Расчет и проектирование оптимальных по долговечности элементов конструкций

Современное развитие техники и отдельных отраслей промышленности характеризуется повышением нагрузок, скоростей и температуры при работе машин и механизмов. Это в свою очередь предъявляет все более высокие требования к материалам и конструкциям, используемым в различных областях народного хозяйства, накладывает ограничения на их вес, время эксплуатации, экономичность итехноло-гичность. В связи с этим важное значение приобретают задачи расчета и проектирования оптимальных элементов конструкций, работающих в условиях ползучести и удовлетворяющих наперед заданным свойствам.

Начало теоретическим исследованиям в области оптимизации было положено Лагранжем, показавшим возможность применения вариационного исчисления при отыскании конструкции наименьшего веса. С тех пор наряду с развитием вариационного исчисления появились совершенно новые методы решения оптимизационных задач, хорошо приспособленные к применению ЭВМ [1−4]. Подробное изложение общих оптимизационных методов, а также методов, используемых для проектирования элементов конструкций, представлено в работах [1-п] .

Значительное количество всевозможных оптимизационных методов указывает на то, что не существует универсального подхода для решения такого рода задач, поскольку какой-либо метод, хорошо зарекомендовавший себя при решении одних задач, оказывается малоэффективным или вообще непригодным при решении других. Выбор того или иного метода при решении оптимизационной задачи в значительной степени зависит от ее постановки и допущений, принимаемых в каждом конкретном случае.

Большинство исследований в области оптимизации конструкций проведены в упругой и упругопластической постановках. В работах [ 7,12−20 ] рассматриваются различные задачи и методы решения при проектировании оптимальных балок и стержневых систем. Значительное количество работ, выполненных в упрутопластической постановке, посвящено оптимальному проектированию дисков, пластин и оболочек [ 21−29 ].

Общие свойства оптимальных элементов конструкций, работающих в условиях ползучести, были сформулированы и рассматривались к работах [ 30−32 ]. В них введено определение оптимальной конструкции, у которой разрушение происходит во всем объеме или на части поверхности одновременно за некоторое наперед заданное время 1**. Показано, что оптимальная по разрушению конструкция обладает наименьшим весом среди конструкций, выдерживающих заданные нагрузки в течении времени, не превосходящего. Предлагаемые постановки задач распространялись на конструкции, поведение материала которых описывалось законом установившейся ползучести, а в качестве критерия оптимальности использовалось условие типа равнопрочноети [ 30−35 ]. Например, в [зЗ ] рассмотрены равнопрочные в условиях ползучести балки и плиты, у которых при постоянных во времени нагрузках разрушение крайних по толщине волокон происходит одновременно. Б [ 34 ] решена задача определения толщины цилиндрической оболочки при условии постоянства мощности диссипации. Проектирование равнопрочных конструкций является по существу обратной задачей механики и решается обычными методами [ 2,3,33,34].

Однако постановки оптимизационных задач, основанные на использовании условия равнопрочности, обладают некоторыми недостатками, ограничивающими их практическое применение. Например, в некоторых случаях получаемые решения могут не соответствовать реальным конструкциям.

В отличии от [ 30 -35 ] в работах [ 36,37,85−88] рассматриваются постановки задач проектирования оптимальных конструкций, работающих в условиях ползучести с учетом повреждаемости материала. В [ 36,85] на основе обобщения и анализа экспериментальных данных для ряда конструкционных материалов в определенном температурно-силовом диапазоне обосновано существование эквивалентной термосиловой поверхности в смысле повреждаемости и длительности до разрушения. В результате этого дано определение оптимальной по долговечности конструкции и установлено для нее условие оптимальности, связывающее между собой в каждой точке тела температуру и инварианты тензора напряжений. В частности, для слу чая стационарных внешних нагрузок показано, что напряженное состояние будет установившимся, а скорость деформации ползучести оптимальной конструкции будет определяться произведением скорости деформации установившейся ползучести на функцию времени, определяемую из кинематического уравнения повреждаемости. Конкретные задачи в такой постановке рассмотрены в работах [ 37,86−88 ], причем в [86,87] решена задача определения оптимальной по долговечности турбинной лопатки, а в [37,88] показана возможность реализации равнопрочной в процессе ползучести конструкции путем надлежащего подбора внешних нагрузок и температуры. Эта задача решена применительно к неравномерно прогретому диску переменной толщины с отверстием, при этом использована система уравнений, описывающая все три стадии ползучести материала с одновременным учетом накопления повреждений.

