Смешанная задача для волнового уравнения в области с углом

Смешанные задачи для гиперболических систем и уравнений в областях с особенностями на границе (угловые или конические точки, пики, рёбра и т. д.) вызывают большой интерес у математиков ввиду того, что математическое моделирование различных физических задач приводит к необходимости рассматривать подобные проблемы. Ограничусь описанием лишь двух таких весьма близких к реальности ситуаций.

1. Три примера постановок задач.

В физическом плане первая ситуация такова: равномерный поток невязкого, нетеплопроводящего газа, находящегося в состоянии локального термодинамического равновесия, стационарно обтекает плоский клин с углом а.

Для исследования устойчивости такого стационарного гидродинамического течения нужно изучить смешанную задачу для системы уравнений акустики. Именно, А. М. Блохин [5] после ряда упрощающих процедур (и прежде всего — линеаризации уравнений газовой динамики, соотношений Рэнкина — Гюгонио на ударной волне [39] относительно известного разрывного решения) сформулировал такую смешанную задачу: при t > О требуется найти решение системы уравнений.

Аи1 + Вих+СМу = 0,.

0.1) которое удовлетворяет следующим краевым условиям: на границе х = 0: щ + йщ = 0, щ + щ = 0, и2 = ХГу//1, ^+^ап<7 =/Ш3;

0.2) на границе у = ж taner — условию непротекания газа через твёрдую поверхность клина:

U2 — щ taner = 0 (0.3) и начальным данным (t = 0):

U (0,x, y) = U0(x, y), F (0,y) = F0(yl (0−4) х, у) € О С R2+ 0, у > xteina} .

Здесь Ut — (wi, щ, Щ, щ) — малые возмущения вектора скорости, давления и энтропии, х = F (t, y) — малое смещение фронта разрыва, А, В, Са — матрицы четвёртого порядка, часть элементов A ti В зависит от числа Маха М и, наконец, Л, /х, с? — некоторые константы.

При получении априорной оценки автор [5] свёл проблему (0.1)—(0.4) к смешанной задаче в клине уже для волнового уравнения:

M2L? -Lrf) 0 (0.5) с граничными условиями: mL + nL-рии/М^щ = 0, я = 0- (0.6).

3³ = 0, у = tan ах (0.7) и начальными данными (Li, L2, ту, /3 — некоторые дифференциальные операторы первого порядкаш, п, ?3 — параметры).

Вторая ситуация связана с теорией упругости — речь пойдёт о малых деформациях упругой плоской пластины, совпадающей для простоты с первым квадрантом.

При математической интерпретации удобно использовать вектор перемещений й [28]. И для его нахождения (значения на границе известны!) в [19] сформулирована следующая задача (вновь, как и в первом случае, рассматривается линейное приближение): d2ii д2щ д2щ д2щ.

Р — «1 -5−9- + а12 + а2 -^-г- + Х, otz ох1 охоу ду1 д2щ д2и-2 д2щ d2U2.

Р = ai + ап + а2 ^Т" + otl оу1 охоу ох1.

О < X, у < оо, 0 < t < f < 00- система уравнений Ламе [28]) u\x=Q = hi{t, y), и2х=0 = h2{t, y) — щу=о = gi (t, x), и2у=о = g2(t, х) dus.

0.8).

0.9).

Ust=о = Ф8(Х, У), 5 = 1,2. (0.10) 0 т где, а — А + 2//, а2 = /г, а^ = А + /л, А, ?1 — коэффициенты Ламе, Х ((г = 1, 2 — компоненты массовых сил, отнесённых к единице объёма. Кстати, в [19] можно найти и другие постановки задач, например, когда на части границы задаются нужные компоненты тензора деформации или рассматривается иная область — пространственный клин.

Стоит обратить внимание на то, что в отличие от предыдущих задач, граничные условия (0.9) не включают в себя производные решения по времени, что существенно упрощает задачу, позволяя активно использовать факты теории эллиптических проблем [19, 40].

Конечно, перечень формулировок рассматриваемых проблем можно продолжить, однако, ограничусь лишь следующим важным замечанием: «адекватное» математическое моделирование различных физических процессов, происходящих в средах, ограниченных поверхностями с особенностями, зачастую приводит к постановкам смешанных задач для гиперболических систем или уравнений в областях с нерегулярной границей (см., например, [60]).

2. Исторический обзор. Формулировка основной задачи.

Если говорить о смешанных задачах в областях с особенностями типа угловой точки или ребра на границе (геометрия области вблизи особенности того или иного вида требует в каждом случае создания своего математического аппарата!), то попытку получить наиболее общие результаты о корректности смешанной задачи для гиперболической системы первого порядка в двугранном координатном угле (проблема (0.1)—(0.4) легко преобразуется в задачу в квадранте) предпринял Б-ОвЬег в своей работе [61]. Общая задача в области с ребром, полученным как пересечение двух гладких поверхностей, сводится к упомянутой проблеме, правда, вообще говоря, с переменными коэффициентами.

Прежде чем привести точные формулировки фактов, полученных Б. ОзЬ-ег'ом, рассмотрим один любопытный пример [60], который даёт представление о характере возникающих сложностей.

Пусть функция и — решение следующей смешанной задачи:

Щ = С11х + ¿-1Пу, ^.

Щ = с2ух — (12Уу,^х, у> 0, с,-, > 0 («= 1,2);

Ц0,</, г) = аг-(0,г/,*)+ /(</,*), * = 0, (0.12) у = 0- (0.13) a, Ь — произвольные комплексные числаи (х, у,0) = ф, у), Ф (х, у),? = 0.

Исследуется вопрос об алгебраической корректности задачи (0.11)-(0.14), т. е. необходимо описать множество значений параметров сг-, б?,-, а, b, при которых справедлива оценка «по слоям»: и (-Т)|Ц2(ЗД) + |К.Г)|Щм,) + Сг ] (|М,"С (,) + 1К.0111л)) Л+ о.

С21 (Il"(-, t) lli, w + IK,<)lliW) dt < K (T) (|МЩЛ) + М1Ы) + о.

C3 / \f (-Ml (y)dt + C4j \g (-, t)\l2{x)dt, (0.15) о о где С{, К{Т) > 0.

Заметим, что при любых значениях а, Ь Е С на каждой из граней х = 0 и у — 0 выполняется строгое условие Kreiss’a — необходимое и достаточное условие корректности в Ь2 смешанной задачи для гиперболической системы в полупространстве [56, 62]. В силу конечности скорости распространения возмущений [37] и с физической точки зрения это требование вполне оправданно.

С помощью метода интегралов энергии (см., например, [13]) нетрудно получить оценку (0.15), когда ab.

Но, оказывается, что если не выполнено соотношение (0.16), то оценка (0.15) уже не имеет места [60]! Так, например, при ab >? > 1 контрпример даёт следующее решение задачи (0.11)—(0.14) (/ = д = 0): u{x, y, t) = {dxx + ciy) Pp (t + 7iz + 723/)5 v (x, y, t) = b (dix + dic2y/d2yp{t + 71 ж + 722/),.

