Главные значения некоторых многомерных сингулярных интегралов

Одним из мощных конструктивных методов в теории голоморфных функций является метод интегральных представлений. Интегральное представление выражает значения любой функции, голоморфной в области, через ее значения на границе или на части границы области. Интегральная формула, предложенная Коши в 1831 г., играет основополагающую роль в теории голоморфных функций одного комплексного переменного. Интегральная формула Коши (см., например, [6, 18, 25]) справедлива для функций, голоморфных внутри области и непрерывных в замыкании области.

Если требовать лишь непрерывность функции на границе области, то говорят об интеграле типа Коши (см., например, [18]). Для точек, лежащих на границе, интеграл Коши становится особым (сингулярным) и расходящимся в обычном смысле. Дальнейшее рассмотрение граничных значений такого интеграла привело к понятию главного значения по Коши (у.р.) особого интеграла и к нахождению формул, предложенных в работах Сохоцкого [21] и Племеля [36], которые нашли применения в механике.

Интегралы типа Коши лежат в основе построения теории краевых задач голоморфных функций комплексного переменного, которая имеет многочисленные приложения в задачах математической физики (см., например, [15]). Особую роль в теории краевых задач играет формула перестановки повторного сингулярного интеграла, предложенная Пуанкаре в [37] и Бертраном в [28] для интеграла Коши, с ее помощью можно получить формулу композиции (формулу обращения) для особого интеграла Коши (см., например, [7]).

Теория функций многих комплексных переменных, которая явилась естественным развитием теории функций одного комплексного переменного, представляет значительный интерес благодаря эффективным применениям методов этой теории в различных областях естествознания.

В п-мерном комплексном пространстве Сп простейшим примером интегрального представления является кратная формула Коши (см., например, [26]), справедливая для поликруговых областей. Многомерная формула Коши выражает значения голоморфной функции через ее значения на части границы, называемой остовом. Ядро в формуле Коши не зависит от конкретного вида области, что делает интегральное представление универсальным. Но формула Коши обладает рядом недостатков, которые ограничивают ее применение, поскольку справедлива лишь для узкого класса областей.

Существует ряд других интегральных представлений, обобщающих интегральную формулу Коши для комплексной плоскости и справедливых для классов ограниченных областей с гладкими границами, причем интегрирование в них ведется по всей границе. Примерами могут служить интегральные представления Бохнера-Мартинелли, Коши-Фантаппье, Хенкина-Рамиреза.

Интегральное представление, полученное в работах Бохнера [29] и Мартинелли [34, 35], считается первым многомерным представлением, в котором интегрирование велось по всей границе области. Интегральное представление Бохнера-Мартинелли на комплексной плоскости совпадает с интегральной формулой Коши. Интегральное представление Коши-Фантаппье, найденное Лере в [14, 32], можно также получить из интегрального представления Бохнера-Мартинелли. Предложенное в работе.

Хенкина [22] интегральное представление является одной из реализаций формулы Коши-Фантаппье (см. также обзор [23]).

Как и в случае интегральной формулы Коши для функций одного комплексного переменного, интегралы в предложенных выше многомерных формулах становятся сингулярными на границе области, что требует рассмотрения их главного значения. В работах Альта [27], Керзмана и Стейна [31] для интеграла (типа) Хенкина-Рамиреза было рассмотрено главное значение у.р.Ь. Оно отличалось от обычного главного значения у.р. тем, что из границы области выбрасывался не шар, а &bdquo-эллипсоид", вытянутый вдоль комплексных касательных направлений. Ими было показано, что для функций, удовлетворяющих условию Гельдера, главное значение у.р.Ь. существует и справедлива формула, аналогичная формуле Сохоцкого-Племеля для интеграла (типа) Коши на комплексной плоскости. Кытманов и Мысливец в [12] показали, что главное значение по Коши у.р. для интеграла Хенкина-Рамиреза отлично от главного значения у.р.Ь., тем самым заметили, что формула Сохоцкого-Племеля будет иметь другой вид. В той же работе было найдено главное значение у.р.И. для интеграла (типа) Бохнера-Мартинелли, а главное значение у.р. и аналог формулы Сохоцкого-Племеля для этого интеграла можно найти в монографии Кытманова [10]. В работе Кытманова, Пренова и Тарханова [13] для интеграла Бохнера-Мартинелли были рассмотрены формула перестановки повторного особого интеграла и формула композиции.

Несмотря на эти работы, вопрос о нахождении и сравнении главных значений у.р. и у.р.Ь. различных сингулярных интегралов оставался до конца не исследованным. Формулы перестановки особых интегралов и формулы композиции, полученные с их помощью, могут быть применены в теории сингулярных интегральных операторов. Но (в отличие от комплексной плоскости [7, 15]) для функций многих комплексных переменных эта теория еще не развита, поскольку для интегральных представлений не найдены удобные формулы композиции.

Целью диссертационной работы является изучение главных значений особых интегралов Бохнера-Мартинелли и Коши-Сеге, их применение к рассмотрению граничных значений голоморфных функций, нахождению аналогов формулы перестановки повторных особых интегралов, получению формул композиции.

