Асимптотическое поведение решений дифференциально-q-разностных уравнений в окрестности критических точек

Дифференциально-функциональные уравнения (ДФУ) все чаще используются в различных областях естествознания и техники для описания динамики реальных систем с учетом их предыстории" Источником таких уравнений являются также многие математические задачи, непосредственно сводящиеся к исследованию ДФУ, в том числе некоторые классы краевых задач для уравнений с частными производными. Поэтому развитие методов исследования ДФУ, изучение свойств их решений, в частности, поиск эффектов, обусловленных наличием отклонения аргумента, имеют большое теоретическое значение и представляют значительный практический интерес.

Одним из важных направлений теории ДФУ является изучение их с позиции функциональных уравнений. Такой подход оказался весьма плодотворным при исследовании свойств решений в окрестности критических точек. Под критическими понимаются точки, в которых отклонение аргумента обращается в нуль. В окрестности критических точек обычно не применим метод пошагового интегрирования, решения могут иметь различные особенности.

С помощью указанного подхода при условии, что коэффициенты при производных не обращаются в критической точке в нуль (регулярный случай) исследованы асимптотические свойства решений линейных уравнений запаздывающего типа [99, 106, 107], получено представление общего решения линейных и квазилинейных уравнений нейтрального типа [44−47, 49−60, 62, 69, 70] .

В сингулярном случае, когда хотя бы один из коэффициентов при производных обращается в нуль в критической точке, ДФУ изучены недостаточно. Имеется сравнительно небольшое число работ, посвященных ДФУ с сингулярностью, в том числе [5−9, 13, 14, 19, 27, 31, 71, 78, 85, I0I-I05]. Исследованы главным образом вопросы существования и единственности решений, пред-ставимых в окрестности критических точек степенными и обобщенными степенными рядами. В то же время вопрос построения общего решения или по крайней мере получения асимптотики всех решений в окрестности сингулярных критических точек оставался открытым.

Задача установить асимптотику и получить, когда это возможно, представление решений ДФУ с сингулярностью, исследовать асимптотическое поведение решений при t поставлена.

Ю.А.Митропольским и А. Н. Шарковским в обзоре [36, с. 220 ]. К этому кругу вопросов относится данная диссертация.

В диссертационной работе изучаются линейные и квазилинейные ДФУ со степенной сингулярностью. Рассматриваются главным образом уравнения с линейным преобразованием аргумента t cut, относящиеся к так называемым [82] дифференциально-^{-разностным} уравнениям (Дс^ -РУ): t* сс (аЬ)+Ь^вШ (Ь)с (Ь)осШ+ сШхШ =о (ол) f ft, xftWaiO) (0.2).

К таким уравнениям локально (в окрестности критических точек) сводятся ДФУ с преобразованиями аргумента более общего вида.

В диссертации развиваются методы, разработанные для Д- <]гРУ в регулярном случае [49−56, 106, 107], применительно к исследованию уравнений с сингулярностью. Исследования опираются на результаты теории функциональных уравнений без свободных переменных оc (fffi) = cf (t, oc (t)), основные положения которой содержатся в монографиях [48, 108]. К простейшим функциональным уравнениям относятся суразностные уравнения (f (t) = ^t) .Из работ, посвященных (^-разностным уравнениям, отметим [81−84, 90, 91, II9-I2o]. Диссертация состоит из введения и четырех глав. Первая глава, имеющая вводный характер, состоит из трех параграфов. В § I содержатся основные понятия и определенияуказана замена, линеаризирующая нелинейный сдвиг аргументадан обзор работ, посвященных исследованию ДФУ в окрестности критических точек. В § 2 приведено определение расщепляемых ДФУ [?б] т. е. уравнений, оператор которых можно представить в виде конечного произведения дифференциальных и функциональных операторов. Уравнение (0.1) при У =yu, в (Ь)~8, c (t) = c^o,.

