Достаточные множества для пространств целых функций; Представление функций рядами экспонент

В настоящей работе рассматриваются вопросы построения достаточных и слабо достаточных множеств и применения их для разложения аналитических функций в обобщенные ряды экспонент.

Приводимые во Введении результаты о достаточных и слабо достаточных множествах для различных пространств целых функций будем для краткости формулировать без указания соответственно семейств К и Ф (достаточно явно просматриваемых в каждом конкретном случае) и определяемых ими топологий.

Понятие достаточного множества было введено Л. Эренпрайсом в связи с представлением функций из различных пространств интегралами, где (X — мера ограниченной вариации с носителем на достаточном множестве 5 • При этом он подчеркивал необходимость построения возможно более «редких» достаточных множеств (см. [71], с.74). В случае бесконечно го^искретного множества и, вместо интегралов возникают ряды 1.

Этим и определяется тематика и структура диссертации. В главе I содержатся результаты о «редких» дискретных достаточных и слабо достаточных множествах, с помощью которых были доказаны помещенные в главе 2 результаты о разложении аналитических функций в обобщенные ряды экспонент.

Кроме того, что понятие достаточного множества интересно само по себе и позволило ответить на некоторые вопросы, касающиеся разложения аналитических функций в обобщенные ряды экспонент, оно является важным и в других вопросах, в том числе в дифференциальных уравнениях с постоянными коэффициентами, проблеме деления (см.

71], [72], с. 4, 6, 13).

Введя понятие достаточного множества, Л. Эренпрайс построил такие множества для различных пространств, например для пространства [11, и поставил задачу доказательства достаточности решетки для этого пространства (см.рА)], с.545). В 1972 году Б. А. Тейлор решил эту задачу, а также показал, что справедлива.

Теорема 0.1. Пусть Тогда S — достаточное множество для пространства целых функций порядка <2.

Однако открытым остался вопрос: является ли это пространство наиболее широким из тех, для которых решетка является достаточным множеством? В 1974 году Д. М. Шнейдер [7б] получил, в частности, следующее обобщение результата Б. А. Тейлора. Теорема 0.2. Если множество S таково, что 2 е (С, то оно является достаточным для пространства целых фикций порядка < §.

В этой же статье Д. М. Шнейдер ввел понятие слабо достаточного множества, показал, что в случае пространств.

Е (Н№) где ф удовлетворяет некоторым дополнительным условиям, из достаточности множества S следует его слабая достаточность, и привел примеры слабо достаточных множеств (см. теорему I.2.I настоящей работы). В 1977 году П. Оливер [74] показал, что множество S, определяемое условиями, аналогичными условиям теоремы 0.2, но разбросанное не по всей плоскости, а по объединению секторов г-а/^ос/а/, Где 0.

— объединение исходящих из начала лучей, подчиняющихся точному условию: угол между соседними лучами, является достаточным множеством для пространства (см. теорему 1.3.I). При этом построенное П. Оливером множество не может лежать только на лучах, а объединение секторов не может быть сужено до Р. Таким образом, вышеупомянутые авторы строили достаточные и слабо достаточные множества лишь для пространств целых функций, определяемых радиальными характеристиками роста, а именно порядком и типом.

В 1976 году Ю. Ф. Коробейник (см. [1 $,[1з]) построил абсолютно-представляющую в любом из пространств (методом, при котором фактически показывается слабая достаточность множества Б для любого из пространств [1,Ка&(~д)), 0<�а<�оо систему с с .

Густота" счетного множества 5, точки которого расположены на последовательности замкнутых расширяющихся кривых, характеризуется соотношениями ю. (0.7).

1-*оо С.

В случае, если G — ограниченная область или вся плоскость, множество 5 дополнительно удовлетворяет условию (см. [г?], с. 338, 346). В 1979 году А. В. Абанин [1] обобщил эти результаты на случай произвольного ^ и функции Миттаг-Леффле-ра (см. теорему 2.1.1).

Доказательства достаточности и слабой достаточности состоят в получении оценок целых функций на всей плоскости из оценок их на множестве Б. Это можно делать, например, с помощью разложения функций в ряд Лагранжа.

-¿-т., где ^ - некоторая целая функция порядка § и типа ^ с простыми нулями, ^ - комплекснозначный параметр, принадлежащий достаточно малой окрестности и нуля. Расширяя окрестность и до тех пор, пока ряд еще сходится, мы тем самым понижаем рост сомножителя и получаем нужную нам оценку IР на всей плоскости. Этот прием использовался в работах [б2[,.

Ы, Ы .

— 15 В. В, Напалков предложил заменить в вышеприведенном ряде Лаг-ранжа функцию на специальным образом выбираемую функцию некоторого уточненного порядка" Таким образом, удается строить новые, в большинстве случаев более «редкие», достаточные и слабо достаточные множества для ранее рассматривавшихся пространств. Удается также строить «минимальные» достаточные и слабо достаточные множества для пространств, описываемых более тонкими характеристиками роста, чем рассматривавшиеся ранее. А именно для пространств целых функций, определяемых уточненным порядком и индикатором (см.

4о],[4в],[49],[ы]).

