Представление фреймов Парсеваля в гильбертовых пространствах

Актуальность темы

В последние десятилетия наряду с классическим гармоническим анализом активно развивается негармонический, в котором большое внимание уделяется изучению фреймов — линейно-зависимых полных систем векторов.

Понятие фрейма было введено в 1952 г. в работе R.J. Duffin и A.C. Schaeffer [51], посвященной негармоническим рядам Фурье. Однако, до начала 90-х годов фреймы были малоизвестны, число публикаций по этой теме исчислялось единицами. Из ранних работ, посвящённых фреймам, можно отметить книги и статьи R. Young, I. Daubechies, А. Grossmann, Y. Meyer, С. Heil, D. Walnut. С появлением и развитием теории вейвлетов ситуация изменилась, и теория фреймов стала бурно развиваться [1,3,7,31,56]. Большое число исследовательских групп активно работают в этом направлении, среди которых можно отметить такие наиболее крупные, как Frame Research Center в университете Миссури и NUHaG в университете Вены. Ежегодно публикуются сотни работ, посвящённых фреймам.

Фреймы нашли широкое применение в цифровой обработке сигналов и изображений, в кодировании и сжатии информации, в разработке фильтров для удаления разного рода шумов, в квантовой механике [7,13,66]. Такой интерес к фреймам связан с отсутствием требования линейной независимости. С одной стороны, это позволяет строить фреймы сколь угодно большого объема и сколь угодно большой избыточности. Эти свойства фреймов имеют определенную ценность для многих прикладных задач, так как избыточность фрейма позволяет восстановить исходный сигнал, даже если при передаче некоторые из его коэффициентов разложения были потеряны, искажены или зашумлены. С другой стороны, любой элемент гильбертова пространства можно разложить по фрейму, причём, в общем случае, разложение не является единственным, а, следовательно, существует возможность выбирать коэффициенты разложения, налагая на них дополнительные ограничения. Это свойство, в частности, используется в сравнительно новой парадигме цифровой обработки сигналов под названием Compressed Sensing [52]. Нетривиальность ядра оператора синтеза фрейма даёт возможность устранять шумы полностью, если они целиком попадают в это ядро.

Особое место занимают фреймы в помехоустойчивом кодировании [57]. При этом известно, что оптимальными фреймами в задачах помехоустойчивого кодирования являются жёсткие фреймы, в частности, равномерные фреймы Парсеваля, поскольку они обеспечивают максимально возможное подавление шума при заданной избыточности [50]. Кроме того, использование жёстких фреймов предпочтительно с точки зрения вычислительной сложности — операция обращения фреймового оператора для таких систем является тривиальной.

Несмотря на то, что построение произвольных фреймов Парсеваля не является сложным, задача построения равномерных фреймов Парсеваля является отнюдь не тривиальной [36,47,48]. Поиск новых методов решения этой задачи является актуальным на текущий момент, и будет затронут в диссертационной работе.

Важной областью исследований является изучение свойств подсистем фреймов [37]. С прикладной точки зрения эта задача интересна, поскольку она позволяет анализировать устойчивость фрейма к потерям фреймовых коэффициентов при передаче. В теоретическом плане эта задача также важна. Одна из переформулировок проблемы Кадиссона-Зингера, так называемая гипотеза Фейхтингера и её конечномерные варианты [41,43], связаны со свойствами разбиений произвольных фреймов и фреймов Парсеваля.

Цель работы. Исследование возможности получения новых фреймов из произвольного фрейма при помощи изменения норм векторовпоиск условий, при которых из фрейма Парсеваля можно получить новые фреймы Парсеваляанализ структурных свойств фреймов Парсеваля под действием изменений норм их векторовпоиск новых конструктивных методов построения жёстких фреймов с заданными характеристикам, в частности, равномерных фреймов Парсеваляопределение и описание класса простых фреймов Парсеваляанализ основных свойств классов простых и составных фреймов Парсеваля, а также инвариантных преобразований этих классовполучение конкретных конструкций простых фреймов Парсеваля в конечномерных и бесконечномерных пространствахпоиск необходимых, достаточных условий, а также критериев простоты фреймов Парсеваля;

Методика исследований. Использовались методы теории функций и функционального анализа, элементы линейной алгебры и теории операторов.

Научная новизна. Основные результаты работы являются новыми. Среди них можно выделить следующие, наиболее важные:

1. Введены и описаны классы простых и составных фреймов Парсеваля в гильбертовых пространствах.