1. Ахмеров P.P., Каменский М. И., Потапов А. С., Родкина А. Е., Садовский Б. Н. Теория уравнений нейтрального типа.- В кн.: Итоги науки и техники. Сер. Математ. анализ, т. 19. М.: ВЙШ-Ш, 1982, с. 55−126.

2. Беллман Р., Кук К. Л. Дифференциально-разностные уравнения.- М.: Мир, 1967. 548 с.

3. Витт А. А. К теории скрипичной струны.- Журн. техн. физики, 1936, б, вып. 9, с. I459-I479.

4. Гримм Л. Дж., Фитцпатрик В. Дж., Холл Л. М. Теория особых точек для одного класса функционально-дифференциальных уравнений в ковшлексной области.- В кн.: Дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом. Киев: Наук, думка, 1977, с. I02-II3.

5. Грудо Э. И. О решениях уравнения Врио и Буке с отклоняющимся аргументом, — Дифференц. уравнения, 1968, 4, № 3, с. 479−490,.

6. Грудо Э. И. К аналитической теории обыкновенных дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом.- Дифференц. уравнения, 1969,^, № 4, с. 700−711.

7. Грудо Э. И., Ковалевский Н. П. О неявных функциях, определяемых уравнениями с отклоняющимся аргументом.- Весц1 АН БССР, Сер. ф1з.-мат. навук. 1972, № 2, с. 31−40. — 154 ;

8. Грудо Э. И., Нгуен Ван Ты О решениях обыкновенных дифференщальных уравнений с отклоняющимся аргументом в окрестности регулярной особой точки, — Весц1 АН БССР, Сер. ф1з.-мат. Fja-вук, 1982, № 4, с. 3−10.

9. Дерфель Г. А. Асимптотические свойства решений дифференциально-функциональных уравнений с линейно преобразованным аргументом: Автореф. дисс. … канд. физ.-мат. наук.-Тбилиси, 1977. 16 с.

10. Дерфель Г. А. Об асимптотике решений одного класса дифференциально-функциональных уравнений.- В кн.: Асимптотическое поведение решений дифференциально-функциональных уравнений. Киев, 1978, с. 58−65.

11. Дерфель Г. А. О поведении решений функциональных и дифференциально-функциональных уравнений с несколькими преобразованиями аргумента.- Укр. мат. журн, 1982, 34, № 3, с. 350−356.

12. Донская Н. В. О поведении решений некоторых классов дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом: Автореф. дис. … канд. физ.-мат. наук.- Фрунзе, 1972. 15 с.

13. Донская Н. В., Иманапиев М. И., Норкин С Б. О структуре решений одного класса дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом с особенностью.- Исследование по интегро-дифференциальным уравнениям в Киргизии, 1973, 9, с. 227−240.

14. Зверкин A.M. Теоремы существования и единственности для уравнения с отклоняющимся аргументом в критическом случае.-Тр. семинара по теории дифф. уравн. с отклон. аргум., 1962, 1, с. 37−46.

15. Зверкин A.M. Дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом.- В кн.: 5-я Летняя математическая школа. Киев, 1968, с. 307−399.

16. Зверкин A.M. Некоторые вопросы теории линейных дифференциально-функциональных уравнений.- В кн.: Дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом. Киев: Наук, думка, 1977, с. 127−139.

17. Каменский Г. А. О существовании и единственности решений дифференциально-разностных уравнений нейтрального типа.-Ученые записки МГУ, математика, 1956, 8, вып. 181, с. 83−89. — 156 ;

18. Каменский Г. А. К общей теории уравнений с отклоняющимся аргументом.- Докл. АН СССР, 1958, ^ 20, № 4, с. 697−700.

19. Каменский Г. А. Об уравнениях с отклоняющимся аргументом.- Ученые записки МГУ, математика, 1959, ?, вып. 186, с. 205−209.

