Модель обучения алгебре и началам анализа для профилей естественнонаучного направления на основе логики прикладной математики

Математическое образование в России как составная часть государственной системы образования ведет свою историю от школы Математических и навигацких наук (1701). Существенное влияние на содержание школьного предмета алгебры и начал анализа и характер его преподавания оказали различные тенденции в развитии математики как науки и созданные с их учетом школьные учебники по математике. В результате своего развития школьная математика сложилась как адаптированная и дидактически обработанная проекция математики как науки, ориентирующая процесс преподавания предмета на передачу учителем фиксированной суммы знаний и организацию ее усвоения (модель информационного обучения). Основная учебная деятельность ученика была направлена на запоминание и воспроизведение учебного материала, а также решение задач. Учебные приоритеты школьника, его личный опыт и индивидуальные особенности не учитывались, и, как следствие, ограничивались познавательная самостоятельность и активность ученика.

На школьное математическое образование в России сильное влияние оказала европейская образовательная модель XIX века, направленная на передачу знаний и организацию их усвоения. В XX веке оно осталось принципиально неизменным, однако развитие современной системы образования, в частности, в России, характеризуется следующими особенностями.

1. Создается новая научная картина мира, в которой человек воспринимается как элемент экосистемы с его самобытностью и самоценностью, что предполагает создание образовательной среды, стимулирующей активность личности и обеспечивающую ей свободу выбора индивидуального образовательного пути. В этом контексте обучение рассматривается как технологическая сторона образования, Изменение общей мыслительной установки в отношении к миру и обществу от познавательной к проектной позволяет рассматривать образование как объект социального проектирования [389, с. 116].

2. Развитие глобальных информационных сетей, расширение спектра средств передачи информации, увеличение информационных потоков требуют от учащихся умения самостоятельно получать, оценивать, перерабатывать и применять информацию в учебной и внеучебной деятельности, что обогащает опыт ученика, расширяет возможности самообразования (саморазвития), снижает роль школы как доминирующего источника учебных знаний и смещает акцент в деятельности учителя с передачи знаний на организацию познавательной деятельности ученика в ее многообразных проявлениях, выделяет обучение способам работы с информацией в качестве самостоятельной учебной задачи.

3. Изменился тип социокультурного наследования. Его центром стала подготовка к овладению ранее не существовавшими методами познания и практики, тогда как прежде имели место передача прошлых образцов деятельности и преподавание завершенной системы знаний, что привело к кризису рассчитанной на просвещение учащихся системы образования, являющейся ядром системы социокультурного наследования [108, 291].

4. В настоящее время кризис образования, выражается в кризисе социализации, разрыве между образованием и культурой, увеличении отставания образования от науки и потребностей общества [389, с. 19]. &bdquo-Стала неразрешимой проблема самообразования, существования образования на уровне исторически активной и духовно самостоятельной и ответственной личности, на уровне свободной творческой деятельности" [389, с. 149]. Интересы ученика переориентированы от самостоятельного открытия знаний на основе личного жизненного опыта на потребление готовых знаний, образование заменяется научением, мерой образованности становится степень усвоения готовых знаний, целью образования — подготовка специалиста, что ведет к отчуждению образования от человека.

Перечисленные выше особенности системы образования требуют разработки таких концепций образования, в которых ученику принадлежала бы одна из ведущих ролей, а содержание изучаемого предмета, в частности, алгебры и начал анализа, усваивалось учеником как его личный жизненный проект, учитывало его опыт. В пользу этого направления в построении математики как учебного предмета говорит и современный парадигмаль-ный сдвиг в психологии в сторону антропологической парадигмы, в которой развитие рассматривается не столько по сущности социума, сколько по сущности человека, т. е. речь идёт о саморазвитии. Именно в юношеском возрасте для ученика становится значимым саморазвитие, он занимает позицию &bdquo-Я — действующее", его собственный опыт включает знания, полученные при изучении математики 7−9 классов.

В современных концепциях системы образования эти особенности находят свое отражение в том, что делается акцент на развитие личности ученика как приоритет школы, учитываются интересы и потребности как ученика, так и общества в целом [210, 316]. В связи с этим среди ведущих компонентов учебных предметов называются как предметные научные знания и способы деятельности, так и опыт творческой деятельности и эмоционально-ценностных отношений, усиливается методологическая составляющая в структуре научных знаний. В Концепции структуры и содержания общего среднего образования [210] указывается, что характерной чертой современного этапа развития среднего образования является личностно ориентированный образовательный процесс, учитывающий и развивающий индивидуальные особенности учеников, условия для реализации которого создаются в начальной и основной десятилетней школе, которая представляет собой &bdquo-относительно завершенное базовое образование для продолжения его в полной средней общеобразовательной или профессиональной школе" [210, с. 8], т. е. речь идет об изменении структуры школьного образования, что, в частности, предполагает постановку вопроса о содержании, средствах и целях изучения алгебры и начал анализа в старшей школе.

Концепции школьного математического образования, например, [203, 204] явились результатом исследований таких ученых как М. И. Башмаков.

46], Н. М. Бескин [51], Х. Ж. Танеев [101], Б. В. Гнеденко [112, 113, 114, 115], В. А. Гусев [125, 126], Г. В. Дорофеев [135, 136], А. Г. Мордкович [268], Г. И. Саранцев [347] и др. Характерным для всех авторов является переориентация всей методической системы на приоритет развивающей функции обучения по отношению к информационной, дифференциации математического образования. В [203] признана необходимость математического образования для всех учащихся на всех ступенях обучения и глубокая его дифференциация в старшей школе. Там же подчеркнута необходимость &bdquo-предпочитать эвристическое исследование доктринальному изложению, побуждать учащихся к собственным формулировкам, открытию отношений, свойств раньше, чем они узнают конечный результат" [203, с. 15], что означает возрастание роли и доли авторских действий ученика при изучении предмета.

Наряду с концепциями общематематического образования были созданы концепции развивающего обучения алгебре в средней школе и соответствующие учебники, но, по-прежнему, авторы склонны предлагать для усвоения готовую сумму знаний, тогда как процесс получения этих фактов остается за рамками курса, самостоятельная деятельность учащихся направлена на освоение теоретического материала и решение задач, что не может полностью удовлетворить познавательные потребности ученика.

Структура школьного математического образования прошла путь от единого курса математики Л. Ф. Магницкого [245] для всех до современных разноуровневых курсов математики для отдельных профилей. После реформы математического образования 1964 года в отечественной школе сложилась неизменная структура математического образования: начальные классы, в которых школьники приобретают элементарные математические сведения- 5−6 классы, где осуществляется пропедевтика систематического курса алгебры и начал анализа в рамках предмета &bdquo-Математика" - систематический курс: алгебра (7−9 классы) и алгебра и начала анализа (10−11 классы), при этом, по традиции обучение строится от предмета (науки), а не от ученика. Вместе с тем, период последних примерно 20 лет в школьной практике характеризуется устойчиво невысокой результативностью обучения математике, а специалисты свидетельствуют об исчерпанности возможностей локальных модернизаций сложившегося курса в рамках предметноцентрической концепции обучения математике в школе.