Однако отмеченные недостатки, присущие равнопрочным конструкциям в предположении установившейся ползучести, остаются и при решении аналогичных задач с учетом повреждаемости материала.

Поэтому наиболее распространенными подходами к решению задач оптимального проектирования элементов конструкций являются вариационные методы исследования функционалов цели на экстремум.

2,3,7]. Вариационное исчисление остается не только главным средством при рассмотрении общих свойств различных классов оптимальных конструкций, -но и успешно используется для решения конкретных задач [ 38−48 ].

В работах [ 38−40 ] в вариационной постановке выполнены задачи оптимального проектирования профиля вращающегося диска, обладающего минимальным весом. В аналогичных постановках рассматриваются задачи проектирования оптимальных по условиям эксплуатации балок и пластин [ 41−43]. Причем в [ 431 считается, что пластина изготовлена из разномодульного материала с различными характеристиками ползучести на растяжение и сжатие, поведение которого можно описать кусочно-линейным потенциалом ползучести. Большое количество работ, выполненных в вариационной постановке, посвящено оптимальному нагреву пластин и оболочек, в которых рас^ сматриваются задачи отыскания температурных полей, обеспечивающих минимальные упругие напряжения [ 44−47 ].

При проектировании оптимальных элементов конструкций нередко пользуются методами теории оптимального управления, которые позволяют учитывать ограничения некоторых механических параметров, заданных в виде неравенств, и приводят к более реальным проектам [ 1*6,48−56 ]. В работе [ 50 ] для решения задачи проектирования оптимальной балки, работающей в условиях ползучести и изготовленной из материала с различными свойствами на растяжение и сжатие, использован принцип максимума Понтрягина.

Применение вариационного исчисления для решения оптимизационных задач связано с определенными трудностями, поскольку получаемая система уравнений в большинстве случаев является нелинейной и не может быть решена аналитически, а учет ограничений в виде неравенств приводит еще к большему усложнению этого аппарата [1−5].

Учет ограничений, заданных в виде неравенств, может быть осуществлен с помощью функций Миеле или же других приемов, изложенных в работах [I, 5−7 ].

Для численного решения задач оптимального проектирования с учетом ограничений, заданных в виде неравенств, в работе [?] предложен итерационный метод, основанный на использовании уравнений Эйлера.

В последнее время широкое распространение при решении задач проектирования оптимальных конструкций получили методы математического нелинейного программирования [1−5,58−61]. Практически любая вариационная задача может быть сведена к задаче нелинейного программирования [ 3,5 ].

Среди наиболее распространенных методов нелинейного программирования являются методы релаксации (покоординатный спуск), наискорейшего спуска (градиентный метод), сопряженных градиентов [1,3,5].

Учет ограничений, накладываемых на какие-либо параметры конструкции, можно осуществить методами штрафных функций, проекций градиента и другими методами [ 1,3,5 ] .

При решении вариационных задач в замкнутой области весьма эффективен метод локальных вариаций, изложенный в работе [ 4 ]. Этот метод применим к интегралам, зависящим от нескольких функций и переменных и, что особенно важно при оптимизации конструкций, к сложным функционалам. Следует отметить, что учет ограничений в виде равенств, которые нельзя разрешить относительно варьируемых параметров, невозможен.

Метод локальных вариаций, как и все методы нелинейного программирования, приводит к локальному экстремуму и может быть реализован только на ЭВМ.

Таким образом, подавляющее большинство работ, посвященных проектированию оптимальных элементов конструкций, выполнено в предположении установившейся ползучести и не учитывает того факта, что разрушению предшествует процесс накопления повреждений в материале, который в свою очередь оказывает существенное влияние на скорость деформации ползучести и приводит к перераспределению напряжений во времени [ 62−71 ] .