20. Кшленский Г. А. Существование, единственность и непрерывная зависимость от начальных условий решений системы дифференциальных уравнений с отклоняющтлся аргументом нейтрального типа.- Мат. сб., I96I, 55, (97), вып. 4, с. 363−378.

21. Каменский Г. А. Краевая задача для нелинейного дифференциального уравнения первого порядка с отклонящимся аргументом нейтрального типа.- Тр. семинара по теории диф. уравн. с отклон. аргум., 1965, 3^ с. 39−46.

22. Ковалевский Н. П. О решениях дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом.- Весц1 АН БССР, Сер. ф1з.-мат. навук, 1972, № 5, с. II-I6.

23. Колесов Ю. С., Швитра Д. И. Автоколебания в системах с запаздыванием.- ВильнюсМокслас, 1979. 148 с.

24. Майстренко Ю. Л. Срешения линейных дифференциально-функциональных уравнений с дробно-линейным преобразованием аргумента.- В кн.: Качественное исследование дифференциально-функциональных уравнений. Киев: Наук, думка, 1980, с. 90−100. — 157 ;

25. Майстренко Ю. Л, Шарковский А. Н. 1Урбулентность и простые гиперболические системы: Препринт 84.2, — Киев: Ин-т математики АН УССР, 1984. 23 с.

26. Мартынюк Д. И. Интегрирование линейных дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом с помощью рядов.-Укр. мат. журн., 1966, J8, № 5, с. I05-III.

27. Митропольский Ю. А., Мартынюк Д. И. Лекции по теории колебаний систем с запаздыванием. Киев: Ин-т математики АН УССР, Киевский госуниверситет, 1969, 309 с.

28. Митропольский Ю. А., Мартынюк Д. И. Периодические и квазипериодические колебания систем с запаздыванием.- Киев: Вища школа, 1979. 248 с.

29. Митропольский Ю. А., Фодчук В, И. Асимптотические методы нелинейной механики применительно к нелинейным дифференциальным уравнениям с запаздывающим аргументом.- Укр. мат. журн., 1966, J8, № 3, с. 65−84.

30. Митропольский Ю. А., Шарковский А. Н. Развитие теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом в Институте математики АН УССР.- В кн.: Дифференщальные уравнения с отклоняющимся аргументом. Киев: Наук, думка, 1977, с. 215−221. — 158 ;

31. Митропольский Ю. А., Шевело В. Н. Влияние запаздывания на осцилляцию и асимптотическое поведение решений дифференциальных уравнений.- В кн.: Математизация знаний и научно-технический прогресс. Киев: Наук, думка, 1975, с. 92−106.

32. Мышкис А. Д. О некоторых проблемах теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом.- В кн.: Дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом. Киев: Наук. думка, 1977, с. 221−247.

33. Нагумо И., Шимура М. Автоколебания в длинной линии с туннельным диодом.- Труды ин-та инж. по электротехн. и радио-электр., русский перевод Proceedings IEEE, I96I,^, № 8, с. I494-I504.

34. Пелюх Г. П. О голоморфных решениях нелинейных дифференциально-разностных уравнений нейтрального типа.- В кн.: Дифференциально-разностные уравнения. Киев, I97I, с. I2I-I24.

35. Пелюх Г. П. О голоморфных решениях систем нелинейных дифференциально-функциональных уравнений.- В кн.: Метод интегральных многообразий в нелинейных дифференциальных уравнениях. Киев, 1973, с. 182−194.

36. Пелюх Г. П. Существование и единственность Срешений нелинейных дифференциально-функциональных уравнений нейтрального типа.- В кн.: Дифференциально-функциональные и разностные уравнения. Киев, I98I, с. 57−64. — 159 ;

37. Пелюх Г. П. Общее решение одного класса линейных дифференциально-функциональных уравнений со многими отклонениями аргумента.- В кн.: Осцилляция и устойчивость решений дифференциально-функциональных уравнений. Киев, 1982, с. 60−74.