Современный этап развития отечественного среднего образования направлен, как отмечается в Концепции модернизации российского образования до 2010 г., на создание условий для самореализации ученика в учебном процессе и формирование его готовности быть субъектом продуктивной деятельности в течение всего своего жизненного цикла. В Федеральном государственном образовательном стандарте общего образования на основе этого документа сформулированы принципиальные положения, в которых под образовательными результатами понимаются &bdquo-приращения" в личностных ресурсах учеников. Эти &bdquo-приращения" должны будут использоваться при решении проблем, актуальных для личности, общества и государства.

Достижение главной цели общего образования — формирование разносторонне развитой, творческой личности, способной реализовать творческий потенциал в динамичных социально-экономических условиях как в собственных жизненных интересах, так и в интересах общества, связывается на современном этапе с &bdquo-формированием компетентности выпускников школы как интегрального качества личности", при этом приоритет отдается формированию универсальных учебных действий в образовательном процессе. В Проекте (2010 г.) Федерального государственного образовательного стандарта среднего (полного) общего образования, разработанного Институтом стратегических исследований в образовании РАО (Л.П. Кезина, A.M. Кондаков) указывается, что требования к предметным результатам освоения курса математики pi информатики на профильном уровне должны включать требования к результатам освоения курса на базовом уровне и дополнительно отражать: владение опытом построения и использования моделей, проведения экспериментов и статистической обработки данных с помощью компьютера, интерпретации результатов, получаемых в ходе моделирования реальных процессовумение оценивать числовые параметры моделируемых объектов и процессов, пользоваться базами данных и справочными системами.

Образование реализует две основные функции: образование с помощью предмета, направленное на развитие учащихся, и собственно предметное образование как основа будущей профессиональной подготовки. Международные мониторинговые исследования уровня математической подготовки российских школьников (например, Р/ШуЙ1, Т1МБЗ) фиксируют достаточно высокий уровень предметной математической подготовки учеников и весьма скромные результаты применения полученных математических знания в реальных ситуациях. Эти умения связаны: 1) с переработкой учебной информации- 2) с выполнением рассуждений и их аргументацией- 3) с умением решать проблемы в процессе коммуникативного взаимодействия. Вместе с тем, невысокий уровень развития прикладных умений вполне закономерен, т.к. традиции обучения математике в советской школе всегда связывались с обучением в логике теоретической математики, несмотря на то, что в методической науке всегда актуальными были исследования, связанные с решением проблемы прикладной направленности обучения математике, причем на каждом этапе развития науки и техники ставилась задача усиления этой направленности по сравнению с предыдущими этапами. При этом имело место противоречие системного характера — проблема &bdquo-реализации и усиления прикладной направленности обучения математике" и формирования &bdquo-прикладных умений и навыков" решалась при доминирующей в обучении логике теоретической математики. Кроме этого, обобщение результатов анализа философской, психолого-педагогической, методической литературы, диссертационных исследований, современного состояния практики применения знаний для решения практических проблем учащимися при обучении алгебре и началам анализа в профилях естественнонаучного направления (ЕНН) даёт возможность выделить дополнительно ряд противоречий:

— между теоретическим и прикладным аспектами математики как науки и несбалансированным представительством их дидактических проекций в обучении алгебре и началам анализа в школе: в настоящее время обучение алгебре и началам анализа осуществляется преимущественно в логике теоретической математики;

— между форматом подготовки выпускника современной школы в логике теоретической математики и потребностями высшей школы в выпускнике, подготовка которого позволяет формировать у него достаточно высокий уровень культуры прикладного математического исследования, т. е., прежде всего, умений по составлению и анализу математических моделей, а также интерпретации полученных результатов;

— между достаточно большим числом методических теоретических и практических исследований по вопросам прикладной направленности обучения математике в школе и методики ее реализации и стабильно невысокой результативностью применения результатов этих исследований в практике обучения алгебре и началам анализа;

— между отсутствием целостной теоретической концепции обучения алгебре и началам анализа в профильных классах естественнонаучного направления и наличием практической потребности в научно обоснованной модели, учитывающей специфику обучения в классах данного направления и оптимально сочетающей теоретическую и прикладную составляющие школьной математики.

Одним из эффективных средств преодоления отмеченных противоречий и достижения целей современного образования является профильное обучение, идея которого в России имеет давнюю историю, и возвращение к которому в настоящее время, на наш взгляд, объясняется следующими причинами: 1) профильное обучение является средством реализации ведущей деятельности старшеклассника (учебно-профессиональной), выполняет профориентационную функцию, что позволяет ученику сделать выбор сферы будущей профессиональной деятельности более осознанным- 2) оно выполняет пропедевтическую функцию, знакомя ученика с теми знаниями по ряду предметов, которые ему предстоит осваивать в высшей школе- 3) у ученика имеется возможность овладеть на школьном этапе обучения некоторыми предпрофессиональными умениями и навыками, такими как построение и исследование математических моделейпостроение и реализация вычислительных алгоритмовпроведение приближенных вычисленийумение интерпретировать полученные решения.

Указанные выше противоречия и результаты анализа научно — методических исследований по проблемам обучения алгебре и началам анализа в старшей профильной школе являются основной причиной исследования путей совершенствования обучения алгебре и началам анализа в профильных классах ЕНН, определяют актуальность исследования и дают возможность сформулировать проблему исследования и его объект.

Проблема исследования: поиск средств и способов обучения алгебре и началам анализа на профильном уровне, реализующих во взаимосвязи теоретический и прикладной аспекты математики.

Объект исследования: процесс обучения алгебре и началам анализа в старших классах на профильном уровне.

В настоящее время в старшей школе выделяются профили, в которых математика изучается на базовом или на профильном уровне. Наше исследование посвящено проектированию и разработке модели обучения алгебре и началам анализа для профильных классов естественнонаучного направления. Под профильными классами естественнонаучного направления мы понимаем классы, в которых в качестве ведущего профильного предмета выступают физика, химия, биология, география, т. е. это классы физико-химического, химико — биологического, географического профиля и т. д.

Существенные различия в математической подготовке учеников профилей ЕНН и учеников других профилей определяются, прежде всего, отношением к математике как к инструменту их будущей профессиональной деятельности: для учеников профилей ЕНН математика — основное средство, которое будет использоваться ими для решения широкого круга профессиональных задач, в отличие от учеников других профилей. Это требует определенного уровня сформированное&tradeприкладных умений и навыков с последующим переходом к соответствующему уровню умений и навыков построения, исследования и интерпретации математических моделей.