Величину накопленных повреждений принято отождествлять с одним из структурных параметров, определяющих состояние материала на любой момент времени вплоть до начала разрушения [ 65−71 ].

Расчет напряженно — деформированного состояния с учетом повреждаемости материала даже для простейших элементов конструкций встречает определенные трудности [ 62 ] и требует значительного времени на ЭВМ [ 66 ] .

Использование системы кинетических уравнений ползучести с одновременным учетом повреждаемости материала приводит к существенному усложнению оптимизационной задачи, делает ее нестационарной и требует колоссальных затрат времени на ЭВМ. Видимо этим и объясняется, что подавляющее большинство работ, посвященных оптимальному проектированию конструкций, выполнено без учета процесса накоплений повреждений.

В связи с этим для решения задач оптимального проектирования элементов конструкций, работающих в условиях ползучести, с учетом повреждаемости материала целесообразно использовать приближенные методы," позволяющие существенно сократить затраты времени на ЭВМ.

Приближенному расчету элементов конструкций, в частности, определению нижней оценки времени до разрушения по величине характерного напряжения с использованием уравнений состояния и закона повреждаемости, однородных относительно параметра сплошности, посвящен целый ряд зарубежных работ [66,71−74] .

Широкое распространение получили различные приближенные методы решения задач ползучести, основанные на вариационных принципах [ 62,75−79]. Весьма эффективными при построении приближенных решений задач ползучести с учетом повреждаемости материала являются так называемые смешанные вариационные принципы, получившие свое идейное начало от вариационной теоремы Рейснера [ 62,78,79 ], поскольку в них могут подвергаться варьированию как скорости напряжений и перемещений [ 62,78 ], так и некоторые структурные параметры [ 79] .

Наибольшее распространение для построения приближенного решения задач ползучести получил смешанный вариационный принцип Сандерса, Мак-Комба, Шлехте [ 78 ], основанный на вариационных принципах Уанга — Драгера и Рейснера [ 62 ] .в диссертации этот принцип будет использован для приближенного расчета напряженно-деформированного состояния элементов конструкций с учетом повреждаемости материала при решении оптимизационных задач. 1 Целью диссертации является расчет и проектирование оптимальных элементов конструкций, работающих в условиях ползучести, с учетом повреждаемости материала.

В первой главе диссертации рассматривается приближенный метод расчета напряженно-деформированного состояния элементов конструкций и времени начала разрушения с использованием кинетических уравнений, учитывающих повреждаемость материала. На основе использования смешанного вариационного принципа показано, что решение последней можно свести к решению аналогичной задачи в предположении установившейся ползучести [ 90−93 ] • При этом искомое напряженно-деформированное состояние определяется на любой момент времени произведением решения задачи установившейся ползучести на некоторые функции координат и времени, для определения которых приведены соответствующие соотношения. Получены верхние и нижние оценки параметра повреждаемости материала на любой момент времени вплоть до начала разрушения.

Во второй главе на примерах чистого изгиба балки, вращающегося диска, растягиваемых и изгибаемых кольцевых пластин иллюстрируется применение приближенного метода для расчета напряженно-деформированного состояния и времени начала разрушения элементов конструкций, работающих в условиях ползучести с учетом повреждаемости материала.

Результаты расчетов, полученных приближенным методом, сравниваются с решениями тех же задач, что проведенными традиционными методами интегрирования шагами по времени, а также сопоставляются с некоторыми экспериментальными данными.

В третьей главе дается определение оптимального по долговечности элемента конструкции, работающего в условиях ползучести с учетом повреждаемости материала. На основе данного определения, а также из анализа и обобщения наиболее распространенных критериев оптимизации, используемых в задачах ползучести, проводитсяконкретный вид функционала цели, объединяющего в себе минимизацию объема конструкции и условие наибольшего накопления повреждений за некоторое наперед заданное время ^ * *. В качестве основ-, ного алгоритма решения оптимизационных задач используется метод локальных вариаций [ 4 ] с переменным шагом варьирования. Для определения напряженно-деформированного состояния применяется приближенный метод, рассмотренный в первой главе, позволяющий преобразовать исходную нестационарную вариационную задачу к стационарной.

