Положительные сеточные алгоритмы расчета радиационных полей в защитах сложной структуры
Моментные DD и родственные ей нодальные схемы- не являются положительными и монотонными. Варьируя форму дополнительных соотношений (ДС) DD схемы, удается улучшить качество сеточного решения, не отказываясь от второго порядка аппроксимации. При этом прибегают, например, к учету в ДС эффекта криволинейности расчетной ячейки в (г, z) геометрии, к предположению о малости производных точного решения… Читать ещё >
Содержание
- Глава I. Грубосеточные алгоритмы расчета регулярных компонент решений задач о протяженных плоских слоях
- 1. Решения точной и сеточной задач в плоской геометрии в приближении дискретных ординат
- 2. Сеточные задачи при существенном поглощении
- 3. Сеточные задачи при слабом поглощении
- 4. Результаты численных исследований
- 5. Задачи о многозонных плоских слоях
- Глава II. Сеточные аппроксимации для сильно гетерогенных областей и пустот в задачах с (х, у) геометрией
- 6. Общие свойства рассматриваемых сеточных схем
- 7. SC (Step Characteristic) схема
- 8. SWDD (Special Weighted Diamond Difference) схема
- 9. Алгоритм VAC расчета вакуумных полостей
- Глава III. Положительная и монотонная SWDD схема в задачах с (г, z) геометрией
- 10. WDD схема в (г, z) геометрии
- 11. SC схема (г, z) геометрии
- 12. SWDD схема в (г, z) геометрии
- Глава IV. Результаты численных экспериментов
- 13. Результаты расчета радиационных полей в фрагменте защиты реактора БН-600, (х, у) геометрия
- 14. Результаты расчета модели защиты реактора ВВЭР-440, г, z) геометрия
Положительные сеточные алгоритмы расчета радиационных полей в защитах сложной структуры (реферат, курсовая, диплом, контрольная)
Радиационные защиты современных ядерно-технических установок — это сложные многофункциональные системы, содержащие как протяженные однородные зоны, обеспечивающие необходимое ослабление потоков нейтронов и гамма-квантов, так и локальные неоднородности с элементами теплотехники, гидравлики, контроля и управления.
Для расчета характеристик радиационных полей в таких системах созданы и широко используются мощные программные комплексы, отечественные и зарубежные. Организация этих комплексов, как правило, опирается на реализацию единого метода во всей расчетной области. Используется один из вариантов либо метода статистического моделирования (Монте-Карло), либо сеточного метода решения уравнения переноса. Эти средства позволяют решать большое число задач радиационной защиты.
Однако в связи с повышением требований к полноте, точности и надежности расчетных результатов, а также к быстроте их получения в современных физических и технологических исследованиях продолжается поиск более эффективных алгоритмов. Чрезвычайно трудоемким оказывается определение радиационных полей в полномасштабных защитах с ослаблением потоков нейтронов на 10−14 порядков и требованием процентной точности в важных узлах защиты. Методы статистического моделирования (Монте-Карло) в таких задачах требуют расчета неприемлемо большого числа траекторий, а сеточные методы — больших пространственных и угловых сеток.
Численные методы, используемые в задачах радиационной защиты, традиционно опираются на многогрупповую аппроксимацию уравнения.
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского Фонда Фундаментальных Исследований, грант № 01−01−570. переноса по энергетической переменной, и центральной вычислительной проблемой является решение стационарного односкоростного уравнения.
1) (Q • V) ?(г, О) + crt (f)'ЧЧг, П) = F (f, Q), F (f, Q) = gs ® Jy (f, Q • П') ?(r, Q') dQ' + Q (r, Q),.
471 определяющего значение потока частиц ?(?, Q) в точке f расчетной области G, двигающихся в направлении единичного вектора Q. Здесь crt (?) и as (?) -полное сечение и сечение рассеяния, at (?)> as®, y (r, Q-Q') — индикатриса, Q (r, Q) — внутренний источник. Граничные условия определяют входящий в расчетную область поток с учетом характерных условий симметрии распределений потоков, а также возможного отражения от окружающей среды:
2) ¥-(г, Щ = (г, Q) + J ?(r, С1') Щг, Q, Q') dQ'. ^ } n®-Q>0.
Здесь dG — граница расчетной области, n (?) — внешняя нормаль к ней,.
— функция отражения. Задачи (1)—(2) однозначно разрешимы и их решения положительны в G для всех Q при естественных предположениях о свойствах коэффициентов и источников, из которых наиболее существенными являются их положительность и отсутствие размножения частиц при столкновениях и отражениях [1].
В основном классе численных методов решения задач (1)-(2) используются сеточные аппроксимации по угловым и пространственным переменным.
Введение
угловой сетки {Qm) с достаточно точным представлением интеграла столкновений соответствующей квадратурной формулой сводит задачу (1)-(2) к краевой задаче для системы дифференциальных уравнений, определяющей функциит (г) = ^(r, Qm) в приближении Дискретных.
Ординат (ДО) [2]-[4]. Большое число работ посвящено развитию численных алгоритмов решения таких систем, исследованиям их свойств и программной реализации.
Аналитическое решение системы дифференциальных уравнений приближения ДО — крайне сложная задача, и опирающиеся на аналитическое решение расчетные алгоритмы реализованы только для случая плоской геометрии (см. например, [5]-[7]). При решении реальных задач введением сеток по пространственным переменным от уравнений приближения ДО переходят к аппроксимирующей их и, следовательно, задачу (1}-(2), системе сеточных уравнений (см. например, монографии [3]-[4]). Неизвестными величинами в таких системах в подавляющем большинстве случаев являются моменты (интегралы с некоторым весом) решения в ячейке и на ее гранях. Лишь в некоторых случаях в число расчетных величин включают значения решения в выбранных точках (точках пересечения граней, центрах граней и ячеек) [8]-[10].
В основу решения сеточных уравнений полагается метод итераций по столкновениям, в котором центральной проблемой является решение дифференциального уравнения (1) при заданной правой части F (r, Q). В настоящей работе рассматривается вопрос об аппроксимации уравнений приближения ДО по пространственным переменным. Проблема выбора угловой сетки не обсуждается.
Как правило, в расчетной практике используются консервативные схемы метода моментов, обеспечивающие выполнение точных уравнений баланса, получаемых интегрированием в каждой пространственной ячейке исходного уравнения (1) с набором весовых коэффициентов (обычно полиномиальных). Неконсервативные схемы использовались только в очень ранних расчетах [8]-[9], и опыт показал, что область их применимости значительно уже области применимости консервативных схем. К системе точных балансных уравнений присоединяются приближенные дополнительные соотношения, обычно линейные, связывающие моменты решения в ячейке с моментами на гранях. Положительными качествами моментных схем являются их простота и универсальность: они сравнительно легко распространяются на задачи со сложными геометриями.
В методе характеристик используется уравнение (1) в интегральной форме т.
3) + tQ, Q) =, Q) exp (-at т) + Jdt F (r -1Q, Q) exp (-at t). 0.