В рамках философии системного подхода (Э.Г. Винограй, Ю.А. Га-стев, И. В. Прангишвили и др.) математика как наука может трактоваться как система, элементами которой являются две диалектически сосуществующие подсистемы — теоретическая математика и прикладная математика со своими математическими объектами как элементами указанных подсистем. Отношения между элементами подсистем определяются применяемой логикой. При этом логика прикладной математики (И.И. Блехман, А. Д. Мышкис, Я.Г. Пановко) существенно отличается от логики теоретической математики. В настоящее время это обстоятельство в процессе обучения алгебре и началам анализа в профилях ЕНН не учитывается, что ведет к формированию у учеников неправильных представлений о математике как науке и, в дальнейшем, к снижению эффективности профессиональной подготовки студентов вузов соответствующих направлений, поэтому актуальным является исследование возможности проектирования модели обучения алгебре и началам анализа, свободной от указанных выше недостатков системного характера. В этой связи предметом исследования является модель обучения алгебре и началам анализа для профилей естественнонаучного направления на основе логики прикладной математики.

Таким образом, целью данного исследования становится теоретическое обоснование, разработка и описание модели обучения алгебре и началам анализа в профилях естественнонаучного направления на основе логики прикладной математики, а также механизмов ее реализации.

В наиболее общем виде мы определили цель изучения алгебры и начал анализа как развитие ученика в процессе деятельности по освоению предметного содержания и изучению закономерностей окружающего мира. Выявление и преобразование опыта ученика, освоение им содержания предмета возможно только при его активной предметной деятельности. С. Л. Рубинштейн писал, что &bdquo-попытки учителя внести в ребенка познание и нравственные нормы, минуя собственную деятельность ребенка по овладению ими, подрывают. самые основы здорового умственного и нравственного развития ребенка, воспитания его личностных свойств и качеств" [336, с. 192−193]. Эта идея отражена и в концепции школьного математического образования: &bdquo-Ознакомление школьников с математикой как специфической формой познания мира требует отказа от сложившейся практики школьного математического курса как безупречной в логическом и структурном отношении последовательности готовых результатов и сведений. Лучшие традиции преподавания математики предполагают такую методическую систему, при которой здание математики создается на глазах у учащихся и с их посильным участием" [174, с. 28].

Школьные учебники математики выполняют, прежде всего, информационную функцию (передачу общественно-исторического опыта). Излагаемая на определенном уровне строгости система математических знаний требует приспособления ученика к задаваемому уровню абстракции, что может вступить в противоречие с его субъектным опытом. И. С. Якиманская считает, что &bdquo-далеко не все понятия, организованные в систему по всем правилам логики, усваиваются учащимися, а только те, которые входят в состав их личного опыта" [423, с. 73]. Это делает необходимым, во-первых, включение субъектного опыта ученика в процесс изучения алгебры и начал анализа в 10−11 классах и его постоянное соотнесение с отраженным в учебниках общественно-историческим опытомво-вторых, создание достаточной математической базы перед изучением курса алгебры и начал анализа, которая послужит основой математической составляющей субъектного опыта ученика.

В рамках данного исследования под субъектным опытом, вслед за И. С. Якиманской, мы будем понимать &bdquo-принадлежащий конкретному ученику жизненный опыт, включающий различные формы и способы деятельности, источниками которого являются биография ученика (влияние семьи, национальной, социокультурной принадлежности), результаты его повседневной жизнедеятельности, взаимоотношений с миром вещей и людей, итоги обучения, в том числе, и специально организованного" [423, с. 65].

В классических моделях обучения ученик изначально не рассматривался как личность, а становился ею в результате целенаправленного воздействия, причем значимыми были лишь типологические свойства личности, а индивидуальные особенности в расчет не принимались, формировалась общественная личность. Не избежали этого и технологии развивающего обучения (Л.В. Занков [287], В. В. Давыдов [127, 128, 129], Д.Б. Эль-конин [420] и др.), в которых развитие определялось специально организованным обучением теоретического типа. Считалось, что ученик становился субъектом только в процессе познавательной деятельности. Предлагаемое содержание детерминировало методы обучения, а индивидуальный опыт ученика и его личностные особенности также не принимались во внимание. Движение от признания специально организованного обучения как определяющей силы развития (по Л. С. Выготскому [95, 96, 97]) к пониманию развития как самодвижения субъекта, осуществляющегося благодаря его деятельности в предмете, способствовало усилению внимания к процессам саморазвития и самообразования как деятельности субъекта. Учебная работа ученика не исчерпывается только овладением способами действий, но и включает собственные авторские действия (замысел, анализ условий реализации, получение продукта). Образовательное пространство ученика должно создавать условия для авторских действий, поскольку на данном отрезке онтогенеза ученик строит свою субъектность как субъектность авторства [305].

Новая образовательная парадигма личностно ориентированной педагогики рассматривает образование как &bdquo-специальную сферу социальной жизни, создающую внешние и внутренние условия для развития индивида (ребенка и взрослого в их взаимодействии, а также в автономном режиме) в процессе освоения ценностей культуры. Образование есть поэтому синтез обучения и учения (индивидуальной познавательной деятельности), воспитания и самовоспитания, развития и саморазвития, взросления и социализации. В обучении и самостоятельно осуществляемом учении осваиваются технологические навыки, приобретаются знания. Все эти процессы неразделимы, поэтому в парадигме личностно ориентированной педагогики, образование рассматривается как многоуровневое пространство" [285, с. 60].

Концепция исследования состоит в следующем.

1. Анализ истории развития математики как науки и истории математического образования, оказывая влияние на формирование представлений о математике как учебном предмете (отбор содержания и методов обучения), должен учитываться как один из основных элементов при построении методики обучения в классах различных профилей.

2. Обучение математике может эффективно осуществляться в рамках методической системы обучения математике, опирающейся на феномен логики прикладной математики и концепцию учебной деятельности, ориентированной на овладение учеником в учебном процессе видами деятельности, адекватными соответствующему математическому содержанию образования.

3. Изучение математики как модели объектов реального пространства и опыт школьника, содержащий определенные знания об окружающем мире, дают возможность взаимосвязанного изучения теоретического и прикладного аспектов математики, обеспечивающего реализацию личностно ориентированной концепции обучения.

4. Информатизация школы в современных условиях — процесс, который, являясь открытым, позволяет использовать элементы информатики в учебном процессе на уровне, достаточном для обеспечения возможности профессионального и личностного роста ученика.

Гипотеза исследования состоит в следующем: если реализовать построенную на разработанных теоретических положениях модель обучения алгебре и началам анализа в профилях естественнонаучного направления на основе логики прикладной математики, то это будет способствовать:

— эффективному и осознанному освоению учебного материала, отражающего диалектический характер взаимодействия теоретической и прикладной составляющих науки математики, и, следовательно, повышению качества базовых знаний, а также повышению результативности обучения ведущим профильным предметам (физика, химия, биология, и др.);

— формированию устойчивой мотивации выбора профессии и формированию предпрофессиональных умений и навыков за счет вовлечения ученика в систематическую деятельность по применению метода математического моделирования и использованию информационных технологий;

— росту умственного развития ученика средствами предмета алгебры и начал анализа, следствием чего будет развитие личностных функций ученика: самостоятельности, рефлексивности, способности к самоорганизации, самообразованию, общению.