В 1980 году В. В. Напалков Езэ] построил регулярное при показателе I достаточное множество для пространства [1,Н), где (см. теорему 1.1.1). Тогда же автором.

М было показано, что решетка (при показателе 2 она имеет угловую плотность ^ является достаточным множеством для пространства К?^Ь)(см. теорему 1.2,2). Эти результаты точны в том смысле, что рассмотренные в них достаточные множества уже не являются таковыми для пространств.

1,н] и 12, т соответственно.

Таким образом, достаточность решетки для пространства [2,я/21 является окончательным решением упоминавшейся выше задачи Л. Эрен-прайса. Утверждения такой же точности, касающиеся построения множеств, могущих быть интерпретированными как слабо достаточные для пространств вида /7), где И, получали А. Ф. Леонтьев (см. теорему 0.4, в которой 9−1) и Ю. Ф. Коробейник (см. теорему 0.7, в которой §=^, утверждения после нее и ссылки в конце параграфа 2.1). В 1981 году автор [49] построил, обобщив результат В. В. Напалкова, достаточное множество для пространства где в виде конечного объединения регулярных при показателе 9С2) множеств (см. теорему 1,1.2). Точноеть здесь такая же, что и в предыдущих утверждениях. Эти результаты помещены в первых двух параграфах главы I.

До сих пор обсуждались результаты диссертации, касающиеся достаточных множеств для пространств целых функций, определяемых ограниченными сверху ^ - индикаторами, В случае метод доказательства потребовал изменения* В § 1.3 (см. теорему 1*3.2) строится достаточное множество для пространства [§-(Я, полностью расположенное, в отличии от вышеупомянутого результата П. Оливера, на М лучах, где М >2 $ (см. М). При этом его можно строить имеющим нулевую плотность при любом уточненном порядке таком, что х оо 9 оо ^ Родственное теореме 1.3.2 в случае утверждение такой же точности, в терминах разложения произвольных целых функций в абсолютно сходящиеся в топологии пространства Н (£) обобщенные ряды экспонент по сходным с образом устроенно^ множеству показателей, доказал А. Ф. Леонтьев (см. [яз], с.209).

Рассмотрим теперь случай произвольного <�у — индикатора. В 1980 году В. В. Напалков [41^ построил слабо достаточное для пространства множество п, имеющее единственную предельную точку в оо, такое, что если 8>0, то множества О^п имеют угловую плотность при показателе I и любое правильно распределенное при показателе I множество Б, для которого не является слабо достаточным для пространства [1?Н) (см. теорему 1.4.1). Этот результат был получен применением нового способа доказательства слабой достаточности множества Б «являющегося объединением правильно распределенных множеств, для пространства [У17Н) с помощью представления • Представление произвольного индикатора в случае в виде суммы бесконечного числа ограниченных индикаторов принадлежит И.Ф.Красичкову-Терновскому [21], В 1981 году А. В. Абанин [2] доказал этот факт для произвольного положительного ^ ~ индикатора Н (см, лемму 1.4.1), Применив результат параграфа 1.1, а также некоторые утверждения Ю. Ф. Коробейника и А. В. Абанина, автор этим способом построил слабо достаточное множество Б для пространства [^уН) такое, что если ф, У, С и 8 те же, что и в (0.8), то *>о ы^-о (0.9) см. лемь^у 1.4.4 и теорему 1,4.2). Это и составляет содержание § 1.4,.

Перейдем к последнее, пятому, параграфу главы I, Построенные в вышеупомянутых работах других авторов и в настоящей работе достаточные и слабо достаточные множества для различных пространств целых функций, являются таковыми же и для некоторых их подпространств. Таким образом, каждое такое множество связано не с одним пространством, а с многими и является в этом смысле «универсальным». При этом нужно отметить, что достаточность или слабая достаточность множества для некоторого подпространства, вообще говоря, не следует соответственно из достаточности или слабой достаточности этого множества для всего пространства и ее надо доказывать отдельно. Упомянутая «универсальность» достаточных и слабо достаточных множеств оказалась связанной с введенным в 1976 году Ю. Ф. Коробейником [12] понятием универсальности представляющих систем. В работе [19] получено утверждение об универсальной абсолютно-представляющей системе эквивалентное тому, что если счетное множество Б таково, что оо и с1 (2:^)^09 оо, то оно является слабо достаточным для любого из пространств [1,Н), где Н — произвольный индикатор. При этом было показано, что ¿-ШП (ъ, Ъ) ~ 00 и.

1-+00 р ' выдвинута гипотеза о том, что множество Ь можно сделать существенно более «редким». Решая эту задачу, А. В. Абанин в 1981 году обобщил одну из теорем Ю. Ф. Коробейника (см. теорем 0.8) и показал, что счетное множество Б такое, что 500 и является слабо достаточным для любого из пространств «где /7 — произвольный положительный ^ -индикатор (см. [2], с.68). В 1981 году автор [49] доказал утверждение об «универсально» достаточном для любого из пространств [17Н), где Нопорная функция произвольной закругленной области, множестве Б, имеющем единственную предельную точку в 00, расположенном на последовательности расширяющихся окружностей и не удовлетворяющем условию (0*10) (см. теорему 1.5.2). В 1983 году А. В. Абанин [з] получил более общий результат (см. теорему 2.2.4).