Здесь т > 0 — координата вдоль луча, проведенного из точки? границы ячейки в направлении Q. Решение в ячейке и на «входных» гранях (Q • п (?)<0, где п (?) — внешняя нормаль к грани) в уравнении (3) заменяется его интерполянтами, и в качестве сеточных уравнений принимаются моменты (интегралы с некоторым весом) получившегося соотношения в ячейке и по «выходным» граням (Q-n (?)>0) [11]. При этом уравнения многих схем метода характеристик могут быть записаны в форме уравнений схем метода моментов.
При построении сеточных схем преимущественное внимание уделяется порядку погрешности аппроксимации уравнения (1). Она определяется погрешностью дополнительных соотношений и, как правило, оценивается величиной.
4) 8 = 0(1) (Д/f)" DnvF, где, А — характерный размер ячейки, I = l/at — средняя длина свободного пробега, 0<£<оо, п — порядок аппроксимации, DnvP — точная верхняя грань абсолютного значения полной производной порядка п от решения.
Повышения порядка аппроксимации естественно добиваться увеличением числа N включаемых в схему балансных уравнений. Так, на гладких решениях в задачах с плоской 1D геометрией известная DD схема, использующая лишь основное уравнение баланса (N=1) с весовым коэффициентом, равным единице, имеет второй порядок аппроксимации п = 2), а в родственных ей модальных схемах (где N>1) порядок n = 2N (Т.А.Гермогенова, [12]—[13]). В более сложных неплоских 1D, а также 2D и 3D геометриях для DD схемы п = 2, и п возрастает с увеличением числа уравнений баланса N.
В устойчивых схемах оценки вида (4) оказываются справедливыми и для погрешности сеточного решения. Они гарантируют высокую точность расчета п раз непрерывно дифференцируемых решений на достаточно густых сетках (А " ?).
Однако решение задачи (1(2), как правило, имеет особенности на внешних граничных поверхностях, на поверхностях разрыва свойств среды и источников, в окрестности сосредоточенных источников [1]. Вблизи особенностей решение сингулярное-, обладает большими по абсолютной величине градиентами, или является недифференцируемым, или даже разрывным. Для надежности проводимых расчетов необходимо использовать схему, не только обеспечивающую хорошую аппроксимацию в каждой ячейке, но и правильно передающую важные качественные свойства точного решения, в частности, обладающую следующими свойствами: положительность (неотрицательность решения при неотрицательных источниках и индикатрисе) [ 14]—[ 15], монотонность (сохранение в сеточном решении числа и расположения экстремумов точного решения) [14]—[15], хорошая аппроксимация коэффициентов затухания всех гармоник Фурье преобразования точного решения [4], [16] аналогичными коэффициентами сеточного решения, корректность распределения потоков по граням ячейки [17].
Решение неположительной схемы может содержать отрицательные потоки. При использовании немонотонных схем расчет даже на густых сетках часто приводит к появлению у решения нефизических осцилляций большой амплитуды. Если высокие гармоники Фурье-преобразования сеточного решения затухают слишком медленно, амплитуда осцилляций практически не уменьшается с удалением от места их возникновения. Если высокие гармоники затухают слишком быстро, возникает эффект излишнего сглаживания сеточного решения.
Некорректность распределения потоков по граням ячейки приводит к большим ошибкам при расчете существенно сингулярных решений (например, в задачах с сильно гетерогенными средами или с сосредоточенными источниками). Требование корректности распределения потоков — основа построения некоторых одношаговых схем первого порядка точности (SC и VW схемы, K.D.Lathrop, [18]). Преобразование SC схемы к двухшаговой форме (K.A.Mathews, [17]) существенно повышает точность расчета задач с сосредоточенными источниками. Следующий шаг в этом направлении — методы длинных характеристик [19]—[22], в которых расчетная область покрывается набором характеристик уравнения (1) и используется интегральное представления решения (3). Такие методы обладают высокой точностью [23], но они трудоемки и очень чувствительны к угловой сетке.
Более значительные усилия направлены на улучшение качеств положительности и монотонности моментных схем высокого порядка аппроксимации.
Моментные DD и родственные ей нодальные схемы [12]-[13] не являются положительными и монотонными. Варьируя форму дополнительных соотношений (ДС) DD схемы, удается улучшить качество сеточного решения, не отказываясь от второго порядка аппроксимации. При этом прибегают, например, к учету в ДС эффекта криволинейности расчетной ячейки в (г, z) геометрии [24], к предположению о малости производных точного решения (И.Р.Суслов, [25]), к разбиению ячейки на части отрезками характеристик исходного уравнения (А.В.Воронков, Е. П. Сычугова, [26]-[27]) или отрезками, параллельными граням ячейки [28]—[29], к многошаговым схемам (А.М.Волощенко, [30]). Также используют ДС, полученные аппроксимацией исходного уравнения в интегральной форме (3) (Н.П.Плетенева, Р. М. Шагалиев, [31]), а также вытекающие из представления решения в ячейке билинейной [32] или экспоненциальной функцией [33] (в последнем случае ДС нелинейные). В других методах ДС получают из исходного уравнения (1), усредненного по всем переменным кроме одной [34]—[35].
Таким же образом удается улучшить качество нодальных схем с большим числом моментов. При этом используется полиномиальное [36]—[43], кусочно-полиномиальное [44]—[46] или экспоненциальное [37] представление решения. Однако эти улучшенные схемы не являются безусловно положительными и монотонными.
Разработка эффективных положительных и монотонных схем составляет другое важное направление развития сеточных методов. Одна из самых ранних таких схем — шаговая St схема, использующая одно уравнение баланса и обладающая первым порядком аппроксимации. В реальных задачах St схема имеет очень низкую точность. Более точные положительные и монотонные схемы, сохраняющие, однако, первый порядок аппроксимации, получают, вводя в ДС весовые параметры (WDD схемы, K.D.Lathrop, [18] и B.G.Carlson, [47]), а также используя представление решения кусочно-постоянной (K.A.Mathews, [50]), кусочно-линейной (В.Я.Гольдин, [8]-[9]), кусочно-параболической (М.И.Бакирова, В. Я. Карпов, [10] и В. Я. Гольдин, [48]) или кусочно-экспоненциальной функцией (SC схема, K.D.Lathrop, [18] и Ch.L.Castriani, [49]).
Порядок положительной и монотонной схемы можно повысить, увеличив число уравнений баланса (K.A.Mathews, W.F.Walters, T.A.Wareing, [51]—[54]). Однако в целом порядок аппроксимации этих схем меньше, чем порядок аппроксимации аналогичных (использующих те же уравнения баланса) схем, не удовлетворяющих условию положительности и монотонности.
Чтобы соединить в рамках единой сеточной схемы высокий порядок аппроксимации и свойства, положительности и монотонности, переходят к нелинейным схемам, т. е. взвешенным схемам с весовыми параметрами, зависящими от сеточного решения. Первоначально расчет ячейки выполняется со значениями параметров, отвечающих наибольшему из возможных порядков аппроксимации. Если полученное сеточное решение не удовлетворяют условию положительности и (или) монотонности, проводится коррекция (регуляризация) сеточного решения: ячейка пересчитывается со значениями параметров, гарантирующих полное или частичное выполнение рассматриваемых условий [4], [14]—[15], [56]. При коррекции порядок аппроксимации схемы снижается.