Таким образом, конкретными задачами исследования, определяемыми его предметом и целью, стали следующие:

1. Исследование истории развития математической науки в контексте использования логики прикладной математики при решении практических задач в ходе исторического развития общества и выявление ее влияния на эволюцию фундаментальных математических понятий и формирование математических теорий, а также истории математического образования с позиции выявления реализации прикладной направленности обучения математике.

2. Анализ истории развития профильного образования в стране в контексте проблемы нашего исследования.

3. Выявление характерных особенностей логики прикладной математики и исследование понятий &bdquo-рациональная логика" и &bdquo-рациональное утверждение" (установление типологии, способов их использованияразработка методики изучения материала учебного предмета с применением рациональных рассуждений).

4. Выявление психолого-педагогических основ построения модели обучения алгебре и началам анализа в профилях естественнонаучного направления на основе логики прикладной математики.

5. Разработка принципов построения модели обучения алгебре и началам анализа в профилях естественнонаучного направления на основе логики прикладной математики, а также методических и содержательно — технологических требований, обеспечивающих организацию изучения учебного материала и личностное развитие ученика.

6. Развитие в методике математики представлений о математическом моделировании в контексте обучения алгебре и началам анализа в профилях ЕНН, разработка методики обучения математическому моделированию с учетом применения логики прикладной математики.

7. Разработка методики реализации модели обучения алгебре и началам анализа в профилях естественнонаучного направления на основе логики прикладной математики.

8. Экспериментальная проверка эффективности созданной модели обучения и интерпретация полученных экспериментальных результатов.

Теоретико-методологическую и нормативную основу исследования составляют:

— нормативные документы в образовательной сфере: Концепция развития школьного математического образования (1989 г.), Концепция модернизации российского образования на период до 2010 г. (2002 г.), Программа модернизации педагогического образования (2003 г.), Примерные программы дисциплин предметной подготовки по специальностям естественнонаучного профиля ВПО, Государственный образовательный стандарт высшего профессионального образования (2005 г.), Федеральный государственном образовательном стандарт общего образования и др.;

Источником исследования являются научные разработки в области педагогики, психологии, философии образования, математики, теории и методики обучения математике, посвященные проблемам фундаментальных основ математики и методики обучения математике, т. е. теоретико-методологическую основу исследования составляют:

— исследования по истории математики и математического образования (В.В. Бобынин, Н. Бурбаки, И. Г. Башмакова, М.Е. Ващенко-Захарченко, Ф. Клейн, Ю. М. Колягин, Т. С. Полякова, К. А. Рыбников, O.A. Саввина, А. П. Юшкевич и др.);

— работы по методологическим основам математики и методологии математического образования (Ж. Адамар, А. Д. Александров, В. И. Арнольд, М. И. Башмаков, Г. Вейль, Д. Гильберт, Б. В. Гнеденко, М. Клайн, Ф. Клейн,.

A.Н. Колмогоров, Л. Д. Кудрявцев, А. Г. Мордкович, Д. Пойа, М. М. Постников, А. Пуанкаре, В. А. Садовничий, Г. И. Саранцев, В. М. Тихомиров, Г. Фройденталь, А. Я. Хинчин и др.);

— теория деятельностного подхода в образовании и теория развивающего обучения (Л.С. Выготский, В. В. Давыдов, О. Б. Епишева, Л. В. Занков,.

B.П. Зинченко, А. Н. Леонтьев, Е. И. Лященко, A.A. Столяр, З. И. Слепкань, Н. Ф. Талызина, Д. Б. Эльконин и др.);

— работы по проблемам методов обучения и организации учебной деятельности (Ю.К. Бабанский, Н. В. Бордовская, Т. В. Габай, П. Я. Гальперин,.

C.И. Гессен, В. В. Давыдов, В. К. Дьяченко, Л. Б. Ительсон, E.H. Кабанова-Меллер, В. В. Краевский, И. С. Якиманская и др.);

— исследования по проблемам системного подхода в целом и его применение к анализу педагогического процесса (В.Г. Афанасьев, И. В. Блауберг, В. И. Егорченко, Л. С. Капкаева, В. И. Крупич, B.C. Леднев, В. М. Монахов, И. В. Прангишвшш, Г. И. Саранцев, И. Л. Тимофеева, А. И. Уемов, И. З. Цехмистро, В. И. Штанько, П. Г. Щедровицкий, Э. Г. Юдин и др.);

— исследования по проблемам: психологии познания (В.Г. Ананьев, Дж. Андерсон, Дж. Врунер, JI.C. Выготский и др.) — психологии мышления (C.B. Маланов, A.M. Матюшкин, H.A. Менчинская, O.K. Тихомиров и др.) — психологии познавательно-поисковых процессов и концепции учебной мотивации (H.A. Бакшаева, A.A. Вербицкий, В. К. Вилюнас, Е. П. Ильин, А. К. Маркова, P.C. Немов, Ж. Пиаже, К. Роджерс, М. А. Родионов, C.JI. Рубинштейн и др.);

— психолого-педагогические исследования, раскрывающие представления о субъекте и его жизненной активности (Е.Д. Божович, Г. Клаус, JI.A. Коростылева, А. Н. Леонтьев, Д. А. Леонтьев, Н. С. Подходова, И. С. Якиманская и др.);

— исследования по внедрению различных подходов в практику обучения математике (Э.К. Брейтигам, В. И. Горбачев, В. А. Гусев, О. Б. Епишева, Т. А. Иванова, В. В. Орлов, Н. С. Подходова, Н. Л. Стефанова, В. А. Тестов, В. М. Туркина и др.);

— работы по проблемам совершенствования методик обучения компонентам школьного математического образования (Я.И. Груденов, В. А. Гусев, В. А. Далингер, Т. Е. Демидова, Ю. М. Колягин, Е. И. Лященко, А. Г. Мордкович, В. В. Орлов, Н. С. Подходова, Г. И. Саранцев, Н. Л. Стефанова, A.B. Ястребов и др.);

— концепции гуманизации и гуманитаризации математического образования (Г.В. Дорофеев, Т. А. Иванова, Т. Н. Миракова, А. Х. Назиев, Г. И. Са-ранцев и др.) — - работы по проблемам совершенствования школьных учебников (Е.Б. Арутюнян, А. Л. Вернер, М. Б. Волович, Г. Г. Граник, В. А. Гусев, Л. А. Концевая, А. Г. Мордкович, В. В. Орлов, Н. С. Подходова и др.);

