1. Проведен анализ применимости нового условия предельного состояния Трещева A.A. для решения задачи упруго-пластического изгиба тонких пологих оболочек положительной гауссовой кривизны из разносопротивляющихся материалов при больших прогибах.

2. Проведено исследование упруго-пластического изгиба тонких пологих оболочек, выполненных из изотропных дилатирующих разносопротивляющихся материалов при больших прогибах. Работа оболочки разделялась на три стадии:

— упругая работа.

— состояние односторонней пластичности.

— состояние двусторонней пластичности.

Следует заметить, что упругая стадия работы оболочки рассматривалась в рамках классической теории изгиба оболочек при больших прогибах. Для двух последних указанных стадий были получены разрешающие дифференциальные уравнения.

3. Полученные уравнения решены численным методом конечных разностей. Причем в связи с некоторыми особенностями решаемой задачи рассматривались совместно центральные и односторонние разности.

4. Решен ряд прикладных задач по упруго-пластическому изгибу тонких пологих оболочек из разносо-противляющихся материалов при больших прогибах. А именно, рассчитаны квадратные в плане тонкие пологие оболочки, выполненные из полиметилметакрилата и конструкционного графита МПГ-6 при шарнирном опирании и жесткой защемлении контуров. Расчет производился по трем вариантам. В первом варианте расчета рассматривалось новое условие пластичности, предложенное Трещевым A.A. Во втором варианте расчета условия пластичности рассматривалось в форме, предложенной Ломакиным Е. В. В третьем варианте расчета, условие пластичности принималось в традиционной классической форме Губера — Мизеса.

5. Для всех материалов и способов закрепления, рассматриваемых в данной диссертации показано хорошее согласование результатов расчетов с учетом условий пластичности Трещева A.A. и Ломакина Е. В. (максимальные расхождения по предельным нагрузкам составляют 5−10%).

6. Показано, что не учет пластической разносопро-тивляемости может привести к серьезному завышению значений предельных нагрузок (4 0−8 0% в зависимости от материала) .

Заключение

.

Приведенный в первом разделе диссертации анализ известных предельных критериев, учитывающих в той или иной степени свойства разносопротивляющихся материалов позволяет сделать вывод о том, что все они в большей или меньшей степени обладают определенными недостатками. Поэтому, проблема определения предельных состояний разносопротивляющихся дилатирующих материалов остается, на данный момент, открытой и актуальной.

Проведенный анализ полученных результатов, при учете свойств разносопротивляемости в первом варианте расчета с условием пластичности, предложенным Трещевым А. А и втором варианте расчета с условием пластичности, предложенным Ломакиным Е. В., позволил сделать вывод о недопустимости применения классических подходов к данным материалам.

Незначительное расхождение в полученных результатах у первого варианта расчета с условием пластичности, предложенным Трещевым А. А и второго варианта расчета с условием пластичности, предложенным Ломакиным Е. В., указывает на приемлемость применения нового условия пластичности для решения рассматриваемой задачи.