3 = — lnab/ln?, ji > 0 — константы, зависящие от параметров сг-, d{, а функция р (х) Е Cq°® с носителем suppp = [ffi,^], > 0, е2 < оо, причём р (х) > 0 при Е < Х < с2•.

Дело в том, что ввиду нашего предположения Re/З < —(!), а, с ледова2 тельно, при t —>? неравенство не соблюдается ни при каких С{ > 0.

Физическая интерпретация этих фактов достаточно проста: решение (0.17) представляет собой плоскую волну, {t +^x +^2y = const), идущую в начало координат х = 0, у = 0 при t | е. Она двигается по характеристикам от одной границы до другой, причём, если t f ?1, то время прохождения пути от одной границы до другой стремится к нулю. При этом амплитуда волны после каждого цикла отражений увеличивается в ab раз (рис. 1 и проекция его на плоскость (х, у) — рис. 2 иллюстрируют этот процесс).

И для конечности энергии системы (оценка (0.15)) необходимо связать ab (эта величина влияет на амплитуду волны) с угловым коэффициентом характеристик (неравенство (0.16)).

Таким образом, для корректности в Ь2 смешанной задачи для гиперболической системы в угловой области не достаточно лишь выполнения строгого условия Kreiss’a на каждой границе — необходима информация о поведении решения в окрестности особенности.

Известно [24, 25, 31], что решение эллиптических задач в конических или угловых областях ведёт себя степенным образом вблизи особенности, поэтому ввиду возможности применения преобразования Фурье — Лапласа по переменным i, z S. Osher [61] предложил рассмотреть следующие нормы (при фиксированных u>, s):

2 СЮ.

Ke = //(i + H2 + N2) Qx Р х£.

3=0 о о 2 rdOdr, оо.

Ы2р,<�з = /(1 + И2 + М2) сх Р хЕ.

3=О о xei §-{х>*>8) dx, (0.18) где <5 — вещественное число, а Р — целое и неотрицательно, й = г) + г'£, г] > 0, со — двойственные к? координаты, (г, в) — полярная система координат.

Рисунок 1. 10.

Рисунок 2.

Сформулируем теперь результаты работы [61], касающиеся корректности смешанной задачи для гиперболической системы в двугранном угле в пространствах, определяемых нормами (0.18).

Расматривается следующая проблема (коэффициенты — постоянные матрицы): т-., /-У, 7^ 7-,/ ^.

Аих + Виу + CjUZj + Du — щ = F (x, у, z, t), з=з t, x, y> 0- z — ¦ • ¦, zn), Zi E R, причём система гиперболична в том смысле, что уравнение.

0.19) ск^ (^Л + гг]В +?^зСз — ХЕ1 = 0, С+ + И2 Ф 0 имеет относительно Л только чисто мнимые корни. Предположим, также, что матрица, А диагональна:

А = а 0 0 а/ 1 0.

0 а то a, j < 0, j — 1, • • •,/- > 0, А- = / + 1, и существует невырожденная матрица Т такая, что m.

ТВТ.

1 Ъг 0. 0Х о о ъг 0- Ьр+ь—-, Ьт > 0. Краевые условия. задаются в таком виде [54]: и1 = 8ип + х = 0, (0.20).

Ти)ш = Я (Ти)1У + Ь (.г, г, г), у = 0- (0.21) начальное условие однородно: и{х, у, г, 0) = 0. (0.22).

Здесь и1 = и11 = (щ+и — ¦ •, итУи111 = (щ, ¦ • •, ир) и1У = ир+1, • • •, ит) и, 5 и К — прямоугольные матрицы размерами I х (т — I) и р х (ш — р) соответственно.

Пусть на каждой грани выполнено строгое условие КтБэ’а [56], которое при х = 0, например, выглядит так: сЬ^ ([/,-5] [Фь- • •, Ф/]) Ф 0 для всеха^,^, причём Ле > 0, (0.23) где в), 3 = 1,2 — набор линейно независимых решений системы их + А~1 |'ги2 В + г со{С{ — и = 0, Г1е 5 > 0, экспоненциально убывающих при х —> +оо [54], [/,—5] — прямоугольная матрица I х т.

Предполагая, что ^ = 0, Ь = 0 и решение задачи (0.19)-(0.22) существует, получим, следуя работе [61], необходимое «уголковое условие». Пусть функция V определяется следующим образом: если 0 < х < оо, 0, если — оо < х < 0.

Тогда, очевидно, V удовлетворяет системе.

Аьх + Вьу + (шС-з)у = А6(х)и+(0,у, и, з), у> 0 (0.24).

13 и граничному соотношению.

Ш г «(Л,. «T3frr».IV,.

TvYu{x, 0, uj, s) — R{Tvyv{x, 0, cj, s) = О, оо < X < ОС.

0.25) / { ^ V 0.

Нам известно, что.

Применяя к (0.24) и (0.25) преобразование Фурье — Лапласа по х, приходим к краевой задаче на полупрямой: уу + В~1({иА + шС — в) у = м+(0,2/, ш, 5),.

ТУ)1П (ШЪ 0, и, в) — К (ТУ)1У (Ш 1,0,Ы, 5) = 0, которая, если выполнено строгое условие Ктвв’а, при любой финитной и+ однозначно разрешима в классе функций, растущих при у —" оо не быстрее полинома.

Аналогично, пусть и (х, у, си, в), если 0 < у < оо,.

0, если — оо < у < 0.

Естественно, функция т является решением следующей задачи:

Атх + Ви) у + [гюС — з) ги = В8(у)у+(х, 0, и, з), ж>0 (0.26) ш^О.у.и.в) — 3и) п (0,у, и, з) = д (у}и, в), у > 0, (0.27).

0- 5^/7(0,2/, о-, 5) = у < 0. (0.28).

И с учётом того, что у — решение проблемы (0.24), (0.25), получаем соотношение.

Т", а — 1] Ф = -Ри>ад, (0.29) где ТиРш>3 — псевдодифференциальные операторы, определяемые задачами (0.24), (0.25) и (0.26)—(0.28).

Потребуем, чтобы уравнение (0.29) (с заменой правой части на финитную функцию Л (у)) было разрешимо с оценкой ор о / В р 2.

Ф (у, и, з)2 ¿-у < К! /? у— %) ?2/(1 + М2 + МУ" (0.30).

О 0 ду) при всех вещественных и, в = г + г£, т/ > О, К > О, К2 — натуральное число, а /<з — вещественно.

При его соблюдении (впрочем, сюда следует добавить и несколько других, но уже менее существенных ограничений) З. ОэЬег [61] обосновал корректность постановки задачи (0.19)—(0.22) и получил следующую априорную оценку:

О? — ^1)1М|о, о + К*=о)1о, о + |%=о)1о, о < < (0.31) где г} > К > 0, 5 = г] +.

Основной момент доказательства — построение оператора, близкого по свойствам к «симметризатору» Ктвз’а [56].

К сожалению, на наш взгляд, у этих результатов есть два существенных недостатка:

1) обычно в граничные условия входит целый набор параметров, и выделить область их значений, при которых выполнено «уголковое условие», даже в случае простых по форме постановок практически невозможно, что, по существу, отмечает и сам автор [60];

2) оценка (0.31) — с потерей гладкости, что происходит, отчасти, потому, что не выявлена зависимость показателя степени г и 1пг в асимптотическом разложении решения в окрестности ребра от значений параметров, т. е. нормы (0.18) выбраны не самым удачным образом — они не отвечают сути задачи.