— концепции дифференциации и индивидуализации обучения математике (М.И. Башмаков, В. Г. Болтянский, Г. Д. Глейзер, В. А. Гусев, Л. Н. Журбенко, Е. Е. Семенов, И. М. Смирнова, М. В. Ткачева, P.A. Утеева, В. В. Фирсов и др.);

— исследования по различным аспектам реализации прикладной направленности обучения математике (В.Г. Болтянский, Н. Я. Виленкин, Э. Г. Готман, В. А. Гусев, В. А. Далингер, Г. В. Дорофеев, М. И. Зайкин, Н. И. Зильберберг, И. А. Иванов, Е. С. Канин, Ю. М. Колягин, В. И. Крупич, A.A. Максютин, В. И. Мишин, В. М. Монахов, А. Г. Мордкович, E.H. Перевощи-кова, Д. Пойа, Я. П. Понарин, Н. Х. Розов, В. И. Рыжик, А. Д. Семушин, A.A. Столяр, JI.M. Фридман, Р. Г. Хазанкин, И. И. Чучаев, И. Ф. Шарыгин, А. Ю. Эвнин, П. М. Эрдниев и др.).

Вместе с тем, следует заметить, что, во-первых, по методике математики по проблемам обучения алгебре и началам анализа в профильных классах старшей школы защищается весьма мало диссертаций (с 2000 г. по 2010 г.: Хвостенко Е. Е. (2000 г.), Болотюк В. А. (2002 г.), Жолудева В. В. (2002 г.), Коновалова Ю. А. (2003 г.), Карякин И. И. (2004 г.), Самсонов П. И. (2004 г.), Федорова Т. Т. (2006 г.), Максютин А. А (2007 г.), Полякова Т. А. (2009 г.), Горбачев В. И. (2000 г.), Брейтигам Э. К. (2004 г.)), а, во-вторых, все вышеперечисленные исследования по теории и методике обучения математике проводились в логике теоретической математики. В этом смысле в нашем исследовании впервые строится модель обучения алгебре и началам анализа для профилей естественнонаучного направления на основе логики прикладной математики.

В работе использовались следующие методы исследования: анализ исторической, психолого-педагогической, методической литературы, научной и учебной литературы по алгебре и началам анализа школьного и вузовского курсов, программ и учебников по математике разных лет изданиятеоретическое исследование проблемыанализ собственного опыта преподавания курсов алгебры и начал анализа, физики, астрономии и информатики в средней школе, а также математических курсов в высшей школе по различным программам и учебникам (с 1987 года по настоящее время), анализ уроков учителей и студентовбеседы с учащимися, студентами и учителями, их анкетирование, тестированиеэкспериментальная работа, обработка результатов педагогического эксперимента и их анализ.

Основные положения, выносимые на защиту.

1. Исторически развитие математики и математического образования происходит во взаимосвязи и взаимодействии их теоретической и прикладной составляющих. В теоретической математике используется формальная логика, а в прикладной — рациональная. В настоящее время использование только логики теоретической математики в школьном курсе сдерживает его развитие, а выделенная в стандарте профильного обучения математике его направленность на формирование умения моделировать как универсального учебного действия требует привлечения логики прикладной математики. Таким образом, для профильных классов естественнонаучного направления должна использоваться такая модель обучения, в которой реализуются во взаимосвязи теоретическая и прикладная составляющие математики, что делает целесообразным использование при построении модели обучения не только логики теоретической математики, но и логики прикладной математики.

2. Разработанная концепция модели обучения алгебре и началам анализа, состоящая в рассмотрении модели с позиций системного подхода с явным выделением в ее составе модели ученика, модели учителя, модели учебного предмета, модели методики реализацииотражении в модели в диалектическом единстве теоретической и прикладной составляющих математики как научной системы с постепенным усилением роли последнейпонимании обучения алгебре и началам анализа как содержательно и логически завершенной ступени непрерывного математического образования, направленного не только на завершение изучения учащимися ведущих содержательно-методических линий модели курса алгебры и начал анализа, но и на успешное продолжение математического образования в высшей школе в выбранной области деятельностиотборе содержания модели курса на базе стандарта профильного обучения алгебре и началам анализа с учетом исторического опыта изучения математики в отечественной школе и необходимости использования полученных знаний и опыта деятельности для освоения смежных учебных предметов на профильном уровне и подготовки к получению профессионального образования позволяют сконструировать модель, которая учитывает дуализм целей обучения математике на профильном уровне, реализует обучение на основе логики прикладной математики, направлена на реализацию общеобразовательной и предпрофессиональной подготовки в области математики и способствует повышению качества знаний по ведущим профильным предметам (по физике, химии, биологии и др.).

3. Модель обучения алгебре и началам анализа для профилей естественнонаучного направления на основе логики прикладной математики является открытой системой. Эта модель, содержащая в качестве структурных компонентов, модели ученика, учителя и двухядерную модель учебного курса алгебры и начал анализа, дает возможность строить различные варианты методики обучения алгебре и началам анализа в профилях ЕНН. Предложенная функциональная модель обучения отражает основной принцип функционирования модели обучения как системы — принцип отрицательной обратной связи.

4. Выделенные нами и используемые в модели обучения типы рациональных утверждений (утверждения, содержащие некорректно определенные понятияутверждения, допускающие применение понятий вне рамок их первоначального определениядопускающие изменение статуса понятия в зависимости от контекстаоснованные на интуицииоснованные на индукциираспространяющие результаты локального исследования на нелокальные случаиоснованные на аналогииуточняемые в процессе исследованиярабочие гипотезыфеноменологические законы и полуэмпирические закономерностиутверждения, основанные на эксперименте), включение в ее содержательный блок новых разделов (&bdquo-Элементы теории погрешностей", &bdquo-Элементы математического моделирования", &bdquo-Элементы численных методов") и разработанная методика изучения математического содержания позволяют эффективно использовать возможности рациональной логики для реализации прикладной направленности школьного курса математики и подготовки к продолжению математического образования в высшей школе. Это позволяет осуществлять эффективное обучение методу математического моделирования как одному из основных методов познания закономерностей окружающего мира в естественнонаучных областях знания.

Научная новизна результатов исследования заключается в следующем:

Впервые в методике обучения математике решена задача построения модели обучения (интегрирующей теоретическую и прикладную составляющие математики) алгебре и началам анализа для профильных классов естественнонаучного направления на основе логики прикладной математики. Для этого:

1. Определена специфика обучения алгебре и началам анализа учащихся профилей ЕНН, которая состоит в следующем: а) ориентация учеников на преимущественное усвоение математических знаний и способов действий, необходимых для успешного освоения алгебры и начал анализа и ведущих профильных предметов, для осуществления математического моделирования, что является основой для продолжения математического образования в высшей школеб) снижение уровня логической строгости изложения учебного материала.