В 1981 году В. В. Напалков (см. [зв|, [42]) доказал, в частности, что выполняется.

Теорема 0.3. Пусть семейство Ф = {Ф^ Фг^ • } с С таково, что равномерно по 0 ~> 07 <�х>. Если аналитическое множество Б является слабо достаточным для пространства.

Отсюда следует, что в условиях теоремы 0.3 понятия достаточности и слабой достаточности совпадают и.

9 Последнее равенство обобщает аналогичные результаты Б. А. Тейлора [7б], И.Ф.Красичкова-Терновского [21] и Р. С. Юлмухаметова [б9]. Эта теорема позволяет строить достаточные множества новым способом, устанавливая не условия достаточности, а проще проверяемые условия из определения слабо достаточного множества. Теорема 0.3 также упрощает доказательство утверждений о разложении целых функций в ряды обобщенных экспонент по множеству показателей, являющемуся достаточным. Условия рассматриваемых в диссертации задач удовлетворяют предположениям теоремы 0.3. В дальнейшем, при формулировании результатов диссертации, будем пользоваться только термином достаточное множество.

Во второй главе диссертации изучается связь понятия достаточности с разложением функций в обобщенные ряды экспонент, введенные А. Ф. Леонтьевым.

Пусть & - область и Б — бесконечное дискретное множество с единственной предельной точкой в 00. Может оказаться, что не любая функция из представима рядом (0.5). Для того, чтобы раскладывать в обобщенные ряды экспонент по фиксированному множеству показателей произвольные функции из некоторого пространства, например из Н (&-)" надо соответствующим образом строить множества показателей* С 1965 года А. Ф. Леонтьев начал, в частности, исследовать вопросы конструктивного разложения произвольных аналитических функций из тех или иных пространств в ряды (0.5) по соответствующим образом построенным множествам (см. [?в],[зз]). Коэффициенты в этих разложениях можно выражать через значения интерполирующей функции, введенной А. Ф. Леонтьевым [27]. В процессе этих исследований были построены множества показателей для разложения в абсолютно сходящиеся обобщенные ряды экспонент произвольных функций из где Ь" - области различного вида, в частности, вся плоскость (см., например, И, [гб], [зо], [бз]). В работах [25] ,[во] А. Ф. Леонтьева содержится следующий результат.

Теорема 0.4. Пусть G — ограниченная выпуклая область, — целая функция экспоненциального типа вполне регулярного роста со свойствами: I) все цули ^ «обозначим их — простыеz) Ve.>0 ЗкойУ-¿-w/^s,)/>(k%)-£)%;

Тогда любую функцию можно конструктивно разложить в абсолютно сходящийся ряд оо с л.

Ю. И. Мельник si] показал, что условие 3) в этой теореме можно опустить. А. Ф. Леонтьевым доказана также следующая.

Теорема 0.5 (см. Газ], с.524). Пусть (j — бесконечная выпуклая область, граница которой состоит из двух лучей и дуги соединяющей начала этих лучей. Пусть затем задано число р>1. Тогда имеется последовательность чисел.

Як^ 00'.

И-+00 ЦГН такая, что любая функция, аналитическая в (т, разлагается в абсолютно сходящийся ряд (0.6). В 1975 году А. Ф. Леонтьев Ы доказал, что для произвольной выпуклой области G можно будет построить множество показателей S такое, что любая функция IpeH (G) конструктивно разлагается в абсолютно сходящийся ряд (0.6), если построить целую функцию L с определенными свойствами. При этом множество S является объединением множества нулей S^ функции L и множества S2 такого, что любую целую функцию можно представить рядом экспонент по множеству показателей. В 1982 году Р.С.Юлму-хаметов построил требуемую функцию L конечного типа при уточненном порядке (^(Я), удовлетворяющем условию чЗ^ оо7 7.-^00, такую, что если функция конечна в интервале у,?), то при некоторой константе для ве-(Ч>, у) имеем Г Кг и функция Iимеет вполне регулярный рост в интервале В 1975 году Ю. Ф. Коробейник [м] определил и начал исследовать представляющие системы в локально выпуклых пространствах. В работах [12], [17], ¡-Дв] им были получены критерии того, что системы являются представляющими в локально выпуклых пространствах (в частности абсолютно-представляющими в М" и /Д/ -пространствах). Важнейшими примерами представляющих систем являются системы функций, с, и с,, которые рассматриваются в настоящей работе. На основании упомянутых критериев Ю. Ф. Коробейником .12^ была получена Теорема 0,6 (см.

Ы. с.331). Пусть Ь" - выпуклая область, р1(&-)~ у {Си] - последовательность ограниченных выпуклых областей таких, что? (^/?^ и (у ~1), и счетное множество точек Э таково, что С^^оо. Система является абсолютно-представляющей в /-/(б) тогда и только тогда, когда еирФ^вП) 6СПУЧехр^ш)*), 5.

Там же (см. стр.343) для пары пространств.

НШ1 был получен аналогичный критерий того, что система 3является абсолютно-представляющей в.