Перейду теперь к формулировке смешанной задачи для волнового уравнения в квадранте — основного предмета настоящего исследования:

Щг ~ ихх — иууро (г, х, у)щ.

— Р2&х, у) иу — р3(г, х, у)и = /(г, х, у), (0.32) г > О, X > 0, у > 0, т. е. (г, ж, г/) Е Д± щ — а (^у)их — 6(г, у) иу + с (г, у) и = ?1 (*,?/), (0.33) ж (),(*, у) е ДЗ. = {(*, 2/)|*, 2/>0}- щ — а (£, х) иу — ДО, х) их + х) и = /2(г, ж), (0.34).

2/= (),(*, Я) Е =.

4=0 =^, 2/): .

0.35) м|4=0 = Ф (х, у),.

Потребуем, чтобы при х = 0 и у = 0 выполнялось равномерное условие Ло-патинского [58, 64] (аналог строгого условия Ктяв’а (0.23) для уравнений). В терминах коэффициентов граничных условий (0.33), (0.34) это выглядит так [16]: 0, < 1, если t, y > 0] а (г, х)> 0, |/?(г, ж)| < 1, если?, ж>0. (0.36).

Проблема (0.32)—(0.35) носит некоторый модельный оттенок, однако оказалось, что изучение различных её обобщений, например, на случай плоского клина, многранного угла требует лишь усовершенствования техники, но не более того. Поэтому есть прямой резон в исследовании корректности задачи (0.32)-(0.35) в Ц^КВ2^) и выяснении особенностей поведения решения.

Пространство W2(R2+) снабжено энергетической нормой: тв?+) = I («2 + + + u?) dxdy). (0.37) I.

Необходимо отметить, что G. Eskin в [50], опираясь, в основном, на факты эллиптической теории и технику псевдодифференциальных операторов, изучал более общую проблему (сохранены авторские обозначения):

—Е.

V дхо к=i дх1) где u = R1 х G, хо Е R1 и (^1, • • •, xn) е G, G е Rn — клин, ограниченный плоскостями X2 — 0, у2 = Х sin oi — Х2 cos а, х" — (жз,—-, жп) Е Rn~2 (на рис. 3 он заштрихован).

Граничные условия таковы:

BI (DI, D2, Д), D")r+ = hi (x, XQ, x"), (0.39).

B2(DuD2,D0,D")T- = h2(yux0,x"), (0.40) причём Dk = к = 0, • • •, n, Bj (?i, ?2, Co? ?") — однородные полиномы степени rrij, i = 1, 2, а у = —Ж1 cos a — x2 sin а. Начальное условие выбирается в следующем виде: и = 0 при Xq < 0, х Е П (0.41) значит и hj = 0, если xq <0, х Е Гf, j = 1,2).

Чтобы сформулировать основной результат G. Eskin'a, определим некоторые пространства распределений. Пусть i7S) i,!ro (iin+1) — пространство распределений в Rn+l, зависящих от параметра т Е (го,+оо) с конечной нормой и/С* = su? / (Й+г2+Й+Й+1ПТ№г)|Ч. жо, х,.

0.38).

Рисунок 3.

Как обычно, пространство состоит из распределений в О, имеющих продолжение в Яп+1 и принадлежащих Н8>Р)То (Яп+1):

11/112™ = ^ Шм, а т£ берётся по всем таким продолжениям.

Н+ — специальное пространство распределений со свойствами: 1) и{х) = 0, х0 < 0- 2) е~х°ти (х) ?

Норма элемента и? #+р/Го (0) определена равенством и.

Аналогичным образом вводятся пространства Я5>Р!Го (Г^), (Г&-),.

Нз, р, т0{Г?), к = 1,2.

После замены функции мг = е: СоТ задача (0.38)-(0.41) преобразуется таким образом: д 2 п д2.

0.38').

0.39') (0.40') (0.41').

Б2(1)1,1)2, Г>0 + «г, 17>г|г+ = ^ В2(А, Аг, А + «Г, А>г|г = Л2г, иг = 0 для жо < 0, ж Е Опричём ккт = к — 1,2.

Обозначим как, А (£ь ?2, £о + — символ граничного оператора.

Б1(А, А, А + г’г, ?}") (£г- — двойственны к г = 0,—-, п), а через -62^(«7ьСо + символ Б2(А, А, А + г’г, Г>»), но здесь щ двойственны к т/г, ½. Тогда равномерное условие Лопатинского выглядит так:

6, «А, + «V, О / 0, -А, 6 + ¿-г,^ 0,.

0.42) г > 0, (6,^0, г, Г) т^ 0, А = Л (6,ео + гг, Г) = ^/(6 + ^2-|?Т-62,аветвь корня выбрана, исходя из того, что его мнимая часть положительна, когда г > 0.

Пусть, наконец, с = + ¿-т)2 — |?" |2, 1ш с > 0, если г > 0, и.

5+ = 1 +.

7 Г а.

ЛаГ§c2-?i2,?o + *r, r) mi + т2 i-l=+oo s+—,.

7 Г, а s < s < s+.

0.43).

Справедлива.

Теорема (G.Eskin [50]). Предположим, что Bk удовлетворяет равномерному условию Лопатинского (0.42) на к — 1,2. Тогда при любых s Е (s, s+), р Е (-оо,+оо), г0 Е (0,+оо) и Е Я5т111?±?1То (Г?), h2T Е Явтз1) Р+|)То (Г^) существует и единственна функция ггт Е Я5>Р)Го (Г2), удовлетворяющая (0.38'), (0.39'), (0.40'). Более того, если hkr — e~x°Thk, к = 1,2, где /г! Е Я+т1^1р+з171)(ГП и /?2 G tf+^^jrj), то решение.

— Ж0Г и, ит Е Я5) Р)Го (Г2) задачи (0.38')-(0.40') также имеет представление ит = где и Е Я+ (О) — решение исходной проблемы (0.38)—(0.41). Функция находится явным образом.

Основной момент доказательства теоремы — сведение задачи (0.38')-(0.40') к краевой задаче Римана-Гильберта со сдвигом, применение подходящего конформного преобразования, а затем и явное решение полученной проблемы Римана-Гильберта без сдвига (по существу, оно выписывается с помощью двойственных координат!). Условие (0.43) обеспечивает принадлежность её решения пространству Ь2.

Несколько забегая вперёд, замечу, что в предлагаемой работе предложен иной метод исследования, применение которого позволило найти решение задачи (0.32)—(0.35), выраженное уже в исходных декартовых координатах.

Бросая критический взгляд на результаты С. Еэкт'а, следует сказать, что недооценка в данном случае гиперболической природы исходной проблемы приводит, как следует из формулировки теоремы, к потери гладко3 сти в априорных оценках — на -. Это принципиально не может устроить 4 и по другой причине: даже если ослабить требование и заменить условие (0.42) просто условием Лопатинского, то и в этой ситуации следует ожи.