2. Получен новый метод построения фреймов Парсеваля с заданными характеристиками, который значительно проще существующих подходов. При этом для конечных фреймов метод является универсальным, с его помощью возможно получить любой фрейм Парсеваля.

3. Найдены конкретные конструкции простых фреймов Парсеваля на основе равноугольных и блочных фреймов.

4. Доказана ограниченность числа векторов простых конечных фреймов Парсеваля в •.

5. Получены достаточные условия простоты конечных фреймов Парсеваля в конечномерных пространствах.

6. Доказан ряд критериев простоты фреймов Парсеваля в различных терминах.

7. Описаны топологические и проекционные свойства множества простых фреймов в ?2 •.

Практическая и теоретическая значимость. Работа носит теоретический характер. Полученные в диссертационной работе результаты могут быть использованы для дальнейшего изучения жёстких фреймов в конечномерных и бесконечномерных пространствах. Результаты, полученные в диссертации, могут быть использованы для построения жёстких фреймов с заданными свойствами, а также найти применение в цифровой обработке сигналов.

Апробация работы. Основные результаты по теме диссертационного исследования докладывались на семинарах Самарского государственного университетана семинаре кафедры высшей математики Санкт-Перебургского государственного университетана второй международной конференции «Математическая физика и её приложения» в г. Самара, 2010 г.- на международной конференции «Современные методы теории функций и смежные проблемы» в г. Воронеж, 2011 г.- на десятой международной Казанской летней научной школе-конференции, 2011 г.- на конференции «Дифференциальные уравнения и их приложения» в г. Самара, 2011 г.- на международной научной студенческой конференции в г. Новосибирск, 2011, 2012 гг.- на международной Саратовской зимней математической школе «Современные проблемы теории функций и их приложения», 2012 г.- на международной конференции «Wavelets and Application^' в г. Санкт-Петербург, 2012 г.

Публикации. Основные результаты исследований опубликованы в работах автора [14−26,62−64]. Из совместной работы [62] в диссертацию вошли только результаты, полученные лично автором. Статьи [15,21,26,62] опубликованы в журналах из перечня рецензируемых научных журналов и изданий, рекомендованных ВАК Министерства образования и науки РФ.

Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, трёх глав и списка литературы. Объем диссертации 107 страниц. Библиографический список содержит 71 наименование.

1. Блаттер К. Вейвлет-анализ. Основы теории / К. Блаттер. — М.: Техносфера, 2004. — 280 с.

2. Глазман И. М. Конечномерный линейный анализ / И. М. Глазман, Ю. И. Любич. М.: Наука, 1969.

3. Добеши И. Десять лекций по вейвлетам / И. Добеши. — М.-Ижевск: РХД, 2004. 464 с.

4. Кашин B.C. Замечание об описании фреймов общего вида / Б. С. Кашин, Т. Ю. Куликова // Матем. заметки. 2002. — Т. 72, вып. 6. — С. 941−945.

5. Колмогоров А. Н. Элементы теории функций и функционального анализа / А. Н. Колмогоров, C.B. Фомин. — М.: Наука, 1976. — 544 с.

6. Лапшина М. А. Выравнивание норм в строках ортогональной матрицы и равномерные фреймы / М. А. Лапшина // Вестник Самарского государственного университета. Сер. Естественнонаучная. — 2009. — № 2(68). — С. 51−59.

7. Малла С. Вейвлеты в обработке сигналов / С. Малла. — М.: Мир, 2005. — 671 с.

8. Малоземов В. Н. Равноугольные жесткие фреймы / В.Н. Малозе-мов, А. Б. Певный // Проблемы математического анализа. — 2009. — Вып. 39. С. 3−25.

9. Избранные главы дискретного гармонического анализа и геометрического моделирования / под. ред В. Н. Малоземова. — Санкт-Петербург, 2009. 584 с.

10. Новиков С. Я. Бесселевы последовательности как проекции ортогональных систем / С. Я. Новиков // Математические заметки. — 2007. — Т. 81, вып. 6. С. 893−903.

11. Прэтт У. Цифровая обработка изображений / У. Прэтт — пер. с англ. Д. С. Лебедев. М. Мир, 1982.

12. Рябцов. И.С. О представлении фреймов Парсеваля / И. С. Рябцов // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. — 2(23). — 2011. — С. 194−199.