НШШ где.

Как показал А. В. Абанин, теорема 0.6 остается справедливой, если в ее формулировке выпуклые области заменить ^ - выпуклыми, а систему — системой Ср с (см. с.6). Полученную таким образом формулировку теоремы снабдим номером 0.6*. На основании этих критериев и теоремы Д. М. Шнейдера о достаточных условиях слабой достаточности (см. [75], р.167, ТЬ90ГВМ 3.5) из любых результатов об абсолютно-представляющих системах ^ и То 9 соответственно в пространствах Н (&-) и Н (и (Ю) сразу следуют результаты о слабой достаточности множества Э соответственно для пространств и я9). В 1981 году Ю. Ф. Коробейник показал (см. [т], с.87), в частности, что система £<�р с, является абсолютно-представляющей в пространстве, где Ь- - 9 — выпуклая область, тогда и только тогда, когда множество Б является слабо достаточным для пространства. Из теоремы 0.3 и установленной В. А. Ткаченко взаимной однозначности пространств.

Ю и нт)) (см. Ы, с.29), следует, по схеме рассуждений Л. Эренпрайса из работы Ы, что если о — слабо достаточное для пространства множество, то система т<�о с> является абсолютно-представляющей в пространстве Н (1ДЙ]) • На протяжении всей диссертации при формулировании результатов как о достаточных множествах, так и о представляющих системах мы имеем в виду соотношения между этими понятиями, содержащиеся в приведенных во Введении результатах Д. М. Шнейдера, В. В. Напалкова, Ю. Ф. Коробейника и А. В. Абанина. Как уже отмечалось выше, Ю. Ф. Коробейник построил абсолютно-представляющую в пространстве.

-¡-((х&-), о <&-<�со } систему ?<., удовлетворяющую условиям (0.7), а А. В. Абанин обобщил этот результат на ^ - выпуклые области и системы? • Аналогичным образом Ю.§.Коробейник в работах.

12] ,[17] построил системы ^^, являющиеся «универсально» абсолютно-представляющими в любом из пространств в пространстве [&-7оо), где = и <<5&< оо, в пространстве.

— 23, в пространствах всех целых функций, целых функций конечного порядка, целых функций порядка ^ § «а также одновременно во всех перечисленных пространствах и пространстве [?, оо). В 1980 году Ю#Ф.Коробейником доказана.

Теорема 0.7 (см#.

79]. с.1085), Пусть 17 — ограниченная выпуклая область с опорной функцией простые нули функции ^ из класса. Для того, чтобы система была абсолютно-представляющей в Н (&), необходимо и достаточно, чтобы выполнялось одно из следующих равносильных условий:

1) в классе 11 701 существует функция р такая, что при некотором и имеет место равенство.

2) — функция вполне регулярного роста с индикатором Ш и в классе Ш существует не равная тождественному нулю функция р такая, что /?>0 3.

Отсюда следует (см. [79], сЛ085), что если в условиях этой теоремы множество Б является регулярным (в употребляемом в диссертации узком смысле) или удовлетворяет условию © при показателе I, то система является абсолютно-представляющей в пространстве.

• В этой же работе (см. стр. 1109 и 1113) Ю. Ф. Коробейник доказал теорем аналогичную теореме 0.7 для системы и показал, что если ^ - функция порядка § с индикатором И и простыми нулями {?/<}, образующими множество регулярное или удовлетворяющее условию © при.

Ггпоказателе §, то система? является абсолютно-представлякяцей в пространстве НОЛЮ) • В дальнейшем Ю. Ф. Коробейник обобщил теорему 0,7 на g — выпуклые области и системы (см. Ы. с. Ш). Отметим, что множество о, фигурирующее в качестве нулей функции fy с индикатором Pl в теореме 0.4, ее обобщении Ю. И. Мельником, теореме 0.7 и следующих за ней утверждениях, удовлетворяет условиям (0.9) при • В 1981 году В. В. Напалков Ы показал, не пользуясь теоремой 0.6, что любая функция из разлагается в абсолютно сходящийся в топологии этого пространства ряд (0.6), где & - выпуклая область, а о слабо достаточное для пространства множество с единственной предельной точкой в ОО (см. теорему 2,1.2). При этом множество S можно выбрать удовлетворяющим условию (0.8) при.

В первом параграфе главы 2 показано, что система? , где 5 ~ достаточное для пространства [^j^qC" ^^ множество такое, что, является абсолютно-представляющей в пространстве см. теорему 2.1.3). В качестве S можно взять построенное в § 1.4 множество, удовлетворяющее условиям (0.9), где Это утверждение уже содержится в доказательстве результата параграфа 1.4, однако здесь оно получается применением метода В. В. Напалкова, отличного от методов Л. Эренпрайса |/7l] и Ю.Ф.Коробей-ника Ы Используется также теорема М. М. Дкрбашяна о связи сопряженной и индикаторной диаграмм целой функции (см. с.335).