1 3 дать потери гладкости на —, но никак не на -! (см. часть 3 введения, случай.

2 4 полупространства изучался S. Miyatake [59] и М. Бгаддга [55]).

Возвращаясь вновь к проблеме (0.32)-(0.35), следует обратить внимание на то, что Н-Ишвтап [63] построил оператор со свойствами «симметриза-тора» Ктвз’а и применил его для исследования корректности в И/21(-й+) задачи со смешанным характером краевых условий: на одной грани — типа наклонной производной, а на другой — условие Дирихле. Замечу, что последние две работы только подтверждают необходимость гибкого сочетания методов эллиптической и гиперболической теории.

Пожалуй, это удалось сделать 1.А.Кирк'е и З. ОэЬег'у [57] при изучении смешанной проблемы для многомерного волнового уравнения в координатном угле: ии — ——-ихтхт = /, * > 0, х{ > 0, г = 1,771 с граничными условиями третьего рода на каждой грани: и + o?{UXi =0, Х{ — 0, а? С, а ф 0.

Вот основные моменты их работы: сначала с помощью метода ВинераХопфа [26] явно найдены Фурье — Лаплас образы значений решения и на каждой грани, а затем после симметризации дело сведено к оценке граничных форм (подробнее об этом чуть ниже).

И в заключение этого раздела стоит выделить работы M. Taпiguchi [66, 67], который попытался применить идеи З. М1}^аке [58] и 11.8акато1ю [64] (они рассматривали смешанные задачи в областях с гладкой границей) и в нашем случае. Однако, как и следовало ожидать, такой весьма упрощённый подход, не учитывающий должным образом поведение решения вблизи угловой точки, привёл лишь к частному результату — обоснована корректность в И/21(-^+)) да и то с потерей гладкости (на -), если а (£, 0) = /Я/, 0), 2.

Ь (г, 0) = а (/, 0), Ф, 0) = 7(*>0).

3. Основное содержание работы. Методы исследования.

Структура работы.

В первой главе настоящей работы смешанная задача (0.32)—(0.35) при дополнительном, физически вполне оправданном, предположении 1 щ — о (г~2) их = о (г~*), 0(Г~5),.

Uy если г —" 0, (0.44) подвергается анализу с помощью метода интегралов энергии.

Вот весьма краткая схема рассуждений (подробности в § 2, гл.1). Пусть для простоты ро = pi = р2 = Рз = 0, с = fi = 0, 7 = /2 = 0, а а, 6, а, ?3 — постоянные, удовлетворяющие неравенствам (0.35).

После перехода к новым координатам 0 (х = г cos б1, у = г sin#,? = In г) — упрощённую задачу (0.32)-(0.35), (0.44) можно свести к смешанной задаче в полосе П = j (#,< # < —| для симметрической системы о О О.

— В, — - Со- + Q0j U = 0, t > 0, (0, 0 е П (0.45) с граничными условиями: щ — а ¦ U2 +? ¦ щ = 0, 9 = О,.

7 г и + а • щ — Ъ • щ = 0, 9 = — 2.

0.46) (0.47) и начальными данными: а е • Щ и = Щ = Ч J t=0 >> J.

0.48) где матрицы Ао (к, 1, т), Во (к, 1, т), Со (к, 1, т) симметрические, а функции к — к (9), I = 1(9), т = т (9) произвольны.

Идея замены гиперболического уравнения симметрической системой — «симметризация» (в ряде задач эквивалентным образом) восходит ещё к Фридрихсу [51, 52] и послужила основой целого ряда работ [14, 15, 32, 33, 35, 46].

Выбрав подходящим образом функции к (9), 1(9), т (9) (в частности, так, чтобы, А > 0) и интегрируя по области П с учётом соотношений (0.44), получаем основное тождество: У п где У = е-МШ.

Тогда нужная оценка.

7 г 2.

ВпУУ 0, (0.49) мтк (Ч) ^ она следует из неравенства JJ е^ (AqY, У) d? d9 < 0(!)) будет получена, П если квадратичные формы (BqY, У) и (В, У, У).

0=0 знако опр ед е ленны строго диссипативны [13]):

Б0У, У)|^|<0, аду) |,=0>о.

0.50) (0.51).

Выполнение условий (0.50), (0.51) обеспечено, например, если помимо (0.36) можно подобрать числа д2, <73, д > 0, дд3 — д > 0 такие, что имеет место матричное неравенство (см. § 2, гл. I): дхА + д2 В + дъС > 0,.

0.52) компоненты матриц А, В и С образованы из коэффициентов граничных условий а, Ь, а, ?3. .

В частности, соотношение (0.52) верно, если А.

1 ' (а-Ъ)(1 + р) а- ?3.

2а ^ а-0 (а + Ъ)(1+Р) 0.

0.53).

К сожалению, полное описание области значений параметров, при которых справедливо соотношение (0.52) или его аналог (см. § 2, гл. I), весьма громоздко, поэтому в работе мы ограничиваемся рассмотрением лишь явных частных случаев. При этом, тем не менее, выделяется довольно значительная область подходящих параметров.

Внеся незначительные изменения в описанный ход рассуждений (например, неравенство (0.52) должно соблюдаться только для точек ребра Г = {(?, 0,0)|? > 0}), можно получить априорную оценку в решения и общей задачи (0.32)-(0.35), (0.44): г.

Н*)11 ВД) <^о • е" * Н0)||ВД) +ЛГ2 / е¹″ ') ||/(г)||^да йт+ о в\Ш\Ык1+) <1т + МА / е^ ||/2(г)||МП) ¿-г,.

Л^. > о (г = 0, — • -, 4). (0.54).

Заключительный, второй параграф главы посвягцён исследованию смешанной задачи для векторного волнового уравнения в квадранте. Такая задача возникает, например, при изучении вопроса об устойчивости ударных волн в газовой динамике [5, 34]. Оказывается, предложенный метод и в этом случае позволяет получить априорную оценку в И7^-^) вида (0.54). Необходимо лишь внести естественные изменения в формулировки равномерного условия Лопатинского [16] и матричные неравенства (типа (0.52)) ввиду того, что сейчас уже коэффициенты — матрицы.

Замечу, что если задать иной, чем в (0.44) режим поведения решения вблизи ребра: щ — о (г-^), их = о (г~^), при г —0, где ?1 — вещественное число, (0.55) иу = о{г-*) то в рамках разработанного алгоритма и при тех же предположениях относительно параметров граничных условий можно вывести априорную оценку в пространствах с весом, т. е., например, в?+.

Во второй главе вновь рассматривается проблема (0.32)—(0.35), но теперь не требуется, чтобы решение обладало асимптотическим поведением вида (0.44) или (0.55) в окрестности нуля. Это позволяет сразу получить основное тождество в виде: а, и, и) ¿-хйу} + I (в0и, и) [о йу+ I (с0и, и) | о йх = 0 (0.56) п У случай упрощённой постановки задачи, стр. 22 введения). И если граничные условия строго диссипативны, то из равенства (0.56) непосредственно.

25 следует нужная априорная оценка в Wl®. Так по аналогии с первой главой возникают матричные неравенства вида (0.52), но интересно, что их анализ приводит к расширению уже полученной ранее области подходящих параметров.