13. Рябцов. И.С. О представлении фреймов Парсеваля / И. С. Рябцов // Материалы Воронежской зимней математической школы «Современные методы теории функций и смежные проблемы». Издательство Воронежского государственного университета. — 2011. — С. 292−293.

14. Рябцов. И.С. О представлении фреймов Парсеваля в гильбертовых пространствах / И. С. Рябцов // Вестник Самарского государственного университета. Сер. Естественнонаучная. — 2011. — 5(86). — С. 60—70.

15. Рябцов. И. С. Критерий простоты фрейма Парсеваля / И. С. Рябцов // Материалы 16-ой Саратовской зимней школы «Современные проблемы теории функций и их приложения». — Саратов: ООО Издательство «Научная книга». — 2012. — С. 147−148.

16. Рябцов. И. С. Критерий простоты фрейма Парсеваля / И. С. Рябцов // Материалы Юбилейной 50-ой международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс». Сер. Математика, Новосибирский гос. ун-т., Новосибирск. — 2012. — С. 99.

17. Рябцов. И. С. Необходимые и достаточные условия простоты фреймов Парсеваля / И. С. Рябцов // Вестник Самарского государственного университета. Сер. Естественнонаучная. — 2012. — 4(95). — С. 42—48.

18. Садовничий В. А. Теория операторов: учеб. для вузов с углубленным изучением математики / В. А. Садовничий. — М: Дрофа, 2004. — 384 с.

19. Терехин П. А. Системы представления и проекции базисов / П.А. Тере-хин // Математические заметки. — 2004. — Т. 75, вып. 6. — С. 944−947.

20. Фейзер М.

Введение

в вэйвлеты в свете линейной алгебры / М. Фейзер. — М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2008. — 487 с.

21. Хорн Р. Матричный анализ / Р. Хорн, Ч. Джонсон. — М.: Мир, 1989. — 655 с.

22. Чуй К.

Введение

в вейвлеты / К. Чуй. — М.: Мир, 2001.

23. Balan Excess of Parseval Frames / R. Balan, P.G. Casazza, C. Heil, Z. Landau // SPIE Wavelets Applications in Signal and Image Processing XI. 2005. — Vol. 5914.

24. Benedetto J.J. Finite normalized tight frames / J.J. Benedetto, M.C. Fickus // Advances in Computational Mathematics, Frames. — 2003. — Vol. 18. P. 357−385.

25. Benedetto J.J. Geometric properties of Grassmannian frames forR2 and R3 / J.J. Benedetto, J. Kolesar // EURASIP J. Applied Signal Processing 2006.

26. Bodmann B.G. When are frames close to equal-norm Parseval frames? / B.G. Bodmann, P.G. Casazza // Wavelets XIII, Proceedings of the SPIE. — 2009. Vol. 7446.

27. Bodmann B.G. The road to equal-norm Parseval frames / B.G. Bodmann, P.G. Casazza // Journal of Functional Analysis. — 2010. — Vol. 258. — P. 397−420.

28. Bodmann B.G. Spanning and independence properties of frame partitions / B.G. Bodmann, P.G. Casazza, V.I. Paulsen, D. Speegle // Proceedings of AMS 140. No. 7. — 2012. — P. 2193−2207.

29. Casazza P.G. The art of frame theory / P.G. Casazza // Taiwanese Journal on Mathematics. 2000. -Vol. 4, № 2. — P. 129−202.

30. Casazza P.G. A brief introduction to Hilbert space frame theory and its applications / P. G. Casazza, J. C. Tremain // Department of Mathematics, University of Missouri, Columbia, MO 65 211−4100, URL: http://framerc.org.

31. Casazza P.G. The Kadison-Singer Problem / P. G. Casazza, J. C. Tremain // in Mathematics and Engineering, Proceedings of the National Academy of Sciences, Vol. 103 No. 7 (2006) 2032;2039.

32. Casazza P.G. Equivalents of the Kadison-Singer Problem / P.G. Casazza, D. Edidin // Contemp. Math. 435 (2007). P. 123−142.

33. Casazza P.G. Real Equiangular Frames / P. G. Casazza, D. Redmond, J. C. Tremain // CISS Meeting Information Sciences and Systems, Princeton, NJ, 2008.

34. Casazza P.G. Frames and the Kadison-Singer Problem / P. G. Casazza, G. Kutyniok, D. Larson and D. Speegle // Preprint. URL: http://framerc.org.