Приводимые в диссертации представляющие системы, так же как и двойственные к ним достаточные множества, обладающие свойством н универсальности", связаны не с одним представимым ими пространством, а с многими (см., например, результаты Ю.Ф.Коробей-ника, упомянутые перед теоремой 0.7). В 1979 году Ю. И. Мельник зб] построил множество точек Б «расположенное на окружностях радиуса П^, такое, что система является абсолютно-представляющей в любом из пространств Н (&-)» где 0 — вся плоскость или произвольная ограниченная выпуклая область с условиями на гладкость опорной функции, содержащая начало координат (см. теорему 2.2.1). Причем коэффициенты разложений функций из Hi. Gr) в ряды экспонент определяются по способу А. Ф. Леонтьева. Заметим, что построенное Ю. И. Мельником множество удовлетворяет условию (0.10) и является частным случаем множества, построенного в § 1.5 (которому оно и послужило прообразом). В 1981 году Ю. Ф. Коробейник доказал следующую теорему.

Теорема 0.8 (см. £1в], с.120). Пусть последовательность точек В такова, что выполняется условие (0.10). Тогда ^ -абсолютно-представляющая система в любом из пространств /-7, где 0 — вся плоскость или произвольная ограниченная — выпуклая область.

В этом же году А. В. Абанин [2] обобщил эту теореьде на произвольные — выпуклые области (см. теорецу 2.2.2). Это обобщение эквивалентно сфорьцглированному выше результату о слабой достаточности множества 5, удовлетворяющего условию (0.10). В § 2.2 помещены утверждения об абсолютно-представляющих системах соответствующие, вышеуказанным образом, результатам об «универсальных» достаточных множествах, содержащимся в § 1.5.

Пусть произвольная целая функция 1р представлена во всей плоскости абсолютно сходящимся обобщенным рядом экспонент. Функция Р" р (см. Обозначения и определения) имеет не меньший рост, чем функция 1р. А. Ф. Леонтьев сформулировал задачу (возникающую, например, при решении неоднородных уравнений бесконечного порядка в обобщенных производных Гельфонда-Леонтьева): выбрать показатели, так, чтобы функции и Рф имели одинаковый рост? Обобщая результаты А. Ф. Леонтьева М, касающиеся этого вопроса, А. И. Гилемьянов М в 1979 году показал, что если VII) %.

— это сопряженные уточненные порядки (относительно порядка §), то для любых и с >и существует регулярное при показателе множество Б такое, что любая функция разлагается в ряд (0.5), причем (см. теорему 2.3.1). Коэффициенты С к определяются по формулам. Понятие сопряженного уточненного порядка при ?= 1 введено А. Ф. Леонтьевым Ы и обобщено для произвольного § А. И. Гилемьяновым (см. [ь]). Далее, в случае ?(1) — Т и для любой целой функции существует множег 1 о 1 > ство С), регулярное при некотором уточненном порядке УкЯ) таком, что •>, и такое, что любая це н лая функция ¿-¿-к^ «удовлетворяющая условию подчиненности функции, конструктивно разлагается в обобщенный ряд экспонент, причем Нр^Ф (см, теорему 2.3.2). Применяя схему рассуждений Л. Эренпрайса Ы связанную с двойственностью, и беря в качестве Б достаточные множества, в том числе и построенные в главе I, удается, по сравнению с утверждениями А. Ф. Леонтьева и А. И. Гилемьянова, избавиться от «зазора» ?> 0 и условия подчиненности, там где они присутствуют, а также рассмотреть случай, там где он не рассмотрен (см. теорему 2.3.3). При этом, однако, коэффициенты С к не находятся. В ходе доказательства устанавливаются общий вид функционала из.

США) в терминах обобщенных производных Гель-фонда-Леонтьева и взаимная однозначность отображения 7- 9.

У пространства на пространство, где оС — тип, сопряженный типу § относительно типа С (см. леммы 2,3.1 — 2). Полученный результат, содержащийся в § 2.3, является точным в том смысле, что оценку.

Нф^ф нельзя улучшить, а множество целых функций разлагаемое в ряды (0.5) по выбранному множеству показателей Э ~ расширить.

В § 2.4 рассматриваются пространства, определяемые более тонкой характеристикой роста нежели тип, а именно — индикатором. В 1981 году А. Ф. Леонтьев Ы показал, что в случае О/ для любых положительной функции и числа С существует регулярное при показателе ^-/(?" 1) множество 5 такое, что любая функция ] разлагается в ряд (0.6), причем см. теорему 2.4.1), Коэффициенты Ск определяются по формулам. В этом же го, пу автор [*5з] получил результат аналогичный сформулированному, но без зазора Е>0 (см. теорему 2.4.2). Как и ранее, полученное разложение в ряд не является конструктивным. Этот результат получен тем же методом и точен в том смысле, что и результат § 2.3,.

История развития многих направлений, связанных с описанной тематикой, но выходящих за рамки диссертации, и введения используемых в диссертации понятий освещена, в частности, в таких работах, кроме вышеуказанных, как [хб], [29], ?43] ,.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [47]-[51] и докладывались на Всесоюзном симпозиуме по теории аппроксимации функций в комплексной области (Уфа, май 1980), научных семинарах Отдела физики и математики Башкирского филиала АН СССР и Башкирского государственного университета имени 40-летия Октября (руководитель — чл.-корр. АН СССР А.Ф.Леонтьев), Ростовского государственного университета им. М. А. Суслова (руководитель — профессор Ю.Ф.Коробейник).