Заключительная часть раздела посвящена выводу априорной оценки в Wl® решения смешанной задачи со строго гиперболическим оператором в левой части уравнения (коэффициенты постоянны), впрочем, с таким же успехом можно было рассмотреть и случай переменных коэффициентов (нужно, правда, чтобы они были один раз непрерывно дифференцируемы). Значит, квадрант R2+ в постановке задачи (0.32)—(0.35) вполне можно заменить клином с углом 0 < (р < 2ж.

Начиная с первых работ, в которых «гиперболические задачи» подверглись систематическому анализу (стоит упомянуть монографии Ж. Адамара [2], С. Мизохаты [37], R. Sakamoto [64], а также ставшие уже классическими статьи Garding’a [53], Hersh’a [54] и Kreiss’a [56]) особый интерес представляет изучение корректности этих задач в пространствах, снабжённых «равномерной нормой», например, Вк (£1) [37]:

ИяМИв^) = 53 sup|D^(x)|. (0.57) а<�к zefi.

Алгебраическая корректность в этом случае связана с наличием следующей оценки [64]: для любого компакта К, лежащего в области существования решения w, и натурального к можно найти компакт К' и натуральное т так, что верно неравенство: 11/(011 вт (К'п5г) + ll-^W||вт (лг')) ¦ (0.58).

Здесь / и F — векторы правых частей, К" = К' П {t = 0}, <9Г — граница области, скажем, в случае полупространства это плоскость х — 0.

Изучение смешанных задач в пространствах с нормами вида (0.57) привело к формулировке условия Лопатинского — Hersh’a, которое позволяет.

26 эквивалентным образом применять преобразование Фурье — Лапласа и переходить к краевой задаче для обыкновенного дифференциального уравнения или системы с параметрами [54, 64].

Известно, что в случае полупространства х > 0 [5] важным инструментом для выяснения, выполнено ли условие Лопатинского-НегзЬ'а, а тем более равномерное условие Лопатинского [56, 64], т. е. строгое — Ктэв’а (0.23) (последнее позволяет получить априорную оценку решения (0.58) не только самой проблемы, но и «близких» к ней задач), служит последовательность решений типа Адамара [2, 13]: я, у, гь ., гп) = к = 1, 2,3, • • •, причём Нет > 0, Ые£ <0, Кег] = 0, 1т7, — = 0 (г = 1,., п). (0.59).

Ясно, что если такой набор решений удаётся построить, то оценка (0.58) неверна. Впрочем, в силу однородности уравнения и граничных условий, достаточно найти лишь решение.

Иег > 0, Яе£ < 0, Яе?7 = 0, 1т7г- = 0 (г = 1,., п).

Впоследствии выяснилось, что выполнение равномерного условия Лопатинского необходимо и достаточно для корректности смешанных задач в пространствах с «энергетической» нормой (0.15), (0.37) (введение таких норм диктуется переменностью коэффициентов) [56, 59, 62, 64], причём априорные оценки — без потери гладкости.

Но как обстоит дело в интересующих нас угловых областях? Рассмотрим следующую проблему: ии ~ ихх — иуу — А? и — 0 t^x^y > 0, г е К1] (0.61) щ — а ¦ их — Ъ ¦ иу — (с, V/и) = 0, х = 0- (0.62) щ — а ¦ иу —? • их — (d, Vfw) = 0, у = 0- (0.63).

4=0 = и t=о = I.

0.64) где а, а,? G С, С — поле комплексных чисел, а векторы с, d? Сп.

Если коэффициенты граничных условий (0.62), (0.63) вещественны, то с помощью ортогональных преобразований (вращений) можно упростить форму граничных условий: щ ~ а ¦ их — Ь • иу — ci • uz-x = 0, (0.62') щ — а ¦ иу —? ¦ их — di ¦ ufl — d2 • uz-2 = 0. (0.63').

Тогда равномерное условие Лопатинского выполнено на обеих границах, если совместна следующая система неравенств: а > О, Ь2 + с< 1- а > 0, ?2 + d + d22.

Оказывается, что соблюдение равномерного условия Лопатинского на обеих границах ещё не гарантирует корректности проблемы (0.61)-(0.64) — не всегда справедлива оценка (0.58). На рис. 4 заштрихованная часть соответствует области значений параметров (п > 1!), при которых можно построить пример некорректности (0.60), или (0.59), причём вместо соотношения Re?/ = 0 следует принять Rerj < 0 (такое множество назовём «областью некорректности»).

Более подробное описание области некорректности приведено в § 3, гл. III (плоский случай п = 0 рассмотрен в § 2).

Ещё более любопытный факт отмечается в § 4, гл.III. Если п > 4 и коэффициенты граничных условий комплексны, то область некорректности почти совпадает (исключая, возможно, точки некоторой гиперповерхности).

Рисунок 4. 29 со множеством значений коэффициентов граничных условий, при которых справедливо равномерное условие Лопатинского.

Таким образом, смешанная задача в «гладкой» и угловой областях существенно отличаются друг от друга, т.к., вообще говоря, даже выполнение равномерного условия Лопатинского не позволяет избежать построения примера некорректности. Так сказывается на поведении решения наличие особенности у границы.

В четвёртой главе, на наш взгляд, наиболее полно реализован уже упомянутый ранее подход:

1) получена информация о показателях степени первых членов асимптотического разложения решения в окрестности угловой точки, которая позволяет.

2) на основе симметризации и метода интегралов энергии доказать упомянутую оценку в без потери гладкости.

Попутно получен ряд других любопытных результатов, их формулировка приводится ниже.

Итак, снова рассматривается упрощённый вариант смешанной задачи (0.32)-(0.35): ро = рх = р2 = Рз = 0, с = = 0, 7 = /2 = 0, а а, Ь, а, (3 — константы.

Намечу схему рассуждений, которые фактически привели к полному решению проблемы.

Пусть Ц/, 0, у) = Оказывается, нахождение эквивалентно решению следующей краевой задачи Римана для аналитических функций с условием сопряжения при, А > 0: А> - + а* - &гл/А)(-гл/А — а* - + г’л/А + з2 -Ь ав — ^ —/Л)(г/АазрУхТ²) азЫУХ)(-гУХав -^УХ²)' ' ' где г>о (5,Л) = г>(<5, ту) — — двойственные переменные к значок «обозначает преобразование Фурье — Лапласа, г>о» ($, А) и г^(з, А) — значения аналитической функции г*о (5,А) на берегах разреза, А > 0, а Фурье — Лаплас образы правых частей задачи (необходимо учитывать ещё и поведение решения на ребре Г!) определяют функцию 7^(5, гУХ + з2, УХ).

Хорошо разработанная теория задачи Римана [12, 38] позволяет явно 1 найти г)(5,г/) Е И-^2 (-Й+), хотя, возможно, что при этом правая часть уравнения должна удовлетворять условиям разрешимости.

Так, например, если 0 < —-к < - (А — приращение аргумента функ.

2тг 2 ции Ыг]2 + 52 + Й5 + 6г*7?)(гт? — СК5 — ву/г}2 + 52).