Методы исследования основаны на использовании методов математического анализа и многомерной теории функций, а также общих методов функционального анализа.

Основные результаты диссертации являются новыми. Перейдем к их краткому изложению.

Первая глава посвящена обзору известных ранее результатов и состоит из четырех параграфов.

В первом параграфе вводятся основные обозначения, приводятся определение строго псевдовыпуклой области и некоторые свойства таких областей. А именно, существование барьерной функции и биголоморф-ного отображения, переводящего (локально) строго плюрисубгармониче-скую функцию, определяющую область, в строго выпуклую функцию.

Нам понадобятся следующие обозначения. Если г, и> Е Сд, то г, ии) = +. + гпгип.

Тогда г = где г = (¿-ь ., гп).

Пусть И — строго псевдовыпуклая ограниченная область вС" с границей дБ класса С2, т. е.

В = {г?: д (г) < 0}, где д (г) — вещественнозначная строго плюрисубгармоническая функция класса С2 в некоторой окрестности Ох Э В и такая, что ¿-д ^ 0 на дИ.

Для строго псевдовыпуклой области справедлива теорема о существовании барьерной функции Ф (£, г) в некоторой окрестности $ 7(1)) (см. теорему 1.1.1) и.

Ф (С, г) = (Р (С>2)>С-2>, где Р = ., Рп) — гладкая вектор-функция переменных ((, г) е $ 7(1)) х $ 7(17), голоморфная по г Е $ 7(1)) при фиксированном € $ 7(.0).

Будем считать, что функция / принадлежит классу С⁸{дВ) (т.е. / Е ??$(<9/))), 0<а<1, если для точек г Е <9.0 выполняется неравенство.

0-/М|<�с4|Ф (с^)Г.

Во втором параграфе рассмотрены интеграл Хенкина-Рамиреза и его главные значения по Коши и в смысле Керзмана-Стейна. Эти главные значения различны для единичной функции. Приведены аналоги формул Сохоцкого-Племеля.

Третий параграф посвящен интегралу Бохнера-Мартинелли. Рассмотрено главное значение по Коши для этого интеграла. Приведена связь ядер Коппельмана с ядром Бохнера-Мартинелли. Кроме этого, рассмотрен аналог формулы перестановки Пуанкаре-Бертрана для интеграла Бохнера-Мартинелли и, как следствие, формула композиции.

В четвертом параграфе рассмотрен интеграл Коши-Сеге, который является частным случаем интеграла Хенкина-Рамиреза. Поэтому, для интеграла Коши-Сеге верны результаты второго параграфа.

Вторая глава посвящена исследованию интеграла Бохнера-Мартинелли и состоит из четырех параграфов. Все результаты данной главы справедливы для строго псевдовыпуклой области И.

Обозначим 17(С, г) — ядро интеграла Бохнера-Мартинелли, т. е.

П (Г И — (уг" 1)! Ди-Ц^-ЗО^МлсК где ¿-С = л • • • л с? Сп, (1ф] = ¿-Сг Л. Л л Л. Л.

В этой главе для точек г? сШ рассматривается главное значение данного интеграла в смысле Керзмана-Стейна: у.р.Ь. I /© Щс, г) = Шп I /© С/(С, г), ад дБЕг{?) те Ех (е) = {С е дБ: |Ф (С,*)|<�г}.

Первый параграф посвящен изучению главного значения в смысле Керзмана-Стейна особого интеграла Бохнера-Мартинелли. Теорема 2.1.1. При п > 1 справедлива формула у.р.Ь.= ^ гедБ. дБ.

При доказательстве теоремы 2.1.1 используется лемма о биголоморфном отображении (см. лемму 1.1.1).

Для интегрируемой функции / (т.е. /? С1 {дБ)) рассмотрим интеграл Бохнера-Мартинелли.

П*) = //(О г^ЗВ. (1.3.2) дО.

Обозначим через интеграл (1.3.2) для точек Д, а через — интеграл (1.3.2) для точек г ^ Б. Из теоремы 2.1.1 получается.

Следствие 2.1.1. Пусть п > 1. Если / € 0 < а ^ 1, то интеграл Бохнера-Мартинелли непрерывно продолжается на И и? С£5(1>) ¿-ая ?3 = |, а интеграл .Р непрерывно продолжается на Сп1) и? С⁵(Сп). Кроме того, справедливы формулы дИ.

Г-(г) = -М + у.р.Ь. I /© С/(С, * е №. дБ 9.

Второй параграф содержит вспомогательные результаты, необходимые в следующих параграфах данной главы.

Лемма 2.2.4. Для точек г € дИ справедливо равенство.

I I V{яп, г) ЩС,"-) = 0.

Справедливы также следующие оценки, которые необходимы во второй и третьей главах.

Лемма 2.2.5. Пусть I) — строго псевдовыпуклая область е Сп и.

Я (*,"-)=у.р.Ь. / —,, о 1, 1С — Н" К — г2п-1~а.

ОБ ни, г Е дБ, 0 < V < 2п — 1, а > 0, тогда.

Н (г, ии) ^ Сь если 0 < и < а,.