Резюме. Цель работы: а) построение дискретных достаточных множеств минимальной плотности для различных пространств целых функцийб) разложение аналитических функций в абсолютно сходящиеся ряды экспонент по множествам показателей, образующим достаточные множества, и получение точных оценок роста на бесконечности сумм соответствующих рядов из абсолютных величин.

Основные научные положения работы, вынесенные на защиту:

1) построены достаточные множества 3 минимальной плотности для различных пространств (в том числе ранее в этих вопросах не рассматривавшихся) целых функций вида [§(?), Н) (см. теоремы 1.1.2, 1.3.2 и 1.4.2, которые наиболее близки соответственно теоремам 1.1.1, 1.3.1 и 1.4.1 В. В. Напалкова и П. Оливера);

2) завершено решение задачи Л. Эренпрайса о достаточности множества точек 1Т)+(, П, где 17}, И — целые (см. теорему 1.2.2, обобщающую теорему 1.2.1 Д.М.Шнейдера) — 3) доказаны точные оценки роста на бесконечности сумм рядов Х/С^Л соответствующих обобщенным РЯдаш экспонент, представляющим произвольные функции тех или иных пространств вида где § (2) и П сопряжены соответственно с ($(1) и /-/ (см. теоремы 2.3.3 и 2.4.2, уточняющие соответственно теоремы 2.3.1 — 2 и 2.4.1 А. Ф. Леонтьева и А.И.Гилемьянова);

4) получено разложение функций аналитических в произвольной ^ -выпуклой области О с ^ -опорной функцией в обобщенные ряды экспонент по множеству показателей 5 минимальной плотности (см. теорему 2.1.3, развивающую теорему 2.1.2 В.В.Напалкова).

Автор выражает глубокую благодарность научному руководителю профессору В. В. Напалкову за постоянное внимание и помощь.

1. Абанин A.B. Некоторые представляющие системы в — выпуклых областях. — Ростов-на-Дону, 1979.-47с.- Рукопись представлена Ростов, ун-том. Деп. в ВИНИТИ 16 июля 1979,2571−79.

2. Абанин A.B. Некоторые свойства представляющих систем и базисов. Дие.. канд.физ.-мат.наук. -Ростов-на-Дону, I98I.-I22 л.

3. Абанин A.B. Об одном свойстве абсолютно-представляющих систем Миттаг-Леффлера, полезном при построении универсальных систем. -Ростов-на-Дону, 1983. -33 с.^{Рукопись} представлена Ростов, ун-том. Деп. в ВИНИТИ 2 авг. 1983, № 4264−83.

4. Гилемьянов А. И. О скорости убывания коэффициентов в разложении целой функции в обобщенный ряд Дирихле. В кн.: Исследования по теории аппроксимации функций. Уфа, 1979, с.90−117.

5. Гилемьянов А. И. Представление функций обобщенными рядами экспонент: Автореф. дис.. канд.физ.-мат.наук.-Саратов, I981.-10 с.

6. Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. 4-е изд., перераб.- М.: ГИФМЛ, 1962. -1100 с. ^.

7. Громов В. П. О рядах. Матем. сб., 1963, п~1т.61, № 3, с.272−290.

8. Джрбашян М. М. Интегральные преобразования и представления функций в комплексной области. М.: Наука, 1966.-671 с.

9. Иванов М. С. Построение специального бесконечного произведения с заданным ростом.- В кн.: Вопросы аппроксимации функций вещественного и комплексного переменных. Уфа, 1983, с.81−92.

10. Калинин С. И. 0 достаточных множествах для целых функций экспоненциального типа. Матем. заметки, 1978, т.24,6, с.839−846.

11. Колмогоров А. Н., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа. 4-е изд., перераб. — М.: Наука, 1976.-543 с.

12. Коробейник Ю. Ф. Базисы, интерполяция и дифференциальные операторы. В кн.: Всесоюзный симпозиум по теории аппроксимации функций в комплексной области: Тез. докл. Уфа, 1976, с. 46.

13. Коробейник Ю. Ф. К вопросу о представляющих системах. В кн.: Актуальные вопросы математического анализа. Ростов-на-Дону, 1978, c. IOO-III.

14. Коробейник Ю. Ф. Об одной двойственной задаче. I. Общие результаты, Приложения к пространствам Фреше. Матем.сб., 1975, т.97, № 2, с.193−229.

15. Коробейник Ю. Ф. Операторы сдвига на числовых семействах.-Ростов-на-Дону: Изд. Ростов. ун-та, 1983.-155 с.

16. Коробейник Ю. Ф. Представляющие системы. Изв. АН СССР. Сер. матем., 1978, т.42, № 2, с.325−355.

17. Коробейник Ю. Ф. Представляющие системы. Успехи матем. наук, 1981, т.36, № I, с.73−123.

18. Коробейник Ю. Ф., Леонтьев А. Ф. 0 свойстве внутрь-продолжае-мости представляющих систем экспонент. Матем. заметки, 1980, т.28, № 2, с.243−254.