У7]2 + 52 + а5 — Ьщ)(—гт] — ая — (ЗУг)1 + з2)' когда г/ меняется от 0 до +оо, к — индекс задачи), то это условие единственна и выглядит так:

Жлу=0' ((Ш> где.

А2 + 52 + Й5 — Ы д, гУА2 + -А)(гАш- (ЗУА2 + 52) НА — - ?УА2 + 52)(/А2 + 52 + а5 — ЬгА)' а А) — каноническое решение задачи (0.66). По существу, соотношение (0.67) это требование, чтобы коэффициенты асимптотического разложения решения вблизи ребра при «плохих» степенях (нет принадлежности Ц^^В^у.) обращались в нуль. Замечу, что в § 4 этой главы приведён эквивалент условия (0.67), но он сформулирован уже в исходных декартовых координатах.

С помощью метода Каньяра — де Хупа [19] удалось получить интегральное представление функции у), исключив двойственные переменные в и 7]. Физически она представляет собой результат взаимодействия двух волн: прямой и отражённой от другой грани. На рис. 5 изображены носители этих волн для определения значения в точке ta,.

Любопытно, что если хотя бы на одной из границ выполнено просто условие Лопатинского, но не равномерное, то в представление функции необходимо добавить дополнительные слагаемые, которые определяют так называемую «боковую волну» [29] (подробнее об этом в § 2, гл. IV). Ранее Ю. Чинилов в заметке [47] отмечал наличие этого эффекта в смешанной задаче для полупространства (следует упомянуть и работу С. Годунова и В. Гордиенко [14]). Именно это дополнительное возмущение и не позволяет получить априорную оценку решения И/21(^+) без потери гладкости на -^, когда справедливо только условие Лопатинского (для случае гладкой границы различие между двумя условиями обсуждается S. Miyatake [59] и М. Паша [55]).

Аналогичным образом можно найти значение решения на другой границе, а в итоге получить интегральное представление решения (§ 2), что и составляет один из основных результатов этой части работы.

Третий параграф раздела посвящён выводу априорной оценки (0.54) в И7^^) сначала с потерей гладкости, а затем и без неё (впрочем, можно получить и более сильный вариант, учитывающий поведение решения на границе [64]). Важную роль при этом наряду с теоремой о норме оператора свёртки в Ь2 [43] играет тождество вида (0.56) — следствие симметризации. Заметим, что как обычно в гиперболических проблемах Е И^-й^), когда выполнено равномерное условие Лопатинского, т. е. нет потери гладкости на границе! Полученные результаты легко могут быть переформулированы для задач с добавлением операторов меньшего порядка в левые a t.

Рисунок 5. 33 части соотношений (0.32)-(0.35) (а, Ь, а, ?3 остаются константами).

Стоит отметить, что для обоснования существования обобщённого решения нашей задачи достаточно сослаться на результаты работ А. Комеча [23] и А. Мерзона [36], которые следует применить к эллиптической задаче с параметром, полученной после использования преобразования Лапласа.

4. Формулировка основных результатов.

В заключение введения приведу точные формулировки основных результатов, которые выносятся на защиту:

1. Решение и смешанной задачи для волнового уравнения в координатном угле (0.32)—(0.35) при заданном асимптотическом поведении в окрестности ребра (0.44) удовлетворяет априорной оценке без потери гладкости:

К*) II г.

Лз / + Щ / ен^\Мт)\ыв1)Лт, о о.

А^ > 0 (г = 0, • • •, 4), (0.54) когда коэффициенты граничных условий (0.33), (0.34) — функции а, 6, а, ?3 таковы, что на каждой грани справедливо равномерное условие Лопатин-ского (0.35) и на ребре Г = {(?, 0,0)|? > 0} выполнено одно из матричных неравенств (основные требования ('), подробности в § 3, гл. I):

01, 0) + д2В& 0) + 0) > 0, 9 > 0, дт — д> 0,.

0.68) А.

1 ' (а-Щ1+Р) а- ?3.

2а к а-Р (а + Ь)(1+0).

В —.

0 а + 1 а + 1 2(а + Ь) с =.

Си С12.

2а (1 — ?3).

С21 С 22 где или.

Си = (а — Ь)(1 + ¡-З)2 + 2а (а + 1)(1 + /9), С12 = с21 = (2аа + а — /3)(1 + /3) + 2о?{а + 1), с22 = (а + Ь)(1 — (З2) + 2а{а — 1)(1 + /?) + 4а2(а + Ь),.

0) + 0) + о) > О, яг > о? ягяз — ч> о,.

0.69) л.

1 ((а-Р)(1 + Ь) А ^ 0 — 01 [ ° ч — (а + 1).

2а Ь — а (с*+ /?)(! -Ь)) 2{а + Р) ^ с =.

2а (1 — 6) Л Сц С12 с21 с22) си = (а — (3)(+ Ь)2 + 2а (а + 1)(1 + Ь),.

12 = с21 = -(2аа + а — 6)(1 + Ь) — 2а2(а + 1), с22 = (а + (3){1 — Ъ2 + 4а2) + 2а (а — 1)(1 + Ь).

2. Проведён анализ полученных матричных неравенств (0.68), (0.69). Выяснилось, что они эквивалентны! и при постоянных коэффициентах достаточно потребовать соблюдения равномерного условия Лопатинского только на одной грани и справедливость соответствующего соотношения (0.68) или (0.69) на ребре Г — равномерное условие Лопатинского на другой грани выполняется автоматически.

Исследованы явные частные случаи:

А > О, А > 0 или С > О, С > 0. Например, оценка (0.54) имеет место, если совместна система неравенств: а > |6|, b < 1- а-у/(а2-Ь2)(1−62) а + ^(д2-б2)(1Ь2).

1 + а2 — Ь2 <Р < 1 + а2 — б2.

3. При тех же предположениях относительно коэффициентов задачи, но другом асимптотическом режиме: ut = о [г, их = окогда т —> 0, где? i— вещественное число, (0.55) и&bdquo- — о доказана априорная оценка в весовых классах:

2 2 + max ||/i®||?2i2ii (fi+) + omax ||/2®||L2.

Ci{t) > 0 (? = 1,2).

4. Пусть вектор-функция ?7(i) — решение смешанной задачи для векторного волнового уравнения в координатном угле R.

Utt ~ ихх — Uyy — PQ (t, x, y) ¦ Ut — Pi (t, x, y) ¦ Ux.

— P2(t, x, y) ¦ Uy — P3(i, x, y)-U = F (t, x, y), (0.70) t, x, y) ?Rl = {(t, x, y)t, x, y > 0};

Jfay) ¦ Ut — A (t, y) ¦ Ux — B (t, y) ¦ Uy + Cx (t, y) • U = F, (0.71).

72(*, х)-игЛ2(*, х)-ихЯ2(*, х)-иу + с2(*, • г/ 2/ = 0,(*, а:) € = >0}- а, у) е Л2;

0.72).

0.73) и1 = о (г~з), С4 = о (г~5), ^ = о (г-а) при г —> 0.

0.74).

Равномерное условие Лопатинского на каждой из граней эквивалентно следующим требованиям [16]:

1) для границы х = 0: a) матрица + В невырожденаb) все собственные значения матрицы.