Большая группа нелинейных схем использует взвешенную WDD схему. Эта группа включает в себя известные положительные, но немонотонные DD/fix up, DD/St [4] схемы, положительные и частично монотонные 9WDD (W.A.Rhoades, A. Haghighat, [57]—[59]), VW [18] и адаптивные A WDD (B.G.Carlson, А. М. Волощенко, [4], [47]) схемы, положительные и монотонные MDSn [14]—[15] и DD/FCT [16] схемы. Ряд частично монотонных схем предназначен для решения уравнения переноса в вакууме [55]. Также разработаны адаптивные нодальные схемы (А.М.Волощенко, А. В. Швецов, [56], [60]—[61]).
Однако в расчетах по нелинейным схемам возникают определенные трудности. Жесткая коррекция, когда параметры меняются скачком, (например, в DD/St схеме) может приводить к циклическому изменению решения на соседних итерациях, и, как следствие, к несходимости итерационного процесса по столкновениям. Поэтому большое внимание уделяется разработке алгоритмов мягкой коррекции, когда параметры меняются плавно (например, в адаптивных схемах). Однако и при мягкой коррекции сходимость итераций в некоторых случаях ухудшается. Поскольку условие положительности и монотонности многих сеточных схем высокого порядка аппроксимации нарушается в каждой ячейке, то во многих положительных и полностью монотонных нелинейных схемах (например, MDSn) коррекцию приходится проводить в каждой ячейке, что существенно снижает порядок аппроксимации нелинейной схемы. Поэтому в таких схемах коррекцию часто проводят только в ячейках, прилегающих к внутренним границам. Но такая нелинейная схема уже не является полностью монотонной.
В положительных и частично монотонных нелинейных схемах (например, AWDD и 9WDD) необходимость проведения коррекции и выбор ее параметров определяются априори заданными параметрами монотонизации (сглаживания) решения. При этом сеточные решения с различными значениями параметров монотонизации при сгущении пространственной и угловой сеток могут сходиться к различным предельным функциям [62]. Решения частично монотонных схем могут содержать нефизические осцилляции, амплитуда которых зависит от параметров монотонизации.
В сильно гетерогенных областях с сильно меняющимся решением точной задачи коррекция может заметно исказить расчетные результаты.
Эти обстоятельства требуют тщательного подбора параметров коррекции, которые устанавливаются, как правило, эмпирическим путем. При этом информация о поведении решения, определяющая необходимость проведения коррекции и ее параметры, получается с помощью неположительной и немонотонной схемы, способной исказить решение качественно.
Моментные схемы с коррекциями и без них реализованы в следующих хорошо известных программах.
— для одномерных геометрий: РОЗ-6.4 [63], P03-W.2 [64], ONEDANT [65];
— для двумерных геометрий: КАСКАД [66], РАДУГА [67], [67], TWODANT/SYS [69];
— для трехмерных геометрий: TORT [70], THREEDANT [70]. В конкретном расчете по каждой из таких программ во всей расчетной области реализуется некоторый универсальный алгоритм со сквозными сетками и единым алгоритмом коррекции. Во многих задачах эти программы дают надежные результаты.
Однако при использовании таких программ помимо перечисленных проблем, порожденных исходными принципами построения сеточных схем, возникают следующие существенные дополнительные трудности: проблема построения пространственной сетки, адекватно описывающей внешние и внутренние границы расчетной области и отвечающей характеру изменений решенияпроблемы, порожденные несовпадением осей и центров симметрии различных зонв этом случае приходится использовать геометрические модели большей размерности, чем модели, описывающие каждую зонупроблема «лучевых эффектов» в решении [72], связанная с выбором недостаточно густой угловой сеткиэта проблема особенно актуальна при расчете потоков в удаленных от источника неоднородностяхпроблемы, связанные с возможной отрицательностью представления индикатрисы рассеяния разложением по полиномам Лежандра невысокого порядкапроблема медленной сходимости итерационного процесса по столкновениям, особенно актуальная при расчете тепловых групп нейтронов в протяженных зонахпроблемы, связанные с существенной сингулярностью решения в вакуумных полостях и в окрестности сосредоточенных источников, а также в задачах с сильно вытянутыми индикатрисамипроблема излишних вычислительных затрат при расчете на густых сетках протяженных зон.
Часть перечисленных проблем решается переходом к специализированным сеткам, привлечением алгоритмов ускорения сходимости итерационного процесса и специальным выбором представления индикатрис.
Для лучшего описания внешних и внутренних границ расчетной области используются нерегулярные сетки, и весьма актуальной задачей является как построение схем на таких сетках [28]-[29], [49], [73]—[74], так и разработка реализующих их программных кодов [43], [69]—[70], [75].
Для решения проблемы «лучевых эффектов» либо используют при расчете каждой ячейки дополнительный набор угловых направлений [76], либо возвращаются к непрерывному описанию угловой зависимости [77]. Последний подход особенно эффективен, если неоднородность окружена протяженной средой, внутри которой решение слабо анизотропное [78].
При знакопеременности представления индикатрисы линейной комбинацией полиномов Лежандра предлагается использовать специальные алгоритмы коррекции коэффициентов комбинации [85]—[86].
Наиболее эффективные из используемых сейчас алгоритмов ускорения сходимости итерационного процесса опираются на чередование итераций по интегралу столкновений с расчетом поправок в линейном KPj приближении (Г.И.Марчук, В. И. Лебедев, [3]) или DSA (Diffusion Synthetic Approximation) приближении [87], а также с пересчетом итераций в нелинейном квазидиффузионном приближении (В.Я.Гольдин, [88]), приближении средних потоков [89]. Такие алгоритмы хорошо работают лишь в расчетах со слабо анизотропным решением. Если искомое решение сильно анизотропное, необходимо использовать довольно сложные алгоритмы с большей системой уравнений для ускоряющих поправок [87].
Наконец, в некоторых случаях обращаются к специализированным алгоритмам, использующим качественные свойства точного решения. Эти алгоритмы, как правило, обладают как высоким порядком точности, так и свойствами положительности и монотонности.
В протяженных областях (с толщиной т* = D/? «1, где D — диаметр области, I — длина свободного пробега) традиционно вводится малый параметр 8 = 1/х* «1, сечения, источники и решения считаются функциями.
8 и задача рассматривается при 8 -«0 (G.Habetler, B. Matkowsky, [14]) в предположении о том, что решение регулярное (обладает небольшими по абсолютной величине градиентами). Решение представляется разложением по степеням параметра е. Коэффициенты этого разложения подчиняются «упрощенным уравнениям» метода сферических гармоник — SPL уравнениям (Simplified PL equations) (E.W.Larsen, В. П. Жарков, [91]-[94]). Важным является вопрос о выборе краевых условий для этих уравнений. Вариационный вывод этих условий естественным образом приводит к условиям Маршака, которые дают хорошие результаты для интегральных характеристик решения [91]—[93], но не обеспечивают равномерной оценки точности построенного приближения и приводят к значительным локальным погрешностям в результатах [95].