Н (г, и)) ^ Сг| 1п — и>|| + Сз, если V — а,.

Н (г, и)) ^ С4|г — если 2гг — 1 > г/ > а.

Лемма 2.2.6. Ддл функции определенной формулой I ДО 1С-Н~" ^(С^), дВ где и), г? дБ, / Е и0<�г/<2п — 1, справедлива оценка.

4>(г, т) < С ^-гуГ17−6 для любого е > 0.

В третьем параграфе доказана формула перестановки повторного особого интеграла Бохнера-Мартинелли, если рассматривать главное значение интеграла в смысле Керзмана-Стейна. Сформулируем основные результаты данного параграфа.

Теорема 2.3.1. Пусть f (z, w) = fo (z, w) z — w 0 < v < 2n — 1, a /о G C^s (dD x сШ), 0 < a ^ 1, тогда справедлива формула.

I d (j{w) I f ((, w) U (Cz)= J U (.

Теорема 2.3.2 (формула перестановки). Пусть f G C^s (dD x dD), 0 < a ^ 1, тогда для z G сШ.

J U (w, z) J f (C, w) U (<, w)+±f (z, z). dDw dDc dDc dDw.

При доказательстве теоремы 2.3.2 используются теоремы 2.1.1, 2.3.1 и лемма 2.2.4.

В четвертом параграфе приводятся формулы композиции, полученные из формулы перестановки.

Третья глава посвящена исследованию интеграла Коши-Сеге в многомерном комплексном шаре и состоит из двух параграфов. Пусть В — единичный шар из Cn, а именно = {CGC": |С| < 1}, где С — (Съ • • •, Cn), ICI2 = Kil2 + • • • + ICnl2- Тогда 5 — (С: ICI = 1} граница шара В.

Обозначим через К{С, z) — ядро интеграла Коши-Сеге для шара, т. е.

K (C>z) — т: гтп> а через сг (С) — дифференциальную форму.

О = ?(-1)" «1 с, m Л dc.

В первом параграфе предлагается более простое доказательство (в отличие от [31]) нахождения главного значения интеграла в смысле.

Керзмана-Стейна, а также для данного главного значения рассматриваются формулы перестановки и обращения.

Теорема 3.1.2. Пусть /((, и)) = /о (С? 'ш) |1 ~ (С^)!^, 0 ^ ^ < п, /о € С^Б х 5), 0 < а < 1, тогда.

I <�Ь{т) I /(С, и>) К (С, г) а (0 = / К{ С, г) а (О / /(С, ь>) г е 5.

Бщ Б^ Бхи.

Лемма 3.1.3. Для точек 6 5, (V справедливо равенство.

J К (ъи:г°) К ((0,ии) а (>ш) = 0.

Зги.

Теорема 3.1.3. Пусть / е х 5), 0 < а < 1, тогда.

I а (т) | /(С, ги) ^(С,&trade-) <�т© =.

Бы I I Ж, •ш) К{гп, г) К ({, ю) а (>ш) + ^ ¡-(г, г), г е 5. С.

При доказательстве теоремы 3.1.3 используются теорема 3.1.2 и лемма 3.1.3.

Следствие 3.1.1. Пусть п > 1. Если /(С,^) = /©? 0 < а ^ 1, то где.

КзНЦ] = у.р.ь. I/© к (С, г) а©. 5.

Следствие 3.1.1 является одной из формул композиции для особого интеграла Коши-Сеге при п > 1.

Во втором параграфе доказаны формулы перестановки и обращения, если рассматривать главное значение особого интеграла по Коши.

Теорема 3.2.1. Пусть /(С^) — /о ((, ги) |і — (?, ио) и, 0 ^ іу < п, /о Є Са (в х Б), 0 < а ^ 1, тогда.

I Ат (гу) ІДС, у>) К (С, г) <�т© = | К (С, *) <�т© //(С, «0^И, * Є.

Лемма 3.2.3. При п > 1 для точек г°? С° Ф справедливо равенство.

Зги.

Теорема 3.2.2. Пусть п > 1. Если /? х 5), 0 < а ^ 1, тогда.

I К (т, г) а (т) ^ /(С,"-) <�х© =.

— / ^ /^ с.

При доказательстве теоремы 3.2.2 используются теорема 3.2.1 и лемма 3.2.3.

Следствие 3.2.1. Пусть п > 1. Если /(С/ш) = /© <Е Са (5), О < а ^ 1, то к3Ц].

Как и следствие 3.1.1, следствие-3.2.1 является одной из формул композиции для особого интеграла Коши-Сеге при п > 1.

Заключение

.

В диссертационной работе были получены следующие результаты:

1. Найдено главное значение в смысле Ксрзмана-Стейна интеграла Бохиера-Мартинелли. Получен аналог формулы Сохоцкого-Племеля.

2. Получен аналог формулы Пуанкаре-Бертрана для интеграла Бохиера-Мартинелли в случае рассмотрения главного значения в смысле Керзмана-Стейиа.

3. Получены аналоги формулы Пуанкаре-Бертрана и формулы обращения для интеграла Коши-Сеге в случае рассмотрения главного значения по Коши и в смысле Керзмана-Стейна.