35. Casazza P.G. Frames with a given frame operator / P.G. Casazza, M. Leon. — www.math.missouri.edu/~pete/.

36. Casazza P.G. Existence and construction of finite tight frames /P.G. Casazza, M. Leon // J. Concr. Appl. Math. 2006. — Vol. 4. — P. 277−289.

37. Casazza P.G. Classes of Finite Equal Norm Parseval Frames /P.G. Casazza, N. Leonhard // Contemp. Math. 2008. — Vol. 451. — P. 11−31.

38. Casazza P.G. Custom Building Finite Frames / P.G. Casazza // Contemporary Math. 2004. — Vol. 345. — P. 61−86.

39. Casazza P.G. The known equal norm Parseval frames as of 2005 / P.G. Casazza, N. Leonhard // Technical Report, University of Missouri. — 2005.

40. Casazza P.G. Constructing infinite tight frames / P.G. Casazza et al.]. — www.math.missouri.edu/~pete/.

41. Christensen O. An Introduction to Frames and Riesz Bases / O. Christensen. — Boston: Birkhauser, 2003.

42. Dufiin R.J. A class of nonharmonic Fourier series / R.J. Duffin, A.C. Schaeffer // Trans. Amer. Math. Soc. 1952. — Vol. 72. — P. 341 366.

43. Elad M. Sparse and Redundant Representations: From Theory to Applications in Signal and Image Processing / M. Elad. — Springer, 2010.

44. Fickus M. Steiner equiangular tight frames / M. Fickus, D.G. Mixon, J.C. Tremain // arXiv:1009.5730vl math. FA] 29 Sep 2010.

45. Haantjes J. Equilateral point-sets in elliptic twoand three-dimensional / J. Haantjes // spaces, Nieuw Arch. Wisk. 22. 1948. — P. 355−362.

46. Han D. Frames, bases and group representations / D. Han and D. R. Larson .— Birkhauser, Boston, 2000.

47. Heil C.E. Continuous and discrete wavelet transforms / C.E. Heil, D.F. Walnut // SIAM Rev., 31, 628−666, 1989.

48. Holmes R.B. Optimal frames for erasures / R.B. Holmes, V.l. Paulsen // Linear Algebra and its Applications. — 2004. — Vol. 377. — P. 31−51.

49. Kovacevic J. An Introduction to frames / J. Kovacevic, A. Chebira // Foundations and trends in signal processing. — 2008. — Vol. 2, № 1. —P. 1−94.

50. Kutyniok G. Scalable Frames / G. Kutyniok, K.A. Okoudjou, F. Philipp, E.K.Tuley // Preprint arXiv:1204.1880v3, 2012.

51. Lemvig J. Prime tight frames / J. Lemvig, C. Miller, K.A. Okoudjou // Preprint arXiv:1202.6350v3, 2012.

52. Lemmens P.W.H. Equiangular lines / P.W.H. Lemmens, J.J. Seidel // J. Algebra, 24:494−512, 1973.

53. Ryabtsov I.S. An equivalence to Parseval frames / I.S. Ryabtsov // The Second International Conference «Mathematical Physics and its Applications». Samara. — «Kniga» publisher. — 2010. P. 365.

54. Ryabtsov I.S. Prime Frame Criterion / I.S. Ryabtsov // The international conference «Wavelets and Applications, July 8−15, 2012, St. Petersburg, Russia.» Abstracts. 2012. — P. 85−87.

55. Sustik M. On the existence of equiangular tight frames / M. Sustik, J.A. Tropp, I. Dhillon, and R.W. Heath Jr. // Linear Algebra Appl., 426(2−3):619−635, 2007.

56. Strohmer T. Grassmannian frames with applications to coding and communication / T. Strohmer, R.W. Heath Jr. // Appl. Comput. Harmon. Anal. 2003. — № 14. — R 257−275.

57. Tremain J.C. Concrete Constructions of Real Equiangular Line Sets / J.C. Tremain // Preprint, 2008. URL: http://framerc.org.

58. Tremain J.C. Concrete Constructions of Real Equiangular Line Sets II / J.C. Tremain // Preprint, 2009. URL: http://framerc.org.

59. Welch. L.R. Lower bounds on the maximum cross-correlation of signals / L.R. Welch // IEEE Trans. Info. Theory, 20:397−399, 1974.