5 = ?>1 — 52 ^ V.

1п 0.

0.75) где 51 = 2(7х + В) 1А, ?2 = («/1 + -В1) — единичная матрица порядка п, лежат строго в правой полуплоскости, т. е. КеАг (5) > 0, г = 1,2п;

2) для границы у = 0: a) матрица </2 + Л32 невырожденаb) все собственные значения матрицы.

Я =.

И —Л 2.

0.76) 0 где = 2(72 + Б2)1А2, Л2 = + В2), 1п — единичная матрица порядка го, лежат строго в левой полуплоскости, т. е. ЛеАг (Л) < 0, г = 1,2п.

Предположим дополнительно, что (подробнее об этих условиях — в § 4, гл. I):

5*(*, 0) Яо (*) + Яо (*)5(*, 0)>0 при *>0, (0.77) где Яо (£) — решение матричного уравнения Ляпунова.

Д*(/, 0) Яо (*) + Я0(*)Д (*, 0) = -С, а = с* > о,.

А>(0) 0. В сое — — эш.

2 2 в 9.

БШ — СОБ.

2 2 /.

1п знак кронекерового произведения матриц) — или я*(г, о) Я1(г) + Я1(г)Я (*, о) < о при ¿->о, а Н ({) — решение матричного уравнения.

0.78).

5* (*,<�№(*) + Я1 (*)?(*,()) = д, д — д* > о,.

Я = А (0)ЯР|(0)5 (7Т 9″ сое—.

И 2, /тг 0 эш—и 2 /тг 9 (7Г 9 БШ—-СОЭ—и 2) и 2)).

1п.

Допустим, что справедливы условия (0.75), (0.76) и хотя бы одно из соотношений (0.77) или (0.78) на ребре Г (наиболее важные требования!). Тогда верна априорная оценка решения задачи (0.70)—(0.74): 2.

Ь2(Я+) тах||А (г)|ГЬ2(д+) + причём Сг (£) > 0 (г = 1,2).

5. Пусть и — решение смешанной задачи (0.32)—(0.35) (уже не требуется, чтобы был задан определённый асимптотический режим в окрестности ребра (0.44) или (0.55)), и на каждой грани соблюдено равномерное условие Лопатинского (0.36). Тогда, если верно хотя бы одно из матричных неравенств: дК (г, 0) + д2Щ 0) + 0) > 0 при t> 0,.

9 > 0, дгдз — д > 0,.

0.79) где.

К =.

2 а.

-^1 + >>+26 (1 + а)2 2/?(а-1)(1 + Ь) (аЬ I)2.

2(3 (а — 1)(1 + Ъ) (а+1)2 (а-1)2(1 + Ь) (се + 1)2.

Ь =.

1 0×0 -1 м = гаи Ш12 ^ га21 т2 2.

2{l + bf 2?(l + b) 77 111 ~ a (l — 6)(1 + а)2 (1 + a)(l — b) l + ba (1 + bf.

4а 1 — b + 4a (l — 6)' ?(l + b)2(l-a) (l + b)(l-oQ 1 + 6 12 21 2a (l — 6)(1 + ?)2 ^ 2(1 — b){ 1 + a) 2(1 — b)' l + 6)2(l-g)2 1 — 62 + 4a2 Ш22 ~ 4a (l-6)(l + a)2+ 4a (l — b) ' или qiK (t, 0) + q2L (ty0) + q3M (t, 0 > 0 при t > 0, (0.80) 0, gig3 — q > 0,.

К =.

2a.

2b (a — 1)(1 + ?) (a + 1)2.

26(a- 1)(1 +/?) (a + 1)2 (a-l)l + ?) (a + 1)2 P / L fl 0 X 0 -1.

M = Л «mu mi2 m2i m22 где 1 = + 25(1+/?).

11 а (1-/?)(1 + а)2~^(1 + а)(1-/3).

1+(3 с (1+/3)2.

4а 1 — (3 Щ1-РУ л = * = Ь (1+^)2(1-о). (1 + /?)(1-а) 1 + /?

12 21 2а (1 — /?)(1 + а) ^ 2(1 — (3)(1 + а) ^ 2(1 — /3)' л (1+/3)2(1-а)2 1 — /З2 + 4а2.

Ш22 4а (1 — /3)(1 + а)2 4с (1 — /3?) ' то справедлива априорная оценка (0.54). Исследование соотношений (0.79), (0.80) позволяет расширить полученную для проблемы (0.32)—(0.35), (0.44) или (0.55) область подходящих параметров. Аналогичная априорная оценка доказана и в случае, когда квадрант Я заменяется клином с углом 0 < ср < 2тт, а коэффициенты строго гиперболического оператора переменны.

6. Рассмотрим задачу (0.61)-(0.64). Как упоминалось ранее, в случае вещественных коэффициентов она эквивалентна проблеме (0.61), (0.62'), 0.63'), (0.64), а когда коэффициенты комплексны, то следующей задаче: ии — ихх — иуу — А? и = 0, (0.81) г > 0, ж > 0, у > 0, 2 € Япщ — а ¦ их — Ь • иу — с ¦ и21 — С2 • и22 — 0, (0.82) ж = 0,? > 0, у > 0, г е Д" - щ — а ¦ иу — (3 ¦ их — ?1 ¦ иХ1 — ?2 ¦ и22 — ¿-з • и2г — ?4 • = 0, (0.83) у = о, г > о, ж > о, г е К1].

0.84) где 1 т С2 = 1 т ?4 = 0.

Пусть на каждой грани выполнено равномерное условие Лоиатинского. Если при вещественных коэффициентах оно формулируется достаточно просто — см. неравенства (0.65), то в случае комплексных коэффициентов требуется, чтобы были положительно определены некоторые матрицы, составленные из этих коэффициентов — см. соотношения (1.22), (1.23), § 1, гл. III.

Оказывается, в отличие от ситуации с гладкой границей [58, 64], справедливость равномерного условия Лопатинского не достаточна! для корректности задач (0.61), (0.62'), (0.63'), (0.64) и (0.81)—(0.84) в пространствах с равномерной нормой:

КЖ)Н=? 8ир (|^аи (ж)|). а<�к «е^.

Именно, когда коэффициенты вещественны (п > 1) и, а — Ь < 0, а — /3 < 0, аа — Ъ/3 > О,.

0.85) аа — Ъ (3)2 -(аЪ)2 — (а — (З)2 < 0- или, а — 6 > 0, а — ?3 > 0, аа-ьр < 0,.

0.86) аа-Ъ[3)2 -(а-Ъ)2 -(а- (З)2 < 0, то можно построить последовательность решений вида (пример некорректности по Адамару): х, у, ги ., гп) = ^? = 1? 2,3, ¦ • ¦, причём Яег > 0, Ые£ <0, Ые? у < 0, 1т7, — — 0 (г = 1,., п). (0.59).

Очевидно, что в этом случае для компакта К, лежащего в области существования решения задачи (0.61)—(0.64) (правые части неоднородны) и натурального к не удаётся подобрать компакт К1 и т? N так, чтобы: —*.