С помощью сингулярной теории возмущений (А.В.Васильева, В. Ф. Бутузов, [96]—[97]) построены асимптотические приближения к решению уравнения переноса (аппроксимирующие это решение с погрешностью 0(s) при е -> О, где m — порядок приближения) в состоящем из нескольких протяженных зон плоском слое в виде суммы регулярной и сингулярной компонент (Т.А.Гермогенова, [78]). В каждой зоне регулярные компоненты представлены разложениями по степеням 8, коэффициенты которых определяются SPL уравнениями с краевыми условиями, обеспечивающими быстрое убывание сингулярных компонент с удалением от границ зоны. Этот результат дает возможность определять регулярную компоненту решением краевой задачи для SPL уравнений на грубых сетках (А > ?), а сингулярную компоненту — расчетом по сеточной схеме на густых сетках, но только вблизи границ зон.
Открытым остается вопрос о точности грубосеточных схем при расчете регулярных компонент асимптотических приближений. Для исследования свойств грубосеточных аппроксимаций в сеточные уравнения вводится малый параметр е и они рассматриваются при е —" 0. Необходимое условие надежности грубосеточных расчетов — аппроксимация вырожденными (при в —"0) сеточными уравнениями уравнения для регулярной компоненты нулевого асимптотического приближения к решению точной задачи. Поскольку при слабом поглощении регулярная компонента подчиняется уравнению диффузии, в иностранной литературе этой условие называется условием существования диффузионного предела [79].
Проверка этого условия для вновь создаваемых схем считается обязательной [79]—[83]. Однако его выполнение не гарантирует точности грубосеточных расчетов: они могут порождать решения, содержащие нефизические осцилляции большой амплитуды. Амплитуду осцилляций не уменьшает даже использование адаптивных алгоритмов коррекции [84].
В задачах с сосредоточенными (3-образными) источниками оказывается необходимым предварительный расчет по аналитическим или полуаналитическим формулам, опирающимся на интегральное представление (3), нерассеянного, а иногда и однократно-рассеянного потоков. Тогда в задаче для многократно рассеянного потока источник распределен по всей расчетной области, и ее решение представляет собой гораздо менее сложную проблему, чем решение исходной задачи. Аналитические и полуаналитические алгоритмы расчета нерассеянного потока от точечного изотропного источника и нерассеянного и однократно-рассеянного потоков от точечного мононаправленного источника включены в известные программные комплексы [63]-[66], [68]—[70].
В задачах с сильной анизотропией рассеяния и источников привлекаются специализированные полуаналитические алгоритмы расчета наиболее анизотропной компоненты решения, отвечающей нерассеянному и однократно рассеянному потокам, а в расчете многократно рассеянного потока используются сглаженные индикатрисы [5], (Е.Н.Аристова, В. Я. Гольдин [98]) и упрощенная форма уравнения переноса — уравнение Больцмана-Фоккера-Планка.
В областях с пустотами используются специализированные сеточные алгоритмы, определяющие потоки в вакуумной полости при условии, что значения входящих в полость потоков известны (получены из краевых условий или расчетом плотной среды по какой-либо сеточной схеме). Большинство таких алгоритмов экономичные, но неуниверсальные: они привязаны и к форме полости, и к свойствам окружающей ее среды [99]— [102]. Универсальные алгоритмы в большинстве случаев неэкономичны: они требуют либо выполнения сложного логического анализа [103], либо больших объемов памяти компьютера для хранения коэффициентов расчетных формул [104].
Успехи, связанные с использованием нерегулярных сеток и специализированных алгоритмов в отдельных задачах, подтверждают преимущества комбинированных (гибридных) методов, опирающихся на разбиение исходной задачи на несколько более простых подзадач и использование для решения каждой подзадачи специализированного алгоритма, адекватного структуре решения подзадачи и точностным требованиям.
В самых ранних комбинированных методах декомпозиция исходной задачи проводилась по энергетической переменной. Например, расчет защиты опирался на численное решение уравнения переноса, а расчет реактора — на численное решение аппроксимирующего уравнение переноса диффузионного уравнения. Или же в высоких энергетических группах обращались к уравнению переноса, а в низких — к приближению метода сферических гармоник низкого порядка [105].
Следующий шаг в развитии комбинированных методов — использование в пределах одного энергетического интервала в каждой подобласти своего численного метода, адекватного свойствам решения в этой подобласти. Расчеты должны выполняться на локальных сетках в локальных системах координат, отражающих свойства симметрии подобласти. Это направление естественно для использования компьютерной техники с параллельной архитектурой, допускающей единовременный расчет системы квазинезависимых подзадач и последующее объединение результатов.
Для эффективной реализации комбинированных методов необходимо решать следующие три основные задачи: построение и исследование специализированных алгоритмов расчета подобластейразработка, теоретическое и расчетное обоснование алгоритмов сопряжения расчетных результатов на границах подобластейобъединение этих алгоритмов в единой программе.
В задачах радиационной защиты сопряжение результатов на границах подобластей производится эмпирическим методом счета с перекрыванием [105], [ 107]—[108] или близким ему методом сопряжения по граничным значениям, опирающимся на теорию возмущений для исходного и сопряженного уравнений (В.В.Коробейников, В. И. Усанов, [109]). В известном методе суперэлементов (Р.П.Федоренко, Л. Г. Страховская, [110]) сопряжение решения на границах «суперячеек» опирается на решение системы алгебраических уравнений. Близок методу суперэлементов метод поверхностных псевдоисточников (Н.И.Лалетин, [111]), в котором для представления решения внутри подобласти используется главная часть разложения функции. Грина по собственным функциям кинетического уравнения этой подобласти.
Актуальной задачей является разработка представительного набора специализированных алгоритмов и алгоритмов сопряжения, способных эффективно справиться с трудностями, возникающими при использовании универсальных алгоритмов, и имеющих надежное теоретическое обоснование.
Основной целью диссертации является построение и обоснование специализированных алгоритмов решения задач радиационной защиты с двумя основными типами подобластей:
— протяженных однородных подобластей (регулярное решение вне пограничных слоев),.
— существенно гетерогенных подобластей с пустотами (сингулярное решение).
Специализированные алгоритмы должны обладать хорошей локальной аппроксимацией, быть положительными и монотонными.
Используемый подход предполагает построение специализированных алгоритмов не для решения исходной задачи в целом, а отдельно для регулярной и сингулярной компонент этого решения [112]. Такое разделение дает возможность выполнять расчет регулярной компоненты на грубой сетке, а расчет сингулярной компоненты проводить только в тех подобластях, где она существенна.
На защиту выносятся следующие основные результаты.
1. Теоретическое и расчетное обоснование точности грубосеточных расчетов регулярных компонент в протяженных однородных плоских слоях при изотропных по угловым переменным внутренних источниках и рассеянии.