2. Сформулирована концепция построения модели обучения алгебре и началам анализа в профилях естественнонаучного направления на основе логики прикладной математики, разработаны структурные, содержательные и технологические требования к ее компонентам.

3. Разработана модель обучения алгебре и началам анализа в профилях естественнонаучного направления на основе логики прикладной математики, являющаяся основой для построения других моделей обучения алгебре и началам анализа в различных профилях и для построения моделей обучения другим предметам.

4. В качестве подсистемы в модели обучения алгебре и началам анализа в профилях естественнонаучного направления на основе логики прикладной математики разработана двухядерная модель курса алгебры и начал анализа, реализующая пропедевтику содержания математических курсов высшей школы.

5. Выделен метод математического моделирования в качестве основного структурного элемента в модели обучения алгебре и началам анализа в профилях естественнонаучного направления на основе логики прикладной математики, что позволит обеспечить формирование учебно-познавательной компетенции учеников.

6. Уточнены технологические схемы введения понятий и проведения обоснований в логике прикладной математики.

7. Определены типы рациональных утверждений, используемые при построении реальных математических моделей, а также из них выделены те типы, которые используются в курсе алгебры и начал анализа в профилях естественнонаучного направления.

Теоретическая значимость исследования заключается в следующем:

— обоснована целесообразность построения модели обучения алгебре и началам анализа для профилей естественнонаучного направления, отличной от существующей модели обучения математике на профильном уровне, на основе логики прикладной математики, в рамках которой обучение алгебре и началам анализа рассматривается как ступень непрерывного математического образования. В этой модели в качестве ведущей деятельности учителя выделяется деятельность по обучению математическому моделированию.

— разработана концепция построения модели обучения алгебре и началам анализа для профилей естественнонаучного направления, реализующей в единстве теоретический и прикладной аспекты математики как науки, что также позволяет целостно подойти к построению моделей обучения различным учебным предметам на профильном уровне;

— уточнен и дополнен понятийный аппарат теории и методики обучения математике: предложены определения понятий &bdquo-модель обучения алгебре и началам анализа", &bdquo-модель обучения алгебре и началам анализа в профилях естественнонаучного направления", &bdquo-модель курса алгебры и начал анализа" в рамках системного подходапоказана возможность классификации моделей обучения в общем случае;

— обосновано использование различных типов рациональных утверждений как основы построения технологических схем обучения компонентам математического содержания и математического моделирования;

— обоснована целесообразность включения в профильный курс алгебры и начал анализа для профилей естественнонаучного направления новых математических разделов.

Практическая значимость исследования состоит в разработке учебных материалов для изучения профильного курса алгебры и начал анализа и методики их использования для классов ЕНН, а также в разработке методики изучения новых разделов курсакурса по выбору для студентов математических факультетов педагогических вузов, направленного на подготовку будущих учителей к обучению математике на основе логики прикладной математики и материалов для организации и проведения курсов повышения квалификации учителей.

Достоверность разработанных положений и полученных результатов исследования обеспечивается корректностью исходных методологических позицийадекватным анализом проблемы, основанном на базовых положениях современной дидактикидостаточной базой экспериментаиспользованием статистических методов обработки экспериментальных данныхрепрезентативностью выборкиустойчивой повторяемостью результатов при проведении экспериментальных исследований.

Апробация результатов исследования. Результаты исследования докладывались на международных конференциях &bdquo-Герценовские чтения" (Санкт-Петербург, 1994 — 1999, 2003;2010), на межвузовской конференции, посвященной 105-летию со дня рождения В. М. Брадиса (Тверь, 1995), на научной межрегиональной конференции &bdquo-Проблемы гуманизации математического образования в школе и вузе" (Саранск, 1995), на Всероссийских семинарах преподавателей математики университетов и педагогических вузов (Орск, 1995; Санкт-Петербург, 1996; Саратов, 2005; Киров, 2006), на 2-й международной научно-методической конференции &bdquo-Проектирование инновационных процессов в социокультурной и образовательной сферах" (Сочи, 1999), на международном семинара под эгидой ЮНЕСКО в рамках работы ВБТЕІЧ &bdquo-Культурное наследие, туризм и устойчивое развитие стран Черноморского бассейна" (Сочи, 2004), на Всероссийской научно-практической конференции &bdquo-Наука и высшая школа — профильному обучению" (Санкт-Петербург, 2006), а также на заседаниях методологического семинара кафедры методики обучения математике РГПУ им. А. И. Герцена (Санкт-Петербург, 2004;2010), кафедры общей математики СГУТиКД (Сочи, 2004;2010), на заседаниях методического объединения учителей математики ряда школ г. Сочи (2003;2010).

Результаты исследования внедрены в практику работы ряда школ города Сочи и Санкт-Петербурга, используются в системе повышения квалификации учителей г. Сочи, а также при организации и проведении лекционных, практических, лабораторных занятий и в процессе педагогической практики студентов факультета информационных технологий и математики СГУТиКД.

Педагогический эксперимент по установлению эффективности построенной модели обучения на основе логики прикладной математики можно по времени разделить на два продолжительных этапа: I этап — с 1987 г. по 1997 г.- II этап — с 2004 г. по 2009 г. На первом этапе проверялась возможность включения в процесс обучения математике элементов рациональной логики в классах инженерно-физической направленности. На втором этаne опытно — экспериментальная работа проводилась уже с построенной моделью обучения алгебре и началам анализа в классах естественнонаучного направления на основе логики прикладной математики.

Анкетирование, личные беседы с учителями математики и учениками, а также с преподавателями технических (МВТУ им. Н.Э. Баумана) и педагогических вузов Санкт-Петербурга (РГПУ им. А.И. Герцена), Москвы (МПГУ им. В.И. Ленина), Краснодара (КубГУ) и Сочи (школы № 1, 2, 4, б, 7, 8, 10, 12, 13, 14 и др.) обнаружили заинтересованность перечисленных выше категорий участников учебного процесса в решении проблемы &bdquo-усиления прикладной направленности обучения математике" (а фактически, как стало ясно позже, решения проблемы обучения моделированию).

На II этапе (с 2004 г. по 2008 г.) фактически проводился поисковый и формирующий фазы педагогического эксперимента. На первом этапе была установлена и экспериментально доказана принципиальная возможность введения в процесс обучения элементов рациональной логики [158] для усиления прикладной направленности обучения математике. На втором этапе с использованием положительных итогов эксперимента первого этапа экспериментальной проверке подвергалась эффективность разработанной модели обучения алгебре и началам анализа в классах естественнонаучного направления на основе логики прикладной математики, уточнялась разработанная концепция, проводилась оценка экспериментальной работы и внедрялись результаты исследования.