Здесь / и Б — векторы правых частей, К" = К' П = 0}, 5 Г — граница координатного угла .

7. Для случая комплексных коэффициентов при п > 4 установлен ещё более удивительный факт: если а/3 — Ьа ф 0 и.

Im.

Re.

Im.

Re bd — c (3s а/3- ba, bdl — ci (3' а (3 — ba ,.

Са — ad а/3 — ba са — ad.

Im.

Re.

Im bd2 — c2/3″ a/3 — ba a/3 — ba, bd2- c2(3~ a/3 — ba, c2a — ad2 a/3 — ba c2a — ad-2 a.

3-ba).

Im.

Re.

Im.

— Re bd3 a (3 — ba) bd3, a (3 — ba) ah s a (3 — ba, adz ' a (3 — ba,.

Im.

Re.

— Im.

— Re bdd л/3 — ba) bd4 л/3 — ba) ad4 ' a (3 — ba, ad4 s.

7⁰, a/3 — ba) то даже, когда на обеих границах выполнено равномерное условие Лопа-тинского, всё равно можно построить пример Адамара (0.59), т. е. задача (0.81)—(0.84) некорректна в смысле оценки (0.58).

8. Пусть функция U вновь решение проблемы (0.32)—(0.35), но для простоты предположим, что ро = р = р2 = рз = 0, с = f = 0, 7 = /2 = 0, F (t, x, y), tp (x, y), ф (х, у) финитны по ж, у, а а, Ь, а, (3 — константы, удовлетворяющие неравенствам (0.36). Определим функции v (t, y), z (t.t ж): v{t, y) = u (i, 0,3/), z (t, x) = u (t, x, 0), H (t) = u{t, 0,0), u (t, x, y) продолжается нулём по ж, у вне R+.

Тогда при выполнении, если необходимо, некоторых условий на ребре (см. соотношения (1.26), (1.29), (1,31), § 1, гл. IV) однозначно найдены v (s, rj), z (s, C) (значок л обозначает преобразование Фурье — Лапласа), а вместе с ним и решение и в следующем виде:

Ъ + (З)Й (з) + г)(д, уЩаз + Ъц,) + ¿-(з, -аз + (5^).

-— -г-? (и.вд + ^ + «где, а = - Ъ=-~ а = - Р = а' а' а' а.

В случае, например, если (в работе проанализированы все возможные варианты!).

О < —-к < - (Д — приращение аргумента функции.

2тт 2. (Л/2 + 52 + + Ъщ)[гт} — аз — (Зу/г/'2 + 52) (л/7/2 + + — Ьгг})(—гт] — ая — РУц1 + 52)' когда г) меняется от 0 до +оо, к — индекс задачи), условие на ребре единственно и имеет такой вид:

Т-Шг — °> «» «> где.

Р (з, гУ2 + 52, Л).

Л) =.

Л2 + 52 + а" — Ьг’Л з, ¿-УЛ2 + —А)(г'Аш- /УА2 + я2) «(-¿-л — - Д^А2 + 52)(^А2 + + а* - 6гЛ)' а Х (5, А) — каноническое решение задачи Римана. Получена эквивалентная формулировка условий (0.88) в декартовых координатах ((4.4), гл. IV). От представления (0.87) можно перейти к такому: ва — ух1 + у2) х, у) = -—, * /(*, X, 2/)+ д д1.

— ф^+Г).

2тг/{2 — х2 — у2х>У у) в{1 2 П²-Х2-У2^у).

Удх <9/ ду,.

2тт/{2 — х2 — у'21>у ду Ы дх,.

— У^Ту1).

X2 — у'2 г.

0.89) где, например, функция определяется с помощью формул (2.13),.

2.14) из гл. IV, являясь результатом взаимодействия двух волн, прямой и отражённой от другой грани. Выяснено, что если на одной из граней, например х = 0, справедливо только условие Лопатинского, то в представлении для у (1-, у) должны присутствовать боковые волны — признак потери гладкости в оценках. Найдены явные формулы, описывающие эти возмущения.

10. Если выполнены условия (0.36) и, если необходимо, соотношения типа (0.88), то получена априорная оценка в ^(Л2) сначала с потерей гладкости, а затем и без неё:

М^НжКДЗ.) < 1К°)\wHRl) + с2(ь) тах||/(г)||ВД) при > 0, г = 1,2.

Таким образом, сформулированные результаты можно разбить на следующие основные группы:

I) При выполнении равномерного условия Лопатинского и заданном асимптотическом поведении решения в окрестности ребра получена априорная оценка в И7^ (-К+) решения смешанной задачи для волнового уравнения в координатном угле Щ. = > 0} с граничными условиями, содержащими первые производные. Оценка — без потери гладкости.

I) Основной момент — совместность хотя бы одного из матричных неравенств. Матрицы составлены из коэффициентов граничных соотношений.

II) Этот факт обобщается на случай, когда упомянутые коэффициенты —-достаточно гладкие функции.

III) Исследование в том же ключе смешанной задачи для векторного волнового уравнения позволяет обосновать априорную оценку в ситуации с операторами высокого порядка в граничных условиях.

II) При сохранении только одного требования — справедливости равномерного условия Лопатинского (по сравнению с п. I более общая постановка задачи!) доказана априорная оценка решения в без потери гладкости. Вновь решает дело совместность хотя бы одного из матричных неравенств.

1) Использованный метод позволяет перенести предыдущий результат на случай смешанной задачи для строго гиперболического оператора в клине с произвольным углом, а (все коэффициенты — переменны).

III) Изучение смешанных задач для многомерного волнового уравнения в двугранном угле приводит к следующему утверждению: выполнение равномерного условия Лопатинского отнюдь не гарантирует, как в случае гладкой границы, корректности постановки проблемы в пространствах с равномерной нормой.

1) Именно, когда коэффициенты граничных условий вещественны и п, число пространственных переменных, больше двух, то выделяется целая подобласть множества значений параметров граничных соотношений, при которых справедливо равномерное условие Лопатинского, но тем не менее, возможно построение примера некорректности типа Адамара. и) Если же п больше пяти, а коэффициенты комплексны, то эта подобласть почти заполняет область «хороших» значений параметров, исключая, может быть, точки некоторой гиперповерхности.

IV) В случае, когда данные финитны, а коэффициенты вещественны и постоянны, смешанная задача для волнового уравнения в квадранте полностью исследована:

I) найдено интегральное представление — явный вид решения, что позволяет, например, выяснить различие между равномерным и просто условием Лопатинского. Если на грани соблюдено лишь последнее условие, то в представление решения обязаны входить слагаемые, определяющие боковые волны. Наличие таких волн — признак потери гладкости решения на соответствующей границе.

II) в случае выполнения равномерного условия Лопатинского получена априорная оценка в Исначала с потерей гладкости в правой части, а затем и без неё. ш) Без существенных изменений использованный метод можно применить и при анализе смешанной задачи для волнового уравнения в клине (коэффициенты — постоянны).

В заключение автор хотел бы выразить признательность профессору А. М. Блохину за постановку задачи, постоянное внимание и поддержку в работе.

Основные результаты этой главы опубликованы в работах [48, 65].