2. Построение и теоретическое исследование положительной и монотонной схемы, обеспечивающей правильное распределение потоков по граням ячеек для уравнения переноса в (х, у) и (г, z) геометриях.
3. Построение специализированного алгоритма расчета радиационных полей в вакуумной полости произвольной формы в (х, у) геометрии.
4. Построение комбинированного алгоритма расчета радиационных полей в многозонном плоском слое при анизотропных источниках и индикатрисах, опирающегося на грубосеточные расчеты регулярных компонент решений в протяженных однородных подобластях.
5. Программная реализация перечисленных алгоритмов.
6. Расчетные исследования предложенных алгоритмов как на модельных задачах, так и на защитах реальных ядерно-технических установок.
Практическая ценность построенных алгоритмов состоит в возможности с их помощью получать высокоточные тестовые результаты.
V в многозонных плоских слоях;
V в двумерных областях с плотными неоднородностями и пустотами. Такие результаты могут быть использованы в анализе качеств различных сеточных схем в вакууме, неоднородностях и протяженных однородных подобластях.
Комбинированный алгоритм расчета плоских слоев может быть использован как основа в построении комбинированного алгоритма расчета гетерогенных многомерных областей.
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, четырех приложений, заключения и списка литературы.
Заключение
.
Диссертация посвящена построению, а также теоретическому и расчетному обоснованию представительного набора специализированных алгоритмов расчета радиационных полей в защитах сложной структуры. Построение алгоритмов опирается на представление искомого решения суммой регулярной (обладающей небольшими градиентами) и сингулярной (быстро меняющейся, возможно разрывной) компонент. Регулярную компоненту предлагается рассчитывать на грубых сетках (с характерным шагом А, превышающим длину свободного пробега), а сингулярную компоненту — на достаточно подробных сетках.
Основными являются следующие результаты.
1. Предложены и исследованы грубосеточные алгоритмы двух типов для расчета регулярных компонент в протяженных однородных плоских слоях при изотропных рассеянии и внутренних источниках и анизотропных граничных источниках. Алгоритмы опираются на грубосеточные варианты широко распространенных консервативных схем (2-го — 4-го порядка точности на густых сетках). Теоретические оценки точности всех алгоритмов выводятся при х, где т размер слоя в длинах свободного пробега, А > е. Проведены обширные методические расчеты, результаты которых согласуются с полученными оценками.
2. Развиты комбинированные алгоритмы расчета многозонных плоских слоев при анизотропных источниках и индикатрисах, в которых для определения регулярных компонент решений в протяженных зонах привлекаются построенные грубосеточные алгоритмы. Установлены преимущества таких алгоритмов по сравнению с традиционными сеточными алгоритмами.
3. Для расчета сингулярных решений в сильно гетерогенных плотных подобластях и пустотах в (х, у) геометрии развита и исследована консервативная SWDD схема, являющаяся вариантом известной взвешенной.
WDD схемы. Показано, что SWDD схема сохраняет важные свойства решения точной задачи:
• положительность (неотрицательность решения при неотрицательных источниках и индикатрисе),.
• монотонность (сохранение числа и расположения экстремумов точного решения),.
• корректность распределения потоков по граням расчетной ячейки. Выполнен анализ поведения гармоник Фурье-преобразования сеточного решения и получены оценки аппроксимации коэффициентами затухания этих гармоник соответствующих коэффициентов затухания гармоник Фурье-преобразования точного решения.
Получены оценки точности SWDD схемы и известной SC схемы метода характеристик при расчете гладких решений в однородных областях на равномерных сетках в равномерной норме. Этот принципиально новый результат опирается на важные свойства этих сеточных схем: положительность и корректность распределения потоков по граням ячейки.
4. SWDD распространена на задачи с (г, z) геометрией.
5. Для расчета сингулярных решений в вакуумных полостях в (х, у) геометрии предложен специализированный алгоритм VAC, реализующий аналитическое решение в полости при условии, что значения входящего в полость потока известны. Алгоритм VAC обладает существенными преимуществами по сравнению с другими алгоритмами расчета вакуума:
• экономичностью (при расчете каждой ячейки совершается небольшое число арифметических операций),.
• универсальностью (применимость к пустоте любой формы).
6. Выполнены расчеты защит реакторов БН-600 ((х, у) геометрия) и ВВЭР-440 ((г, z) геометрия). Результаты подтверждают полезные свойства предложенных алгоритмов SWDD и VAC, особенно при расчете существенно сингулярных угловых потоков в сильно гетерогенных подобластях и пустотах.
Список литературы
- Т.А.Гермогенова, Локальные свойства решений уравнения переноса, М, Наука, 1985.
- С.Чандрасекар, Перенос лучистой энергии, М, ИЛ, 1953.
- Г. И.Марчук, В. И. Лебедев, Численные методы в теории переноса нейтронов, М, Атомиздат, 1981.
- Л.П.Басс, А. М. Волощенко, Т. А. Гермогенова, Методы дискретных ординат в задачах о переносе излучения, Монография ИПМ им. М. В. Келдыша РАН, 1986.
- В.В.Соболев, Перенос лучистой энергии в атмосферах звезд и планет, Москва, 1956.
- B.D.Ganapol, J. S Warsa, J.A.Dahl, Analytical Benchmark Comparisons for Matrix Eigenvalues- Symbolic-, p-Adaptive- and Standard SN formulations, Madrid, V. 2, pp.
- C.F.Segatto, M.T.Vilhena, The State-of-the Art of the LTSN Method, Madrid, V. 2. pp. 1618−1631.
- В.Я.Гольдин, Характеристическая разностная схема для нестационарного кинетического уравнения, ДАН, Т. 133, стр. 748−751,1960.
- Л.П.Басс, О решении уравнения переноса методом характеристик, Препринт № 13 ИПМ им. М. В. Келдыша, 1969.
- М.И.Бакирова, В. Я. Карпов, UV метод решения уравнения переноса, Препринт № 72 ИПМ им. М. В. Келдыша, 1984.
- M.L.Adams, W.F.Walters, T.A.Wareing, Characteristics Methods in Thick Diffusive Regime, Portland, V. 1, pp.349−359, 1995.
- Т.А.Гермогенова, Метод пространственных моментов в задачах о переносе излучения в слое, Препринт ИПМ им. М. В Келдыша, № 39,1997.
- T.A.Germogenova, Discrete Transport Model Eigenfunctions, NSE, V. 124, pp. 63−71, 1996.
- Д.А.Баюк, Т. А. Гермогенова, Простейшие разностные схемы решения уравнения переноса в (х, у) геометрии и способы их коррекции, Препринт № 91 ИПМ им. М. В. Келдыша, 1986.
- K.A.Mathews, On the Propagation of Rays in Discrete Ordinates, NSE, V. 132, pp. 155 180,1999.
- K.D.Lathrop, Spatial Differencing of the Transport Equation: Positivity vs. Accuracy, J. of Сотр. Phys, V. 4, № 4, pp. 475−490, 1969.