19. Красичков-Терновский И. Ф. Полнота в пространствах комплекс-нозначных функций, описываемых поведением модуля. -Матем. сб., 1965, т.68, № I, с.26−57.

20. Красичков-Терновский И. Ф. Инвариантные подпространства аналитических функций. I. Спектральный синтез на выпуклых областях.- Матем.сб., 1972, т.87, № 4, с.459−489.

21. Левин Б. Я. Распределение корней целых функций. М.: ГИТТЛ, 1956.-632 с.

22. Леонтьев А. Ф. К вопросу о представлении аналитических функций в бесконечной выпуклой области рядами Дирихле. Докл. АН СССР, 1975, т.225, № 5, с.1013−1015.

23. Леонтьев А. Ф. К вопросу о представлении целых функций рядами экспонент.- Матем.сб., 1977, т.104, с.371−389.

24. Леонтьев А. Ф. 0 представлении аналитических функций в открытой области рядами Дирихле, — Матем. сб-, 1970, т.81, № 4, с.552−579.

25. Леонтьев А. Ф. 0 представлении функций аналитических в полуплоскости рядами Дирихле. Матем.сб., 1971, т.85, № 4,с.563−580.

26. Леонтьев А. Ф. 0 представлении целых функций некоторыми общими рядами. Матем.сб., 1966, т.71, № I, с.3−13.

27. Леонтьев А. Ф. Обобщения рядов экспонент.- М.: Наука, 1981.320 с.

28. Леонтьев А. Ф. Последовательности полиномов из экспонент.— М.: Наука, 1980.-384 с.

29. Леонтьев А. Ф. Представление целых функций обобщенными рядами Дирихле. Успехи матем. наук, 1969, т.24, № 2, с.97−164.

30. Леонтьев А. Ф. Представление целых функций рядами по функциям Миттаг-Леффлера.- Докл. АН СССР, 1982, т.264, № б, с.1313−1315.

31. Леонтьев А. Ф. Представление целых функций рядами экспонент. Труды/Матем. ин-т им. В. А. Стеклова АН СССР, 1981, т.57, с.68−89.

32. Леонтьев А. Ф. Ряды экспонент. М.: Наука, 1976.-536 с.

33. Майергойз Л. С. Плоские выпуклые множества и некоторые их приложения. — В кн.: Голоморфные функции многих комплексных переменных. Красноярск, 1972, с.75−91.

34. Мельник Ю. И. К вопросу о разложении аналитических функций в ряды Дирихле.- Укр.матем.журн., 1975, т.27, № 6, с.815—818.

35. Мельник Ю. И. Об одной универсальной системе экспонент.-Укр. матет.журн., 1979, т.31, № 2, с.192−196.

36. Муллаев М. У. Разложение в ряды по функциям Миттаг-Леффлера.-В кн.: Исследования по математике, физике и приложениям: Тез.докл. Уфа, 1981, с.30−32.

37. Напалков В. В. Достаточные множества в пространствах целых функций многих комплексных переменных. В кн.: Международная конференция по комплексному анализу и приложениям: Тез. докл. Варна, 1981, с. 55.

38. Напалков В. В. О дискретных достаточных множествах в некоторых пространствах целых функций. Докл. АН СССР, 1980, т.250, № 4, с.809−812.

39. Напалков В. В. О дискретных слабо достаточных множествах в некоторых пространствах целых функций. Изв. АН СССР. Сер. матем., 1981, т.45, № 5, с.1088−1099.

40. Напалков В. В. О достаточных и слабо достаточных множествах.- В кн.: Всесоюзный симпозиум по теории аппроксимациифункций в комплексной области: Тез.докл.Уфа, 1980, с.104−105.

41. Напалков В. В. О сравнении топологий в некоторых пространствах целых функций. -Докл. АН СССР, 1982, т.264, № 4,с.827−830.

42. Напалков В. В. Уравнения свертки в многомерных пространствах. М.: Наука, 1982.-240 с.

43. Натансон И. П. Теория функций вещественной переменной. -3-е изд. М.: Наука, 1974.-480 с.

44. Пасечник Г. М. Геометрическая характеризация множества показателей представляющей системы экспонент для пространства Н (&-). Докл. АН СССР, 1980, т.252, № 3, с.553−555.

45. Подпорин В. П. Вопросы представления линейных операторов и некоторых специальных их классов, связанных с коммутационными соотношениями. Дис.. канд.физ.-мат.наук, Ростов-на-Дону, 1979.-127 л.

46. Рахимкулов Н. И. Дискретные достаточные множества для некоторых пространств целых функций. В кн.: Всесоюзный симпозиум по теории аппроксимации функций в комплексной области: Тез.докл. Уфа, 1980, с.122−123.

47. Рахимкулов Н. И. Достаточное множество для пространства целых функций, определяемого уточненным порядком. В кн.: Исследования по теории аппроксимации функций. Уфа, 1981, с.67−78.

48. Рахимкулов Н. И. Достаточные множества в некоторых пространствах целых функций и их применение. Уфа, 1981.-23 с. -Рукопись представлена Отд.физ. и матем. с ВЦ БФАН СССР. Деп. в ВИНИТИ 8 июля 1981, № 3371−81.