38. Пелюх Г. П., Шарковский А. Н. Общее решение одного класса нелинейных дифференциально-функциональных уравнений нейтрального типа.- В кн.: Методы приближенного решения дифференциальных и интегральных уравнений. Киев, 1973, с. 208−229.

39. Пелюх Г. П., Шарковский А. Н.

Введение

в теорию функциональных уравнений.- Киев: Наук, думка, 1974. 120 с.

40. Полищук В. М. Поведение решений линейных дифференциальнофункциональных уравнений с неаналитическими коэффициентами в окрестности особой точки.- В кн.: Динамические системы и вопросы устойчивости решений. Киев, 1973, с. 81−94.

41. Полищук В. М. Зависимость решений линейных дифференциальноразностных уравнений от параметров.- В кн.: Метод интеграль— 160 -ных многообразий в нелинейных дифференциальных уравнениях. Киев, 1973, с. 204−212.

42. Полищук В. М. Исследование решений линейных дифференциально- (|^нкциональных уравнений в окрестности особых точек: Авто-реф. дис. ,. канд. физ.-мат. наук.- Киев, 1973. 9 с.

43. Полищук В. М. Представление решений систем линейных дифференциально-функциональных уравнений нейтрального типа.-Дифференц. уравнения, 1974, ГО, № 8, с. I423-I429.

44. Полищук В. М., Шарковский А. Н. Общее решение линейных дифференциально-разностных уравнений нейтрального типа.- В кн.: Дифференциально-разностные уравнения. Киев, I97I, с. 125−139.

45. Полищук В. М., Шарковский А. Н. Представление решений линейных дифференциально-разностных уравнений нейтрального типа.- Дифференц. уравнения, 1973, ?, № 9, с. 1627−1645.

46. Полищук В. М., Шарковский А. Н. Структура множества решений линейных дифференциально-функциональных уравнений, — В кн.: Конференция по дифференциальным уравнениям и их приложениям. Руссе, Болгария, 1975, с. 102.

47. Романенко Е. Ю. Исследование некоторых вполне интегрируемых дифференциально-функциональных уравнений.- В кн.: Функцио— 161 -нальные и дифференциально-разностные уравнения. Киев, 1974, с. I10−128.

48. Романенко Е. Ю. Представление решений квазилинейных дифференщально-функциональных уравнений нейтрального типа.-Укр. мат. л^н., 1974, 26, № 6, с. 749−761.

49. Романенко Е. Ю. Исследование некоторых классов функциональных и дифференциально-функциональных уравнений.- Автореф. дис. … канд. физ.-мат. наук.- Киев, 1975. II с.

50. Романенко Е. Ю. Представление решений квазилинейных дифференциально-функциональных уравнений нейтрального типа в случаях резонанса.- Укр. мат. журн., 1977,^, № 2, с. 280−283.

51. Точков Г. Об одной нелинейной системе дифференциальных уравнений нейтрального типа, — В кн.: Дифференциальные уравнения и применения (П): Тр. П конф., Руссе, Болгария, 29 июня — 4 июля I98I г. Руссе, 1982, с. 739−742.

52. Фещенко Т. О. Об асимптотике решений одного класса дифференциально-функциональных уравнений в окрестности особой точки.- В кн.: Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. Киев: Наук, думка, 1979, с. 220−226.

53. ШарковскиЙ А.Н. О проблеме единственности решений дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом.- Мат. физика: Респ. межвед. сб., 1970, вып. 8, Киев: Наук, думка, с. 167−172.

54. ШарковскиЙ А. Н. Гладкие решения функциональных и дифференциально-разностных уравнений.- В кн.: Труды У Междунар. конф. по нелинейным колебаниям, Киев: Ин-т математики АН УССР, 1970, I, с. 598−602.

55. ШарковскиЙ А.Н. Дифференциально-функциональные уравнения с конечной группой преобразований аргумента, — В кн.: Асимптотическое поведение решений дифференциально-функциональных уравнений. Киев, 1978, с. II8-I42.