- И.Р.Суслов, Метод характеристик в областях со сложной геометрией, Атомная энергия, Т. 65, Вып. 1, стр 57−58, 1988.
- T.Postma, J. Viujic, The Method of Characteristics in General Geometry with Anisotropic Scattering, Madrid, V. 2, pp. 1215−1224.
- R.Roy, The Cyclic Characteristics Method with Anisotropic Scattering, Madrid, V. 2, pp. 1225−1234.
- В.Д.Давиденко, В. Ф. Цибульский, Метод характеристик. Программа UNKGRO, Сборник докладов Нейтроника-99 семинара «Алгоритмы и программы для нейтронно-физических расчетов ядерных реакторов», 26−28 октября, стр. 195−199, 1999.
- И.Р.Суслов, Результаты расчета трехмерного бенчмарка для простых геометрий с пустотами по программе MCCG3D, Обнинск, стр. 66−70.
- С.Б.Серов, Сопряженно-согласованный DSn метод для решения многомерного уравнения переноса в криволинейных системах координат, ВАНТ, Серия «Математическое моделирование физических процессов», Вып. 4, 1993.
- И.Р.Суслов, Анализ аппроксимационных свойств алмазной схемы на основе принципа квазистационарности производных, Обнинск, стр. 54−58.
- A.V.Voronkov, E.P.Sychugova, DSn Method for Solving the Transport Equation, TTSP, V.22, № 2&3, pp. 221−245,1993.
- А.В.Воронков, Е. П. Сычугова, Характеристический метод дискретных ординат решения уравнения переноса, Препринт ИПМ им. М. В. Келдыша № 50, 1987.
- J.E.Morel, E. W Larsen, A Multiple Balance Approach for Differencing the Sn Equations, NSE, V. 105, pp. 1−15, 1990.
- M.L.Adams, A New Transport Discretization Scheme for Arbitrary Spatial Mesh in (x, y) geometry, Pittsburg, V. 3, pp. 13.2.2−1 13.2.2−9, 1991.
- А.М.Волощенко, С. В. Гуков, Е. П. Кондратенко, К-шаговая полуявная схема для уравнения переноса, Препринт № 54 ИПМ им. М. В. Келдыша, 1994.
- J.E.Morel, J.E.Dendy, jr, T.A.Wareing, Diffusion-Accererated Solution of the Two-Dimensional Sn Equations with Bilinear-Discontinuous Difference, NSE, V. 115, pp. 304 319, 1993.
- P.Barbucci, D. Di Pasquantonio, Exponential Supplementary Equations for Sn Methods: The One-Dimensional Case, NSE, V. 63, pp. 179−187, 1977
- Y.Y.Azmy, The Weighted Diamond-Difference Form of Nodal Transport Methods, NSE, V 98, pp. 29−40, 1988.
- Xie Zhougsheng, Zhy Xuehua, Wu Honghun, Two-Dimensional Discrete Nodal Transport Method for Solving Neutron Transport Problems in Curvilinear Coordinates, Tel-Aviv, V. 3, pp. 688−694. 1994.
- W.F.Walters, R.D.O'Dell, A comparison of linear nodal linear discontinuous and diamond schemes for solving the transport equation in (x, y) geometry, Trans. Am. Nucl. Soc., Y.43,pp. 465−467, 1981.
- J.J.Ullo, J.J.Dorning, H.L.Dodds, R.E.Pevey, A Comparison of Nodal Transport Methods Based on Exponential and Polynomial Expansions, Trans. Am. Nucl. Soc., V. 43, pp. 367 369, 1982.
- W.F.Walters, Recent Development in Nodal and Characteristic Method in Transport Theory, Trans. Am. Nucl. Soc., V 43, pp. 611−612,1982.
- A.Badruzzaman, An Efficient Algorithm for Nodal Transport Solution in Multidimensional Geometry, NSE, V 89, pp. 281−290,1985.
- Y.Y.Azmy, Arbitrary High Order Characteristic Method for Solving the Neutron Transport Equation, Ann. Nucl. Energy, V. 19, pp. 593−606, 1992.
- X.Warin, Recent results about Sn nodal method in neutron transport, Paris, pp. 325−337, 1996.
- L.P.Hennart, E. del Valle, New Nodal Element Schemes for the Discrete Ordinates Transport Equation, Saratoga, V. 1. pp. 19−28, 1997.
- I.Zmijarevic, Multidimensional Discrete Ordinate Nodal and Characteristics Methods for the Apollo2 Code, Madrid, V. 2, pp. 1587−1597.
- A.B.Воронков, Е. П. Сычугова, Комбинированные методы для решения уравнения переноса, Препринт ИПМ им. М. В. Келдыша, № 18, 1988.
- А.В.Воронков, Е. П. Сычугова, Линейный характеристический метод дискретных ординат для решения уравнения переноса в х, у геометрии, Препринт № 91 ИПМ им. М. В Келдыша, 1996.
- A.V.Voronkov, E.P.Sychugova, Analysis of a Class of Characteristic Methods for Solving the Transport Equation in x-y and x-y-z geometry. Saratoga, V. 2, pp. 985−994.
- B.G.Carlson, A Method of Characteristics and Other Improvements in Solutions Methods for the Transport Equations, NSE, V. 61, pp. 408125, 1976.
- В.Я.Гольдин, Н. Н. Калиткин, Т. В. Шишова, Нелинейные разностные схемы для гиперболических уравнений, ЖВМ и МФ, Т. 5, стр. 938−944, 1965.
- Ch.L.Castriani, M.L.Adams, A Nonlinear Corner Balance Spatial Discretization for Transport on Arbitrary Grids, Portland, pp.916−927, 1995.
- K.A.Mathews, B.M.Minor, Step Adaptive Characteristic Spatial Quadrature in Two-Dimensional Cartesian Coordinates, Pittsburg, V. 3, pp. 13.2.4−1 13.2.4−12, 1991.
- W.F.Walters, T.A.Wareing, An Accurate Strictly Positive Nonlinear Characteristics Scheme for the Discrete Ordinate Equation, TTSP, V. 25, № 2, pp. 197−215, 1996.
- K.A.Mathews, B.M.Minor, Adaptive Characteristic Spatial Quadratures For Discrete Ordinates Neutral Particle Transport The Rectangular Cell Case, TTSP, V. 22, pp. 655— 685, 1993.
- W.F.Walters, T.A.Wareing, D. R Marr, The Nonlinear Characteristic Scheme for (x, y) Geometry Transport Problems, Portland, pp.340−348, 1995.
- T.A.Wareing, An Exponential Discontinuous Scheme for Discrete-Ordinate Calculation in Cartesian Geometries, Saratoga, V. 2. pp. 1257−1266, 1997.
- С.А.Ильин, Е. В. Тимофеев, Сравнение квазимонотонных разностных схем сквозного счета на задаче Коши для однородного линейного уравнения переноса. Мат. моделирование, т. 4, стр. 62−75, 1992.