49. Рахимкулов Н. И. К вопросу о разложении функций в ряды Дирихле. Матем. заметки, 1982, т.31, № 5, с.739−746.-10 351. Рахимкулов Н. И. О дискретном достаточном множестве. В кн.: Вопросы аппроксимации функций комплексного переменного. Уфа, 1980, с.116−124.

50. Рахимкулов Н. И. Об одном способе изучения роста целой функции на последовательности точек. В кн.: Исследования по теории аппроксимации функций. Уфа, 1979, с.238−251.

51. Рахимкулов Н. И. Разложение целых функций в ряды экспонент.-В кн.: Исследования по математике, физике и приложениям: Тез. докл. Уфа, 1981, с.34−36.

52. Робертсон А., Робертсон В. Топологические векторные пространства. М.: Мир, 1967.-257 с.

53. Рудин У. Функциональный анализ. М.: Мир, 1975.-443 с.

54. Сафин P.P. Представление целых функций обобщенными рядами экспонент. В кн.: Исследования по математике, физике, механике и процессам управления: Тез.докл.Уфа, 1983, с.48−49.

55. Себаштьян и — Силва Ж. О некоторых классах локально выпуклых пространств, важных в приложениях. — Математика, 1957, т.1, № I, с.60−77.

56. Ткаченко В. А. Некоторые пространства аналитических функционалов. В кн.: Вопросы математической физики и функционального анализа. Киев, 1976, с.20−32.

57. Ткаченко В. А. Об операторах, коммутирующих с обобщенным дифференцированием, в пространствах аналитических функционалов с заданным индикатором роста. Матем.сб., 1977, т.102, № 3, с.435−456.

58. Фролов Ю. Н. Об аппроксимации решений уравнений бесконечного порядка в обобщенных производных посредством элементарных решений. В кн.: Исследования по теории аппроксимации функций. Уфа, 1979, с.268−281.

59. Чан За Лик. Разложение в ряды по функциям Миттаг-Леффлера.-Докл. АН СССР, 1971, т.200, № I, с.49−52.

60. Шрайфель И. С. Построение целых функций с положительным индикатором. Приложения к представляющим системам. В кн.: Исследования по математике, физике, механике и процессам управления: Тез.докл. Уфа, 1983, с.60−61.

61. Шрайфель И. С. Построение целых функций с положительным индикатором и приложения к представляющим системам и достаточным множествам. Ростов-на-Дону, 1983. — Рукопись представлена Ростов, ун-том. Деп. в ВИНИТИ 29 февр. 1984, II4I-84.-43C.

62. Эдварде Р. Функциональный анализ: Теория и приложения. -М.: Мир, 1969. -1071 с.

63. Юлмухаметов P.C. Асимптотическая аппроксимация субгармонических функций. Докл. АН СССР, 1982, т.264, № 4 с.839−841.

64. Юлмухаметов P.C. Асимптотическая аппроксимация субгармонических функций и разложение голоморфных функций в ряды Дирихле. Дис.. канд.физ.-мат. наук.- Уфа, 1982. — 87 л.

65. Юлмухаметов P.C. Пространства аналитических функций, имеющих заданный рост вблизи границы. Матем. заметки, 1982, т.32, № X, с.41−58.

66. Ehrenpreis L. An introduction to complex Fourier analysis and lacunary series.-In Entire functions and related parts of analysts. Providence, R. IJ968,p.189~192, p.5hDr (Proc.Sympos.Pure Math /Amer. Matfi. Soc.- VoC.11).

67. EhrenpreisL. Analiticatiy uniform spaces and some applications-Trans. Amer. Matfi. S oc., 1961, voL№, iiUpS2−7k.

68. Ehrenpreis L. Fourier analysis in several complex variables.-New-York: Wiley-Interscience Publishers, 1970.-506p.-(Pure and Appl.Math.- Vol. 17).

69. Iyer V. G. On effective sets of points in relation to integrai functions-Trans. Amer. hath. Soc., 1937, vol HZ, p.358−365-correction ibid. IQ^voiM.pMH.

70. Oliver P. Sufficient sets for spaces of entire functions-London Math. Soc. Third series, 1977, vol. depart /, p.155−172.

71. SchneiderD.M. Sufficient sets for some spaces of entire functions.-Trans.Amer. Math. Soc J 97^ vo 119 7, p. 161−18 0.

72. TayaorB.A. A seminorm topology for some-106тspaces of entire functions-DukeMa tA. 1,1971, wC.389№ 9p. 379−38 5.

73. Коробейник Ю. Ф. Интерполяционные задачи, нетривиальные разложения нуля и представляющие системы. Изв. АН СССР. Сер. матем., 1980, т.44, № о, с.1066−1114.

74. Леонтьев А. Ф. Об условиях разложимости аналитических функций в ряды Дирихле.- Изв. АН СССР. Сер.матем., 1972, т.36, № б, с.1282−1295.

75. Мельник Ю. И. К вопросу о представлении регулярных функций рядами Дирихле.- Матем. заметки, 1977, т.21, № 5, с.641−651.