56. Швитра Д. И. К задаче об автоколебаниях в длинной линии с туннельным диодом, — В кн: Осцилляция и устойчивость реше— 164 -НИИ дифференциально-функциональных уравнений. 1982, с. II4-I27.

57. Эльсгольц Л. Э. Уравнения с отклоняющимся аргументом, аналогичные уравнениям Эйлера, — Тр. семинара по теории диф. уравнений с откл. аргум, 1962, J_, с, 120.

58. Эльсгольц Л. Э. Некоторые проблемы теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом.- Тр. семинара по теории диф. уравнений с откл. аргум., 1967,^, с. 239−241.

59. Эльсгольц Л. Э, Норкин С Б.

Введение

в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом, — М.: Наука, I97I, — 296 с,.

60. Adams C. R, On the linear ordinary q-difference equation.- Ann. Math., 1929, ^ 0, N2, p.195−205.

61. Adams C.R. Linear q-difference equations.- Bull. Amer. biath, Soc, 1931, Л." 1^ 6, p.361−400.

62. Birkhoff G.D. The generalized Rieman problems for linear differential equations and allied problems for linear difference and q-difference equations.- Proc.Amer.Acad.Arts and Sci., 1913,^, October, p.521−568.

63. Birkhoff G.D., Guenther P.E. ITote on canonical form for the linear q-difference system.- Proc.Hat.Acad.Sci. USA, 1941, 27, 1T4, p.218−222.

64. Braaksma B.L.J., Harris W.A.Jr. Laplace integral and factorial series in singular functional differential systems.-Appl.Anal., 1978, 8, Hi, p.23−45.

65. Brayton R.K. ITonlinear oscillations in a distributed net — work.- Quart.Appl.Math., 1967, 2±, Щ, p.289−301.

66. De Bruijn E.G. The asymptotically periodic behavior of the — 165 solutions of зоше linear functional equations.- Amer.J. Iiath., 1949, 11, Ж2, p.313−330.

67. De Bruijn H.G. On some.linear.functional equation.- Publ, Hath. Debrecen, 1950, ±, 1T3, p. 129−134.

68. De Billion H.G. The, difference-differential equation T (co^ = = e ''^ !r Гх-i), J_, ji. r-.Proc. Koninkl. Hcderl. Akad. Wetensch., ser. A, 1953, 5i, H5, p.449−464.

69. Garmichael R.D. The general theory of linear q-difference equations.- Araer.J.Math., 1912,^, p.147−168.

70. Cannichael R.D. The present state of difference calculus and the prospect for the future.- Amer.Math.l/Ianth., 1924,, 31″ 1T4, p. 169−183. 71. Carr J., Dyson J. 2! he matrix functional differential equation t^oc) =d^^(:XxV «^yCx») .- Lect.notes.Hath., 1974″ 415″ p.323−328.

72. Carr J., Dyson J. The functional differential equations ^Yx)= CL<^('Xoci)+ 6(^ c^c) , — Proc.Roy.Soc.Edinburgh, 1976,.

74. Carr J., Dyson J. The matrix functional differential equa — tion. i^^(OC)= Jku (')^'X.)+S6u (cc) .- Proc.Roy.Soc.Edinburgh, 1976, 2^ A, HI, p.5−22.

75. Chambers Ll. G, Some functional. differential equations.- Quart.Appl.Math., 1975,^, H4, p.445−456.

76. Cooke K.L., Ilrumme D. V/. Differential-difference equations and nonlinear initial-boundary value problems for linear hyperbolic partial differential equations.- J.Math.Anal.Appl, 1968, 21, H2, p.372−387.

77. Dyson J., Bressan R.V. Functional differential equations and non-linear evolution operators, — Proc, Roy, Soc. Edinburgh,' - 166 -1976, 75 Л, Ю, р.223−234;

78. Grimm L.J. Existence and uniqueness for nonlinear neutraldifferential equations.- Bull.Amer.LIath.Soc., 1971, Ц, Ю, p.374−376.