Решение задач проектирования оптимальных по долговечности конструкций иллюстрируется на примерах определения профилей поперечного сечения изгибаемой балки, вращающегося диска, растягиваемых и изгибаемых кольцевых пластин. Полученные проекты вполне соответствуют реальным конструкциям.

Г 71 А В, А I.

ПШБЛИШШНЫй МЕТОД РАСЧЕТА НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО.

СОСТОЯНИЯ И ВРЕМЕНИ НАЧАЛА РАЗРУШЕНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЙ, РАБОТАЮЩИХ В УСЛОВИЯХ ПОЛЗУЧЕСТИ, С УЧЕТОМ ПО-ВРЕЙЩАЕМОСТИ МАТЕРИАЛА.

Известно, что использование системы кинетических уравнений, описывающих ползучесть материала с одновременным учетом его повреждаемости, для определения напряженно-деформированного состояния элементов конструкций и времени начала их разрушения, связано с определенными математическими трудностями [ 62 ] и требует даже применительно к простейшим элементам конструкций значительного времени на ЭВМ [ 66 ] .В связи с этим возникает необходимость развития приближенных методов расчета напряженно-деформированного состояния элементов конструкций, позволяющих производить необходимые расчеты с наименьшими затратами времени на ЭВМ.

В настоящей главе на основе использования смешанного вариационного принципа показано, что задачу определения напряженно-деформированного состояния элементов конструкций и времени начала их разрушения можно свести к решению аналогичной задачи в предположении установившейся ползучести. При этом для получения искомого решения следует решение задачи установившейся ползучести умножить на некоторые функции координат и времени, для определения которых получена система интегральных уравнений.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

I. Разработан приближенный метод расчета напряженно-деформированного состояния элементов конструкций, работающих в условиях ползучести с учетом повреждаемости материала, на основе которого решение задачи на любой момент времени представляется в виде произведения решения аналогичной задачи в предположении установившейся ползучести на некоторые функции координат и времени, определяемые из приведенной в работе системы интегральных уравнений. Получены верхние и нижние оценки на искомое решение системы интегральных уравнений, а также исследован частный случай, когда эта система уравнений имеет аналитическое решение.

2. На примерах решения конкретных задач показано, что предлагаемый метод дает вполне удовлетворительное качественное и количественное совпадение с численными расчетами шагами по времени и при этом по объему и сложности вычислительных процедур намного проще и эффективнее пошаговых методов решения и требует минимальI ных затрат времени на ЭВМ.

3. Сформулирована нестационарная вариационная постановка задачи расчета и проектирования оптимальных по долговечности элементов конструкций, работающих в условиях ползучести с одновременным учетом повреждаемости материала. Предложен конкретный вид функционала цели, определяющего суммарную повреждаемость материала в объеме. С использованием разработанного приближенного метода показано, что исходную нестационарную оптимизационную задачу можно привести к стационарной.

4. Основываясь на методе локальных вариаций с переменным шагом варьирования и разработанном приближенном методе, решены конкретные задачи по расчету и проектированию оптимальных по долговечности конструкций. Получено, что оптимальные проекты вполне соответствуют реальным конструкциям и обладают при этом существенными преимуществами по сравнению с аналогичными простейшими конструкциями.

В заключение автор выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю к.ф.-м.н., старшему научному сотруднику А. Ф. Никитенко и зав. лабораторией статической прочности Ордена Ле нина Института гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО АН СССР д.ф.-м.н. профессору О. В. Соснину за постоянное внимание к данной работе, а также к.ф.-м.н. И. Ю. Цвелодубу, к.ф.-м.н. А. А. Швабу, к.ф.-м.н. Б. В. Гореву, м.н.с. В. В. Рубанову за полезное обсуждение данной работы.