- T.A.Germogenova, A.V.Shwetsov, A.M.Voloschenko, Adaptive Positive Nodal Method for Transport Equation, TTSP, V. 23, pp. 923−970, 1994.
- W.A.Rhoades, W.W.Engle, A New Weighted-Diamond Formulation for Discrete Ordinates Calculations, Trans. Am. Nucl. Soc., V 27, pp. 776−777, 1977.
- B.Petrovic, A. Haghigat, New Directional Theta-Weitghed Sn Differencing Scheme and its Application to Pressure Vessel Fluence Calculations, Falmouth, V 1, pp. 3−10, 1996.
- G.E.Sjoden, A. Haghighat, The Exponential Directional Weighed (EDW) Sn Differencing Scheme in 3D Cartesian Geometry, Saratoga, V. 2. pp. 1267−1276, 1997.
- A.M.Voloschenko, Geometrical Interpretation of Family of Weighted Nodal Schemes and Adaptive positive Approximations for Transport Equations, V. 2. pp. 1517−1526, 1997.
- A.V.Shwetsov, Solving the x-y Geometry Transport Equation by Linear Discontinuous Scheme with Consistent flux Correction, Saratoga, V. 2. pp. 1487−1496,1997.
- E.T.Tomlison, W.A.Roades, W.W.Engle (jr.), Flux Extrapolation Models used in the DOT-IV Discrete Ordinates Neutron Transport Code, ORNL/TM-7033,1980.
- A.V.Averin, A.M.Voloschenko, et al., The ROZ-6.4 One-Dimensional Discrete Ordinates Neutrons, Gamma-Rays and Charged Particles Transport Code, Pittsburgh, V 5, pp. 30.3.5−1 -30.3.5^, 1991.
- A.M.Voloschenko, S.V.Gukov, The ROZ-W.2 Time-dependent One-Dimensional Discrete Ordinates Neutrons, Gamma-Rays and Charged Particles Transport Code, Pittsburgh, V 5, pp. 30.3.6−1 30.3.6−4, 1991.
- R.D.O'Dell, F.W.Brinkley, D.R.Marr, User’s Manual for ONEDANT: A Code Package for One-Dimensional Diffusion Accelerated Neutral Particle Transport, LA-9184-M, 1982.
- А.М.Волощенко, А. В. Швецов, КАСКАД-1.5 программа для решения уравнения переноса нейтронов, фотонов и заряженного излучения в двумерных геометриях, Обнинск, стр. 49−51, 1998.
- L.P.Bass, A.N.Goncharov and others, RADUGA-4.0 Tow-Dimensional Transport Code, Pittsburgh, V. 5, pp. 30.3 7−1 — 30.3 7−4, 1991.
- R.E.Alcouffe, F.W.Brinkley, B.D.Clark, D.R.Marr, R.D.O-Dell, W.F.Walters, TWODANT/SYS: A System of Discrete-Ordinates Neutron Particle Transport Code, Pittsburgh, V. 5, pp. 30.3.3−1 30.3.3^, 1991.
- W.A.Rhoades, Y.Y.Azmy, Three-Dimensional Sn Calculations with the Oak Ridge Tort Code, Portland, V. 1, pp. 480−489,1995
- R.E.Alcouffe. Threedant: A Code to Perform Three-Dimensional, Neutral Particle Transport Calculations, Portland, V. 1, pp. 461−469, 1995.
- K.D.Lathrop, Remedies for Ray-Effects, NSE, V. 45, pp. 255−268, 1971.
- R.E.Grove, R.E.Pevey, A Characterictics Based Multiple Balance Approach for SN on Arbitrary Polygonal Grids. Portland, pp. 928−937,1995.
- E.N.Aristova, V.Ya.Goldin, A.V.Kolpakov, Multidimensional Calculations of Radiation Transport of Non-linear Quasi-diffesional Method, Madrid, V. 1, pp. 667−675, 1999.
- R.E.Pevey, Minotaur: A Generalized Geometry Discrete Ordinates Research Code, Madrid, V.2,pp. 1413−1422, 1999.
- W.L.Filippone, S. Wolf, R.J.Lavigne, Particle Transport Calculations with the Method of Streaming Rays, NSE, V. 77, pp. 119−136,1981.
- G.G.M.Coppa, P. Ravetto, Quasi-Singular Angular Finite Element Methods in Neutron Transport Problem, TTSP, V. 24, pp. 155−172, 1995.
- Т.А.Гермогенова, Регулярные компоненты асимптотических приближений к решениям уравнения переноса в оптически плотных средах, ЖВМиМФ, том. 37, стр.464−482, 1997.
- E.W.Larsen, J.E.Morel, W.F.Miller, Asymptotic Solution of Numerical Transport Problems in Optically Thick, Diffusive Regime, J. of Сотр. Phys, V. 69, pp. 283−324, 1987.
- E.W.Larsen, J.E.Morel, Asymptotic Solution of Numerical Transport Problems in Optically Thick, Diffusive Regime II, J. of Сотр. Phys, V. 83, pp. 212−236, 1989.
- S.Jin, D. Levermore, Fully-Discrete Numerical Transfer in Diffusive Regimes, TTSP, V. 22, pp. 739−791, 1993.
- M.L.Adams, Discontinuous Finite-Element Transport Solutions in the Thick Diffusion Limit in Cartesian Geometry, Pittsburg, V. 5, pp. 21.1.3−1 -21.1.3−15,1991.
- Ch.L.Castriani, M.L.Adams, Asymptotic Diffusion Limit of Nonlinear Discontinuous Finite Element Transport Discretizations in One Dimension, Saratoga, V. 2, pp. 1476— 1486.
- Т.А.Гермогенова, О. В. Николаева, Грубосеточные алгоритмы в задачах радиационной защиты, Сборник докладов Нейтроника-99 семинара «Алгоритмы и программы для нейтронно-физических расчетов ядерных реакторов», 26−28 октября, Обнинск, 1999, стр. 150−159.
- Н.В.Коновалов, Е. Б. Павельева, Коррекция матриц рассеяния поляризованного излучения, препринт № 106 ИПМ им. М. В. Келдыша, 1996.
- J.A.Dahl, B.D.Ganapol, J.E.Morel, Positive Scattering Cross Sections Using Constrained Least Squares, Madrid, V. 1, pp. 627−636.
- А.М.Волощенко, Pi синтетическая схема ускорения внутренних итераций для уравнения переноса в двумерной геометрии, согласованная со взвешенной алмазной схемой, ЖВМиМФ, т. 41, стр. ?, 2001.
- В.Я.Гольдин, Квазидуффузионный метод решения кинетического уравнения, ЖВМ и МФ, т. 4, стр. 1078−1087, 1964.
- Т.А.Гермогенова, Т. А. Сушкевич, Решение уравнения переноса методом средних потоков, Сб. Вопросы физики защиты, вып. 3, стр. 34−46, Атомиздат, 1969.
- G.Habetler, B. Matkowsky, Uniform Asymptotic Expansion in Transport Theory with Small Mean Free Paths and the Diffusion Approximation, J. Math. Phys, V. 16, pp. 846−854, 1975.