79. Grimm L.J. Existence and continuous dependence for class of nonlinear neutral-differential equations, — Proc.Amer. Math. Soc, 1971, 22, 113, p.467−473.

80. Grimm L.J. Analytic solutions of a neutral-differential system near a singular point.- Proc.Amer.Matli.Soc., 1972, Дб_, TT1, p.187−190.

81. Grimm L.J., Hall L.K. Holomorphic solutions of functional differential systems near singular points.- Proc.ilmer.Math. Soc, 1974,^f HI, p.167−170.

82. Grimm L. J, Hall L.M. An alternative theorem for singular differential systems.- J. Diff, Equat, 1975, 18, 112, p.411−422,.

83. Grimm L.J., Hall L.M. Holomorphic solutions of singular functional differential equations.- J.Hath.Anal.Appl., 1975,^, ID, p.627−638.

84. Kato T. Asymptotic behaviour of solutions of the functio — nal-differential equation a^ (x) =a^ C:>ix)+6y (x) .- In: Delay and functional differential equations and their applications, N-J-London: Acad. Press, 1972, p.197−217. — 167 ;

85. Kato Т., McLeod J.В. The functional-differential equation ^tx)= a^C^x)+ -^^ Cx) .- Bull.Amer.Math.SОС, 1971,71, Жб, p.891−937.

86. Kuczma M. Pvmctional equations in a single variable.-, Warszav/a: PV/N, 1968. -383 p.

87. Lim Eng-Bin Asymptotic behaviour of solutions of the functional differential equation xYi) = (Л'Х.(')^Ь)+5Ь'Х.?), УУО .- J. Math.Anal.Appl., 1976,^, 113, p.794−806.

88. Lim Eng-Bin Asymptotic bounds of solutions of the functional differential equation х'(?)=а.х (')?)-1-в'Х.(€)+НЬ), о-^'У^^^ .-SIAM J.Math.Anal., 1978,^, И5, p.915−920.

89. Lopes 0. Stability and forced oscillations.- J.Math.Anal. Appl., 1976,^, ПЗ, p.686−698.

90. Mahler K. On a special functional equation.- J. London Math. Soc, 1940, 21* 1158, p. 115−123.

92. Oberg R.J. Local theory of complex functional differential equations.- Trans.Amer.' Math.Soc., 1971, l6l, part2, p.269−281.

93. Ockendon J.R., Tayler A.B. The dynamics of current collection system for an electric locomotive.- Proc.Roy.Soc.London, 1971, A 322, И1551, p.447−468.

94. Pandolfi L, Some observations on the asymptotic behaviour of the solutions of the equation ^Ct) ^ctb)cc (yb)+(bCi)cc (i')^:k>o. J.Math.Anal.Appl., 1979, ?7, 1T2, p.483−489.

95. Sternberg S. Local contractions and theorem of Poincare.- Araer.J.Math., 1957, 21″^4, p.809−824. — 168 ;

96. Szekeres G, Regular iteration of real and complex functions.- Acta Math., 1958, JO^, p.203−258.

97. Trjitzinsky Y/, J, Analytical theory of linear q-difference equations.- Acta Math., 1933, 6j, p. 1−38.

98. Trjitzinsky ?/, J. !Баеогу of non-linear q-difference sys — terns.- Ann.Hath.Pura Appl., 1938, Г7, 1T1−2, p.59−106.

99. Vogl P. Uber ein System linearer functional-differential Gleichungen.- Z. angev/. Math.Mech., 1980, Ж1, a.7−17.

100. Yogi P. Das Wachstum spezieller analytischer Losungen der Pimktional-Differentialgleichung и''(х) = (шГ!Хх)+х8ц (сх:.). Glas.Mat., 1980, J^, HI, s.61−70.