Обучение учащихся по экспериментальным материалам в течение двух лет (2005;2006 г. г.) проводилось в С.-Петербурге: учителями Е. П. Ватаф (школа № 149), Орловым В. В. (школа № 179), Козловой Т. И (школа № 179) — в Ленинградской области: учителями Н. П. Григорьевой (школа № 1 г., Гатчина), Ж. Ю. Самохваловой (школа № 2, г. Гатчина) — в г. Сочи: Т.И. Збука-ревой (школа № 12), Обуховой Е. А. (школа № 12), Магдесян А. И. (школа № 8), Котляровым М. А. (школа № 6). Апробация отдельных разделов курса осуществлялась в школах г. Сочи учителями Юдиным М. В. (школа № 13,.

2006 г.), Казаровой Л. А (школа № 12, 2005 г.), Куминовой Н. В. (школа № 12, 2004 г.). В течение 2005;2006 г. г. на базе школы № 12 г. Сочи работал методический семинар для учителей, работавших по экспериментальным материалам. В эксперименте участвовало 324 ученика. Кроме этого, отдельные разделы курса в ознакомительном порядке апробировались учителями различных школ г. Сочи. В этой работе участвовало 104 ученика. Для сопоставления результатов изучения алгебры и начал анализа учащимися классов, в которых проводилась экспериментальная работа, с результатами, достигаемыми при традиционном обучении, нами были выбраны контрольные классы, в которых ученики имели на начало экспериментальной работы (2005;2006 учебный год) близкие показатели развития (по Вексле-ру) и примерно тот же состав педагогов, ведущих основные предметы, что и в экспериментальных классах. Поэтому с достаточной долей уверенности можно утверждать, что появившиеся различия в развитии произошли за счет реализуемой нами модели обучения. На завершающей стадии эксперимента участвовало 9 классов, в которых обучались 220 учеников. В контрольных классах — 121 ученик, в экспериментальных — 99 человек. За все время проведения исследования в эксперименте участвовало более 500 учеников. Процесс освоения учениками содержания курса мы отслеживали по результатам выполнения ими специально составленных контрольных, самостоятельных и тестовых заданий.

В ходе эксперимента показано, что учащиеся экспериментальных классов показали более высокий уровень освоения содержания профильных предметов (физика, химия) и более высокий уровень сформированности мотивации выбора профессии по сравнению с учениками контрольных классов.

Выводы к Главе 4.

1. Современное многопрофильное обучение в старшей школе предполагает построение Д-модели, реализующей во взаимосвязи теоретическую и прикладную составляющие математики, что делает целесообразным использование при построении модели курса не только логики теоретической математики, но и логики прикладной математики.

2. Разработанные нами требования к построению модели обучения и модели курса алгебры и начал анализа объединены в четыре группы: 1) требования, обеспечивающие реализацию обучения рациональным рассуждениям- 2) требования, обеспечивающие организацию учебного материала курса алгебры и начал анализа- 3) требования, обеспечивающие изучение метода математического моделирования, 4) требования, обеспечивающие личностное развитие ученика при обучении алгебре и началам анализа.

3. В условиях реализации Л-модели на основании вышеизложенных требований рассмотрены методические схемы изучения математического содержания курса алгебры и начал анализа на основе логики прикладной математики как общеобразовательного (&bdquo-Тригонометрические функции", &bdquo-Производная и ее применения", &bdquo-Интеграл"), так и общепрофильного материала (&bdquo-Элементы теории погрешностей", &bdquo-Элементы математического моделирования").

4. Результаты многолетнего педагогического эксперимента (1994;2010), его достаточная базы и репрезентативность выборкииспользование статистических методов обработки экспериментальных данныхустойчивая повторяемость результатов при проведении экспериментальных исследований позволяют сделать окончательный вывод об обусловленности и эффективности разработанной модели обучения. При обучении в рамках Л-модели обнаруживается положительная динамика в интеллектуальном и личностном развитии ученика, т. е. 1) имеет место результативное освоение учебного материала- 2) формируется устойчивая мотивации выбора профессии, а также предпрофессиональные умения и навыки за счет вовлечения ученика в систематическую деятельность по применению метода математического моделирования и использованию информационных технологий- 3) имеется положительная динамика в умственном развитии ученика, следствием чего развитие личностных функций ученика: самостоятельности, рефлексивности, способности к самоорганизации, самообразованию, общению. Указанные выше позиции в изменении личности ученика и его интеллектуальном развитии полностью подтверждают гипотезу исследования.

Заключение

.

Основная цель образования, провозглашаемая на современном этапе развития системы образования в стране, — это обеспечение условий индивидуального развития личности, а ведущая проблема — соотношение обучения и развития. Целью естественнонаучного образования становится формирование у обучаемых целостного представления о месте, роли и ответственности человека за целостный космогенез. Множественность картин мира, принцип дополнительности становятся в этом случае динамическими критериями построения образования, т. е. возникает идея интеграции естественнонаучной и личностной картины мира. Эта интеграция — идеологическая основа обучения в предлагаемой модели обучения алгебре и началам анализа в профилях естественнонаучного направления.

Наше исследование проводилось в условиях, характеризуемых в философии образования следующими чертами, определяющими современное состояние социума и системы образования.

1. Формирование новой научной картины мира, в которой человек воспринимается как элемент экосистемы с его самобытностью и самоценностью предполагает создание образовательной среды, стимулирующей активность личности и обеспечивающую ей свободу выбора индивидуальной образовательной траектории.

2. Изменение типа социокультурного наследования, центром которого стала подготовка к овладению ранее не существовавшими методами познания и практики, тогда как раньше имели место передача прошлых образцов деятельности и преподавание завершенной системы знаний.

3. Развитие глобальных информационных сетей и информационных технологий требует формирования у учащихся умений самостоятельно получать, оценивать, перерабатывать и применять информацию в учебной и внеучебной деятельности, что расширяет возможности самообразования (саморазвития), снижает роль школы как доминирующего источника учебных знаний и смещает акцент в деятельности учителя с передачи знаний на организацию и управление познавательной деятельностью ученика в ее многообразных проявлениях, выделяет обучение способам работы с информацией в качестве самостоятельной учебной задачи.

4. Концепция личностно ориентированного обучения, в которой ученик со своим опытом изначально является субъектом познания, а образование понимается как единство обучения, воспитания и учения — взаимосвязанных процессов, обеспечивающих взаимодействие индивидуального и общественно-исторического опыта, определяет отношение к процессу овладения знаниями средством развития личности, а не целью образования, при этом развитие понимается как самодвижение субъекта на основе его самостоятельной предметной деятельности, требующее внимания к саморазвитию и учению субъекта. Основным результатом обучения и учения является формирование качеств личности и познавательных способностей и на основе овладения соответствующими знаниями и умениями.

Проведенный в исследовании многоаспектный анализ вопросов, связанных с обучением алгебре и началам анализа в профилях естественнонаучного направления, и результаты нашего исследования позволили нам выделить теоретико-методологические предпосылки и содержательные основы построения модели обучения алгебре и началам анализа в профилях естественнонаучного направления на основе логики прикладной математики (Л-модели).