- E.W.Larsen, J.E.Morel, J.M.McGhee, Asymptotic Derivation of the Multigroup Px and Simplified PN Equations with Anisotropic Scattering, Nucl. Sci. Eng., V. 123, pp. 328, 1996.
- D.I.Tomasivic, E.W.Larsen, The Simplified P2 Approximation, NSE, V. 122, pp. 309, 1996.
- P. S.Brantley, E.W.Larsen, The Simplified P3 Approximation, NSE, V. 134, pp. 1−21, 2000.
- V.P.Zharkov, Theoretical Justification and Validation of the SPl Method for Shielding Calculation. Part 1, Saratoga, V. 1, pp. 741−749.
- V.P.Zharkov, A.N.Kiselev, M.E.Netecha, Yu.V.Orlov, Theoretical Justification and Validation of the SPL Method for Shielding Calculation. Part 1, Saratoga, V. 2, pp. 750 756.
- А.В.Васильева, В. Ф. Бутузов. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений. Москва, Наука, 1973.
- А.В.Васильева, В. Ф. Бутузов. Сингулярно-возмущенные уравнения в критических случаях. Изд-во Моск. ун-та, 1979.
- V.Ya.Gol'din, E.N.Aristova, The Method of Consideration of a Strong Scattering Anisotropy in Transport Equation, Saratoga, V 2, pp. 1507−1516.
- E.Suetomi, H. Sekimoto, Derivation of Anisotropic Diffusion Coefficients in a Large Annular Cavity, NSE, V. 114, pp.168−175, 1993.
- S.L.Schofield, M. Pouzand, Single-Pass Treatment of Voids in F.E. Transport Theory, Prog, in Nucl. Energy, V. 25, p. 217−229, 1991.
- R.T.Acroyd, N.S.Rivait, Iteration and Extrapolation Methods for the Approximate Solution of the Even-Parity Transport Equation for Systems with Voids, Ann. Nucl. Energy, V. 16, pp. 1−32, 1989.
- R.Garcia, Sh. Ono, A Comparison of Three Quadrature Schemes for Discrete-Ordinates Calculations of Neutral Particle Transport in Ducts, Madrid, V. 1, pp. 94−103.
- В.Г.Золотухин, В. А. Климанов и др., Прохождение излучений через неоднородности в защите, Атомиздат, М., 1968.
- Y.Watanabe, C.W.Maynard, The DCN-SN Hybrid Method for Neutron Transport Calculations in (r, z) Geometry, NSE, V. 92, pp. 212−217,1986.
- А.А.Дубинин, Ю. А. Кураченко, В. М. Левченко, А. П. Пышко, Комплексные методики расчета защиты от излучений, ВАНТ, Серия «Физика ядерных реакторов», Вып. 1, стр. 76−78,1991.
- Т.А.Гермогенова, Развитие численных методов решения кинетического уравнения в задачах физики защиты реакторов, Сб. Радиационная безопасность и защита АЭС, Вып. 5, 1981.
- Т.А.Гермогенова, М. Н. Николаев, А. П. Суворов, Типичные задачи расчета полей нейтронов и гамма-квантов в радиационной защите реакторов, Препринт № 48 ИПМ им. М. В. Келдыша, 1981.
- А.М.Волощенко, А. А. Дубинин, В. И. Кротов, Результаты расчетов тестовых задач по защите энергетических реакторов на быстрых нейтронах. Сб. Радиационная безопасность и защита АЭС. Вып. 8, стр. 253−258, 1984.
- В.В.Коробейников, В. И. Усанов, Методы сопряжения в задачах переноса излучения, Энергоатомиздат, 1994.
- Л.Г.Страховская, Р. П. Федоренко, Об одном варианте метода конечных элементов, ЖВМиМФ, т. 19, № 4, стр. 1979.
- Н.И.Лалетин, Сравнение метода поверхностных псевдоисточников (Gn -приближения) с другими методами численного решения уравнения переноса нейтронов, Математическое Моделирование, Т. 5, стр. 111−124, 1993.
- Т.А.Гермогенова, Комбинирование алгоритмов различных классов точности в расчетах радиационных полей, Обнинск, стр. 21−22.
- Л.П.Басс, О. В Николаева, Методика расчета переноса излучения при наличии пустот, Сборник докладов Нейтроника-93 семинара «Алгоритмы и программы для нейтронно-физических расчетов ядерных реакторов», 26−28 октября, стр. 118−123, 1993.
- Л.П.Басс, О. В. Николаева, Решение уравнения переноса излучения в средах с пустотами. Специализированный алгоритм в (х, у) геометрии, Препринт ИПМ им. М. В. Келдыша, № 130, 1995.
- Л.П.Басс, О. В. Николаева, Улучшенная схема расчета переноса излучения в сильно гетерогенных средах и пустотах, Математическое Моделирование, Т. 9, стр. 63−72, 1997.
- L.P.Bass, O.V.Nikolaeva, Correct calculation of angular flux distributions in strongly heterogeneous media and voids, Saratoga, V. 2, p. 995−1004, 1997.
- Л.П.Басс, О. В. Николаева, Положительная схема для уравнения переноса излучения в сильно гетерогенных средах и пустотах. Часть I, Препринт № 1 ИПМ им. М. В. Келдыша, 1997.
- Л.П.Басс, О. В. Николаева, Положительная схема для уравнения переноса излучения в сильно гетерогенных средах и пустотах. Часть II, Препринт № 2 ИПМ им. М. В. Келдыша, 1997.
- Л.П.Басс, О. В Николаева, SWDD схема МДО и результаты методических расчетов, Сборник докладов Нейтроника-97 семинара «Алгоритмы и программы для нейтронно-физических расчетов ядерных реакторов», 25−27 октября, стр.76−83, 1997.
- Л.П.Басс, О. В. Николаева, Многогрупповой расчет радиационных полей в защитах с каналами по SWDD схеме, Обнинск, стр. 52−54,1998.
- Т.А.Гермогенова, О. В. Николаева, Диффузионный предел некоторых разностных схем метода дискретных ординат, Препринт № 50 ИПМ им. М. В. Келдыша, 1994.
- Т.А.Гермогенова, О. В. Николаева, Грубосеточные аппроксимации уравнения переноса излучения. Задачи с существенным поглощением. ЖВМиМФ, т. 41, стр. 620−640, 2001.
- Т.А.Гермогенова, О. В. Николаева, Грубосеточные аппроксимации уравнения переноса излучения. Задачи со слабым поглощением. ЖВМиМФ, т. 41, стр. 732−755, 2001.
- T.A.Germogenova, O.V.Nikolaeva, Boundary Conditions for Asymptotic Approximations in Two-Region Transport Problem, Madrid, V. 2, pp. 1977−1986.
- Самарский A.A., Теория разностных схем, М., Наука, 1989.
- Л.П.Абагян, Н. О. Базазянц, М. Н. Николаев, A.M.Цибуля, Групповые константы для расчёта реакторов и защиты. Справочник. Энергоатомиздат, М., 1981.