1. Существуют исторические предпосылки введения в обучение алгебре и началам анализа в профилях ЕНН элементов логики прикладной математики и ее содержания, т.к. именно применение рациональной логики обеспечивает прогресс как в самой математике, так и в областях знания, где имеют место приложения математики для исследования явлений и процессов (естествознание, экономика, гуманитарная сфера), что неразрывно связано с прогрессом общества, в целом.

2. Анализ истории развития профильного обучения в стране дает возможность утверждать, что современное профильное обучение во многом наследует идеологию профильного обучения прошлых периодов развития системы профильного обучения в стране. Имеющийся опыт организации профильного обучения позволяет сформулировать концепцию профильного обучения и разработать систему мер для его внедрения в повсеместную практику в новых условиях. Вместе с тем, качественные изменения в сфере информационных технологий ведут к пересмотру обучения школьным предметам, усиливая информационное обеспечение обучения и качественно изменяя методику обучения предмету.

3. Обучение математике в профилях естественнонаучного направления в современных условиях должно учитывать факт наличия двух аспектов науки математики — ее теоретическую и прикладную составляющие. Современные достижения в области науки и техники были бы не возможны, если бы использовалась только логика теоретической математики, поэтому введение в обучение элементов логики прикладной математики и нового содержания обучения (новых разделов) в настоящее время является актуальной методической задачей.

4. В современных условиях при разработке модели обучения алгебре и началам анализа необходим учет закономерностей психологического развития личности в онтогенезе, в частности, таких психических новообразований юношеского возраста как чувство взрослости в форме проявления самосознания, способствующее его саморазвитию, развитию рефлексии, а также смещение акцентов в мотивации деятельности на саморазвитие и самореализацию. В этом случае появляется возможность построения эффективной с точки зрения достижения поставленных целей обучения.

В нашем исследовании разработаны теоретические положения, позволяющие построить^{-модель} и раскрывающие психологическую, содержательную, организационно-образовательную и технологическую составляющие при проектировании /¿—модели.

1. /¿—модель проектируется как содержательно и логически завершенная ступень непрерывного математического образования, имеющая свои развивающие цели, цели изучения, методические цели. В когнитивной области развивающими целями является развитие теоретического мышления на этапе формирования системы понятий и прикладного мышления на этапе применения элементов прикладной математики для построения математических моделей.

2. Проектирование .Я-модели как ступени непрерывного математического образования и дуализм целей (завершение общеобразовательной математической подготовки и формирование готовности к продолжению математического образования в естественнонаучных областях знания) определяют структуру модели курса алгебры и начал анализа в Я-модели, содержащей два ядра, обеспечивающих базовую (общеобразовательный блок) и профильную подготовку (общепрофильный математический материал, включающий содержание, характерное для прикладной математики).

3. Содержание модели курса проектируется с привлечением базовых содержательных компонентов традиционной модели курса алгебры и начал анализа в соответствии со стандартом профильного обучения как альтернативное к существующим вариациям содержания традиционной модели курса по широте применяемой в нем рациональной логики, что не противоречит обеспечению преемственности в интеллектуальном развитии ученика, вовлечению его в процесс изучения предмета как субъекта образовательного процесса, выявлению и преобразованию его субъектного опыта.

Принцип открытости Я-модели допускает ее вариативность за счет, изменения последовательности изучения ряда вопросов курса, индивидуальной исследовательской деятельности ученика, специализации образовательного учреждения.

4. Изучение учебного материала строится преимущественно с применением рациональной логики. Уровень строгости полученных решений и обоснований связывается с логической и психологической эвиденцией, характерной для конкретного ученика. Усиление дедуктивного характера организации учебного материала и уровня математической абстракции применяемых математических объектов, его изложение и интерпретация результатов происходят по мере возникновения в этом психологической потребности субъектов учебного процесса на основе более высокого уровня развития теоретического мышления ученика, являющегося следствием онтогенетического развития его субъектного (ментального) опыта.

5. Я-модель предусматривает широкое привлечение средств информационных технологий, в частности, различных систем компьютерной математики (например, МаШСас! и др.), как в работе по первичному формированию у ученика понятийного аппарата содержания модели курса, так в целях получения решения конкретных задач и поиску различных методов обоснования утверждений. Применение компьютерных технологий в Я-модели ведет к усилению прикладной направленности обучения алгебре и началам анализа и способствует развитию общеучебных умений средствами и на материале алгебры и начал анализавключению в содержание обучения вопросов, используемых для изучения других предметов и продолжения образованияиллюстрации изученных закономерностей на материале этих дисциплиниспользованию полученных в ходе обучения умений, знаний и навыков при изучении других предметов, в частности, геометрии, физики, химии, биологии, географии, экономики).

6. Процесс обучения организуется на позициях личностно ориентированного подхода, что предполагает выявление и преобразование субъектного опыта ученика как в области математики, так и других профильных дисциплин (физики, химии, биологии, географии) — множественность трактовок понятий, возможность выбора учеником уровня освоения понятий (прикладной или теоретический), способов обоснования (в логике теоретической или прикладной математики). Наличествует возможность и построение локально-индивидуальной образовательной траектории через курсы по выбору. В курсе предусматриваются различные виды самостоятельной деятельности учащихся (исследовательская, прикладная, историческая), возможность выбора приоритетных видов индивидуальной работы и различных источников знаний (самостоятельная деятельность, учебники, справочники, электронные обучающие программы), что требует изменение характера оценки деятельности ученика.

Внедрение в практику разработанной нами^{-модели} позволяет ученику реализовать свои познавательные потребности и осуществить авторские действия при изучении алгебры и начал анализа, преобразовать субъектный опыт. Результаты экспериментальной работы и внедрения в школьную практику созданных нами методических материалов подтверждают справедливость сформулированной гипотезы исследования.

Таким образом, поставленные в исследовании задачи решены, а гипотеза исследования получила достаточное подтверждение.

Выполненное нами исследование поставило ряд новых теоретических и практических проблем, требующих решения. К теоретическим проблемам можно отнести разработку концепции самостоятельной модели курса прикладной математики для средней школы, в которой найдет отражение содержание вопросов дискретной математики, математического моделирования с применением информационных технологий. В связи с усилением прикладного в широком смысле значения школьной математики требуют более детального теоретического изучения вопросы интеграции прикладной математики, информатики и физики (химии) на единой логической основе — рациональной логике. В практическом плане представляют интерес методические разработки учебных материалов, отражающих применение рациональной логики не только в курсе алгебры и начал анализа, но и при обучении другим предметам, а также вопросы создания интерактивного прикладного программного обеспечения, позволяющего обучать ученика построению и исследованию математических моделей.

Эти проблемы могут стать предметом новых исследований по теории и методике обучения математике в контексте рассматриваемой проблемы.